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江苏省安宜高级中学08-09学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷


安宜高级中学 08- 学年度第二学期 安宜高级中学 08-09 学年度第二学期 高一年级期中考试数学试卷 高一年级期中考试数学试卷 期中考试数学
2009.4
说明:1.以下题目的答案请全部填写在答卷纸上; 说明:1.以下题目的答案请全部填写在答卷纸上; 以下题目的答案请全部填写在答卷纸上 分钟. 2.本卷总分 160 分,考试时间 120 分钟. 一,填空题: (每题 5 分,共计:70 分)
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命题:刘兆云 审核:张玉明
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1, 不等式 ( x + 1)(3 x ) ≥ 0 的解集是



2, 已知数列的前 5 项分别为1, 3,5, 7,,写出数列的通项公式___ ▲ 9 3, 一艘船以 4 km/h 的速度沿着与水流方向成 1200 的方向航行,已知河水流速为 2km/h, 则经过 3 h,该船实际航程为 ▲

4, 已知正数 x,y 满足 x + y = 1 ,则

1 1 + 的最小值是 x y



x + y ≤ 1 ,则 z = 3 x + y 的最大值 5, 设 x, y 满足约束条件 y ≤ x y ≥ 2
a1 + a3 + a5 + a7 等于 a2 + a4 + a6 + a8



6, 在 ABC 中,若 b = 2a sin B ,则这个三角形中角 A 的值是 7, 已知等比数列 {an } 的公比 q = ,则

▲ ▲

1 3

8, 不等式 ( m 1) x 2 + 2( m 1) x + m > 0 对任意实数 x 都成立,则 m 的取值范围是 ▲ 9, 在等差数列 {a n } 中, a 3 + a5 + a 7 + a 9 + a11 = 100 ,则 3a 9 a13 =
2



10, 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n = 2n 3n ,由 a1 , a3 , a5 , a 7 ,…, a 2 n 1 组成一 组新数列 {c n } ,其通项公式为 ▲
2

11, 数列 {an } 是等比数列, a1 , a5 是方程 x 5 x + 4 = 0 的根,则 a3 = 12, 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn , an = 2 +
n
2



1 ,则 S n = n +n
2

▲ ▲

13, 若对于一切正实数 x 不等式 x ax + 4 > 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是

14, 设数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn (n ∈ N ) ,关于数列 {a n } 有下列四个命题:
*

①若 a n = a n +1 ( n ∈ N ) ,则 {a n } 既是等差数列又是等比数列;
*

②若 S n = an + bn
2 n

(a, b ∈ R ) ,则 {a n } 是等差数列;

③若 S n = 1 ( 1) ,则 {a n } 是等比数列; ④若 {a n } 是等比数列,则 S m , S 2 m S m , S3m S 2 m ( m ∈ N ) 一定成等比数列;
*

其中正确的命题是 二,简答题:



(填上正确的序号) .

15,在△ABC 中,a, b, c 分别为角 A, , 的对边,a c = b bc ,a = 2 3 , △ABC B C
2 2 2

的面积为 2 3 . (1)求角 A 的余弦值; (2)求边 b,c

16,设 {an } 是等比数列,已知 a1 = 1 ,且 4a2 , 2a3 , a4 成等差数列, (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 Tn = na1 + ( n 1) a2 + + 2an 1 + an ,求 Tn

17,(1) 已知不等式 x + bx + c > 0 的解集是 {x | x < 1或x > 2} ,求 b,c 的值;
2

(2)若 x < 1 ,则 x 为何值时 y =

x2 + x +1 有最大值,最大值为多少? x +1

18,某玩具厂生产 x 套 2008 年奥运会吉祥物"福娃"所需成本费用为 P 元,且

P = 1000 + 5 x +

1 2 x 10

,而每套售出的价格为 Q 元,其中 Q=a+

x b

(a , b ∈ R) ,

(1)问:该玩具厂生产多少套"福娃"时,使得每套"福娃"所需成本费用最少? (2)若生产出的"福娃"能全部售出,且当产量为 150 套时利润最大,此时每套价格为 30 元,求 a , b 的值. (利润 = 销售收入 — 成本)

19, 在数列 {an } 中, a1 = 1 , a2 = 2 ,且 an +1 = (1 + q ) an qan 1 ( n ≥ 2, q ≠ 0 ) . (Ⅰ)当 q = 2 时,设 bn = an +1 an ( n ∈ N ) ,证明 {bn } 是等比数列;
*

(Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)若 a3 是 a6 与 a9 的等差中项,求 q 的值.

2 20,已知二次函数 f ( x ) = ax + bx 满足条件:

① f (0) = f (1) ;② f ( x ) 的最小值为 (1)求函数 f ( x ) 的解析式;

1 . 8

4 (2)设数列 {an } 的 前 n 项 积 为 Tn ,且 Tn = 5

f (n)

,求数列 {an } 的通项公式;

(3)在(2)的条件下,若 5 f ( an ) 是 bn 与 an 的 等 差 中 项 ,试 问 数 列 {bn } 中第几项的 值最小?求出这个最小值.

参考答案
一,填空题: 1, {x | 1 ≤ x ≤ 3} ;2, ( 1)
n +1

(2n 1) ;3,6km;4, 4 ;5, 7 ;6, 30 或 150 ;
n +1

7, 3 ;8, m ≥ 1 ;9,40;10, cn = 8n 9 ;11,2;12, an = 2 13, a < 4 ;14,②③; 二,简答题: 15, (1) A = 60° (2)

1

1 ; n +1

b = 2 b = 4 或 c = 4 c = 2
n 1

16, (1) an = 2 (2) Tn = 2 17, (1)
n +1

2n

b = 1 c = 2

(2)当 x = 2 时,取最大值 ymax = 3 18, (1)每套"福娃"所需成本费用为
p = x 1000 + 5 x + 1 2 x 10

x 1 1000 = x+ +5 10 x

≥ 2 100 + 5 = 25



1000 1 x= , 即 x=100 时,每套"福娃"所需成本费用最少为 25 元. 10 x

(2)利润为

Qx P x x2 1 1 = x a + 1000 + 5 x + =( ) x 2 + ( a 5) x 1000 b 10 b 10

5a 1 1 = 150 2( ) b 10 由题意, 150 = 30 a + b



解得

a= 25,

b= 30.

19, (Ⅰ)证明:当 q = 2 时,由题设 an +1 = (1 + q ) an qan 1 = 3an 2an 1 ( n ≥ 2 ) ,得

an +1 an = 2(an an 1 ) ,即 bn = 2bn 1 , n ≥ 2 .
又 b1 = a2 a1 = 1 ,所以 {bn } 是首项为 1,公比为 2 的等比数列.…………4 分 (Ⅱ)解:由题设 an +1 = (1 + q ) an qan 1 ( n ≥ 2 ) ,得 an +1 an = q ( an an 1 ) , …………6 分 即 a2 a1 = 1 , a3 a2 = q ,…… an an 1 = q , n ≥ 2 ) ( .
2

将以上各式相加,得 an a1 = 1 + q + + q

n2

(n ≥ 2) .因为 q ≠ 0 ,

1 q n 1 , 1 + 故当 n ≥ 2 时, an = 1 q n,

q ≠ 1, q = 1.

此式对 n = 1 显然成立.

1 q n 1 , 1 + 所以数列 {an } 的通项公式是 an = 1 q n,

q ≠ 1, q = 1.

…………8 分

(Ⅲ)解:由(Ⅱ) ,当 q = 1 时,显然 a3 不是 a6 与 a9 的等差中项,故 q ≠ 1 . …………9 分 由 a3 a6 = a9 a3 可得 q 5 q 2 = q 2 q 8 ,由 q ≠ 0 得 q 3 1 = 1 q 6 , 整理得 ( q 3 ) 2 + q 3 2 = 0 ,解得 q 3 = 2 或 q 3 = 1 (舍去) .所以: q = 3 2 .

1 a + b = 0 a= 2 20,解: (Ⅰ)题知: a > 0 , 解得 , 1 b2 b = 1 2 = 4a 8 1 2 1 故 f ( x) = x x . 2 2

4 (Ⅱ) Tn = a1a2 an = 5
4 Tn 1 = a1a2 an 1 = 5

n2 n 2

,

( n 1) 2 ( n 1) 2

(n ≥ 2) ,

T 4 ∴ an = n = Tn 1 5

n 1

(n ≥ 2) ,
n 1

4 又 a1 = T1 = 1 满足上式. 所以 an = ( n ∈ N ) . 5 (3) 若 5 f ( an ) 是 bn 与 an 的等差中项, 则 2 × 5 f ( an ) = bn + an , 1 2 1 3 2 9 2 从而 10( an an ) = bn + an , 得 bn = 5an 6an = 5(an ) . 2 2 5 5 4 因为 an = ( n ∈ N ) 是 n 的减函数, 所以 5 3 当 an ≥ , 即 n ≤ 3( n ∈ N ) 时, bn 随 n 的增大而减小, 此时最小值为 b3 ; 5 3 当 an < , 即 n ≥ 4( n ∈ N ) 时, bn 随 n 的增大而增大, 此时最小值为 b4 . 5 3 3 又 a3 < a4 , 所以 b3 < b4 , 5 5
2 4 2 224 4 即数列 {bn } 中 b3 最小, 且 b3 = 5 6 = . 125 5 5 2
n 1

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