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1.2.1任意角的三角函数课件(一)123


教者:季长玉

学习目标
知识与能力
掌握任意角的三角函数的定义;

已知角α终边上一点,会求角α的各三角函 数值;

过程与方法
? 1、理解并掌握任意角的三角函数的定义;

? 2、树立映射观点,正确理解三角函数是以 实数为自变量的函数;

情感态度与价值观
? 1、积极参与知识的形成过程,经历知识 的“发现”过程,获得发现的经验,培养 合情猜测能力 2、学习划归的思想,培养严谨治学、一 丝不苟的科学精神。

?

学习重点难点 重点
任意角的正弦、余弦、正切的定义

难点
用角终边上的点的刻画三角函数

1.2.1任意角的三角函数
复习回顾
1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的? P c
a

sin ? ?
cos ? ?

a c b c a b

O

?
b

M

tan ? ?

2 、在上节课中是如何定义象限角和轴线角的? 3 、我们以什么为工具来研究象限角和轴线角的?

新课

导入

4.在直角坐标系中如何表示锐角?
P
a

O y

?
b

M

x

新课

导入

5.在直角坐标系中如何用锐角终边上点的坐标表示锐角 三角函数? 其中 :
OM ? a MP ? b OP ? r ? a ?b
2 2

sin ? ?

MP OP

?

b r

cos ? ?

OM OP

?

a r

y

﹒P ?a , b ?
?

tan ? ?

MP OM

?

b a

o


M

x

合作

探究

6.如果改变点P在终边上的位置,这三个比值会改变吗?为什么?
y

P?
P(a,b)

? OMP ∽ ? O M ?P ?
sin ? ?
cos ? ?

MP OP
OM OP


M

?
?

M ?P ? OP?
OM OP? ?

?
O

M?

x

tan ? ?

MP OM

?

M ?P ? OM ?

7.锐角三角函数(在单位圆中)
若 OP ? r ? 1,则
y

P(a, b)

sin ? ?
x

MP OP
OM OP

?b

1

?
o

M

cos ? ?

?a
? b a

tan ? ?

MP OM

以原点O为圆心,以单位 长度为半径的圆,称为单位圆.

8.任意角的三角函数定义
设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P ( x , y )

y 那么:(1) 叫做 ? 的正弦,记作 sin ?,即
(2)x 叫做? 的余弦,记作 cos ?,即 (3)
y

sin ? ? y ;

cos ? ? x


( x ? 0)

y

x

? 叫做

的正切,记作 tan ? ,即 tan ? ?

y x

P?x, y ?


?
O
A?1,0? x

我们将它们统称为三角函数

任意角的三角函数的定义过程:
直角三角形中定义锐角三角函数
sin ? ? b r , cos ? ? a r , tan ? ? b a

直角坐标系中定义锐角三角函数

sin ? ?

b r

, cos ? ?

a r

, tan ? ?

b a

单位圆中定义锐角三角函数

sin ? ? b, cos ? ? a, tan ? ?

b a

单位圆中定义任意角的三角函数 sin ? ? y, cos ? ? x

, tan ? ?

y x

思 考:
? 1、三角函数是不是函数?

2 、如果是,那么函数有三要素,分 别是什么?三角函数是以什么为自 变量,以什么为函数值的函数? 3 、它们的定义域分别是什么?

正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的 坐标或坐标的比值为函数值的函数, 由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系, 三角函数可以看成是以实数为自变量,以实数为函数值的函数. 使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域.

三角函数

定义域

cos ?

sin ?

R R
? ? ? ?? ? ? k? ( k ? Z ) ? ? 2 ? ?

tan ?

实例
例1

剖析
求 5? 的正弦、余弦和正切值.
3

解:在直角坐标系中,作 ? AOB ?
5? 3 ? 3 2
5? 3

5? 3

,易知 ? AOB
( 1 ? 3 , ) 2 2

的终边与单位圆的交点坐标为


所以

sin

?

cos

?

1 2

tan

5? 3

?? 3



y
5? 3

思考:若把角

5? 3

改为
1 2 ,

7? 6

呢?

o


A

sin

7? 6
7? 6

??
? ?

x
cos

﹒B

3 2

,

tan

7? 6

?

3 3

例2 已知角 ? 的终边经过点 P (?3,?4),求角 ? 的正弦、余 弦和正切值 .
0

解:由已知可得

OP 0 ?

( ? 3) ? ( ? 4 ) ? 5
2 2

y

设角 ? 的终边与单位圆交于 P ( x , y ) ,
M 分别过点 P 、 0 作 x 轴的垂线 MP、 0 P0 P
M0

M

M 0 P0 ? 4 OM
0

OM ? ? x MP ? ? y

O
P ?x, y ?

x

?3

? OMP ∽ ? OM 0 P0

P0 ? ? 3 , ? 4 ?

于是, sin ?

? y ?

y 1

?

? | MP | OP

? ?

M 0 P0 OP 0

? ?

4 5

;

cos ? ? x ?
tan ? ? y x ?

x 1

?

? OM OP
? 4 3

? ?

OM OP 0

0

? ?

3 5

;

sin ? cos ?

定义推广:
设角? 是一个任意角, ( x , y ) 是终边上的任意一点, P 点 P 与原点的距离 r ? 那么① ② ③
y r x

x ? y
2

2

? 0
y r x r y x

叫做 ? 的正弦,即 sin ? ? 叫做? 的余弦,即 cos ? ? 叫做? 的正弦,即 tan ? ?

r y
x

?x ? 0?

任意角? 的三角函数值仅与 ? 有关,而与点 P 在角的 终边上的位置无关.

巩固

提高

练习 1、已知角 ? 的终边过点 P?? 12,5? , 求 ? 的三个三角函数值.

解:由已知可得:
r? x ?y ?
2 2

?? 12?

2

? 5 ? 13
2

于是,sin ? ?
tan ? ?

y r y x

?

5 13

cos ? ? 5 12

x r

??

12 13

??

2 、 已 知 角 ? 的 终 边 上 一 点 P ? ? 15 a , 8 a ? ? a ? R且 a ? 0 ? ,

求 角 ? 的 sin ? , cos ? , tan ? 的 值 .
解 : 由 于 x ? -15 a , y ? 8 a ,
所以r ?

? ? 15 a ? ? ? 8 a ? ? 17 a ? a ? 0 ?
2 2

?1 ? 若 a ? 0 则 r
sin ? ? 8a 17 a ? 8 17

? 17 a , 于 是
? 15 a 17 a ?? 15 17 , tan ? ? 8a ? 15 a ?? 8 15

, cos ? ?

? 2 ? 若 a ? 0则 r
sin ? ? 8a ? 17 a ?? 8 17

? -17 a , 于 是
? 15 a ? 17 a ? 15 17 , tan ? ? 8a ? 15 a ?? 8 15

, cos ? ?

课后练习
3 、 已 知 角 ? 的 终 边 在 直 线 y ? 2 x 上 , 求 角 ? 的 sin ? , cos ? , tan ? 的 值 .

解 :1 ? 当 角 ? 的 终 边 在 第 一 象 限 时 , ?
在 角 ? 的 终 边 上 取 点 ?1, 2 ? , 则 r= 1 ? 2 ?
2 2

5
2 1 ?2

sin ? ?

2 5

?

2 5 5

, co s ? ?

1 5

?

5 5

, tan ? ?

? 2 ?当 角 ?的 终 边 在 第 三 象 限 时 ,
在 角 ? 的 终 边 上 取 点 ? ? 1, ? 2 ? , 则 r ?
sin ? ? ?2 5 ? ? 2 5 5 , co s ? ? ?1 5 ? ?

? ? 1?
5 5

2

? ? ?2 ? ?
2

5

, tan ? ?

?2 ?1

?2

归纳

总结

1. 内容总结: ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域 2 .解题方法总结: 运用了定义法、数形结合法、分类讨论法解题. 3 .体现的数学思想: 划归的思想(例2),数形结合的思想 、分类讨论 的思想

作业:

课本第20页 习题1.2 A组 1、2、


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