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广东省东莞市2012-2013学年度第一学期高三调研测试文科数学试卷(扫描版)


东莞 2012-2013 学年度第一学期高三调研测试 文科数学参考答案
一、选择题(每小题 5 分,满分 50 分.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案

C

D

A

C

D

B
<

br />D

B

B

C

二、填空题(每小题 5 分,满分 20 分. ) 11.

4 3 ? i 5 5

;12.4;

13.-5 ; 14.

(2, ) ; 15. 150? . 6

?

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分. ) 16.(本小题满分 12 分) 解:(1)由 m ? n ,得 m? n = c sin 2 B ? b sin C ? 0 , 由正弦定理得 sin C ? 2 sin B cos B ? sin B sin C ? 0 , 因为 0 ? B ? ? , 0 ? C ? ? , 所以 sin B ? 0 , sin C ? 0 ,从而有 2 cos B ? 1 ? 0 , cos B ? ? 故 B ? 120 .
?

……………2 分 ……………4 分

1 , 2
……………6 分

(2)由 S ?ABC =

1 3 3 ac sin B ? ,得 ac ? 3 . 2 4
2 2 2

……………8 分

又由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,得

1 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac(? ) ? a 2 ? c 2 ? 3 ? 2ac ? 3=9 , 2
当且仅当 a ? c ? 3 时等号成立, 所以, b 的最小值为 3 .

……………10 分 ……………11 分 ……………12 分

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)因为各组的频率之和等于 1, 所以分数在 ?60,70? 内的频率为:

f ? 1 ? (0.005? 0.015? 0.030 ? 0.025? 0.010) ? 10 ? 0.15 , ……………3 分
所以第三组 ?60,70? 的频数为 120 ? 0.15 ? 18 (人). 完整的频率分布直方图如图.
频率
组距
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 40 50 60 70 80 90 100

……………4 分 ……………6 分

分数

(2) 因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点, 从图中可看出众数的估计 值为 75 分. 又根据频率分布直方图,样本的平均数的估计值为: ……………8 分

45? (10? 0.005) ? 55? (10? 0.015) ? 65? (10? 0.015) ? 75? (10? 0.03) ? 85? (10 ? 0.025) ? 95? (10? 0.01) ? 73.5(分). ………11 分
所以,样本的众数为 75 分,平均数为 73.5 分. ………12 分

18.(本小题满分 14 分) 解:(1)因为 S n 和 ? 3S n ?1 的等差中项是 ?

3 , 2

所以 Sn ? 3Sn?1 ? ?3 ( n ? N * ) ,即 S n ?1 ? 1 S n ? 1 , ……………2 分 3 3 1 3 1 1 1 3 由此得 S n ?1 ? ? ( S n ? 1) ? ? S n ? ? ( S n ? ) ( n ? N * ) ,………3 分 2 3 2 3 2 3 2

3 2 ? 1 ( n? N* ) 即 , 3 3 Sn ? 2 S n ?1 ?
又 S1 ? 3 ? a1 ? 3 ? ? 1 , 2 2 2

……………4 分

1 1 3 为首项, 为公比的等比数列. ……………5 分 3 2 2 3 1 1 n ?1 3 1 1 (2)由(1)得 S n ? ? ? ? ( ) ,即 S n ? ? ( ) n ?1 ( n ? N * ) ,………6 分 2 2 3 2 2 3 3 1 1 n ?1 3 1 1 n?2 1 所以,当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? [ ? ( ) ] ? [ ? ( ) ] ? n ?1 ,…8 分 2 2 3 2 2 3 3
所以数列 {S n ? } 是以 ? 又 n ? 1 时, a1 ? 1 也适合上式, 所以 an ?

1 (n ? N * ) . 3n ?1

……………9 分

(3)要使不等式 k ? Sn 对任意正整数 n 恒成立,即 k 小于或等于 S n 的所有值. 又因为 S n ?

3 1 1 n ?1 ? ( ) 是单调递增数列, 2 2 3
3 1 1 1?1 ? ( ) ? 1, 2 2 3

……………10 分

且当 n ? 1 时, S n 取得最小值 S1 ?

……………11 分

要使 k 小于或等于 S n 的所有值,即 k ? 1 , 所以实数 k 的最大值为 1 .

……………13 分 ……………14 分

19.(本小题满分 14 分) 证明:(1)因为在图 a 的等腰梯形 PDCB 中, DA ? PB , 所以在四棱锥 P ? ABCD 中, DA ? AB , DA ? PA . 又 PA ? AB ,且 DC // AB ,所以 DC ? PA , DC ? DA , 而 DA ? 平面 PAD , PA ? 平面 PAD , PA ? DA ? A , 所以 DC ? 平面 PAD . 因为 DC ? 平面 PCD , 所以平面 PAD ? 平面 PCD . 解:(2)因为 DA ? PA ,且 PA ? AB 所以 PA ? 平面 ABCD , 又 PA ? 平面 PAB , 所以平面 PAB ? 平面 ABCD . 如图,过 M 作 MN ? AB ,垂足为 N , 则 MN ? 平面 ABCD . 在等腰梯形 PDCB 中, DC // PB , ……5 分 D A O C N B P M …………4 分 …………3 分 …………1 分 …………2 分

PB ? 3DC ? 3, PD ? 2 , DA ? PB ,
所以 PA ? 1, AB ? 2 , AD ? 设 MN ? h ,则

PD2 ? PA2 ? 1 .

…………6 分

1 1 1 1 1 1 VM ? ABC ? S ?ABC ? h ? ? ? AB ? DA ? h ? ? ? 2 ?1? h ? h . …………7 分 3 3 2 3 2 3 1 1 ( DC ? AB ) ? AD 1 1? 2 1 VP ? ABCD ? S梯形ABCD ? PA ? ? ? PA ? ? ? 1? 1 ? . 3 3 2 3 2 2 1 1 VPM ? ACD ? VP ? ABCD ? VM ? ABC ? ? h . …………8 分 2 3 1 1 1 2 因为 VPM ? ACD : VM ? ABC ? 5 : 4 ,所以 ( ? h) : h ? 5 : 4 ,解得 h ? .………9 分 2 3 3 3 BM MN 2 2 1 ? ? 在 ?PAB中, , 所以 BM ? BP , MP ? BP . BP PA 3 3 3
所以 PM : MB ? 1 : 2 . …………10 分

(3)在梯形 ABCD 中,连结 AC 、 BD 交于点 O ,连结 OM .

DO DC 1 ? ? . OB AB 2 PM 1 DO PM ? , 所以 ? 又 , OB MB MB 2
易知 ?AOB ∽ ?DOC ,所以 所以在平面 PBD 中,有 PD // MO . 又因为 PD ? 平面 AMC , MO ? 平面 AMC , 所以 PD // 平面 AMC .

…………11 分 …………12 分 …………13 分

…………14 分

20.(本小题满分 14 分) 解:(1)由题意可得,

MA ? MB ? (?1 ? x,1 ? y) ? (1 ? x,1 ? y) ? (?2x,2 ? 2 y) ,
所以 | MA ? MB |? 又4?

…………1 分

(?2 x) 2 ? (2 ? 2 y ) 2 ? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 8 y ? 4 , …………2 分
…………3 分

1 1 OM ? (OA ? OB ) ? 4 ? ( x, y ) ? (0,2) ? 4 ? y , 2 2

2 2 所以 4 x ? 4 y ? 8 y ? 4 ? 4 ? y ,即

x2 y2 ? ? 1. 3 4

…………4 分

(2)因为过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M , N 关于坐标原点对称, 所以可设 P( x, y), M ( x0 , y0 ), N (? x0 ,? y0 ) . 因为 P, M , N 在椭圆上,所以有 …………5 分

x2 y2 ? ? 1 , ………① 3 4

x2 0 3

?

y2 0 4

? 1 , ………②

…………6 分

①-②得
2 y 2 ? y0 4 ?? . 2 2 3 x ? x0

又 k PM ?

y ? y0 y ? y0 , k PN ? , x ? x0 x ? x0
2 y ? y0 y ? y0 y 2 ? y0 4 ? ? ? 2 ?? , 2 x ? x0 x ? x0 3 x ? x0

…………7 分

所以 k PM ? k PN

…………8 分 …………9 分

故 k PM ? k PN 的值与点 P 的位置无关,与直线 L 也无关.

(3)由于 P ( x, y ) 在椭圆 C 上运动,椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,故 ? 2 ? y ? 2 ,且 3 4
…………10 分

x2 ? 3 ?

3 2 y . 4

因为 MP ? ( x, y ? m) ,所以

| MP |? x 2 ? ( y ? m) 2 ?

1 2 y ? 2m y ? m2 ? 3 4
…………12 分

?

1 ( y ? 4m) 2 ? 3m 2 ? 3 . 4

由题意,点 P 的坐标为 (0,2) 时, | MP | 取得最小值,即当 y ? 2 时, | MP | 取得最 小值,而 ? 2 ? y ? 2 ,故有 4m ? 2 ,解得 m ?

1 . 2

…………13 分

又椭圆 C 与 y 轴交于 D、E 两点的坐标为 (0,2) 、 (0,?2) ,而点 M 在线段 DE 上, 即 ? 2 ? m ? 2 ,亦即

1 1 ? m ? 2 ,所以实数 m 的取值范围是 [ ,2] .…………14 分 2 2

21.(本小题满分 14 分)
' 解: (1)由 f ( x) ? ax ? b ln x ? c 知, f (x) 的定义域为 (0,??) , f ( x ) ? a ?

b , …1 分 x

又 f (x) 在 x ? e 处的切线方程为 (e ? 1) x ? ey ? e ? 0 ,所以有

f ' (e) ? a ?

b e ?1 ?? ,① e e

…………2 分 …………3 分 …………4 分 …………5 分

由 x ? 1 是函数 f (x) 的零点,得 f (1) ? a ? c ? 0 ,②
' 由 x ? 1 是函数 f (x) 的极值点,得 f (1) ? a ? b ? 0 ,③

由①②③,得 a ? ?1 , b ? 1 , c ? 1 . (2)由(1)知 f ( x) ? ? x ? ln x ? 1( x ? 0) , 因此, g ( x) ? x ? mf ( x) ? x ? mx ? m ln x ? m( x ? 0) ,所以
2 2

g ' ( x) ? 2 x ? m ?

m 1 ? (2 x 2 ? mx ? m)( x ? 0) . x x

…………6 分

要使函数 g (x) 在 (1,3) 内不是单调函数,则函数 g (x) 在 (1,3) 内一定有极值,而

g ' ( x) ?

1 (2 x 2 ? mx ? m) ,所以函数 g (x) 最多有两个极值. x

…………7 分

令 d ( x) ? 2x2 ? mx ? m( x ? 0) . (ⅰ)当函数 g (x) 在 (1,3) 内有一个极值时, g ' ( x) ? 0 在 (1,3) 内有且仅有一个根,即

d ( x) ? 2x 2 ? mx? m ? 0 在 (1,3) 内有且仅有一个根,又因为 d (1) ? 2 ? 0 ,当
d (3) ? 0 ,即 m ? 9 时, d ( x) ? 2x 2 ? mx? m ? 0 在 (1,3) 内有且仅有一个根
x?
所以有 m ? 9 .

3 2 ,当 d (3) ? 0 时,应有 d (3) ? 0 ,即 2 ? 3 ? 3m ? m ? 0 ,解得 m ? 9 , 2
………8 分
'

.(ⅱ)当函数 g (x) 在 (1,3) 内有两个极值时, g ( x) ? 0 在 (1,3) 内有两个根,即二次函 数 d ( x) ? 2x ? mx? m ? 0 在 (1,3) 内有两个不等根,所以
2

?? ? m 2 ? 4 ? 2 ? m ? 0, ? ?d (1) ? 2 ? m ? m ? 0, ?d (3) ? 2 ? 32 ? 3m ? m ? 0, ? m ?1 ? ? 3, ? 4
解得 8 ? m ? 9 . 综上,实数 m 的取值范围是 (8,??) .
' (3)由 h( x) ? f ( x) ? 1 ? ? x ? ln x( x ? 0) ,得 h ( x ) ?

…………9 分 …………10 分

1? x , x

令 h ( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,即 h(x) 的单调递减区间为 ?1,??? .
'

由函数 h(x) ? ? x ? ln x( x ? 0) 在 ?1,??? 上单调递减可知, 当 x ? (1,??) 时, h( x) ? h(1) ,即 ? x ? ln x ? ?1 , 亦即 ln x ? x ? 1 对一切 x ? (1, ??) 都成立, …………11 分

ln x x ? 1 ? 对一切 x ? (1, ??) 都成立, x x ln 2 1 ? , 所以 0 ? 2 2 ln 3 2 0? ? , 3 3
亦即 0 ?

…………12 分

0?

ln 4 3 ? , 4 4



0?
所以有

ln 2012 2011 ? , 2012 2012

…………13 分

ln 2 ln 3 ln 4 ln 2012 1 2 3 2011 ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? , 2 3 4 2012 2 3 4 2012 ln 2 ln 3 ln 4 ln 2012 1 ? ? ?? ? ? 所以 . 2 3 4 2012 2012

…………14 分


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