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北京市高一数学竞赛(解析版)


2008 年北京市中学生数学竞赛 高一年级初赛试题
2008 年 4 月 13 日 8︰30~10︰30 亲爱的中学生朋友: 欢迎你参加本次竞赛活动﹗ 中国的未来需要众多的人才, 人才的培养需要从青少年时代奠基, 打好数学基础有助于从事各行业的发展。 北京数学会组织中学生数学 竞赛等数学科普活动旨在自愿的前提下丰富数学爱好者的课余生活, 激发学习兴趣, 普及科学精神,

提高能力水平。 祝你插上数学的翅膀, 在科学探索的空间展翅翱翔。

注意事项
1.本次考试共有 14 个小题﹙6 个选择,8 个填空题﹚,把答案填写在 下面标有题号的空格内。 2.不允许使用计算器。 3.监考员宣布考试结束时,请你私下本页,填好所要求填写的项目, 交给监考员。

以下由考生填写
姓名__________________性别______考号_____________ 校名______________________________年级___________

以下由评分者填写
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本次考试该生所得分数是__________

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2008 年北京市中学生数学竞赛 高一年级初赛试题
一 、选择题﹙满分 36 分,每小题只有一个正确答案,请将正
确答案的英文字母代号填入第一页指定地方,答对得 6 分,答错或不 答均记 0 分﹚ 1.设函数 f ? x ? 对 x ? 0 的一切实数均有 f ? x ? ? 2 f ? ? 于 ﹙A﹚2006. ﹙B﹚2008. ﹙C﹚2010. ﹙D﹚2012.
2008 ? ? ? 3x ,则 f ? 2 ? 等 ? x ?

2. cos310 ,tan 460 ,sin810 ,sin1130 的大小关系是 ﹙A﹚ cos310 ? tan 460 ? sin810 ? sin1130 . ﹙B﹚ sin810 ? cos310 ? sin1130 ? tan 460 . ﹙C﹚ cos310 ? sin1130 ? sin810 ? tan 460 . ﹙D﹚ tan 460 ? sin810 ? cos310 ? sin1130 . 3.已知 abc ? 0 , 则在下列四个选项中, 表示 y ? ax2 ? bx ? c 的图像只可 能是
y y y y

0

x

0

x

0

x

0

x

﹙A﹚

﹙B﹚

﹙C﹚

﹙D﹚

4.对非 0 实数 a ,存在实数? 使得 cos? ? 值是
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a2 ?1 ?? 成立,则 cos ? ?? ? ? 的 2a 6? ?

﹙A﹚

3. 2

﹙B﹚ .

1 2

﹙C﹚ ?

3. 2

﹙D ﹚ ? .

1 2

5.已知 ? , ? 分别满足? ?1g? ?1004, ? ?10? ? 1004 ,则 ? ? ? 等于 ﹙A﹚ 2 1004 . ﹙B﹚1004 . ﹙C﹚ 2 2008 . ﹙D﹚ 2008 .

6. cos0 ? cos ﹙A﹚ 4 .

? ? cos 2? ? cos 3? ? cos 4? ? cos 5? ? cos 6? 等于
7 7 7 7 7 7
﹙C﹚ 2 . ﹙D﹚1 .

﹙B﹚ 3 .

二 、填空题﹙满分 64 分,每小题 8 分,请将答案填入第一页指定地 方﹚ 1.求1og2
1 1 1 ?1og3 ?1og5 的值. 125 32 3

?? 2.如果 sin ? ? cos? ? 2 ,试确定 tan ? ? ? ? ? 的值. 3? ?
3.在右图的圆中,弦 AB, CD 垂直相交于 E ,若线段 AE, EB 和 ED 的 长分别是 2 厘米, 6 厘米和 3 厘米,试求这个圆的面积. 4.以 ? x? 表示不超过 x 的最大整数,试确定
? ?sin1? ??? ?sin2? ??? ?sin3? ??? ?sin4? ??? ?sin5? ? 的值.

5.已知直角三角形 ABC 斜边 AB 的长等于 29 , 计算 AB ? AC ? BC ? BA ? CA? CB . 6.已知集合 A ? x x2 ? 6x ? 8 ? 0 , B ? x x2 ? ax ? 7 ? 0 .若 A B ? ? , 确定实数 a 的取值范围. 7.分别以锐角三角形 ABC 的边 AB, BC, CA 为直径画圆, 如图所
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?

?

?

?

示. 已知在三角形外的阴影曲边三角形面积为 w 平方厘米,在 三角形内的阴影曲边三角形面积为 u 平方厘米,试确定三 角形 ABC 的面积.

8.已知正整数 n 与 k 使得 5n ? 2500 ? k 2 成立.试确定不小于 整数的值.

lg k 的最小 lg n

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参考答案
1. A 【解析】 ?
? f (2) ? 2 f (1004) ? 3 ? 2 ? f (2) ? 2006 ? f (1004) ? 2 f (2) ? 3 ?1004

2. C 【解析】注意到: cos 31? ? sin 59? , sin113? ? sin 67?
sin 59? ? sin 67? ? sin 81? ? 1 ? tan 46?

3. B 【解析】 A 对称轴 纵截距 a、b 同号 c正 B a、b 同号 c负 C a、b 同号 c正 D a、b 异号 C负

4. A 【解析】注意到: cos? ?

a2 ? 1 1 1 1 ? (| a | ? ) ? | a | ? ? 1 ? cos ? 2| a| 2 |a| |a|

我们有: cos ? ? 1 , sin ? ? 0
?? ? ? 3 此时有: cos ? ?? ? ? ? cos ? cos ? sin ? sin ?
? 6? 6 6 2

5. B 【解析】令函数 f ( x) ? x lg x ,则 f ( x) 是 (0, ??) 上的增函数,注意 到:
f (10? ) ? 10? ? lg10? ? ? ?10? ? 1004 ? f (? ) ,有 ? ? 10?

此时有 ? ? ? ? 10? ? ? ? f (10? ) ? 1004 6. D 【
c 1 ? ?o 7 s


6 ?? 7


c


2 ?o ? 7


s 5 ?? 7


c


3 o ?? 7


s 4 ?? 7 c

因此有:原式=1 1. log2
1 1 1 (?3) ? lg 5 ? ?5? ? lg 2 ? ?1? ? lg 3 ? log3 ? log5 ? ? ? ? ?15 125 32 3 lg 2 lg 3 lg 5

?? ?? ? ? 2. sin ? ? cos ? ? 2 sin ? ? ? ? ? ? 2 ? sin ? ? ? ? ? 1 ? ? ? 2k? ? (k ? Z )
? 4? ? 4? 4

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?? ? ?? ? ? ? ? ? ? 1? 3 tan ? ? ? ? ? tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? ? ? ? ?2 ? 3 3? 4 3? ? ? ? 4 3 ? 1? 3

3. tan ?ADE ?

BE 6 AE 2 ? ?2 ? , tan ?BDE ? DE 3 DE 3 2 2? 3 ? ?8 ? sin ?ADB ? 8 tan ?ADB ? 2 65 1? 2? 3

2R ?

AB 8 65? ? ? 65 ? S ? ? R 2 ? 8 sin ?ADB 4 65

4. sin1 、 sin 2 、 sin 3 ? (0,1) , sin 4 、 sin 5 ? (?1,0)
? ?sin1? ??? ?sin2? ??? ?sin3? ??? ?sin4? ??? ?sin5? ? ? ?2

5.

AB ? AC ? BC ? BA ? CA? CB ? AB ? AC ? BC ? BA ? AB ? AB ?| AB |? 29

6. A ? {x | 2 ? x ? 4} ,记 f ( x) ? x2 ? ax ? 7 ,欲使 A B ? ? 需且只需:
?? ? 0 ? f (2) ? 0 ? 23 ? f (2) f (4) ? 0 或 ? f (4) ? 0 ,整理有 2 7 ? a ? 4 ? a ?2 ? ? 4 ? ? 2

7.

如图所示,设红色区域面积为 x,白色区域面积为 y,三个半圆的 面积之和为 S,则:
?S ? w ? y 1 ? x ? u ? (w ? u) ? 2 ?S ? y ? 2 x ? 3u

8. 当 n = 1 、 2 、 3 、 4 时 , k 非 正 整 数 , 当 n ? 5 时 , 有
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5n ? 2500 ? 54 ? ? 5n ? 4 ? 4 ? ? k 2






n?

54 | k 2 ? 52 | k
4





k ?2

5 ? t

有 (t , N )

5n?4 ? ? t4 ?2

? t5 ?

在 ? (、 ? ?2N , ? t?( , 2 存) ) ? ?? ,使得
?

5? ? t ? 2? t ? 2 ? ?5? ? 4

? 5

?

5

若 ? ? 0 ,则: 5 | 5? ? 5? ,矛盾 有 ? ? 0 ,则: ? ? 1 ? t ? 3 ? k ? 225, n ? 5 ? 注意到 3 ?
lg k lg 225 ? lg n lg 5

? lg 225 ? lg125 lg 225 lg 625 ? ? ? 4,? ??4 lg 5 lg 5 lg 5 ? lg 5 ?

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