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高中数学解析几何知识点总结大全


高中数学解析几何知识点大总结
第一部分:直线 一、直线的倾斜角与斜率
1.倾斜角α (1)定义:直线 l 向上的方向与 x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。 (2)范围: 0? ? ? ? 180 ? 2.斜率:直线倾斜角α 的正切值叫做这条直线的斜率.

k ? t an ? 90 (1).倾斜角为 ? 的直线没有斜率。
(2)

.每一条直线都有唯一的倾斜角, 但并不是每一条直线都存在斜率 (直线垂直于 x 轴时,
其斜率不存在),这就决定了我们在研究直线的有关问题时,应考虑到斜率的存在与不存在 这两种情况,否则会产生漏解。 (3)设经过 A( x1 , y1 ) 和 B( x2 , y 2 ) 两点的直线的斜率为 k , 则当 x1 ? x 2 时, k ? tan? ?

y1 ? y2 o ;当 x1 ? x 2 时, ? ? 90 ;斜率不存在; x1 ? x2

二、直线的方程 1.点斜式:已知直线上一点 P(x0,y0)及直线的斜率 k(倾斜角α )求直线的方程用点斜式: y-y0=k(x-x0)

注意:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为 x ? x0 ;
2.斜截式:若已知直线在 y 轴上的截距(直线与 y 轴焦点的纵坐标)为 b ,斜率为 k ,则直 线方程: y ? kx ? b ;特别地,斜率存在且经过坐标原点的直线方程为: y ? kx 注意:正确理解“截距”这一概念,它具有方向性,有正负之分,与“距离”有区别。 3.两点式:若已知直线经过 ( x1 , y1 ) 和 ( x2 , y 2 ) 两点,且( x1 ? x2 , y1 ? y 2 则直线的方程:

y ? y1 x ? x1 ? ; y2 ? y1 x2 ? x1
注意:①不能表示与 x 轴和 y 轴垂直的直线; ②当两点式方程写成如下形式 ( x2 ? x1 )( y ? y1 ) ? ( y2 ? y1 )(x ? x1 ) ? 0 时,方程可以适应在 于任何一条直线。 4 截距式:若已知直线在 x 轴, y 轴上的截距分别是 a , b ( a ? 0, b ? 0 )则直线方程:

x y ? ? 1; a b
注意:1).截距式方程表不能表示经过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线。 2).横截距与纵截距相等的直线方程可设为 x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直
1

线方程可设为 x-y=a 5 一般式:任何一条直线方程均可写成一般式: Ax ? By ? C ? 0 ;( A, B 不同时为零); 反之,任何一个二元一次方程都表示一条直线。 注意:①直线方程的特殊形式,都可以化为直线方程的一般式,但一般式不一定都能化为特 殊形式,这要看系数 A, B, C 是否为 0 才能确定。 ②指出此时直线的方向向量:( B,? A) ,(? B, A) ,? ?

?

B

2 2 ? A ?B

,

? ? ? A2 ? B 2 ? ?A

(单

位向量);直线的法向量: ( A, B) ;(与直线垂直的向量)

6(选修 4-4)参数式 ?

? x ? x0 ? at ( t 参数)其中方向向量为 ( a, b) , ? y ? y 0 ? bt
, ? b |t | ? k ? ; | PP ; o |? 2 2 ?; a a ?b ? a 2 ? b2 b

单位向量 ? ?

?

a

2 2 ? a ?b

|P 点P 1P 2 |? 1 , P2 对应的参数为 t1 , t 2 ,则

| t1 ? t2 | a 2 ? b2



?x ? x0 ? t cos? ( t 为参数)其中方向向量为 (cos? , sin ? ) , t 的几何意义为 | PP ? o | ;斜 ? y ? y0 ? t sin ?
率为 tan? ;倾斜角为 ? (0 ? ? ? ? ) 。 三、两条直线的位置关系 位置关系

l1 : y ? k1 x ? b1 l 2 : y ? k 2 x ? b2
k1 ? k 2 ,且 b1 ? b2

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0
A1 B1 C1 (A1B2-A2B1=0) ? ? A2 B2 C 2

平行

?

重合

?

k1 ? k 2 ,且 b1 ? b2

A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C 2 A1 B1 ? A2 B2

相交

? ?

k1 ? k 2

垂直

k1 ? k 2 ? ?1

A1 A2 ? B1 B2 ? 0

设两直线的方程分别为:

l1 : y ? k1 x ? b1 或 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ;当 k ? k 或 1 2 l 2 : y ? k 2 x ? b2 l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

y ? k x?b ? A x ? B y ? C1 ? 0 A1 B2 ? A2 B1 时它们相交,交点坐标为方程组 ? ? y ? k1 x ? b1 或 ? A1 x ? B1 y ? C 2 2 2 2 ? 0 ? ? 2
2

解; 注意:①对于平行和重合,即它们的方向向量(法向量)平行;如: ( A1 , B1 ) ? ? ( A2 , B2 ) 对于垂直,即它们的方向向量(法向量)垂直;如 ( A1 , B1 ) ? ( A2 , B2 ) ? 0 ②若两直线的斜率都不存在,则两直线 平行 ;若一条直线的斜率不存在,另一直线的斜率 为 0 ,则两直线垂直。 ③对于 A 1 A2 ? B 1B2 ? 0 来说,无论直线的斜率存在与否,该式都成立。因此,此公式使用 起来更方便. ④斜率相等时,两直线平行(或重合);但两直线平行(或重合)时,斜率不一定相等,因为斜 率有可能不存在。 四、两直线的交角 (1) l1 到 l 2 的角:把直线 l1 依逆时针方向旋转到与 l 2 重合时所转的角;它是有向角,其范 围是 0 ? ? ? ? ; 注意:① l1 到 l 2 的角与 l 2 到 l1 的角是不一样的;②旋转的方向是逆时针方向;③绕“定点” 是指两直线的交点。 (2)直线 l1 与 l 2 的夹角:是指由 l1 与 l 2 相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角), 它的取值范围是 0 ? ? ?

?
2



(3)设两直线方程分别为:

l1 : y ? k1 x ? b1 或 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : y ? k 2 x ? b2 l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0
k2 ? k1 A1B2 ? A2 B1 或 tan? ? ; 1 ? k2 k1 A1 A2 ? B1B2
k 2 ? k1 A1 B2 ? A2 B1 或 tan? ? ; 1 ? k 2 k1 A1 A2 ? B1 B2
o

①若 ? 为 l1 到 l 2 的角, tan? ?

②若 ? 为 l1 和 l 2 的夹角,则 t an? ?

③当 1 ? k1k 2 ? 0 或 A1 A2 ? B1 B2 ? 0 时, ? ? 90 ; 注意:①上述与 k 有关的公式中,其前提是两直线斜率都存在,而且两直线互不垂直;当有 一条直线斜率不存在时,用数形结合法处理。 ②直线 l1 到 l 2 的角 ? 与 l1 和 l 2 的夹角 ? : ? ? ? (? ? 五、点到直线的距离公式: 1.点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ?

?
2

) 或 ? ? ? ? ? (? ?

?
2

);

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2



3

2.两平行线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 , l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 的距离为: d ? 六、直线系: (1)设直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2

| C1 ? C2 | A2 ? B 2



: A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 ,经过 l1 , l 2 的交点

的直线方程为 A 1x ? B 1 y ? C1 ? ? ( A 2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除去 l 2 ); 如:① y ? kx ? 1 ? y ? 1 ? kx ? 0 ,即也就是过 y ? 1 ? 0 与 x ? 0 的交点 (0,1) 除去 x ? 0 的直线方程。 ②直线 l : (m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? m ? 5 恒过一个定点 。

注意:推广到过曲线 f1 ( x, y) ? 0 与 f 2 ( x, y) ? 0 的交点的方程为: f1 ( x) ? ?f ( x2 ) ? 0 ; (2)与 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线为 Ax ? By ? C1 ? 0 ; (3)与 l : Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线为 Bx ? Ay ? C1 ? 0 ; 七、对称问题: (1)中心对称: ①点关于点的对称: 该点是两个对称点的中点,用中点坐标公式求解,点 A( a, b) 关于 C (c, d ) 的对称点

(2c ? a,2d ? b)
②直线关于点的对称: Ⅰ、在已知直线上取两点,利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再 由两点式求出直线方程; Ⅱ、求出一个对称点,在利用 l1 // l 2 由点斜式得出直线方程; Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。 如:求与已知直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 关于点 P(1,?1) 对称的直线 l 2 的方程。 (2)轴对称: ①点关于直线对称: Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上,点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。 Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程,然后解方程组求出直线的交点,在利用中点 坐标公式求解。 如:求点 A(?3,5) 关于直线 l : 3x ? 4 y ? 4 ? 0 对称的坐标。 ②直线关于直线对称:(设 a , b 关于 l 对称) Ⅰ、若 a , b 相交,则 a 到 l 的角等于 b 到 l 的角;若 a // l ,则 b // l ,且 a , b 与 l 的距
4

离相等。 Ⅱ、求出 a 上两个点 A, B 关于 l 的对称点,在由两点式求出直线的方程。 Ⅲ、设 P ( x, y ) 为所求直线直线上的任意一点,则 P 关于 l 的对称点 P' 的坐标适合 a 的方程。 如:求直线 a : 2 x ? y ? 4 ? 0 关于 l : 3x ? 4 y ? 1 ? 0 对称的直线 b 的方程。 八、简单的线性规划: (1)设点 P( x0 , y0 ) 和直线 l : Ax ? By ? C ? 0 , ① 若 点 P 在 直 线 l 上 , 则 Ax0 ? By0 ? C ? 0 ; ② 若 点 P 在 直 线 l 的 上 方 , 则

B( Ax0 ? By0 ? C) ? 0 ;
③若点 P 在直线 l 的下方,则 B( Ax0 ? By0 ? C) ? 0 ; (2)二元一次不等式表示平面区域: 对于任意的二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0(? 0) , ①当 B ? 0 时,则 Ax ? By ? C ? 0 表示直线 l : Ax ? By ? C ? 0 上方的区域;

Ax ? By ? C ? 0 表示直线 l : Ax ? By ? C ? 0 下方的区域;
②当 B ? 0 时,则 Ax ? By ? C ? 0 表示直线 l : Ax ? By ? C ? 0 下方的区域;

Ax ? By ? C ? 0 表示直线 l : Ax ? By ? C ? 0 上方的区域;
注意:通常情况下将原点 (0,0) 代入直线 Ax ? By ? C 中,根据 ? 0 或 ? 0 来表示二元一次 不等式表示平面区域。 (3)线性规划: 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题。 满足线性约束条件的解 ( x, y ) 叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。生 产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。 注意:①当 B ? 0 时,将直线 Ax ? By ? 0 向上平移,则 z ? Ax ? By 的值越来越大; 直线 Ax ? By ? 0 向下平移,则 z ? Ax ? By 的值越来越小; ②当 B ? 0 时,将直线 Ax ? By ? 0 向上平移,则 z ? Ax ? By 的值越来越小; 直线 Ax ? By ? 0 向下平移,则 z ? Ax ? By 的值越来越大;

5

如:在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括周界),目标函数 z ? x ? ay 取得最小值的最优解有无数个,则 a 为 ; 第二部分:圆与方程 2.1 圆的标准方程: ( x ? a) ?( y ? b) ?r 圆心 C ( a , b ) ,半径 r 特例:圆心在坐标原点,半径为 r 的圆的方程是: x
2
2 2 2

y

C(4,2) B(5,1) x

O

A(1,1)

? y 2 ?r 2 .

2.2 点与圆的位置关系: 1. 设点到圆心的距离为 d,圆半径为 r: (1)点在圆上 d=r;(2)点在圆外 d>r;(3)点在圆内 2.给定点 M ( x 0 , y 0 ) 及圆 C : ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . ① M 在圆 C 内 ? ( x0 ?a)2 ?( y 0 ?b)2 ?r 2 ③ M 在圆 C 外 ? ( x0 ?a)2 ?( y 0 ?b)2 ?r 2 2.3 圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . 当 D 2 ? E 2 ?4F ? 0 时,方程表示一个圆,其中圆心 C ? ? 当 D 2 ? E 2 ?4 F ? 0 时,方程表示一个点 ? ?
? D E? ,? ? . 2? ? 2

d<r.

② M 在圆 C 上 ? (x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2

? D E? ,? ? ,半径 r ? 2? ? 2

D 2 ? E 2 ?4 F . 2

当 D 2 ? E 2 ?4F ? 0 时,方程无图形(称虚圆). 注:(1)方程 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的充要条件是: B ? 0 且 A ? C ? 0 且
D 2 ? E 2 ?4 AF ? 0 . 圆的直径系方程:已知 AB 是圆的直径
A( x1 , y 1 ) B( x 2 , y 2 ) ? ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? ( y ? y 1 )( y ? y 2 ) ? 0

2.4 直线与圆的位置关系: 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有 三种,d 是圆心到直线的距离,( d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

(1)

d ? r ? 相离 ? ? ? 0

; (2)

d ? r ? 相切 ? ? ? 0

; ( 3 )

d ? r ? 相交 ? ? ? 0 。
2.5 两圆的位置关系 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d 。 (1) d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线;(2) d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

6

(3) r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线;(4) d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; (5) 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线;

外离 2.6 圆的切线方程:

外切

相交

内切

内含

1.直线与圆相切:(1)圆心到直线距离等于半径 r;(2)圆心与切点的连线与直线垂直(斜率 互为负倒数) 2.圆 x 2 ? y 2 ?r 2 的 斜 率 为 k 的 切 线 方 程是 y ? kx ? 1 ?k 2 r 过 圆 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 上 一 点
P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为: x 0 x ? y 0 y ? D

x ?x 0 y ?y0 ?E ?F ? 0. 2 2

一般方程若点(x0 ,y0)在圆上,则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地,过圆 x 2 ? y 2 ?r 2 上一点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为 x 0 x ? y 0 y ?r 2 .
? y 1 ? y 0 ? k ( x1 ? x 0 ) ? b ? y 1 ?k (a ? x 1 ) ,联立求出 k ? 切线方程. 若点(x0 ,y0)不在圆上,圆心为(a,b)则 ? ?R ? R 2 ?1 ?

2.7 圆的弦长问题: 1. 半弦

L 、半径 r 、弦心距 d 构成直角三角形,满足勾股定理: 2

? L? 2 2 ? ? ? R ?d 2 ? ?
2.弦长公式(设而不求): 第三部分:椭圆 一.椭圆及其标准方程 1.椭圆的定义:平面内与两定点 F1,F2 距离的和等于常数 2a ? F1 F2 的点的轨迹叫做 椭圆,即点集 M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|=2c}; 这里两个定点 F1,F2 叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距 2c。 ( 2a ? F 1F2 ? 2c 时为线段 F1 F2 , 2a ? F 1F2 ? 2c 无轨迹)。 2.标准方程:
2 AB ? (x1 ? x2) ? ( y1 ? y2 ) 2

2

?( 1 ? k 2) [(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

?

?

c 2 ? a 2 ? b2

7

x2 y2 ①焦点在 x 轴上: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0); a b
y2 x2 ②焦点在 y 轴上: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0); a b
2

焦点 F(±c,0)

焦点 F(0, ±c)
2 2

注意:①在两种标准方程中,总有 a>b>0, a ? b ? c 并且椭圆的焦点总在长轴上;

x2 y 2 ? ? 1 或者 ②一般形式表示: m n
二.椭圆的简单几何性质: 1.范围 (1)椭圆

mx2 ? ny2 ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n)

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0) 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b a2 b2

(2)椭圆 2.对称性

y2 x2 ? ? 1 (a>b>0) 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a a2 b2

椭圆关于 x 轴 y 轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对 称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点 (1)椭圆的顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) (2)线段 A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于 2a,短轴长等于 2b,a 和 b 分别叫做 椭圆的长半轴长和短半轴长。

4.离心率 (1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比

2c c ,即 称为椭圆的离心率, 2a a

c2 b 2 记作 e( 0 ? e ? 1 ), e ? 2 ? 1 ? ( ) a a
2

王新敞
奎屯

新疆

e 越接近于 0 (e 越小),椭圆就越接近于圆; e 越接近于 1 (e 越大),椭圆越扁; 注意:离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。 (2)椭圆的第二定义:平面内与一个定点(焦点)和一定直线(准线)的距离的比为常数 e,(0<e<1)的点的轨迹为椭圆。(

| PF | ? e) d

8

x2 y2 ①焦点在 x 轴上: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)准线方程: x a b
②焦点在 y 轴上:

a2 ?? c
2

a y2 x2 ? 2 ? 1 (a>b>0)准线方程: y ? ? 2 c a b

小结一:基本元素 (1)基本量:a、b、c、e、(共四个量), 特征三角形 (2)基本点:顶点、焦点、中心(共七个点) (3)基本线:对称轴(共两条线) 5.椭圆的的内外部 (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆

x y ? 2 2 a b

2

2

2 2 x0 y0 ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? 2 ? 2 ? 1 . a b
2 2 x0 y0 ? ? 1. a 2 b2

x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? a b
6.几何性质

(1) 焦半径(椭圆上的点与焦点之间的线段): a ? c ? MF ? a ? c (2)通径(过焦点且垂直于长轴的弦) AB ?

2b 2 a
2

(3)焦点三角形(椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形): S ?MF1F2 ? b ? tan

?
2

其中

?F1MF2 ? ?
7 直线与椭圆的位置关系: (1)判断方法:联立直线方程与椭圆方程消 y(或 x)得到关于 x 的一元二次方程, 根据判别式 ? 的符号判断位置关系:

? ? 0 ? 有两个交点? 相交 ? ? 0 ? 相切 ? 有一个交点 ? ? 0 ? 相离 ? 没有交点
? x2 y2 ? ? ? 1 消 y 得: 联立 ? a 2 b 2 ? ? Ax ? By ? C ? 0

?a A
2

2

? b 2 B 2 x 2 ? 2a 2 ACx ? a 2 C 2 ? b 2 B 2 ? 0 ? 2a AC 2 2 a A ? b2 B 2
2

?

?

x1 ? x2 ?

x1 x2 ?

a C ? b B2 a 2 A2 ? b 2 B 2
2 2 2

?

?

?

9

? x2 y2 ? ? ? 1 消 x 得: 联立 ? a 2 b 2 ? ? Ax ? By ? C ? 0

?a A
2

2

? b 2 B 2 y 2 ? 2b 2 BCy ? b 2 C 2 ? a 2 A2 ? 0 ? 2b BC 2 2 a A ? b2 B2
2

?

?

y1 ? y2 ?

y1 y2 ?

b C ? a 2 A2 a 2 A2 ? b 2 B 2
2 2

?

?

?

(2)弦中点 问题 : 斜率 为 k 的直 线 l 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n) 交于两点 m2 n 2
n 2 x0 ? m2 y0

是 AB 的中点,则: k AB ? ? A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) M(x0 , y0)
2 AB ? (x1 ? x2) ? ( y1 ? y2 ) 2

(3)弦长公式:

?( 1 ? k 2) [(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]
第四部分:双曲线 标准方程(焦点在 x 轴) 双曲线 标准方程(焦点在 y 轴)

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

第一定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值是常数(小于 F1 F2 )的点的 轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫焦距。

?M MF

1

? MF2 ? 2a? ?2a ? F1F2 ?

P
定义

y

y
x

x
P

y F2
y x

F1

F2
F1

x

第二定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e ,当 e ? 1 时,动点 的轨迹是双曲线。定点 F 叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数 e ( e ? 1 ) 叫做双曲线的离心率。

10

P

y
y

y

P
x

P

y
x

x
P

F2

F1

F2
F1

x

范围 对称轴 对称中心

x ?a, y?R

y ?a,x?R

x 轴 , y 轴;实轴长为 2a ,虚轴长为 2b
原点 O (0, 0)

F1 (?c,0)
焦点坐标

F2 (c,0)
2 2

F1 (0, ?c)

F2 (0, c)

焦点在实轴上, c ? a ? b ;焦距: F 1F 2 ? 2c 顶点坐标 离心率 ( ? a ,0) ( a ,0) (0, ? a ,) (0, a )

e?

c (e ? 1) a

(1) 焦半径(双曲线上的点与焦点之间的线段): a ? c ? MF

2b 2 (2)通径(过焦点且垂直于实轴的弦) AB ? a
重要结论 (3)焦点三角形(双曲线上的任意一点与两焦点够成的三角形):

S ?MF1F2 ?

b2 t an

?
2

? b 2 ? cot

?
2
a2 c
2

x??

准线方程

a2 c

y??

准线垂直于实轴且在两顶点的内侧;两准线间的距离: 2a
c

渐近线 方程 共渐近线 的双曲线 系方程

y??

b x a

x??

b y a

x2 y2 ? ? k (k ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? k(k ? 0) a2 b2

11

(1)判断方法:联立直线方程与双曲线方程消 y(或 x)得到关于 x 的一元二次方程,根据 判别式 ? 的符号判断位置关系:

? ? 0 ? 有两个交点? 相交 ? ? 0 ? 相切 ? 有一个交点 ? ? 0 ? 相离 ? 没有交点
? x2 y2 ? ? ? 1 消 y 得: 联立 ? a 2 b 2 ? ? Ax ? By ? C ? 0

?a A
2

2

? b 2 B 2 x 2 ? 2a 2 ACx ? a 2 C 2 ? b 2 B 2 ? 0 ? 2a 2 AC a 2 A2 ? b 2 B 2 x1 x2 ? a 2 C 2 ? b2 B 2 a 2 A2 ? b 2 B 2

?

?

直线和双 曲线的位 置

x1 ? x2 ?

?

?

?

? x2 y2 ? ? ? 1 消 x 得: 联立 ? a 2 b 2 ? ? Ax ? By ? C ? 0

?a A
2

2

? b 2 B 2 y 2 ? 2b 2 BCy ? b 2 C 2 ? a 2 A2 ? 0 2b 2 BC a 2 A2 ? b 2 B 2 y1 y2 ? ? b 2 C 2 ? a 2 A2 a 2 A2 ? b 2 B 2

?

?

y1 ? y2 ?

?

?

?
x2 y 2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0) 交 于 两 点 m2 n 2 n 2 x0 ? 2? m y0

(4)弦 中 点 问 题 : 斜 率 为 k 的 直 线 l 与 双 曲 线

是 AB 的中点,则: k AB A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) M(x0 , y0)
2 AB ? (x1 ? x2) ? ( y1 ? y2 ) 2

弦长公式: 补充知识点:

?( 1 ? k 2) [(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]
等轴双曲线的主要性质有: (1)半实轴长=半虚轴长; (2)其标准方程为 x ? y ? C 其中 C≠0;
2 2

(3)离心率 e ?

2;

(4)渐近线:两条渐近线 y=±x 互相垂直; (5)等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项; (6)等轴双曲线上任意一点 P 处的切线夹在两条渐近线之间的线段,必被 P 所平分; 7)等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形面积恒为常数 a
12
2

第五部分:抛物线知识点总结

y 2 ? 2 px( p ? 0)

y 2 ? ?2 px( p ? 0)

x 2 ? 2 py( p ? 0)

x 2 ? ?2 py( p ? 0)

图象

l

y

y

y l F

y l O x l F

O

F

x

F

O

x

O

x

平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点 F 叫做抛物线 定义 的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线。{ M MF =点 M 到直线 l 的距离}

范围 对称性 焦点

x ? 0, y ? R

x ? 0, y ? R

x ? R, y ? 0

x ? R, y ? 0

关于 x 轴对称 (

关于 y 轴对称 (?

p ,0) 2

p ,0) 2
O(0, 0)

(0,

p ) 2

(0, ?

p ) 2

焦点在对称轴上 顶点 离心率 准线 方程 顶点到准线 的距离 焦点到准线 的距离

e =1
p x?? 2

x?

p 2

y??

p 2

y?

p 2

准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。

p 2
p

焦半径

A( x1 , y1 )

AF ? x1 ?

p 2

AF ? ? x1 ?

p 2

AF ? y1 ?

p 2

AF ? ? y1 ?

p 2

焦点弦 长

AB

( x1 ? x2 ) ? p

?( x1 ? x2 ) ? p

( y1 ? y2 ) ? p

?( y1 ? y2 ) ? p

13

y
M N 焦点弦 AB 的几条性质

A ? x1 , y1 ?
x B ? x2 , y2 ? F?

o

以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切,以 MN 为直径的圆与 AB 相切与点 F,即 MF

? FN

A( x1 , y1 )
B( x2 , y2 ) (以
焦点在 x 轴 正半轴为 例)

AF ? x1 ?

p p ? 2 1 ? cos ?

BF ? x2 ?

p p ? 2 1 ? cos ? 2p ? 2 p(通径 ) sin 2 ?

若 AB 的倾斜角为 ? ,则 AB ? x1 ? x2 ? p ?

x1 x2 ?

p2 4

y1 y2 ? ? p 2

1 1 2 ? ? AF BF p

S?AOB

p2 ? 2sina

参数 方程

? x ? 2 pt 2 (t为参数) ? y ? 2 pt ?

1. 直线与抛物线的位置关系

直线

, 抛物线



, 消 y 得:

( 1 ) 当 k=0 时 , 直 线 l 与 抛 物 线 的 对 称 轴 平 行 , 有 一 个 交 点 ; (2)当 k≠0 时, Δ >0,直线 l 与抛物线相交,两个不同交点; Δ =0, 直线 l 与抛物线相切,一个切点; Δ <0,直线 l 与抛物线相离,无公共点。 (3)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?(不一定) 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线 l :

y ? kx ? b

抛物线

, ( p ? 0)

① 联立方程法:

14

? y ? kx ? b ? k 2 x 2 ? 2(kb ? p) x ? b2 ? 0 ? 2 ? y ? 2 px
设 交 点 坐 标 为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 有 ? ? 0 , 以 及 x1 ? x2 , x1 x2 , 还 可 进 一 步 求 出

y1 ? y2 ? kx1 ? b ? kx2 ? b ? k ( x1 ? x2 ) ? 2b



y1 y2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ? k 2 x1 x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b2
在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如 a. 相交弦 AB 的弦长

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2

? a



AB ? 1 ?

1 1 ? y1 ? y2 ? 1 ? 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 1 ? k 2 2 k k a
x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 2 2

b. 中点 M ( x0 , y0 ) , x0 ? ② 点差法:

设交点坐标为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,代入抛物线方程,得

y1 ? 2 px1
将两式相减,可得

2

y2 ? 2 px2

2

( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 2 p( x1 ? x2 )
y1 ? y2 2p ? x1 ? x2 y1 ? y2
a. 在涉及斜率问题时, k AB ?

2p y1 ? y2

b.

在 涉 及 中 点 轨 迹 问 题 时 , 设 线 段 AB 的 中 点 为 M ( x0 , y0 ) ,

y1 ? y2 2p 2p p ? ? ? , x1 ? x2 y1 ? y2 2 y0 y0
即 k AB ?

p , y0
2

同理, 对于抛物线 x ? 2 py( p ? 0) , 若直线 l 与抛物线相交于 A、 B 两点, 点 M ( x0 , y0 ) 是

15

弦 AB 的中点,则有 k AB ?

x1 ? x2 2 x0 x0 ? ? 2p 2p p

(注意能用这个公式的条件:1)直线与抛物线有两个不同的交点,2)直线的斜率存在,且 不等于零)

16


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