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2005沈阳第22届全国中学生物理竞赛预赛试题及答案


22 届预赛试题及答案

第二十二届全国中学生物理竞赛
预 赛 试 题
一、 (10 分)在横线上填上恰当的内容 1.在 2004 年 6 月 10 日联合国大会第 58 次会议上,鼓掌通过一项决议。决议摘录如下: 联合国大会, 承认物理学为了解自然界提供了重要基础, 注意到物理学及其应用是当今众多技术进步的基石, 确信物理教育提供了建设人类发展所必需的科学基础设施的工具, 意识到 2005 年是爱因斯坦科学发现一百周年,这些发现为现代物理学奠定了基础,

i . ……; ii . ……; iii .宣告 2005 年为


年. .

2.爱因斯坦在现代物理学领域作出了很多重要贡献,试举出其中两项:

二、 (17 分)现有一个弹簧测力计(可随便找地方悬挂) ,一把匀质的长为 l 的有刻度、零点位于端点的直尺, 一个木块及质量不计的细线.试用这些器件设计一实验装置(要求画出示意图) ,通过一次测量(弹簧测力计只 准读一次数) ,求出木块的质量和尺的质量. (已知重力加速度为 g) 三、 (18 分) 内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径为 R 的黑球, 距球心为 2R 处有一点光源 S,球心 O 和光源 S 皆在圆筒轴线上,如 图所示.若使点光源向右半边发出的光最后全被黑球吸收,则筒的内 半径 r 最大为多少? 四、 (20 分)处在激发态的氢原子向能量较低的状态跃迁时会发出一 系列不同频率的光,称为氢光谱.氢光谱线的波长? 可以用下面的巴耳末—里德伯公式来表示

r S

2R O R

1 ? ? 1 ? R? 2 ? 2 ? ? n ? ?k n,k 分别表示氢原子跃迁前后所处状态的量子数. k ? 1,2,3, ? ,对于每一个 k,有 n ? k ? 1, k ? 2 , k ? 3,? ,R 1
称为里德伯常量,是一个已知量.对于 k ? 1 的一系列谱线其波长处在紫外线区,称为赖曼系; k ? 2 的一系列 谱线其波长处在可见光区,称为巴耳末系. 用氢原子发出的光照射某种金属进行光电效应实验, 当用赖曼系波长最长的光照射时, 遏止电压的大小为 U1, 当用巴耳末系波长最短的光照射时,遏止电压的大小为 U2. 已知电子电量的大小为 e ,真空中的光速为 c ,试 求:普朗克常量和该种金属的逸出功. 五、 (25 分)一质量为 m 的小滑块 A 沿斜坡由静止开始下滑,与 一质量为 km 的静止在水平地面上的小滑块 B 发生正碰撞, 如图 所示.设碰撞是弹性的,且一切摩擦不计.为使二者能且只能 发生两次碰撞,则 k 的值应满足什么条件? B
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A

22 届预赛试题及答案

六、 (25 分)如图所示,两根位于同一水平面内的平行的直长金 属导轨,处于恒定磁场中,磁场方向与导轨所在平面垂直.一质 量为 m 的均匀导体细杆,放在导轨上,并与导轨垂直,可沿导 轨无摩擦地滑动, 细杆与导轨的电阻均可忽略不计. 导轨的左端 与一根阻值为 R0 的电阻丝相连,电阻丝置于一绝热容器中,电 阻丝的热容量不计. 容器与一水平放置的开口细管相通, 细管内 有一截面为 S 的小液柱(质量不计) ,液柱将 1mol 气体(可视为 理想气体)封闭在容器中.已知温度升高 1K 时,该气体的内能的增加量为 5 R 2 (R 为普适气体常量) ,大气压 强为 p0,现令细杆沿导轨方向以初速 v0 向右运动,试求达到平衡时细管中液柱的位移. R0 v0

七、 (25 分)三个电容器分别有不同的电容值 C1、C2、C3 .现把这三个电容器组成图示的(a)、(b)、(c)、(d)四种 混联电路,试论证:是否可以通过适当选择 C1、C2、C3 的数值,使其中某两种混联电路 A、B 间的等效电容相 等. A C1 C2 B (a) C3 C1 C3 B (b) A C2 C1 C3 B (c) A C2 C1 C2 B (d) a O A C3

八、 (30 分)如图所示,一根长为 l 的细刚性轻杆的两端分别连结小球 a 和b , 它们的质量分别为 ma 和 mb. 杆可绕距 a 球为 l 处的水平定轴 O 在竖直平面内转动.初始时杆处于竖直位置.小球 b 几乎接触桌面.在 杆的右边水平桌面上, 紧挨着细杆放着一个质量为 m 的立方体匀质物块, 图中 ABCD 为过立方体中心且与细杆共面的截面. 现用一水平恒力 F 作 用于 a 球上,使之绕 O 轴逆时针转动,求当 a 转过??角时小球 b 速度的 大小.设在此过程中立方体物块没有发生转动,且小球 b 与立方体物块 始终接触没有分离.不计一切摩擦. 九、 (30 分)如图所示,水平放置的金属细圆环半径为 a,竖直放置的金 属细圆柱(其半径比 a 小得多)的端面与金属圆环的上表面在同一平面内, 圆柱的细轴通过圆环的中心 O.一质量为 m,电阻为 R 的均匀导体细棒被 圆环和细圆柱端面支撑,棒的一端有一小孔套在细轴 O 上,另一端 A 可绕 轴线沿圆环作圆周运动, 棒与圆环的摩擦系数为?. 圆环处于磁感应强度大 小为 B ? Kr 、方向竖直向上的恒定磁场中,式中 K 为大于零的常量,r 为 场点到轴线的距离.金属细圆柱与圆环用导线 ed 连接.不计棒与轴及与细 圆柱端面的摩擦,也不计细圆柱、圆环及导线的电阻和感应电流产生的磁 场.问沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于棒的 A 端才能使棒以角 速度? 匀速转动. 注: ?x ? Δx? ? x 3 ? 3x 2 Δx ? 3x?Δx? ? ?Δx?
3 2 3

F

1 4

B

C

b

A

D

B

B A O a d e

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22 届预赛试题及答案

第 22 届全国中学生物理竞赛预赛参考解答
一、 国际物理(或世界物理) . 相对论;光的量子性 评分标准:本题 10 分.第 1 小问 4 分.第 2 小问 6 分(填写任意两项爱因斯坦的成果只要正确都给 6 分) . 二、找个地方把弹簧测力计悬挂好,取一段细线做成一环,挂在弹 簧测力计的挂钩上,让直尺穿在细环中,环与直尺的接触点就是直 尺的悬挂点,它将尺分为长短不等的两段.用细线栓住木块挂在直 尺较短的一段上,细心调节直尺悬挂点及木块悬挂点的位置,使直 尺平衡在水平位置(为提高测量精度,尽量使二悬挂点相距远些) , 如图所示.设木块质量为 m,直尺质量为 M.记下二悬挂点在直尺 上的读数 x1、x2,弹簧测力计读数 G.由平衡条件和图中所设的直 尺零刻度线的位置有 (m ? M ) g ? G (1) ?l ? mg ( x 2 ? x1 ) ? Mg ? ? x 2 ? ?2 ? (1)、(2)式联立可得 G ?l ? 2 x 2 ? m? g ?l ? 2 x1 ?

G 0 x1 x2 m
(2)

M

(3) (4)

M ?

2G ?x 2 ? x1 ? g ?l ? 2 x1 ?

评分标准:本题 17 分. 正确画出装置示意图给 5 分. (1)式、 (2)式各 4 分, (3)式、 (4)式各 2 分. 三、

S?
M r S O N

S?
M S

??
2R

??
2R

R ??

r O O N

图 2 S ? 画出球面的切线 S ? N,如图 1 所示, 自 S 作球的切线 S?,并画出 S 经管壁反射形成的虚像点 S ? ,及由 图1 由图可看出,只要 S ?M 和 S ?N 之间有一夹角,则筒壁对从 S 向右的光线的反射光线就有一部分进入球的右方, 不会完全落在球上被吸收. 由图可看出, 如果 r 的大小恰能使 S ?N 与 S ?M 重合, 如图 2, 则 r?就是题所要求的筒的内半径的最大值. 这 时 SM 与 MN 的交点到球心的距离 MO 就是所要求的筒的半径 r.由图 2 可得? R R ? ???????????????????????????????????? r ? (1) cos ? 1 ? sin 2 ? 由几何关系可知 由(1) 、 (2)式得

sin ? ? ?R 2R ?
2 3 R 3

(2) (3)

r?

评分标准:本题 18 分.? 给出必要的说明占 8 分,求出 r 占 10 分. 四、由巴耳末—里德伯公式 1 1 1 ? R( 2 ? 2 ) ? k n 可知赖曼系波长最长的光是氢原子由 n = 2→ k = 1 跃迁时发出的,其波长的倒数
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22 届预赛试题及答案

1

?12
对应的光子能量为

?

3R 4 1 ?

(1)

3Rhc (2) ?12 4 式中 h 为普朗克常量.巴耳末系波长最短的光是氢原子由 n = ∞→ k = 2 跃迁时发出的,其波长的倒数 1 R ? (3) ?2 ? 4 E12 ? hc
对应的光子能量

E2? ?

Rhc 4

(4)

用 A 表示该金属的逸出功,则 eU 1 和 eU 2 分别为光电子的最大初动能.由爱因斯坦光电效应方程得

3Rhc ? eU 1 ? A 4 Rhc ? eU 2 ? A 4
解得

(5) (6)

e A ? (U1 ? 3U 2 ) 2 2e(U1 ? U 2 ) h? Rc

(7) (8)

评分标准:本题 20 分. (1)式 3 分,(2)式 2 分, (3)式 3 分,(4)式 2 分, (5)、 (6)式各 3 分, (7)、(8)式各 2 分. 五、设 A 与 B 碰撞前 A 的速度为 v0,碰后 A 与 B 的速度分别为 v1 与 V1,由动量守恒及机械能守恒定律有 mv 0 ? mv1 ? kmV1 (1)

1 1 1 2 2 mv0 ? mv1 ? kmV12 2 2 2
由此解得

(2)

v1 ?

为使 A 能回到坡上, 要求 v1<0, 这导致 k>1; 为使 A 从坡上滑下后再能追上 B, 应有 ? v1 ? V1 , 即 (k ? 1) ? 2 , k ? 3 这导致 ,于是,为使第二次碰撞能发生,要求 k>3 (5) 对于第二次碰撞,令 v2 和 V2 分别表示碰后 A 和 B 的速度,同样由动量守恒及机械能守恒定律有: m(?v1 ) ? kmV1 ? mv 2 ? kmV2

? (k ? 1) v0 k ?1 2 V1 ? v0 k ?1

(3) (4)

1 1 1 1 2 2 mv1 ? kmV12 ? mv 2 ? kmV22 2 2 2 2
由此解得

4k ? (k ? 1) 2 (6) v0 (k ? 1) 2 4(k ? 1) V2 ? v0 (7) (k ? 1) 2 若 v2>0,则一定不会发生第三次碰撞,若 v2<0,且 ? v 2 ? V2 ,则会发生第三次碰撞.故为使第三次碰撞不 会发生,要求 A 第三次从坡上滑下后速度的大小 ( ? v 2 ) 不大于 B 速度的大小V2 ,即 v2 ?

? v2 ? V2
由(6)、 (7) 、 (8)式得 由

(8) (9)
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k 2 ? 10k ? 5 ? 0 k2-10 k + 5 = 0

22 届预赛试题及答案

可求得 (9)式的解为

k?

10 ? 80 ? 5?2 5 2
(10) (11)

5?2 5 ?k ?5?2 5 (10)与(5)的交集即为所求: 3? k ?5? 2 5

评分标准:本题 25 分. 求得(3)、(4) 式各得 3 分,求得(5)式得 4 分,求得(6) 、 (7) 、 (8) 、 (10)和(11)式各得 3 分. 六、导体细杆运动时,切割磁感应线,在回路中产生感应电动势与感应电流,细杆将受到安培力的作用,安培 力的方向与细杆的运动方向相反,使细杆减速,随着速度的减小,感应电流和安培力也减小,最后杆将停止运 动,感应电流消失.在运动过程中,电阻丝上产生的焦耳热,全部被容器中的气体吸收. 根据能量守恒定律可知,杆从 v0 减速至停止运动的过程中,电阻丝上的焦耳热 Q 应等于杆的初动能,即

容器中的气体吸收此热量后,设其温度升高?T,则内能的增加量为

1 2 Q ? mv0 2

(1)

ΔU ?

在温度升高?T 的同时,气体体积膨胀,推动液柱克服大气压力做功.设液柱的位移为 Δl ,则气体对外做功 A ? p0 SΔl (3) S Δ l 就是气体体积的膨胀量 ΔV ? SΔl (4) 由理想气体状态方程 pV ? RT ,注意到气体的压强始终等于大气压 p 0 ,故有

5 RΔT 2

(2)

p 0 ΔV ? RΔT
由热力学第一定律

(5) (6) (7)

Q ? A ? ΔU
由以上各式可解得

Δl ?

2 mv 0 7 p0 S

评分标准:本题 25 分. (1)式 6 分, (2)式 4 分, (3) 、 (4) 、 (5)式各 2 分, (6)式 5 分, (7)式 4 分. 七、由电容 C ? 、 C ?? 组成的串联电路的等效电容

C ?C ?? C ? ? C ?? 由电容 C ? 、 C ?? 组成的并联电路的等效电容 C并 ? C ? ? C ?? C串 ?

利用此二公式可求得图示的 4 个混联电路 A、B 间的等效电容 Ca、Cb、Cc、Cd 分别为 C C ? C1C 3 ? C 2 C 3 CC C a ? 1 2 ? C3 ? 1 2 ? C3 (1) C1 ? C 2 C1 ? C 2

Cb ?

C1C 3 C C ? C1C 3 ? C 2 C 3 ? C2 ? 1 2 ? C2 C1 ? C 3 C1 ? C 3 ?C1 ? C 2 ?C3 C1C3 ? C 2 C3 Cc ? ? ?C ?C1 ? C 2 ? ? C3 C1 ? C 2 ? C3 3 ?C1 ? C3 ?C 2 C1C 2 ? C 2 C3 Cd ? ? ? C2 ?C1 ? C3 ? ? C 2 C1 ? C 2 ? C3
(5) (6) (7) (8)
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(2) (3) (4)

Ca ? Cc C b ? Cd 由(2) 、 (4)式可知 Ca ? C b 由(1) 、 (2)式可知 Cc ? Cd 由(3) 、 (4)式可知 若 Ca ? Cd ,由(1) 、 (4)式可得
由(1) 、 (3)式可知

22 届预赛试题及答案

? 2C1C2 ? C1C3 ? C2 C3 ? 0 因为 C1 、 C 2 和 C 3 均大于 0,上式不可能成立,因此 Ca ? Cd 若 C b ? Cc ,由(2) 、 (3)式可得 C12

(9)

C12 ? 2C1C3 ? C1C2 ? C2 C3 ? 0 因为 C1 、 C 2 和 C 3 均大于 0,上式不可能成立,因此 (10) C b ? Cc 综合以上分析,可知这四个混联电路的等效电容没有一对是相等的.
评分标准:本题 25 分. (1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)式各 4 分,得到(5) 、 (6) 、 (7) 、 (8)式各 1 分,得到(9) 、 (10)式共 5 分. 八、如图所示,用 v b 表示 a 转过 ? 角时 b 球速度的大小, v 表示此时立方体速度的大小,则有 (1) vb cos ? ? v F a 由于 b 与正立方体的接触是光滑的, 相互作用力总是沿水平 方向, 而且两者在水平方向的位移相同, 因此相互作用的作用力 和反作用力做功大小相同,符号相反,做功的总和为 0.因此在 O b 和正立方体机械能的 整个过程中推力 F 所做的功应等于球 a 、 增量.现用 v a 表示此时 a 球速度的大小,因为 a 、 b 角速度相 ?? 1 3 同, Oa ? l , Ob ? l ,所以得 3l 4 4 4 B 1 (2) v a ? vb 3 根据功能原理可知 b l 1 ?l l ? 1 ? 3l 3l ? 1 2 2 F ? sin ? ? ma v a ? ma g ? ? cos ? ? ? mb v b ? mb g ? ? cos ? ? ? mv 2 A 4 2 ?4 4 ? 2 ?4 4 ? 2 (3) 将(1) 、 (2)式代入可得

C

D

l 1 ?1 ? ?l l ? 1 ? 3l 3l ? 1 2 F ? sin ? ? ma ? vb ? ? ma g ? ? cos ? ? ? mb vb ? mb g ? ? cos ? ? ? m( vb cos ? ) 2 4 2 ?3 ? ?4 4 ? 2 ?4 4 ? 2 解得

2

vb ?

9l?F sin ? ? ?ma ? 3mb ?g ?1 ? cos ? ?? 2ma ? 18mb ? 18m cos 2 ?

(4)

评分标准:本题 30 分. (1)式 7 分, (2)式 5 分, (3)式 15 分, (4)式 3 分. 九、将整个导体棒分割成 n 个小线元,小线元端点到轴线的距离分别为 r0(=0),r1,r2,……,ri-1,ri,……,rn-1, rn(= a),第 i 个线元的长度为 Δri ? ri ? ri ?1 ,当 Δri 很小时,可以认为该线元上各点的速度都为 vi ? ?ri ,该线元 因切割磁感应线而产生的电动势为
2 ΔE i ? Bvi Δri ? Kr i? ri Δri ? K? ri Δri 整个棒上的电动势为

(1)

E ?
3

由 ?r ? Δr ? ? r ? 3r 2 Δr ? 3r?Δr ? ? ?Δr ? , 略去高阶小量(Δr)2 及(Δr)3,可得
2 3

i ?1 3

?

n

ΔE i ? K?

? r Δr
2 i i ?1

n

i

(2)

1 r 2 ?r ? [( r ? ?r ) 3 ? r 3 ] 3
代入(2)式,得
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22 届预赛试题及答案

E ?

1 1 1 K? (ri3 ? ri3 K?[( r13 ? r03 ) ? (r23 ? r13 ) ? ?? ? (rn3 ? rn3?1 )] ? K?a 3 ?1 ) ? 3 3 3 i ?1 由全电路欧姆定律,导体棒通过的电流为 E K ?a 3 I? ? (4) R 3R 导体棒受到的安培力方向与棒的运动方向相反. 第 i 个线元 ?ri 受到的安培力为

?

n

(3)

Δf Ai ? BIΔri ? Kri IΔri 作用于该线元的安培力对轴线的力矩 ΔM i ? Δf Ai ? ri ? KIri2Δri 作用于棒上各线元的安培力对轴线的总力矩为

(5)

M?


?
i ?1

n

ΔM i ? KI

?
i ?1

n

ri2 Δri ?

n 1 1 KI (ri3 ? ri3 KIa 3 ?1 ) ? 3 3 i ?1

?

K 2 ωa 6 (6) 9R 1 1 因棒 A 端对导体圆环的正压力为 mg,所以摩擦力为 ?mg ,对轴的摩擦力矩为 2 2 1 (7) M ? ? ?mga 2 其方向与安培力矩相同, 均为阻力矩. 为使棒在水平面内作匀角速转动,要求棒对于 O 轴所受的合力矩为零, 即外力矩与阻力矩相等,设在 A 点施加垂直于棒的外力为 f,则有 (8) fa ? M ? M ? M?
由(6)、(7)、 (8)式得

f ?

K 2 ωa 5 1 ? μmg 9R 2

(9)

评分标准:本题 30 分. 求得(3)式得 10 分, (4)式 2 分;求得(6)式得 8 分, (7)式 4 分, (8)式 4 分, (9)式 2 分.

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