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利用函数图像的对称性解题


利用函数图像的对称性解题
【摘要】函数是数学的重要基础,函数性质的考察和应用重点和热点, 而函数图像是函数性质的一种直观表现。函数图像的对称性,充分体 现了数学的对称美,具有很好的数学价值。 【关键词】函数;图像;对称性;辅助函数;

二次函数是初中数学的重点内容之一,在初中代数中占有重要 位置。其图象是一种直观形象的交流语言,含有大量的信息,为考查

同学们的数形结合思想和应用图象信息的能力, 二次函数图象信息题 成了近年来各地中考的热点。 所以学会从图象找出解题的突破点成了 关键问题,那就要熟练掌握二次函数的基本知识。比如:二次函数的 解析式,二次函数的顶点坐标对称轴方程,各字母的意义以及一些公 式,对于这些知识,同学们掌握并不是很困难,但对二次函数图象的 对称性, 掌握起来并不是很容易, 而且对于有关二次函数的一些题目, 如果用别的方法会很费力,但用二次函数图象的对称性来解答,也许 会有事倍功半的效果。现将这两个典型例题,供同学们鉴赏: 例 1、已知二次函数的对称轴为 x=1,且图象过点(2,8)和(4, 0),求二次函数的解析式。 分析:此题中我们可以按照常规的解法,用二次函数的一般式来 解,但运算量会很大,因为我们将会解一个三元一次方程组。 另外,我们还可以利用二次函数的对称性来解决此题。本道题目 的特点是给了抛物线的对称轴方程及一个 x 轴上的点坐标。 因此我们
1 .

可以依据二次函数的对称性, 求出抛物线所过的 x 轴上的另一个点的 坐标为(-2,0),这样的话我们就可以选择用二次函数的交点式来 求解析式。设二次函数的解析式为 y=a(x+2)(x-4),然后将(2,8) 代入即可求出 a 值,此题得解。 本题利用二次函数的对称性解题减少了大量的运算,既可以准确 解题又节省了时间,不失为一种好的方法。 例 2、若二次函数 y=ax2+b(ab≠0),当 x 取 x1、x2(x1≠x2)时, 函数值相等,则当 x 取 x1+x2 时,函数值是____________ 分析:此题我们可以采用常见的将 x1、x2 代入解析式,由于 y 值相等,则可求出 x1+x2 的值为 0,将 x=0 代入解析式可得函数值为 b。 我们也可以用二次函数的对称性来解题。 由于二次函数的对称性, 当函数值相等时,则两点为对称点,且本题中的二次函数 y=ax2+b(ab≠0)的对称轴为 y 轴 (x=0) , 所以, 我们也可以得到 x1+x2 的值为 0,将 x=0 代入解析式可得函数值为 b。 相比较我们可以知道,利用二次函数的对称性解决本题,减少了 运算量,但对于知识点的理解和掌握的要求大大增加了。要求学生对 二次函数的对称性的把握要进一步理解、深化。 我们还可以将上题中的解析式变为一般式 y=ax2+bx+c,其他条件 不变,结果为 c。 下面仅以 a>0 时为例进行解答。当 a<0 时也是成立的。 由二次函数的对称性可知,x1+x2 在第一个图中为点 D 的横坐标,
2 .

在第二个图中为点 F 的横坐标, 而求当 x=x1+x2 时的 y 值也就是求此 两点的纵坐标,再由对称性可知,在第一个图中点 D 的纵坐标与点 C 的纵坐标相同,在第二个图中点 F 的纵坐标与点 D 的纵坐标相同,均 为二次函数与 y 轴交点的纵坐标。 所以,对于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0),当 x 取 x1、x2 时,y b 值相等(x1≠x2),则当 x 取- 时,y 值为顶点纵坐标的值,即 2a y=4ac-b2/4a,当 x 取 x1+x2 时,y 值为二次函数与 y 轴交点的纵坐 标,即 y=c。 函数的自对称问题 函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称 ? f(a+x)=f(a-x); 特别,函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称 ? f(x)=f(-x). 函数 y=f(x)的图象关于点(a,b)对称 ? f(a+x)+f(a-x)=2b; 特别,函数 y=f(x)的图象关于原点对称 ? f(-x)=-f(x). 主要题型: 1.求对称轴(中心):除了三角函数 y=sinx,y=cosx 的对称轴(中 心)可以由下列结论直接写出来(对称轴为函数取得最值时的 x=
k? ?

?
2

, x ? k? (k ? Z )

, 对 称 中 心 为 函 数 与 x 轴 的 交 点

?? ?k? ,0?, ? ? k? ? ??k ? Z ?
? 2?

)外,其它函数的对称轴(中心)就必须求解,求解

有两种方法,一是利用对称的定义求解;二是利用图象变换求解.
3 例 1 确定函数 f ( x) ? ?x ? 1? ? x 的图象的对称中心.

3 .

3 解析 1 设函数 f ( x) ? ?x ? 1? ? x 的图象的对称中心为(h,k),在图

象上任意取一点 P(x,y),它关于(h,k)的对称点为 Q(2h-x, 2k-y),Q 点也在图象上,即有
2k ? y ? ?2h ? x ? 1? ? 2h ? x ,由于 y ? ?x ? 1? ? x ,两式相加得
3 3

2k ? ?2h ? x ? 1? ? ?x ? 1? ? 2h ,化简得
3 3

3?h ? 1?x 2 ? 6h?h ? 1?x ? ?h ? 1? 4h 2 ? 2h ? 1 ? k ? h ? 0 (*).

?

?

由于 P 点的任意性,即(*)式对任意 x 都成立,从而必有 x 的系 数和常数项都为 0,即 h=1,k=1.
3 所以函数 f ( x) ? ?x ? 1? ? x 的图象的对称中心为(1,1).
3 解析 2 设函数 g ?x? ? x ? x , 则 g(x)为奇函数, 其对称中心为原点,

3 由于 f ( x) ? ?x ? 1? ? ( x ? 1) ? 1 ? g ( x ? 1) ? 1 ,说明函数 f(x) 的图象是由

g(x)的图象分别向右、向上平移 1 个单位得到,而原点向右、向上分 别平移 1 个单位得到点(1,1).
3 所以函数 f ( x) ? ?x ? 1? ? x 的图象的对称中心为(1,1).

例 2 曲线 f(x)=ax3+bx2+cx,当 x=1- 3 时,f(x)有极小值;当
3 x=1+ 3 时,f(x)有极大值,且在 x=1 处切线的斜率为 2 .

(1)求 f(x); (2)曲线上是否存在一点 P,使得 y=f(x)的图象关于点 P 中心对 称?若存在, 求出点 P 的坐标, 并给出证明; 若不存在, 请说明理由.
' 解 析 (1) f ?x ? =3ax2+2bx+c , 由 题 意 知 1- 3 与 1+ 3 是

f ' ?x ? =3ax2+2bx+c=0 的根,代入解得 b=-3a,c=-6a.

4 .

3 3 3 f ' ?1? ? 2 ,即 3a+2b+c= 2 , 又 f(x)在 x=1 处切线的斜率为 2 ,所以

解得
1 1 1 1 a ? ? ,b ? ,c ? 1 ? ? x3 ? x2 ? x 6 2 2 .所以 f(x) 6 .

(2)假设存在 P(x0,y0),使得 f(x)的图象关于点 P 中心对称,则 f(x0+x)+f(x0-x)=2y0,
1 1 1 1 ? ( x0 ? x) 3 ? ( x0 ? x) 2 ? x0 ? x ? ( x0 ? x) 3 ? ( x0 ? x) 2 ? x0 ? x ? 2 y 0 2 6 2 即 6 ,

化简得 所以

?1 ? x0 ?x 2 ? x02 ? 2 x0 ? 1 x03 ? 2 y 0
3

.由于是对任意实数 x 都成立,

1 ? x0 ? 0 ? ? x0 ? 1 ? ? ? 4? ?2 y ? x 2 ? 2 x ? 1 x 3 ? ? y ? 4 ?1, ? 0 0 0 0 0 ? ? 3 3 ,而 P ? 3 ? 在曲线 y=f(x)上. ? ?

? 4? ?1, ? 所以曲线上存在点 P ? 3 ? , 使得 y=f(x)的图象关于点 P 中心对称.

2.证明对称性:证明对称性有三种方法,一是利用定义,二是利 用图象变换,三是利用前面的结论(函数 y=f(x)的图象关于点(a,b) 对称 ? f(a+x)+f(a-x)=2b)来解决. 例 3 求证函数 证明 1 在函数
y ? log 2 8x 2 ? x 的图象关于点 P(1,3)成中心对称. 8x 2 ? x 的图象上任意取一点 A(x,y),它关

y ? log 2

于点 P(1,3)的对称点为 B(2-x,6-y),因为
log2 8(2 ? x) 8(2 ? x) 2? x x 8x ? log 2 ? 3 ? log 2 ? 3 ? log 2 ? 6 ? log 2 2 ? (2 ? x) x x 2? x 2? x
5 .

? 6 ? y,
y ? log 2 8x 8x y ? log 2 2 ? x 的图象上, 2 ? x 的图象 故函数

所以点 B 在函数

关于点 P(1,3)对称. 证明 2 因为 由于
y ? log 2

y ? log2

8x x 1 ? ?x ? 1? ? 3 ? log2 ? 3 ? log2 2? x 2? x 1 ? ?x ? 1? .

1? x 1? x y ? log 2 1 ? x 是奇函数, 1 ? x 的图象关于原点对称, 所以

将它的图象分别向右平移 1 个单位,向上平移 3 个单位,就得到函数
y ? log 2 8x 8x y ? log 2 2 ? x 的图象,所以 2 ? x 的图象关于点 P(1,3)对称.

证明3

f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? log2

? 64?1 ? x ??1 ? x ?? 8?1 ? x ? 8?1 ? x ? ? log2 ? log2 ? ? 2 ? ?1 ? x ? 2 ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ??1 ? x ? ?

? log2 64 ? 6 ? 2 ? 3

所以

y ? log 2

8x 2 ? x 的图象关于点 P(1,3)对称.

已知函数的对称性求函数的值或参数的值: 由函数的对称性求值,关键是将对称问题转化为等式问题,然后 对变量进行赋值求解.例 4 已知定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于点
? 3 ? ? ? ,0 ? ? 4 ?

对 称 , 且 满 足

3 f ( x) ? ? f ( x ? ), f (?1) ? 1, f (0) ? ?2, 2



f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2005)的值为(). A.-2B.-1C.0D.1
? 3 ? 3 ? ? ,0 ? f (x ? ) 4 是奇函 解析由 f(x)的图象关于点 ? 4 ? 对称, 则说明函数
3 3 3 f (? x ? ) ? ? f ( x ? ) f ( x) ? ? f (? x ? ) 4 4 , 即 2 , 又 数,也就是有
6 .

3 3 3 f ( x) ? ? f ( x ? ) f (? x ? ) ? f ( x ? ) 2 ,所以 2 2 ,即 f (? x) ? f ( x) ,函数 f(x)

是偶函数. 所 以 f (?1) ? f (1) ? 1 , 又
f ( x ? 3) ? f ( x ? 3 3 3 ? ) ? ? f ( x ? ) ? f ( x) 2 2 2 ,即

f(x)以 3 为周期,f(2)=f(-1)=1,f(3)=f(0)=-2, 所 以 f(1)+f(2)+f(3)+ … +f(2005)=668 ( f(1)+f(2)+f(3) ) +f(2005)=f(2005)=f(1)=1,选 D.
? 4? a 3 a 2 ?1, ? x ? x ?x 6 2 例 5 已知函数 f(x)= 的图象关于点 ? 3 ? 中心对称,
?

求 f(x).
? 4? ?1, ? 解析 1 设 f(x)图象上任意一点 A(x,y),它关于点 ? 3 ? 的对称 8 ? ? ? 2 ? x, ? y ? 3 ? , 由 于 B ?

点 为

A 、 B 都 在 f(x) 上 , 所 以

a a ? y ? ? x3 ? x2 ? x ? 6 2 ?8 a a 8 2 3 ? ? y ? ? ?2 ? x ? ? ?2 ? x ?2 ? 2 ? x ? a?2 6 2 ?3 ,相加整理得 3 3 ,解得 a=1.
1 3 1 2 x ? x ?x 2 所以 f(x)= 6 . ?

5 结论 其图象是一种直观形象的交流语言,含有大量的信息,为考查同 学们的数形结合思想和应用图象信息的能力, 二次函数图象信息题成 了近年来各地中考的热点。 所以学会从图象找出解题的突破点成了关 键问题,那就要熟练掌握二次函数的基本知识。 参考文献
7 .

[1]仇志刚.运用空间图形的对称性解题举隅[J].中国西部科技.2008(35) [2] 刘 书 安 . 对 称 思 想 在 中 学 物 理 中 的 应 用 [J]. 新 课 程 ( 教 育 学 术 版).2008(12) [3]陈建勋.函数图像的对称性探究[J].考试(教研版).2008(11) [4]武燕,张丽,李靖.第二类曲线和曲面积分的对称性[J].中国教育技术 装备.2008(18)

8 .


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