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山东省莱西市2016届高三上学期期中教学质量检测(一)数学文试题


莱西市 2016 届高三上学期期中教学质量检测(一)

文科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。
注意事项: 1、答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、 考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上。 2、第Ⅰ卷每小题选出答案后,用

2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答案不能答在试题卷上。 3、第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的 答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带。 4、保持卡面清洁,严禁折叠,严禁在答题卡上做任何标记。

第Ⅰ卷 (选择题,共 50 分)?
一、选择题:(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.集合 A ? {x x ? 1, x ? R} , B ? {?1, 0,1} ,则下列结论正确的是 A. 1 ? (?R A) C. ?R B ? {x ? R x ? 1, 且x ? 0} 2. 以下说法错误 的是 .. A.命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0? 则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1,
2

B. A ? B ? {1} D. (?R A) ? B ? {?1}

则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”
2

B.归纳推理和类比推理统称为合情推理
2 2 C.若命题 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0? 则 ?p ? ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0

D.不等式 ? x ? x ? 0 的解集为 [0,1]
2

3. tan

15? ? 2

B. ?1 C. 1 D. 3 ? ? ? ? 4. 已知 a ? (2, ?1), b ? ( ?, ?3), 若 a / / b ,则实数 ? 的值为 A. 不存在

A. ?

3 2

B.

3 2

C. ?6
? 1

D. 6

5. 已知 x ? ln ? , y ? log 1 ? , z ? 3 2 ,则
2

A. y ? z ? x

B. z ? x ? y

C. z ? y ? x

D. x ? y ? z

? x ? 2 y ? 10 ? 2 x ? y ? 12 ? 6.已知 x, y 满足条件 ? ,则 z ? 3x ? 4 y 的最小值为 ? x?0 ? ? y?0
A. 30 B. 48 C.

74 3

D.

80 3

7. 下列同时满足条件“①是奇函数;②在 [0,1] 上是增函数;③在 [0,1] 上最小值为 0 ”的 函数是 A. y ? x3 ? 3x B. y ?

1 ? 2x 1 ? 2x

C. y ? sin x ? 2 x

D. y ?

3

x2 ?1

8.函数 f ( x) ? x3 ? 4x ? 5 的图象在 x ? 1 处的切线在 x 轴上的截距为 A. 10 B. 5 C. ?

3 7

D. ?1

9 .已知函数 y ? f ( x) 的导函数 f ?( x) ? a( x ? 1)(x ? a ),若 y ? f ( x) 在 x ? a 处取得极大 值,则实数 a 的取值范围是 A. (??, ?1) B. (?1, 0) C. (0,1) D. (0, ??)

10.若函数 f ( x ) ? ? A. {?3,

? x ? 1, x ? 0 ,则函数 y ? f ( f ( x)) ? 1 的所有零点构成的集合为 ?log 2 x, x ? 0

1 1 1 1 1 1 1 1 , , 2} B. {3, ? , , 2} C. {?3, ? , , ? 2} D. {?3, ? , , 2} 2 4 2 4 2 4 2 4

第Ⅱ卷 (非选择题,共 100 分)?
二、填空题:(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.设函数 f ( x) ? ?

?

21? x , x ? 1 ,则满足 f ( x) ? 2 的 x 的集合是 ?1 ? log 2 x, x ? 1



12.假设关于某设备的使用年限 x (年)和所支出的维修费 y (万元)有如下的统计资料:

使用年限 x

2

3

4

5

6

维修费用 y

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

? ?a ? ? 1. ? ? bx ? 中的 b 由资料可知 y 和 x 呈线性相关关系,由表中数据算出线性回归方程 y 23,
据此估计,使用年限为 10 年时的维修费用是 13. f ( x) ? ? cos 2 x 的单调增区间为 ; ;

0 14.等腰三角形 ABC 中, AB ? AC ? 5 , ?B ? 30 , P 为 BC 边上的中线上的任意一点,

则 CP ? BC 的值为

??? ? ??? ?

.

15. 已知 a ? 0, a ? 1 ,命题 p :函数 y ? log a x 在 (0, ??) 上单调递减, 命题 q : 曲线 y ? x2 ? (2a ? 3) x ? 1 与 x 轴交于不同的两点, 若 p ? q 为真命题, 则实数 a 的 取值范围是__________. 三、解答题: (本大题共 6 个小题,满分 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程和 演算步骤。 ) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? lg(1 ? x) ? 5lg(? x) 的定义域为 A ,关于 x 的不等式

x2 ? mx ? 2m2 ? 3m ? 1 ? 0 (m ? R) 的解集为 B .
若 B ? (?R A) ,求实数 m 的取值范围. 17. (本小题满分 12 分)

2? 1 ) ? cos x ,且 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对应边分别 3 2 3 为 a 、 b 、 c ,若 f ( B) ? ? , a ? 2 6, c ? 3 2 (I)求 f ( x ) 的单调递减区间; (II)求 ?ABC 的面积及外接圆的半径.
已知函数 f ( x) ? cos( x ?

1 2

18. (本小题满分 12 分) 在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组在以 O 为坐标原点的平面坐标系 中设计了如图所示的一个门 (该门关于 y 轴对称, 它是由矩形 ABCD 的三边 AB, BC , CD 和 曲线 AOD 组成) ,其中矩形 ABCD 的三边 AB, BC , CD 长 6 分 米 的 材 料 弯 折 而 成 , BC 的 长 为 2t 分 米 (1 ? t ?

y



O
A D

3 ) ; 曲线 AOD 拟从以下两种曲线中选择一种: 2

x

曲 门

线 C1 是一段余弦曲线, 其解析式为 y ? cos x ? 1 , 此时记 的最高点 O 到 BC 边的距离为 h1 (t ) ; 曲线 C2 是一段抛物 其解析式为 x ? ?
2

B

C

线, 距

9 y, 此时记门的最高点 O 到 BC 边的 4

离为 h2 (t ) . (Ⅰ)试分别求出函数 h1 (t ) , h2 (t ) 的表达式; (Ⅱ)试问应选用哪一种曲线可以存在 t ? [1, ] ,使得点 O 到 BC 边的距离最大?并求出该 最大值及相应的 t 值. 19. (本小题满分 12 分) 节日期间,高速公路车辆较多,某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务 区的顺序,用随机抽取第一辆汽车后,每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶 员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速( km / h )分成六段 [80,85) , [85,90) ,

3 2

[90,95) , [95,100) , [100,105) , [105,110) 后得到如下图的频率分布直方图.
(Ⅰ) 请直接回答这种抽样方法是 什么抽样方法?并估计出这 40 辆 车速的中位数; (Ⅱ)设车速在 [80,85) 的车辆为

A1 , A2 ,…… , Am ( m 为车速
在 [80,85) 上的频数) ,车速在 …… , [85,90) 的车辆为 B1 ,B2 , ,从车速在 [80,90) 的车辆中任意抽取 2 辆,求抽取的 2 Bn ( n 为车速在 [85,90) 上的频数) 辆车的车速都在 [85,90) 上的概率. 20. (本小题满分 13 分)
2 2 已 知 函 数 f ( x) ? cos x ? sin x , 将 函 数 f ( x ) 的 图 象 上 的 所 有 点 向 右 平 行 移 动

? (? ? 0 )个单位,得到函数 g ( x) 的图象. 将函数 f ( x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原
来的

6

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数 h( x) 的图象.

(Ⅰ)求 h(1) ? h(2) ? h(3) ? ? ? h(2013) 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) 的图象关于原点对称,求 ? 的最小值; (Ⅲ)设 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c ,



? a2 ? c2 ? b2 c ? ? ,求当 时,函数 g ( x) 在 x ? (0, B] 上的取值范围. ? 24 a 2 ? b 2 ? c 2 2a ? c

21. (本小题满分 14 分) 给出定义在 (0, ??) 上的三个函数: f ( x) ? ln x, g ( x) ? x2 ? af ( x), h( x) ? x ? a x , 已知 g ( x) 在 x ? 1 处取极值. (Ⅰ)确定函数 h( x) 的单调性; ( Ⅱ ) 把 函 数 h( x) 的 图 象 向 上 平 移 6 个 单 位 得 到 函 数 h1 ( x) 的 图 象 , 试 确 定 函 数

y ? g ( x) ? h1 ( x) 的零点个数,并说明理由.

莱西市 2016 届高三上学期期中教学质量检测(一)

文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。) 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 D 5 A 6 C 7 C 8 C 9 B 10 D

二、填空题:(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. [0, ?? ) ; 12. 12.38 万元;13. [k? , k? ?

?

2

], (k ? Z ) ;14. ?

75 1 ;15. 0 ? a ? 2 2

三、解答题: (本大题共 6 个小题,满分 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程和 演算步骤。 ) 16. (本小题满分 12 分) 解:由 ?

?1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 0 , ? ?x ? 0

? A ? (?1, 0) ,从而 ?R A ? (??, ?1] ? [0, ??) ……………………………………2 分
由 x ? mx ? 2m ? 3m ? 1 ? 0 可得: x ? m ? 1 ,或 x ? ?2m ? 1
2 2

①当 m ? 1 ? ?2m ? 1 即 m ? ?

2 时, 3

x2 ? mx ? 2m2 ? 3m ? 1 ? 0 的解集为 B ? (?2m ? 1, m ? 1)
由 B ? (?R A) 可得: m ? 1 ? ?1 ,或 ?2m ? 1 ? 0 ,此时 ?

2 1 ? m ? ? ………6 分 3 2

②当 m ? 1 ? ?2m ? 1 即 m ? ?

2 时, 3

x2 ? mx ? 2m2 ? 3m ? 1 ? 0 的解集为 B ? ?
2 适合…………………………………………………7 分 3 2 ③当 m ? 1 ? ?2m ? 1 即 m ? ? 时, 3
满足 B ? (?R A) ,? m ? ?

x2 ? mx ? 2m2 ? 3m ? 1 ? 0 的解集为 B ? (m ? 1, ?2m ? 1)
由 B ? (?R A) 可得: ?2m ? 1 ? ?1 ,或 m ? 1 ? 0 ,此时 ?1 ? m ? ? 综上可知: ?1 ? m ? ?

2 ………11 分 3

1 …………………………………………………………12 分 2

17. (本小题满分 12 分) 解: (I) f ( x) ? cos( x ?

1 ? ? 3 sin( x ? ) ………………………………………………………………3 分 2 3 ? 1 ? 3? 5? 11? ? x ? 4k? ? 由 2 k? ? ? x ? ? 2 k ? ? 得: 4k? ? ,k ?Z 2 2 3 2 3 3 5? 11? , 4 k? ? ] , k ? Z ……………………5 分 ? f ( x) 的单调递减区间为 [4k? ? 3 3
(Ⅱ)由 f ( B) ? 3 sin( B ?

1 2

2? 1 1 2? 1 2? 1 ) ? cos x ? cos x cos ? sin x sin ? cos x 3 2 2 3 2 3 2

1 2

?
3

)??

1 ? 1 3 可得: sin( B ? ) ? ? 2 3 2 2

? 0 ? B ? ? ,??

?

3 1 ? ? ? ? B ? ? ? ,从而 B ? ……………………………………………………8 分 2 3 6 3
则 S?ABC ?

?

1 ? ? B? ? 2 3 6

1 1 ? 3 6 ac sin B ? ? 2 6 ? 3 sin ? ………………………………9 分 2 2 3 2
2 2 2

由余弦定理: b ? (2 6) ? ( 3) ? 2 ? 2 6 ? 3 cos

?
3

? 27 ? 6 2

b ? 27 ? 6 2
由正弦定理:

b b 27 ? 6 2 ? 2R ? R ? ? ? 9 ? 2 2 …………12 分 ? sin B 2sin B 2sin 3

18. (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)对于曲线 C1 ,因曲线 AOD 的解析式为: y ? cos x ? 1 , BC 的长为 2t 分米,所 以 D 点的坐标为 (t ,cos t ? 1) , O 到 AD 的距离为 1 ? cos t 而 AB ? DC ? 3 ? t ,则 h1 (t ) ? (3 ? t ) ? (1 ? cos t ) ? ?t ? cos t ? 4 , 1 ? t ?

3 2

…………………………………………3 分 对于曲线 C2 ,因曲线 AOD 的解析式为: x ? ?
2

9 y , BC 的长为 2t 分米, 4

4 2 t 9 4 2 3 而 AB ? DC ? 3 ? t ,则 h2 (t ) ? t ? t ? 3 , 1 ? t ? …………………………6 分 9 2 3 ?(t ) ? ?1 ? sin t ? 0 ,所以 h1 (t ) 在 [1, ] 上单调递减, (Ⅱ)因为 h1 2
所以 D 点的坐标为 (t , ? t ) , O 到 AD 的距离为
2

4 9

所以当 t ? 1 时, h1 (t ) 取得最大值 h1 (1) ? 3 ? cos1 又 h2 (t ) ?

………………………………8 分

4 2 4 9 39 3 t ? t ? 3 ? (t ? ) 2 ? ,而 1 ? t ? 9 9 8 16 2 3 3 5 所以当 t ? 时, h2 (t ) 取得最大值 h2 ( ) ? ……………………………………10 分 2 2 2 ? 1 1 5 因为 cos1 ? cos ? ,所以 3 ? cos1 ? 3 ? ? 3 2 2 2 3 5 故选用曲线 C2 ,当 t ? 时,点 O 到 BC 边的距离最大,最大值为 分米 …12 分 2 2
19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)此调查公司在抽样中,用到的抽样方法是系统抽样. ………………1 分 ∵车速在区间 [80,85) , [85,90) , [90,95) , [95,100) 上的频率分别为 0.05 , 0.1 , 0.2 ,

0.3 ;∴车速在区间 [80,95) 上的频率是 0.05+0.1+0.2=0.35<0.5 ,
车速在区间 [80,100) 上的频率是 0.05+0.1+0.2+0.3=0.65>0.5 . ∴中位数在区间 [95,100) 内. 设中位数的估计值是 x , ∴ 0.05 ? 0.1 ? 0.2 ? ( x ? 95) ? 0.06 ? 0.5 . 解之得 x ? 97.5 . ∴中位数的估计值为 97.5 …………………………………………………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 m ? 0.05 ? 40 ? 2 , n ? 0.1? 40 ? 4 .………………………8 分 ∴所以车速在 [80,90) 的车辆中任意抽取 2 辆的所有情况是:

A1 A2 , A1B1 , A1B2 , A1B3 , A1B4 , A2 B1 , A2 B2 , A2 B3 , A2 B4 , B1B2 , B1B3 , B1B4 , B2 B3 , B2 B4 , B3 B4 共

有 15 种情况; 车速都在 [85,90) 上的 2 辆车的情况有 6 种.

? 从车速在 [80,90) 的车辆中任意抽取 2 辆,抽取的 2 辆车的车速都在 [85,90) 上的概率为
P? 6 2 = .…………………………………………………………………12 分 15 5

20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)? f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x ? cos 2 x

? h( x) ? cos 2 ?

?
6

x ? cos

?
3

x ……………………………………………………2 分

函数 h( x) 的周期为 T ?

2?

?

? 6 ……………………………………………………3 分

3

? h(1) ? h(2) ? h(3) ? h(4) ? h(5) ? h(6)
? cos

?
3

? cos

2? 4? 5? ? cos ? ? cos ? cos ? cos 2? ? 0 3 3 3

? h(1) ? h(2) ? h(3) ? ? ? h(2013) ? h(1) ? h(2) ? h(3) ? ?1 …………………5 分
(Ⅱ) g ( x) ? cos 2( x ? ? ) ? cos(2 x ? 2? ) 因为函数 g ( x) 的图象关于原点对称,所以 g (0) ? 0 , 即 cos(?2? ) ? cos 2? ? 0

? 2? ? k? ?

?
2

?? ?

k? ? ? ,k ?Z 2 4

因为 ? ? 0 ,所以 ? min ? (Ⅲ)?

?

4

…………………………………………………………8 分

2ac cos B c a2 ? c2 ? b2 c ? ,由余弦定理可变形为 , ? 2ab cos C 2a ? c a 2 ? b 2 ? c 2 2a ? c

c o sB 1 ? b c o sC 2a? c cos B 1 ? 由正弦定理: sin B cos C 2sin A ? sin C ? 2sin A cos B ? cos B sin C ? sin B cos C ?

? 2sin A cos B ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin( B ? C ) ? sin A
? 0 ? A ? ? ,? cos B ?

? 1 ,? 0 ? B ? ? ,? B ? …………………………11 分 3 2 ? ? 当? ? 时, g ( x) ? cos(2 x ? ) 24 12

因为 x ? (0,

?
3

] ,所以 ?

?
12

? 2x ?

?
12

?

7? 7? ? ? cos(2 x ? ) ? 1 …12 分 ,则 cos 12 12 12

? cos

7 ? ? ? ? ? ? 2? 6 ? ? cos( ? ) ? cos cos ? sin sin ? 12 3 4 3 4 3 4 4 2? 6 ? g ( x) ? 1 …………………………………………………………13 分 4
a x

所以

21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由题设: g ( x) ? x2 ? a ln x ,则 g ?( x) ? 2 x ?

由已知 g ?(1) ? 0 ,即 2 ? a ? 0 ? a ? 2 ……………………………………………2 分 于是 h( x) ? x ? 2 x ,则 h?( x) ? 1 ?

1 x

由 h?( x) ? 1 ?

1 1 ? 0 ? x ? 1, h?( x) ? 1 ? ? 0 ? 0 ? x ?1 x x

所以 h( x) 在 [1, ??) 上是增函数,在 (0,1] 上是减函数……………………………6 分 (Ⅱ)由题设 h1 ( x) ? x ? 2 x ? 6 , 令 g ( x) ? h1 ( x) ? 0 ,则 x2 ? 2ln x ? ( x ? 2 x ? 6) ? 0 …………………………7 分 设 m( x) ? x2 ? 2ln x ? x ? 2 x ? 6 , m?( x) ? 2 x ?

2 1 2 x2 ? 2 ? x ? x , ?1 ? ? x x x

m?( x) ?

2( x ? 1)( x ? 1)( x ? 1) ? x ( x ? 1) ( x ? 1)(2 x x ? 2 x ? x ? 2) ? ……… x x
……………………………9 分

令 m?( x) ? 0 得 x ? 1 ,当 x ? (0,1) 时, m?( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, m?( x) ? 0 . 所以 m( x)min ? m(1) ? ?4 ? 0 ,…………………………………………………11 分 而当 x ? 0 , m( x) ? ??

m(e2 ) ? e4 ? 2ln e2 ? e2 ? 2 e2 ? 6
? e 2 ? e 2 ? 1? ? 2e ? 10 ? 4 ? ? 4 ? 1? ? 2 ? 2 ? 10 ? 0
故函数 m( x) 的图象与 x 轴有且仅有两个交点,

所以函数 y ? g ( x) ? h1 ( x) 有两个零点.…………………………………………14 分


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