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高中数学人教版必修2课件:4.2.2+3 圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用


4.2.2 & 4.2.3

圆与圆的位置关系

直线与圆的方程的应用

圆与圆的位置关系

[提出问题]

上图为某次拍到的日环食全过程. 可以用两个圆来表示变化 过程.

问题 1: 根据上图, 结合平面几何, 圆与圆的位置关系有几种?
提示:5 种,即内含、内切、相交、外切、外离.
问题 2:能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系?
提示:可以,利用圆心距与半径的关系可判断.
问题 3: 直线与圆的位置关系可利用几何法与代数法判断, 那么 圆与圆的位置关系能否利用代数法判断?

提示:可以.

[导入新知] 1.圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种,分别为 外离 、 外切 、 相交 、 内切 、 内含 . 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法:若两圆的半径分别为 r1,r2,两圆连心线的长为 d,则两圆的位置关系的判断方法如下:

位置关系 图示

外离

外切

相交

内切

内含

d与r1,r2 d>r +r d=r +r 1 2 ________ 1 2 ________ 的关系

|r1-r2|< d=|r -r | d<|r -r | ________ 1 2 ________ 1 2 ________ d < r + r ________ 1 2

(2)代数法:设两圆的一般方程为
2 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D2 + E 1 1-4F1>0), 2 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D2 2+E2-4F2>0), 2 2 ? x + y +D1x+E1y+F1=0, ? 联立方程组得? 2 2 ? ?x +y +D2x+E2y+F2=0,

则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:

方程组解的个数 两圆的公共点个数

两圆的位置关系

2组 2个 ____ 相交 _____

1组 1个 ____ 内切或外切 __________

0组 0个 ____ 外离或内含 __________

[化解疑难] 几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到两 圆的位置关系,代数法则是把两圆位置关系的判定完全转化 为代数问题,即方程组的解的个数问题,但这种代数判定方 法只能判断出不相交、相交、相切三种位置关系,而不能像 几何判定方法一样,能判定出外离、外切、相交、内切、内 含五种位置关系,因此一般情况下,使用几何法判定两圆的 位置关系问题.

判断两圆的位置关系
[例 1] 当实数 k 为何值时,两圆 C1:x2+y2+4x-6y+12=0,

C2:x2+y2-2x-14y+k=0 相交、相切、相离?

[解 ]

将两圆的一般方程化为标准方程,

C1:(x+2)2+(y-3)2=1,C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k. 圆 C1 的圆心为 C1(-2,3),半径长 r1=1; 圆 C2 的圆心为 C2(1,7),半径长 r2= 50-k(k<50), 从而|C1C2|= ?-2-1?2+?3-7?2=5.

当 1+ 50-k=5,即 k=34 时,两圆外切. 当| 50-k-1|=5,即 50-k=6,即 k=14 时,两圆内切. 当| 50-k-1|<5<1+ 50-k, 即 14<k<34 时,两圆相交. 当 1+ 50-k<5 或| 50-k-1|>5, 即 k<14 或 34<k<50 时,两圆相离.

[类题通法] 1.判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有 以下几个步骤: (1)化成圆的标准方程,写出圆心和半径; (2)计算两圆圆心的距离 d; (3)通过 d 与 r1+r2, |r1-r2|的大小关系来判断两圆的位置关系或求参 数的范围,必要时可借助于图形,数形结合. 2.应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单 清晰的,要理清圆心距与两圆半径的关系.

[活学活用] 1.两圆 C1:x2+y2-2x-3=0,C2:x2+y2-4x+2y+3=0 的位置 关系是 A.相离 C.相交 B.相切 D.内含 ( )

答案:C

2.(湖南高考)若圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+y2-6x-8y+m=0 外切,则 m= A.21 C.9 B.19 D.-11 ( )

答案:C

与两圆相交有关的问题
[例 2] 求经过两圆 x2+y2+6x-4=0 和 x2+y2+6y-28=0

的交点且圆心在直线 x-y-4=0 上的圆的方程.
[解]
2 2 ? ?x +y +6x-4=0, 法一:解方程组 ? 2 2 ? ?x +y +6y-28=0,

得两圆的交点

A(-1,3),B(-6,-2). 设所求圆的圆心为(a,b),因圆心在直线 x-y-4=0 上,故 b =a-4.则有 ?a+1?2+?a-4-3?2= ?a+6?2+?a-4+2?2,
?1 7? 1 解得 a= ,故圆心为?2,-2?, 2 ? ?

半径为

?1 ? ? 7 ? 2 ? +1? +?- -3?2= ?2 ? ? 2 ?

89 . 2

? 1?2 ? 7?2 89 故圆的方程为?x-2? +?y+2? = , 2 ? ? ? ?

即 x2+y2-x+7y-32=0. 法二: ∵圆 x2+y2+6y-28=0 的圆心(0,-3)不在直线 x-y -4=0 上,故可设所求圆的方程为 x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y- 28)=0(λ≠-1),
? 3 3λ ? ? ? 其圆心为?-1+λ,-1+λ?,代入 ? ?

x-y-4=0,求得 λ=-7.

故所求圆的方程为 x2+y2-x+7y-32=0.

[类题通法] 1.圆系方程 一般地过圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 与圆 C2:x2+y2 +D2x+E2y+F2=0 交点的圆的方程可设为 x2+y2+D1x+E1y+ F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1),然后再由其他条件求 出 λ,即可得圆的方程. 2.两圆相交时,公共弦所在的直线方程 若圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 与圆 C2:x2+y2+D2x+ E2y+F2=0 相交,则两圆公共弦所在直线的方程为 (D1-D2)x+ (E1-E2)y+F1-F2=0.

3.公共弦长的求法 (1)代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点间 的距离公式求出弦长. (2)几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半 弦长、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解.

[活学活用] 已知圆 C1:x2+y2+2x-6y+1=0,与圆 C2:x2+y2-4x+2y-11 =0 相交于 A, B 两点, 求 AB 所在的直线方程和公共弦 AB 的长. 解:由圆 C1 的方程减去圆 C2 的方程,整理,得方程 3x-4y+6
=0,又由于方程 3x-4y+6=0 是由两圆相减得到的,即两圆交 点的坐标一定是方程 3x-4y+6=0 的解.因为两点确定一条直 线,所以 3x-4y+6=0 是两圆公共弦 AB 所在的直线方程. ∵圆 C1:x2+y2+2x-6y+1=0,∴圆心为 C1(-1,3),半径 r=3, │-3-12+6│ 9 ∴圆心 C1 到直线 AB 的距离 d= = , 5 25 ∴│AB│=2 r -d =2
2 2

?9? 24 2 ? ? 9- 5 = . 5 ? ?

24 ∴AB 所在的直线方程为 3x-4y+6=0,公共弦 AB 的长为 . 5

直线与圆的方程的实际应用 [例 3] 有一种大型商品,A,B 两地均有出售且价格相同,
某地居民从两地之一购得商品运回来, 每千米的运费 A 地是 B 地 的两倍,若 A,B 两地相距 10 千米,顾客选择 A 地或 B 地购买 这种商品的运费和价格的总费用较低,那么不同地点的居民应如 何选择购买此商品的地点?
[解 ] 以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的垂

直平分线为 y 轴,建立直角坐标系,如图所示, 设 A(-5,0),则 B(5,0). 在坐标平面内任取一点 P(x,y), 设从 A 运货到 P 地的运费为 2a 元/千米,

则从 B 运货到 P 地运费为 a 元/千米. 若 P 地居民选择在 A 地购买此商品, 则 2a ?x+5?2+y2<a ?x-5?2+y2,
? 25?2 2 ?20?2 整理得?x+ 3 ? +y <? 3 ? . ? ? ? ?

即点 P 在圆

? 25?2 2 ?20?2 C:?x+ 3 ? +y =? 3 ? 的内部. ? ? ? ?

也就是说,圆 C 内的居民应在 A 地购物. 同理可推得圆 C 外的居民应在 B 地购物. 圆 C 上的居民可随意选择 A,B 两地之一购物.

[类题通法] 求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤 (1)认真审题,明确题意; (2)建立平面直角坐标系,用坐标表示点,用方程表示曲线, 从而在实际问题中建立直线与曲线的方程; (3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题; (4)把代数结果还原为实际问题的解.

[活学活用] 某公园有 A,B 两个景点,位于一条小路(直道)的同侧,分别距 小路 2 km 和 2 2 km,且 A,B 景点间相距 2 km,今欲在该 小路上设一观景点, 使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍 摄效果,则观景点应设在何处?

解:所选观景点应使对两景点的视角最大.由平面几何知识知, 该点应是过 A,B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点.以 小路所在直线为 x 轴, B 点在 y 轴正半轴上建立平面直角坐标系. 由题意,得 A( 2, 2),B(0,2 2), 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=b2,由 A,B 两点在圆上,得
? ?a=0, ? ? ?b= 2 ? ?a=4 或? ? ?b=5

2, 由实际意义知 a=0,b= 2, 2,

∴圆的方程为 x2+(y- 2)2=2,切点为(0,0), ∴观景点应设在 B 景点在小路的投影处.

坐标法解决平面几何问题
[例 4] 如图所示, 在圆 O 上任取 C 点为圆心, 作圆 C 与圆 O 的直径 AB 相切于 D,圆 C 与圆 O 交于点 E,F,且 EF 与 CD 相交于 H.求证:EF 平分 CD.
[解 ] 证明:以 AB 所在直线为 x 轴,O 为

坐标原点建立平面直角坐标系.如图所示,设 |AB|=2r,D(a,0), 则|CD|= r2-a2,

∴C(a, r2-a2), ∴圆 O:x2+y2=r2, 圆 C:(x-a)2+(y- r2-a2)2=r2-a2. 两方程作差得直线 EF 的方程为 2ax+2 r2-a2y=r2+a2. 1 2 令 x=a,得 y= r -a2, 2
? 1 ? ∴H a,2 ?

r -a

2

2

? ?, ?

即 H 为 CD 中点, ∴EF 平分 CD.

[类题通法] 平面几何问题通常要用坐标法来解决,具体步骤如下: (1)建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题的 几何元素,将实际或平面问题转化为代数问题. (2)通过代数运算,解决代数问题. (3)把代数运算结果“翻译”成实际或几何结论.

[活学活用] 在平行四边形 ABCD 中,用坐标法证明:|AB|2+|BC|2+|CD|2+ |DA|2=|AC|2+|BD|2.
证明:以 CA 所在的直线为 x 轴,线段 CA 的中点 O 为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系. 设 A(a,0),B(b,c),则 C(-a,0),D(-b,-c). |AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2=2(|AB|2+|BC|2) =2[(b-a)2+c2+(-a-b)2+(-c)2]=4a2+4b2+4c2, |BD|2+|AC|2=(-b-b)2+(-c-c)2+(-a-a)2 =4a2+4b2+4c2. |AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2=|AC|2+|BD|2.

11.由两圆相切求圆的方程

[典例] (12 分)求半径为 4,与圆 x2+y2-4x-2y-4=0 相 切,且和直线 y=0 相切的圆的方程.

[解题流程]

故 a=2± 2 6,此时圆的方程为(x-2-2 6)2+(y+4)2=16 或 (x-2+2 6)2+(y+4)2=16.(10 分) 综上,所求圆的方程为(x-2-2 10)2+(y-4)2=16 或(x-2+ 2 10)2+(y-4)2=16 或(x-2-2 6)2+(y+4)2=16 或(x-2+2 6)2 +(y+4)2=16.(12 分)

[活学活用] 求与圆 C:x2+y2-2x=0 外切且与直线 l:x+ 3y=0 相切于点 M(3,- 3)的圆的方程.
解:圆 C 的方程可化为(x-1)2+y2=1, 圆心 C(1,0),半径为 1. 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), ? ?a-1?2+b2=r+1, ? 3? ? ? ?b+ 3×? =-1, - 3? 由题意可知? a-3 ? ? ? ? ?|a+ 3b|=r, 2 ? 所以所求圆的方程为(x-4)2+y2=4. ?a=4, ? 解得?b=0, ?r=2. ?

[随堂即时演练]
1. 圆 x2+y2=50 与圆 x2+y2-12x-6y+40=0 公共弦长为( A. 5 C.2 5
答案:C

)

B. 6 D.2 6

2.已知两圆相交于 A(1,3),B(m,-1),两圆的圆心均在直线 x- y+c=0 上,则 m+2c 的值为 A.-1 C.3 B.1 D.0 ( )

答案:B

3.已知圆 C1:(x-1)2+(y-2)2=4,圆 C2:(x+2)2+(y+2)2=9, 则两圆的位置关系是________.

答案:外切
4. 已知两圆 x2+y2=10 和(x-1)2+(y-3)2=20 相交于 A, B 两点, 则直线 AB 的方程是________.

答案:x+3y=0

5.已知圆 C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆 C2:x2+ y2+2x=0. (1)m=1 时,圆 C1 与圆 C2 有什么位置关系? (2)是否存在 m,使得圆 C1 与圆 C2 内含?

答案:(1)相交.

(2)不存在.

课时跟踪检测见课时达标检测(二十七)


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