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江苏省安宜高级中学08-09学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷答案


安宜高级中学 08-09 学年度第二学期 高一年级期中考试数学试卷
命题:刘兆云 审核:张玉明
说明:1.以下题目的答案请全部填写在答卷纸上; 2.本卷总分 160 分,考试时间 120 分钟. 一、填空题: (每题 5 分,共计:70 分)
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1、 不等式 ( x ? 1)(3 ? x) ? 0 的解集是

{x |? ? x ? 1

3}
(?1) n ?1 (2n ? 1)

2、 已知数列的前 5 项分别为1, ?3,5, ?7,,写出数列的通项公式_ 9

3、 一艘船以 4 km/h 的速度沿着与水流方向成 1200 的方向航行,已知河水流速为 2km/h, 则经过 3 h,该船实际航程为_____6km _______ 4、 已知正数 x、y 满足 x ? y ? 1 ,则

1 1 ? 的最小值是 x y

4

?x ? y ? 1 ? 5、 设 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,则 z ? 3x ? y 的最大值 ? y ? ?2 ?

7

6、 在 ?ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则这个三角形中角 A 的值是 30 ? 或 150 ? 7、 已知等比数列 {an } 的公比 q ? ? ,则

1 3

a1 ? a3 ? a5 ? a7 等于 a2 ? a4 ? a6 ? a8

?3 m ?1

8、 不等式 (m ? 1) x ? 2(m ? 1) x ? m ? 0 对任意实数 x 都成立, m 的取值范围是 则
2

9、 在等差数列 {a n } 中, a3 ? a5 ? a7 ? a9 ? a11 ? 100 ,则 3a9 ? a13 ?
2

40

10、 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? 2n ? 3n ,由 a1 , a 3 , a 5 , a 7 ,?, a 2 n ?1 组成一 组新数列 {c n } ,其通项公式为

cn ? 8n ? 9
2

11、 数列 ? an ? 是等比数列, a1 , a5 是方程 x ? 5 x ? 4 ? 0 的根,则 a3 ? 12、 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n , an ? 2 ?
n

2

1 ,则 S n ? n ?n
2

an ? 2n?1 ? 1 ?

1 n ?1

13、若对于一切正实数 x 不等式 x ? ax ? 4 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是
2

a?4

14、 设数列 ?a n ?的前 n 项和为 Sn (n ? N ) ,关于数列 ?a n ?有下列四个命题:
*

①若 a n ? a n ?1 (n ? N ) ,则 ?a n ?既是等差数列又是等比数列;
*

②若 S n ? an ? bn
2 n

③若 S n ? 1 ? (?1) ,则 ?a n ?是等比数列;

(a, b ? R) ,则 ?a n ?是等差数列;

④若 ?a n ?是等比数列,则 Sm , S2 m ? Sm , S3m ? S2 m (m ? N ) 一定成等比数列;
*

其中正确的命题是 二、简答题:

②③

(填上正确的序号) 。

15、在△ ABC 中, a, b, c 分别为角 A、B、C 的对边, a ? c ? b ?
2 2 2

8bc , a =3, △ ABC 5

的面积为 6. (1)求角 A 的余弦值; (1) A ? 60? (2) ?

(2)求边 b、c

?b ? 2 ?b ? 4 或? ?c ? 4 ?c ? 2

16、设 ? an ? 是等比数列,已知 a1 ? 1 ,且 4a2 , 2a3 , a4 成等差数列, (1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)若 Tn ? na1 ? (n ? 1)a2 ? ? ? 2an ?1 ? an ,求 Tn (1) an ? 2 (2) Tn ? 2
n ?1

n ?1

?2?n
2

17、(1) 已知不等式 x ? bx ? c ? 0 的解集是 ?x | x ? ?1或x ? 2? ,求 b,c 的值;

x2 ? x ? 1 (2)若 x ? ?1 ,则 x 为何值时 y ? 有最大值,最大值为多少? x ?1
(1) ?

?b ? ?1 ? c ? ?2

(2)当 x ? ?2 时,取最大值 ymax ? ?3

18、某玩具厂生产 x 套 2008 年奥运会吉祥物“福娃”所需成本费用为 P 元,且

P ? 1000 ? 5 x ?

1 2 x 10

,而每套售出的价格为 Q 元,其中 Q=a+

x b

?a , b ? R?,

(1)问:该玩具厂生产多少套“福娃”时,使得每套“福娃”所需成本费用最少? (2)若生产出的“福娃”能全部售出,且当产量为 150 套时利润最大,此时每套价格为 30 元,求 a , b 的值. (利润 = 销售收入 — 成本) (1)每套“福娃”所需成本费用为
p ? x 1000 ? 5 x ? 1 2 x 10

x 1 1000 ? x? ?5 10 x

? 2 100 ? 5 ? 25



1 1000 , 即 x=100 时,每套“福娃”所需成本费用最少为 25 元. x? 10 x

(2)利润为

Qx ? P x? ? x2 ? 1 1 ? ? x ? a ? ? ? ? 1000 ? 5 x ? ? =( ? ) x 2 ? (a ? 5) x ? 1000 b? ? 10 ? b 10 ?
? 5?a ? 1 1 ? 150 ? 2( ? ) b 10 由题意, ? ? 150 ? 30 ?a ? b ?

?

解得

a= 25,

b= 30.

19、 在数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 ,且 an ?1 ? (1 ? q)an ? qan ?1 ( n ? 2, q ? 0 ) . (Ⅰ)当 q ? 2 时,设 bn ? an ?1 ? an ( n ? N ) ,证明 {bn } 是等比数列;
*

(Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)若 a3 是 a6 与 a9 的等差中项,求 q 的值。

19、 (Ⅰ)证明:当 q ? 2 时,由题设 an ?1 ? (1 ? q)an ? qan ?1 ? 3an ? 2an ?1 ( n ? 2 ) ,得

an?1 ? an ? 2(an ? an?1 ) ,即 bn ? 2bn ?1 , n ? 2 .
又 b1 ? a2 ? a1 ? 1 ,所以 {bn } 是首项为 1,公比为 2 的等比数列.????4 分 (Ⅱ)解:由题设 an ?1 ? (1 ? q)an ? qan ?1 ( n ? 2 ) ,得 an?1 ? an ? q(an ? an?1 ) , ????6 分 即 a2 ? a1 ? 1 , a3 ? a2 ? q ,?? an ? an ?1 ? q , n ? 2 ) ( .
2

将以上各式相加,得 an ? a1 ? 1 ? q ? ? ? q

n?2

(n ? 2) .因为 q ? 0 ,

? 1 ? q n ?1 , ?1 ? 故当 n ? 2 时, an ? ? 1? q ? n, ?

q ? 1, q ? 1.

此式对 n ? 1 显然成立.

? 1 ? q n ?1 , ?1 ? 所以数列 ? an ? 的通项公式是 an ? ? 1? q ? n, ?

q ? 1, q ? 1.

????8 分

(Ⅲ)解:由(Ⅱ) ,当 q ? 1 时,显然 a3 不是 a6 与 a9 的等差中项,故 q ? 1 . ????9 分 由 a3 ? a6 ? a9 ? a3 可得 q ? q ? q ? q ,由 q ? 0 得 q ? 1 ? 1 ? q ,
5 2 2 8 3 6

整理得 (q ) ? q ? 2 ? 0 ,解得 q ? ?2 或 q ? 1 (舍去) .所以: q ? ? 3 2 .
3 2 3

3

3

????12 分 20、已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx 满足条件:
2

① f (0) ? f (1) ;② f ( x) 的最小值为 ? (1)求函数 f ( x) 的解析式;

1 。 8

?4? (2)设数列 {an } 的 前 n 项 积 为 Tn ,且 Tn ? ? ? ?5?

f (n)

,求数列 {an } 的通项公式;

(3)在(2)的条件下,若 5 f (an ) 是 bn 与 an 的 等 差 中 项 ,试 问 数 列 {bn } 中第几项的

值最小?求出这个最小值。

? 1 ? ?a ? b ? 0 ?a ? 2 ? ? ? 20. 解: (Ⅰ)题知: ? a ? 0 , 解得 ? , ? b2 ?b ? ? 1 1 ? ?? ? 2 ?? ? 4a 8 ? 1 1 故 f ( x) ? x 2 ? x . 2 2

?4? (Ⅱ) Tn ? a1a2 ? an ? ? ? ?5?
?4? Tn?1 ? a1a2 ? an?1 ? ? ? ?5?
T ?4? ? an ? n ? ? ? Tn ?1 ? 5 ?
n ?1

n2 ? n 2

,

( n ?1)2 ?( n ?1) 2

(n ? 2) ,

(n ? 2) ,
n ?1

?4? ? ? (n ? N ) . ?5? (3) 若 5 f (an ) 是 bn 与 an 的等差中项, 则 2 ? 5 f (an ) ? bn ? an , 1 2 1 3 2 9 2 从而 10( an ? an ) ? bn ? an , 得 bn ? 5an ? 6an ? 5(an ? ) ? . 2 2 5 5
又 a1 ? T1 ? 1 满足上式. 所以 an ? ?

?4? ? 因为 an ? ? ? ( n ? N ) 是 n 的减函数, 所以 5? ? 3 ? 当 an ? , 即 n ? 3(n ? N ) 时, bn 随 n 的增大而减小, 此时最小值为 b3 ; 5 3 ? 当 an ? , 即 n ? 4(n ? N ) 时, bn 随 n 的增大而增大, 此时最小值为 b4 . 5 3 3 又 a3 ? ? a4 ? , 所以 b3 ? b4 , 5 5
2 ?? 4 ?2 ? 224 ?4? 即数列 {bn } 中 b3 最小, 且 b3 ? 5 ?? ? ? ? 6 ? ? ? ? . 125 ?5? ?? 5 ? ? ? ? 2

n ?1


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