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5.5积分表


第五节 积分表的使用

第五章 五

积分计算比导数计算灵活复杂, 为提高求积分 的效率, 已把常用积分公式汇集成表, 以备查用. 如 P347附录Ⅲ . 积分表的结构: 按被积函数类型排列 积分表的使用: 1) 注意公式的条件 2) 注意简单变形的技巧 注: 很多不定积分也可通过 Mathematica , Maple 等数学软件的符号演算功能求得 .
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dx . 例1. 求 ∫ 5 ? 4cos x
解: 这里a = 5, b = ?4, 应使用 .

dx ∫ 5 ? 4cos x 2 5+ ? 4 ( ) ( ) x? ? 5+ ? 4 = ? arctan? tan ? + C 5+ ? 4 5? ? 4 ( ) ( ) ( ) 2? ? 5? ? 4
2 ?3tan x ? + C = arctan? ? 3 2? ?

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例2. 求 解法1 解法 令 u = 2x, 则 1d u du 2 原式 = ∫ u =∫ u2 + 32 u u2 + 32 2
(P349 公式 37)

1 u2 + 32 ? 3 1 4x2 + 9 ?3 = ln + C = ln +C 3 u 3 2x

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例2. 求 解法2 令 u = 4x2 + 9, 则 u2 = 4x2 + 9, u du = 4x d x 解法

du 4 x dx =∫ 2 2 原式 = ∫ 2 2 4 x 4x + 9 u ? 3
1 4x2 + 9 ? 3 1 u ?3 +C = ln + C = ln 2 6 6 u +3 4x + 9 + 3
1 4x + 9 ?3 1 ( 4x + 9 ?3) +C = ln + C = ln 2 3 2x 6 2x
2 2

2

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例3. 求 解: 令 x +1 = 2tant , 则 dx = 2sec2 t dt 原式 = ∫

2tant + 3
(4tan t + 3) 2sect
2

? 2sec t dt
2

2sin t + 3cost =∫ dt 2 2 (x4sin + 3 3cos +1)2 + 4 +1)2 t + (x t sin t dt cos t dt = 2∫ + 3∫ 2 2 4sin t + 3cos t 4sin2 t + 3cos2 t dcos t dsin t = ?2∫ + 3∫ 2 2 4 ? cos t sin t + 3
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d cos t dsin t = ?2 ∫ +3 ∫ 2 2 4 ? cos t sin t + 3
1 2 ? cost ? sint ? + C = ln + 3arctan? ? 2 2 + cost ? 3?

x2 + 2x + 5

x +1

t 2 x +1= 2tant

? ? 1 x2 + 2x + 5 ?1 x +1 ? +C = ln + 3arctan? ? 3(x2 + 2x + 5) ? 2 x2 + 2x + 5 +1 ? ?

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