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1-2随机事件的概率及古典概型


授课题目 首次授课时间 教学目标

§1.2 随机事件的概率 §1.3 古典概型及几何概型 2010-9-8 理解频率与概率的基本概念,掌握概率的基本性质 掌握古典概型、几何概型及其计算

授课类型 学时

讲授 2

重点与难点

重点:概率的基本概念与基本性质,掌握古典概型、几何概型及其计算 难点:概率的基本概念,掌握古典概型、几何概型及其计算

教学手段与方法 多媒体;讲授 教学过程: (包括授课思路、过程设计、讲解要点及各部分具体内容、时间分配等) ㈠授课思路:首先由频率引入概率的概念,重点讲解随机事件与概率的公理化定义和性 质;引入古典概型,并研究其计算方法。 ㈡过程设计 ⒈稳定课堂秩序,组织教学; ⒉复习引入新课; ⒊讲授新课 ⒋课堂练习与讨论 ⒌课堂小结与布置作业 ㈢讲解要点及各部分具体内容 复习:样本点,点本空间,随机事件,事件的关系和运算及事件的运算规律
1、差化积: A ? B ? AB ? A ? AB ; 事件 A 和事件 B 内容无限丰富 AB ? C ? ABC ; 积化差: ABC ? A ? BC ;左右方向熟练会用 2、将事件划为互不相容的两个事件的和

A B ? A (B ? A) ? A BA ? A AB
3、对偶律: A

B ? A B ,并的逆等于逆的交;

A B ? A B ,交的逆等于逆的并
n

推广(可列个或有限个事件) :
i ?1

Ai ?

n

n

Ai ,
i ?1 i ?1

Ai ?

n

Ai
i ?1

说明:事件的运算顺序是:逆交并差,括号优先 在上一节中,我们学习了随机事件,我们知道在一次随机试验中,这个随机事件是否会 发生,事先不能确定,有的同学会问:这个随机事件发生的可能性有多大哪?这就是我们本 节课要讨论的问题。
1



§1.2 随机事件的概率 频率描述了事件发生的频繁程度,本节从频率的概念出发,进而引出概率。 频率及其性质 定义 1 若 在 相 同 条 件 下 进 行 n 次 试 验 , 其 中 事 件 A 发 生 的 次 数 为 rn ( A) , 则 称

f n ( A) =

rn ( A) 为事件 A 发生的频率。 n 例如:随机试验:抛一枚硬币出现正反面的情况。

在相同条件下进行 10 次试验,出现正面 4 次。设事件 A 为出现正面,则 f n ( A) = 易见其性质: 1. 0 # f n ( A) 1; 2. f n (S ) = 1; 因 0 #rn ( A)

4 = 0.4 10

n

样本空间 S={正面,反面}是一个必然事件。做一次试验,事件 S 发生一次,即事件 S 发 生的的次数等于试验次数,所以频率是 1。 3. 设 A, B 是互不相容的事件, 则 fn ( A B) = fn ( A) + fn ( B) 事件 A 与事件 B 和事件的频率等于频率的和

设事件 B 为硬币出现反面 分析:若 A∪B 发生,意味着 A、B 中至少发生其中之一,又因为 A 与 B 互不相容(即不能
同时发生),所以 A∪B 发生的次数一定是 A 发生次数与 B 发生次数之和,即 rA
B

? rA ? rB 。

推广:设 A1 , A2 , ?, An 是两两互不相容的事件, 则 fn ( A1

A2

An ) = f n ( A1 ) + f n ( A2 ) +

+ f n ( An )

历史上许多学者对于抛掷硬币出现正反面的情况作过试验。其事实表明,当试验次数增 大时,事件发生的频率稳定在一个确定的数附近,可就说明了表征随机事件发生可能性的数 —概率是客观存在的。 定义 2(概率的统计定义) 在相同条件下重复进行 n 次试验,若事件 A 发生的频率 r ( A) f n ( A) = n 随着试验次数 n 的增大而稳定地在某个常数 p (0 #p 1) 附近摆动, 则称 p 为事 n 件的概率,记为 P( A) . 简述为: lim f n ( A) ? p ? P( A)
n ??

我们在第四章将证明,当样本容量足够大时,频率在一定意义下接近概率。 频率的稳定值是概率的外在表现, 并非概率的本质. 据此确定某事件的概率是困难的, 但当进行大量重复试验时,频率会接近稳定值。 因此,在实际应用时,试验次数总是有限的, n 要多大,准确到什么程度,定义中没有明显的表述。 经过近三个世纪的漫长探索历程, 1933 年, 前苏联著名的数学家柯尔莫哥洛夫, 第一次 将概率论建立在严密的逻辑基础上.人们才真正完整地解决了概率的严格数学定义. 柯尔莫哥洛夫:1939 年任苏联科学院院士.先后当选英, 法,美,意,荷,德等国的外籍院 士及皇家学会会员. 是 20 世纪最有影响的俄国数学家.
2



概率的公理化定义 定义 3 设 E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于 E 的每一个事件 A 赋于一个实数, 记为

P( A) , 若 P( A) 满足下列三个条件:

1. 非负性:对每一个事件 A ,有 P( A) ? 0 ; 2. 完备性(规范性) : P( S ) = 1; 3. 可列可加性:设 A1, A2 ,? 是可列个两两互不相容的事件,则有 P( 则称 P( A) 为事件 A 的概率.
P( A) =p 实际上是定义在样本空间上的函数,类似于 f(x)=y.
? i= 1

Ai ) =

?

?

P( Ai ).

i= 1

三 概率的性质 1、 P (f )=0; 注:不可能事件的概率为 0,但反之不然。 证明:令 An ? ?(n ? 1, 2, ), 则 由概率的可列可加性得:
? ?? ? ? P ? ? ? ? P ? An ? ? ? P ? An ? ? ? P ? ? ? n ?1 ? n?1 ? n?1
? n ?1

An ? ?, Ai Aj ? ?, i ? j, i, j ? 1, 2,

.

由概率的非负性知: P ? ?? ? 0, 故由上式知 P ? ?? ? 0,
?

方法 2:令
i ?1

?i

? ?? ? ? S ? S 且 P ? ?i ? ? ? P ? ?i ? ? ? P ? ? ? i ?1 ? i ?1 ? i ?1

?? ? P ? ?i ? ? P(S ) ? P(S ) ? i ?1 ? ?? ? ? P ? ?i ? ? 0 ? i ?1 ?
? ?? ? ? 由概率的可列可加性得: P ? ?i ? ? ? P ? ?i ? ? ? P ? ? ? i ?1 ? i ?1 ? i ?1

由概率的非负性知: P ? ?? ? 0, 故由上式知 P ? ?? ? 0, 2、有限可加性 设 A1 , A2 ,?, An 是两两互不相容事件, 则

P( A1

A2

An ) = P( A1 ) + P ( A2 )+?+ P ( An ) ;

3

3、 P ( A) =1- P ( A) 因为

A

A = S且AA = ,A与A互不相容 A) = P ( A) + P ( A)

1 =P (S ) = P ( A

注意:互不相容事件和的概率等于概率的和 4、设 A,B 是任意两个事件, P ? A ? B? ? P ? A? ? P ? AB? 特别的 若 B ? A ,则(1) P ? A ? B? ? P ? A? ? P ? B ? ; (2) P ? A? ? P ? B ? 证明:因为 A ? ( A ? B)
AB 且 ( A ? B) AB ? ?

则 P ? A? ? P ? A ? B? ? P ? AB? ,即 P ? A ? B? ? P ? A? ? P ? AB? 若 B ? A ,则 AB ? B ,所以上式 P ? A ? B? ? P ? A? ? P ? B ? 因 P ? A ? B ? ? 0 ,所以 P ? A? ? P ? B ? 5、对于任一事件 A,有 P ( A) ? 1 因 A ? S则P( A) ? P(S ) ? 1 .可得 0 ? P( A) ? 1 6、 (加法公式)对于任意两事件 A、B, 有 P( A B) = P( A)+ P(B)- P ( AB) 证明:因 A B ? A
则 P( A

? B ? AB? 且 A ? B ? AB? ? ?

B) = P( A)+ P(B - AB),又因 AB ? B ,所以 P(B - AB) = P(B)- P( AB)

推广: P( A B C) = P( A)+ P(B)+ P(C)- P( AB)- P(BC)- P(CA)+ P( ABC) 四 典型例题讲解 例 1(吴赣昌讲义例 4)已知 P( A ) ? 0.5, P( A B) ? 0.2, P( B) ? 0.4 , 求 (1) P( AB) ; (2) P( A ? B) ; (3) P( A ? B) ; (4) P( A B ) . 分析: (1)已知 P( A B) ? 0.2, 和 P( B) ? 0.4 求 P( AB) 因 AB ? AB ? B( A ? A) ? B 且 AB与AB互不相容 ,则 P( AB) ? P( AB) ? P(B) , A ? B ? A ? AB, 则P( A ? B)=P( A ? AB), 又因AB ? A, (2)因 记住结论 P( A ? AB)=P( A)-P( AB),即P( A ? B)=P( A)-P( AB) (4) P( AB) ? P( A B) ? 1 ? P( A B) 0.2 0.3 0.7 0.3 例 2(吴赣昌讲义例 5) 某城市中发行 2 种报纸 A, B. 经调查, 在这 2 种报纸的订户 中, 订阅 A 报的有 45%,订阅 B 报的有 35%, 同时订阅 2 种报纸 A, B 的有 10%. 求只订一种报
4
? ?

纸的概率 a. (0.6) 解:设 A={订阅 A 报},B={订阅 B 报},则{只订一种报}= ( A ? B ( B ? A) 且两事件互不相容 则 ? ? P( A ? B) ? P( B ? A) ? P( A) ? P( AB) ? P( B) ? P( AB) §1.3 古典概型与几何概型 一、古典概型 1.定义: 1)随机试验只有有限个可能的结果;(有限性) 2)每一个结果发生的可能性大小相同.(等可能性) 因而古典概型又称为等可能概型. 2. 古典概率计算公式

S ? ??1, ?2 ,
P( A) ?

, ?n ? , A ? ??1, ?2 ,

, ?k ?

k A包含的样本点数 A包含的基本事件数 ? ? . n S中样本点的总数 S中基本事件的总数

小注:基本事件:只包含一个样本点的事件。 3. 利用古典概率公式计算概率的步骤 1) 设出所求事件 A、B、C 等 2) 求出样本空间所包含的样本点(基本事件)总数 3) 求出事件所包含的样本点(基本事件)个数 4) 套用公式计算可得 二、计算古典概率的方法 1 加法原理:设完成一件事有 m 种方式, 无论通过哪种方式都可以完成这件事。其中 第一种方式有 n1 种方法,第二种方式有 n 2 种方法,??,第 m 种方式有 nm 种方法,则完成这件 事的方法总数为 n1 ? n2 ? ? ? nm . 2 乘法原理:设完成一件事有 m 个步骤, 完成该件事必须通过每一步骤才算完成。其 中第一个步骤有 n1 种方法,第二个步骤有 n 2 种方法,??,第 m 个步骤有 nm 种方法;则完成 这件事的方法总数为 n1 ? n2 ? ?? nm . 3 排列组合方法 (1)排列公式:从 n 个不同的元素中任取 k 个的不同排列数为
Pnk ? n(n ? 1)(n ? 2)...(n ? k ? 1) ? n! k ? k !Cn ; (n ? k )!
n P n ? n!

(2)组合公式;从 n 个不同的元素中任取 k 个的不同组合数为
k k k Pnk ? Pkk Cn ? k !Cn ? Cn ?

Pnk n! ? k ! k !(n ? k )!

k n ?k Cn ? Cn

例 1 一个袋子中装有 10 个大小相同的球, 其中 3 个黑球, 7 个白球, 求

(1) 从袋子中任取一球, 这个球是黑球的概率;
5

1 解:设事件 A表示取到的球是黑球 ,则样本空间包含的基本事件总数 n ? C10 ,,
1 k C3 3 ? 1 ? n C10 10

1 则 A 的基本事件数 k ? C3 , P( A) ?

(2)从袋子中任取两球, 两个球全是黑球的概率. 分析:如何取球? 第一种方式:第一次取一只球,观察其颜色后放回袋中,搅匀后再取一球,这种方式称为放回抽样
1 1 解:设事件 B 表示取到的两球全是黑球,则样本空间包含的基本事件总数 n ? C10 , C10
1 1 C k C3 9 ? 1 3 ? 1 n C10C10 100

1 1 则 A 的基本事件数 k ? C3 C3 , P( B) ?

第二种方式:第一次取一只球后不放回袋中,第二次从剩余的球中再取一球,这种方式称为不放回抽样
1 1 解:设事件 B 表示取到的两球全是黑球,则样本空间包含的基本事件总数 n ? C10 , C9
1 1 C k C3 1 ? 1 21 ? n C10C9 15

1 1 则 A 的基本事件数 k ? C3 C2 , P( B) ?

k C32 1 逐次取两球相当于一次从袋中取两球 P( B) ? ? 2 ? ,以后均采用这种方法。 n C10 15
说明:(1)以后不加说明的情况下均按不放回抽样解决问题。 (2)不放回地逐次取 m 个球, 与一次任取 m 个球算得的结果相同. (3)从袋子中任取两球, 刚好一个白球一个黑球的概率.

解:设事件 C 表示取到的两球一个白球一个黑球,则 P(C ) ?
(4)从袋子中任取两球, 至少一个球是黑球的概率.

1 1 C k C3 7 ? 27 ? n C10 15

解:设事件 D 表示取到的两球中至少一个球是黑球, 方法 1:事件 D 至少一个球是黑球:包括一黑一白和两个黑球 则 P( D) ?
1 1 8 C7 ? C32 8 k C3 ? ? 或者 P( D) ? P( B) ? P(C ) ? 2 15 n C10 15

方法 2:从袋中任取两球:包括一黑一白和两个黑球和两个白球三种可能 事件 D 至少一个球是黑球:包括一黑一白和两个黑球,因此取到的两个球全是白球是事件 D 的逆事件
2 C7 8 则 P ( D) ? 1 ? 2 ? C10 15

(5)从袋子中任取两球, 至多一个球是黑球的概率.

解:设事件 E 表示取到的两球中至多一个球是黑球, 方法 1:事件 E 至多一个球是黑球:包括一黑一白和两个白球
6

则 P( E ) ?

1 1 2 C7 ? C7 k C3 14 ? ? 2 n C10 15

方法 2:从袋中任取两球:包括一黑一白和两个黑球和两个白球三种可能 事件 E 至多一个球是黑球:包括一黑一白和两个白球,因此取到的两个球全是黑球是事件 D 的逆事件 则 P( E ) ?? 1 ? P( B) ? 1 ?

C32 14 ? 2 C10 15

类似练习:一批产品共 100 个, 次品有 6 个, 从中任取 3 个产品,求(1)恰有 2 个是次品的概

率; (2) 至少有一个是次品的概率; (3) 至多有一个是次品的概率;(超几何分布) 例 2 将 3 个球随机放入 4 个杯子中, 问杯子中球的个数最多为 1, 2, 3 的概率各是多少? (球可 区分) 解:设事件 A、B、C 分别表示杯子中球的个数最多为 1, 2, 3 的事件 样本点总数(每个球都可以放到 4 个杯子中的任何一个) :n=4*4*4
3 (1)最多 1 个:从 4 个杯子中任取 3 个, C4 种,再把三个球全排列 3! P( A) ?
3 C4 3! 3 ? 4* 4* 4 8

(2)最多 2 个:从 4 个杯子中取 1 个杯子,4 种;再从 3 个球中取两个球并在一起放入该杯子 中 , C32 种 ; 最 后 将 剩 下 的 一 个 球 放 入 余 下 的 三 个 杯 子 中 的 一 个 , 3 种 。 共 4* C32 *3,
2 4* C3 *3 P( B) ? 4*4*4

(3)最多 3 个:从 4 个杯中选 1 个将 3 个球全部放入,共 4 种。 P (C ) ?

4 4* 4* 4

说明: (1)将 3 个球随机放入 4 个杯子中,可能方法为事件 A B C ,
B C ? S ,且 A、B、C 互不相容,则 P(B)=1- P(A)- P(C) (2)例 2 中的球如果放到盒子中称为“盒子模型” ,可应用于很多类似场合,球与盒子的关 系可看做是人和生日的问题、人和房子的问题、信和邮筒的问题。 例 4 在 1~2000 的整数中随机地取一个数, 问取到的整数既不能被 6 整除, 又不能被 8 整除的 概率是多少?
显然 A

三、几何概型 古典概型只考虑了有限、等可能结果的随机试验的概率模型. 这里我们进一步研究样本 空间为一线段、平面区域或空间立体等的无限可能结果的等可能随机试验的概率模型—几何 概型(等可能概型的推广). 引例:向[0, 1] 内随机地进行投点试验,点落在 [0 , 1]内任一点处是等可能的,求点落在 [1/3,1/2]内的概率?1/6 如果一个随机试验具有以下两个特点: 1、样本空间 S 是一个大小可以计量的几何区域(如线段、平面、立体) 。 2、向区域内任意投一点,落在区域内任意点处都是“等可能的” 。
7

那么,事件 A (表示点落在区域 A 内)的概率由下式计算:
P( A) ? A的大小(长度、面积、体积) S的大小(长度、面积、体积)

例 1 如图,设试验 E 为“ 随机地向边长为 1 的正方形内投点” 1、事件 A 为“点投在对角线 AC 上” ,求其概率 2、事件 B 为“点投在三角形 OAC 和三角形 ABC 内” ,求其概率 解:样本空间是正方形区域 A的面积 0 P( A) ? ? ?0 S的面积 1 1 1 ?1?1 ? ?1?1 B的面积 2 2 P ( B) ? ? ?1 S的面积 1
y

A

B

O

C

x

不可能事件的概率是 0,反之不成立。 必然事件的概率是 1,反之不成立。 事件 A 的概率是 0,但是事件 A 可能发生(即点可能投在对角线 AC 上) 。 事件 B 的概率是 1, 但是事件 B 不一定发生 (即点可能投在对角线 AC 上, 事件 B 不一定发生, 即不一定落在两个三角形的内部) 。 例 2 (会面问题) 甲、乙两人相约在 7 点到 8 点之间在某地会面, 先到者等候另一人 20 分 钟, 过时就离开. 如果每个人可在指定的一小时内任意时刻到达, 试计算二人能够会面的概 率. 思考题、讨论题、作业 思考题例 3(课后题)设 A,B 是两事件且 P ? A? ? 0.6, P ? B? ? 0.7 (1)在什么条件下 P ? AB? 取到最大值,最大值是多少? (2)在什么条件下 P ? AB? 取到最小值,最小值是多少? 解:由 P ? AB ? ? P ? A? ? P ? B ? ? P ? A ? B ? 知 (1)从 0 ? P ? AB ? ? P ? A? 知,当 AB ? A ,即 A ? B 时 P ? AB? 取到最大值,最大值为

P ? AB ? ? P ? A? ? 0.6 ,
(2) ,当 A B ? ? 时, P ? AB? 取最小值,最小值 作业 11 页 4 30 页 8 放回和不放回取样的体会 教学后记

8


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