教者:季长玉
学习目标
知识与能力
掌握任意角的三角函数的定义;
已知角α终边上一点,会求角α的各三角函 数值;
过程与方法
? 1、理解并掌握任意角的三角函数的定义;
? 2、树立映射观点,正确理解三角函数是以 实数为自变量的函数;
情感态度与价值观
? 1、积极参与知识的形成过程,经历知识 的“发现”过程,获得发现的经验,培养 合情猜测能力 2、学习划归的思想,培养严谨治学、一 丝不苟的科学精神。
?
学习重点难点 重点
任意角的正弦、余弦、正切的定义
难点
用角终边上的点的刻画三角函数
1.2.1任意角的三角函数
复习回顾
1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的? P c
a
sin ? ?
cos ? ?
a c b c a b
O
?
b
M
tan ? ?
2 、在上节课中是如何定义象限角和轴线角的? 3 、我们以什么为工具来研究象限角和轴线角的?
新课
导入
4.在直角坐标系中如何表示锐角?
P
a
O y
?
b
M
x
新课
导入
5.在直角坐标系中如何用锐角终边上点的坐标表示锐角 三角函数? 其中 :
OM ? a MP ? b OP ? r ? a ?b
2 2
sin ? ?
MP OP
?
b r
cos ? ?
OM OP
?
a r
y
﹒P ?a , b ?
?
tan ? ?
MP OM
?
b a
o
﹒
M
x
合作
探究
6.如果改变点P在终边上的位置,这三个比值会改变吗?为什么?
y
P?
P(a,b)
? OMP ∽ ? O M ?P ?
sin ? ?
cos ? ?
MP OP
OM OP
﹒
M
?
?
M ?P ? OP?
OM OP? ?
?
O
M?
x
tan ? ?
MP OM
?
M ?P ? OM ?
7.锐角三角函数(在单位圆中)
若 OP ? r ? 1,则
y
P(a, b)
sin ? ?
x
MP OP
OM OP
?b
1
?
o
M
cos ? ?
?a
? b a
tan ? ?
MP OM
以原点O为圆心,以单位 长度为半径的圆,称为单位圆.
8.任意角的三角函数定义
设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P ( x , y )
y 那么:(1) 叫做 ? 的正弦,记作 sin ?,即
(2)x 叫做? 的余弦,记作 cos ?,即 (3)
y
sin ? ? y ;
cos ? ? x
;
( x ? 0)
y
x
? 叫做
的正切,记作 tan ? ,即 tan ? ?
y x
P?x, y ?
﹒
?
O
A?1,0? x
我们将它们统称为三角函数
任意角的三角函数的定义过程:
直角三角形中定义锐角三角函数
sin ? ? b r , cos ? ? a r , tan ? ? b a
直角坐标系中定义锐角三角函数
sin ? ?
b r
, cos ? ?
a r
, tan ? ?
b a
单位圆中定义锐角三角函数
sin ? ? b, cos ? ? a, tan ? ?
b a
单位圆中定义任意角的三角函数 sin ? ? y, cos ? ? x
, tan ? ?
y x
思 考:
? 1、三角函数是不是函数?
2 、如果是,那么函数有三要素,分 别是什么?三角函数是以什么为自 变量,以什么为函数值的函数? 3 、它们的定义域分别是什么?
正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的 坐标或坐标的比值为函数值的函数, 由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系, 三角函数可以看成是以实数为自变量,以实数为函数值的函数. 使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域.
三角函数
定义域
cos ?
sin ?
R R
? ? ? ?? ? ? k? ( k ? Z ) ? ? 2 ? ?
tan ?
实例
例1
剖析
求 5? 的正弦、余弦和正切值.
3
解:在直角坐标系中,作 ? AOB ?
5? 3 ? 3 2
5? 3
5? 3
,易知 ? AOB
( 1 ? 3 , ) 2 2
的终边与单位圆的交点坐标为
,
所以
sin
?
cos
?
1 2
tan
5? 3
?? 3
,
y
5? 3
思考:若把角
5? 3
改为
1 2 ,
7? 6
呢?
o
﹒
A
sin
7? 6
7? 6
??
? ?
x
cos
﹒B
3 2
,
tan
7? 6
?
3 3
例2 已知角 ? 的终边经过点 P (?3,?4),求角 ? 的正弦、余 弦和正切值 .
0
解:由已知可得
OP 0 ?
( ? 3) ? ( ? 4 ) ? 5
2 2
y
设角 ? 的终边与单位圆交于 P ( x , y ) ,
M 分别过点 P 、 0 作 x 轴的垂线 MP、 0 P0 P
M0
M
M 0 P0 ? 4 OM
0
OM ? ? x MP ? ? y
O
P ?x, y ?
x
?3
? OMP ∽ ? OM 0 P0
P0 ? ? 3 , ? 4 ?
于是, sin ?
? y ?
y 1
?
? | MP | OP
? ?
M 0 P0 OP 0
? ?
4 5
;
cos ? ? x ?
tan ? ? y x ?
x 1
?
? OM OP
? 4 3
? ?
OM OP 0
0
? ?
3 5
;
sin ? cos ?
定义推广:
设角? 是一个任意角, ( x , y ) 是终边上的任意一点, P 点 P 与原点的距离 r ? 那么① ② ③
y r x
x ? y
2
2
? 0
y r x r y x
叫做 ? 的正弦,即 sin ? ? 叫做? 的余弦,即 cos ? ? 叫做? 的正弦,即 tan ? ?
r y
x
?x ? 0?
任意角? 的三角函数值仅与 ? 有关,而与点 P 在角的 终边上的位置无关.
巩固
提高
练习 1、已知角 ? 的终边过点 P?? 12,5? , 求 ? 的三个三角函数值.
解:由已知可得:
r? x ?y ?
2 2
?? 12?
2
? 5 ? 13
2
于是,sin ? ?
tan ? ?
y r y x
?
5 13
cos ? ? 5 12
x r
??
12 13
??
2 、 已 知 角 ? 的 终 边 上 一 点 P ? ? 15 a , 8 a ? ? a ? R且 a ? 0 ? ,
求 角 ? 的 sin ? , cos ? , tan ? 的 值 .
解 : 由 于 x ? -15 a , y ? 8 a ,
所以r ?
? ? 15 a ? ? ? 8 a ? ? 17 a ? a ? 0 ?
2 2
?1 ? 若 a ? 0 则 r
sin ? ? 8a 17 a ? 8 17
? 17 a , 于 是
? 15 a 17 a ?? 15 17 , tan ? ? 8a ? 15 a ?? 8 15
, cos ? ?
? 2 ? 若 a ? 0则 r
sin ? ? 8a ? 17 a ?? 8 17
? -17 a , 于 是
? 15 a ? 17 a ? 15 17 , tan ? ? 8a ? 15 a ?? 8 15
, cos ? ?
课后练习
3 、 已 知 角 ? 的 终 边 在 直 线 y ? 2 x 上 , 求 角 ? 的 sin ? , cos ? , tan ? 的 值 .
解 :1 ? 当 角 ? 的 终 边 在 第 一 象 限 时 , ?
在 角 ? 的 终 边 上 取 点 ?1, 2 ? , 则 r= 1 ? 2 ?
2 2
5
2 1 ?2
sin ? ?
2 5
?
2 5 5
, co s ? ?
1 5
?
5 5
, tan ? ?
? 2 ?当 角 ?的 终 边 在 第 三 象 限 时 ,
在 角 ? 的 终 边 上 取 点 ? ? 1, ? 2 ? , 则 r ?
sin ? ? ?2 5 ? ? 2 5 5 , co s ? ? ?1 5 ? ?
? ? 1?
5 5
2
? ? ?2 ? ?
2
5
, tan ? ?
?2 ?1
?2
归纳
总结
1. 内容总结: ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域 2 .解题方法总结: 运用了定义法、数形结合法、分类讨论法解题. 3 .体现的数学思想: 划归的思想(例2),数形结合的思想 、分类讨论 的思想
作业:
课本第20页 习题1.2 A组 1、2、