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省优质资源课件 21. 三角函数的图象与性质


第21讲

三角函数的图象与性质
第一高级中学

主要内容
一、聚焦重点 三角函数的周期性与单调性. 二、廓清疑点

三角函数的初相 ? 的确定.
三、破解难点 三角函数的图象变换.

聚焦重点:三角函数的周期性

问题研究
如何求形如

函数 y ? A sin(? x ? ? ), ( A ? 0, ? ? 0) 的周期?

基础知识
1.函数 y ? A sin ?? x ? ? ? 或 y ? A cos ?? x ? ? ?
A ? 0, ? ? 0, x ? R) 的周期 (其中 A, ? , ? 为常数, 2π 为T ? . |? |

2.函数 y ? A tan ?? x ? ? ?(其中 A, ? , ? 为常数, π A ? 0, ? ? 0, x ? R) 的周期为T ? . |? |

经典例题1
例 1 (1)求下列函数的周期:
π 1 ① f ( x) ? 2cos(2 x ? ) ; ② y ? tan (π ? x) . 6 3 π 2π (2)已知 y ? sin(? x ? ) 的最小正周期为 , 4 3

则? ?

.

思路分析
例 1 (1)求下列函数的周期:

1 ?? ? 3

π 1 ① f ( x) ? 2cos(2 x ? ) ; ② y ? tan (π ? x) . 6 3 π 2π (2)已知 y ? sin(? x ? ) 的最小正周期为 , 4 3

则? ?

.

T?



?

?

求解过程
解 (1)
2π π ? π; ①函数 f ( x) ? 2cos(2 x ? ) 的周期是T ? 2 6 1 π π ? ? 3π . ②函数 y ? tan (π ? x) 的周期是T ? 3 |? | | ?1 | 3 2π 2π (2) T ? ? , ?? ? ?3. |? | 3

回顾反思
(1)解题关键:周期计算公式.

(2)基本策略:先确定 ? .
(3)思维误区:忽视 ? 的正负;

混淆弦、切的周期计算公式.

聚焦重点:三角函数的单调性

问题研究
如何求形如函数 y ? A sin(? x ? ? ), ( A ? 0, ? ? 0) 的单调区间?

y
?
-4? -3? -2? -?

基础知识
y=sinx
? 2
?

π 2

1

o
-1

3π 2

2?

3?

4?

5?

6?

x

π ? π ? 在每一个闭区间 ? ? ? 2kπ, ? 2kπ ? (k ? Z) 上单调递增; 2 ? 2 ? 3π ?π ? 在每一个闭区间 ? ? 2kπ, ? 2kπ ? (k ? Z)上单调递减. 2 ?2 ?

基础知识
y
1
-4? -3? -2? -?

y=cosx
? 2? 3? 4?

o
-1

5?

6?

x

在每一个闭区间 ? ? π ? 2kπ,2kπ ? (k ? Z) 上单调递增;

在每一个闭区间 ? 2kπ, π ? 2kπ ? (k ? Z) 上单调递减.

基础知识
y=tanx

y
3? ? 2

??

?

?
2

o

?
2

?

3? 2

x

π ? π ? 每一个开区间 ? ? ? kπ, ? kπ ? (k ? Z) 上 2 ? 2 ? 都是单调递增函数.

经典例题2
例2
π 求函数 y ? 3cos( ? 2 x) 的单调递增区间. 3

思路分析
例2

π 思路 1:直接由 ? π+2kπ ≤ ? 2 x ≤ 2kπ, k ? Z 求 3 π y ? cos( ? 2 x) 的递增区间. 此法有误! 3

π 求函数 y ? 3cos( ? 2 x) 的单调递增区间. 3

π 思路 2: 要求 y ? cos( ? 2 x) 的递增区间,由于函数 3 π u ? ? 2 x 为减函数, 只须考虑 y ? cos u 的递 3
减区间.

诱导公式错! π 思路 3: 利用诱导公式将 u ? ? 2 x 中 2x 前的负号转化为正 3 π π 号.又∵ y ? cos( ? 2 x) ? ? cos(2 x ? ) , 3 3 π ∴要求 y ? cos( ? 2 x) 的增区间, 即求 y ? cos u 的减 3 区间. 易错点

思路分析

π π 思路 4:∵ y ? cos( ? 2 x) ? cos(2 x ? ) , 3 3 π π t ? 2x ? , 设 y ? cos t , ∵t ? 2 x ? 为增函数, 3 3 π ∴要求 y ? cos(2 x ? ) 的增区间, 即求 y ? cos t 3

的增区间.

求解过程
π 解法1 令 y ? cos u ,其中u ? ? 2 x . 3

∵ y ? cos u 在 0 ≤u ≤ π 上递减,
π ∴0 ≤ ? 2 x ≤ π , 3 易错点 π π 即? ≤ x ≤ . 3 6 π π π ∴ y ? cos( ? 2 x) 增区间[ ? ? 2kπ , ? 2kπ ] (k ? Z) . 3 3 6





求解过程
解法 2
π 令 y ? cos u ,其中 u ? ? 2 x . 3

∵ y ? cos u 在 2kπ ≤ u ≤ 2kπ ? π, (k ? Z) 上递减,
π ∴ 2kπ ≤ ? 2 x ≤ 2kπ ? π(k ? Z) , 3 易错点 π π 即 ? ? kπ ≤ x ≤ ? kπ(k ? Z) . 3 6 π π π ∴ y ? cos( ? 2 x) 增区间[ ? ? kπ , ? kπ ] (k ? Z) . 3 3 6

解法 3

π 令 y ? cos t ,其中t ? 2 x ? . 3

求解过程

∵ y ? cos t 在 π ? 2kπ ≤ t ≤ 2π ? 2kπ, (k ? Z) 上递增,
π ∴ 令 π ? 2kπ ≤ 2 x ? ≤ 2π ? 2kπ(k ? Z) , 3 2π 7π 即 ? kπ ≤ x ≤ ? kπ, (k ? Z) . 3 6 π 2π 7π ∴ y ? cos( ? 2 x) 增区间为[ ? kπ , ? kπ ] (k ? Z) . 3 3 6 π π π π ' ' ' [ ? ? k π , ? k π ]( k ? Z ) [ ? ? kπ , ? kπ ] (k ? Z) 3 6 3 6

2π 7π ' ' k ? ( k ' ? 1) π ? ( k ? 1) π [ , ]( ? Z ) 3 6

回顾反思
(1)思想方法:换元化归转化;注意整体代入.

(2)基本策略:注意复合函数,回归基本函数.
(3)方法比较:三种解法均可,方法三经济简洁. (4)误点警示:解法一易忽视周期性; 解法二易忽视内函数的单调性 ; 解法三易忽视诱导公式. (5)思维误区:错误解读A、ω正负、函数的周期.

廓清疑点:三角函数初相? 的确定

问题研究
由 图 象 求 函 数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 解 析式时,如何确定初相? ?

基础知识
在 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 中 A——振幅;
1 f= ——频率; T

T=



?

——周期;

ωx+? ——相位;

x=0 时的相位? ——初相

经典例题3
例 3 已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0,| ? |? π ) 的一段图象如下图所示,求函数的解析式.
y
2

3π 8

π ? 8

O
?2

x

思路分析
例 3 已知函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0,| ? |? π ) 的一段图象如下图所示,求函数的解析式.
y
2

3π 8

T 3π π π A ? 2, ? ? (? ) ? . 2 8 8 2
x

π ? 8

O
?2

?T ? π, ? ? ? 2.

? y ? 2 sin(2 x ? ? ).
疑点:如何确定初相呢?

例 3 已知函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0,| ? |? π ) 的一段图象如下图所示,求函数的解析式.
y
2

思路分析

π 8

3π 8

y ? 2 sin( 2 x ? ? ).
π 思路1:将最高点 ( ? , 2) 代入. 8 x 3π 思路2:将最低点 ( , ?2)代入. 8 π 思路3:将零点 ( ,0) 代入. 8

π ? 8

O
?2

思路4:图象平移.

求解过程
解法 1 由图,得 A ? 2,
T 3π π π ? ? (? ) ? , 2 8 8 2 ∴T ? π ,∴? ? 2 . ∴ y ? 2sin(2 x ? ? ) .
y
2

π π O 又∵图象经过点 ( ? ,2) , ? 8 8 ?2 π π ∴ 2 ? 2sin(? ? ? ) ,即sin(? ? ) ? 1. 4 4 π π ∴? ? ? 2kπ ? ( k ? Z ) , 4 2 3π 3π 即? ? 2kπ ? .又∵| ? |? π ,? ? , 4 4 3π ∴函数解析式为 y ? 2sin(2 x ? ) . 4

3π 8

x

求解过程
解法 2 由上求得 y ? 2sin(2 x ? ? ) .
3π 又∵图象经过点 ( , ?2) , 8 π O ? 8 3π 3π π ?2 ?2 ? 2sin( ? ? ) , ?? ?? ? ∴ 4 4 2 3π 即sin( ? ? ) ? ?1. 4 3π 3π ? 2kπ ? ( k ? Z ) ∴? ? , 4 2 3π 3π 即? ? 2kπ ? .又∵| ? |? π ,? ? , 4 4 3π ∴函数解析式为 y ? 2sin(2 x ? ) . 4

y
2

3π 8

x

易错 点

y
2

解法 3
π 8
3? 8

π ? ? ? 0? 4 (? 2 ? ,) 由上求得 y ? 2 s i n x
π 又∵图象经过点 ( ,0) , 8 π π x ∴ 0 ? 2sin( 4 ? ? ) ,即sin(? ? 4 ) ? 0 .

求解过程

?

?
8

0
?2

∵点(π,0)在递减的那段曲线上, 易错 π ? π 3π ? ∴? ? ? ? 2kπ ? , 2kπ ? ? (k∈Z), 点 4 ? 2 2?

π π 由 sin(? ? ) ? 0,得? ? ? 2kπ ? π ( k ? Z ) , 4 4 3π 3π ∴? ? 2kπ ? .又∵| ? |? π ,? ? . 4 4 3π ∴函数解析式为 y ? 2sin(2 x ? ) . 4

求解过程
解法 4 由上求得 y ? 2sin(2 x ? ? ) .
y ? 2sin(2 x ? ? )
怎样得 到?
y
2

y ? 2sin 2 x

3π ∴ y ? 2sin 2 x 向左平移 个单位,得 8 3 ? ? y ? 2sin ?( 2 x ? π) ? , 8 ? ? π 3π 3 ? 即 y ? 2sin(2 x ? ) .∴? ? π . 8 4 4

3 左移 π个单位 ?π ? π ? ? 8 ?? ? , 2? ? , 2 ? ???? ? ?4 ? ? 8 ?

3π 8

O
?2

x

回顾反思
(1)知识依托:依据图象正确写出解析式. (2)基本方法:数形结合;待定系数法. (3)解题策略:逆用“五点法”作图. (4)方法比较:用最值点待定求初相最佳. (5)思维误区:从图形中获取错误信息.

破解难点:三角函数的图象变换.

问题研究
函 数 y ? sin x 的 图 象 怎 样 变 换 得 到 函 数

y ? A sin ?? x ? ? ? ( A ? 0,? ? 0) 的图象?

基础知识
(1)相位变换(平移变换): y ? sin( x ? ? ) 与
y ? sin x 图象的关系 y ? sin( x ? ? ) (? ? 0 )的图象

可以看作是把 y ? sin x 的图象上所有的点向左 (当? ? 0时 )或向右(当? ? 0 时 )平行移动 ? 个单位而得到的.

基础知识
(2)振幅变换(伸缩变换): y ? A sin x 与
y ? sin x 图象的关系 y ? A sin x (A>0 且 A≠1)

的图象可以看做将 y ? sin x 的图象上所有点的 纵坐标变为原来的 A 倍(横坐标不变)而得到.

基础知识
(3)周期变换(伸缩变换): y ? sin ? x 与
y ? sin x 图象的关系 y ? sin ? x (ω >0 且ω ≠1)

的图象可以看做将 y ? sin x 的图象上所有点的横 坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)而得到的. ?
1

经典例题4
例4
1 π 5 已知函数 y ? sin(2 x ? ) ? 的图象可由 2 6 4

y ? sin x 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

思路分析
例4
1 π 5 已知函数 y ? sin(2 x ? ) ? 的图象可由 2 6 4

y ? sin x 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
问题 1: y ? sin x 的图象怎样变换得到
1 5 y ? sin x ? 的图象? 2 4 1 5 1 π 5 问题 2: y ? sin x ? 变换到 y ? sin(2 x ? ) ? 2 4 2 6 4

有几种途径?

思路分析
例4
1 π 5 已知函数 y ? sin(2 x ? ) ? 的图象可由 2 6 4
移多少?
易错点 1

y ? sin x 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
左、右?

思路 1:先平移变换再伸缩变换. 1 π 5 1 5 y ? sin( x ? ) ? y ? sin x ? 2 6 4 2 4
伸长还 是压缩?

1 π 5 y ? sin(2 x ? ) ? 2 6 4
易错点 2

1 π ? 5 ? y ? sin(2 ?( x ? ) ? ? 2 6 ? 4 ?

思路分析
例4
1 π 5 已知函数 y ? sin(2 x ? ) ? 的图象可由 2 6 4
伸长还 是压缩?

y ? sin x 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
左、右?

移多少?

思路 2:先伸缩变换再平移变换. 1 5 1 5 y ? sin 2 x ? y ? sin x ? 2 4 2 4 1 π 5 1 π 5 y ? sin[2( x ? )] ? y ? sin(2 x ? ) ? 2 12 4 2 6 4
易错 点

求解过程
解法 1
1 ① y ? sinx ?????????? ? y ? sin x ; 2 5 向上平移 个单位 1 1 5 4 ? y ? sin x ? ; ② y ? sin x ?????? 2 2 4 π 向左移 个单位 1 5 1 π 5 6 ? y ? sin( x ? ) ? ; ③ y ? sin x ? ????? 2 4 2 6 4 1 倍 1 π 5 纵坐标不变,横坐标缩小为原来的2 ④ y ? sin( x ? ) ? ?????????? ? 2 6 4 1 π 5 y ? sin(2 x ? ) ? . 2 6 4
1 横坐标不变, 纵坐标缩小为原来的 倍 2

求解过程
解法 2
1 ① y ? sinx ?????????? ? y ? sin x ; 2 5 向上平移 个单位 1 1 5 4 ? y ? sin x ? ; ② y ? sin x ?????? 2 2 4 1 倍 1 5 纵坐标不变,横坐标缩小为原来的2 1 5 ③ y ? sin x ? ?????????? ? y ? sin 2 x ? ; 2 4 2 4 π 向左移 个单位 1 π 5 1 5 12 ?????? y ? sin(2 x ? ) ? ④ y ? sin 2 x ? 2 4 2 6 4
1 横坐标不变, 纵坐标缩小为原来的 倍 2

回顾反思
y ? sin x
周期变换

(? ? 0) y ? sin(? x ? ? )
y ? sin ? x
相位变换

?
相位变换

y ? sin( x ? ? )

? ?

周期变换

回顾反思
(1)方法比较:方法一先平移后伸缩 ,
方法二先伸缩后平移.

(2)解题策略:先平移后伸缩 .
(3)解题关键:变换都是对x而言. (4)思维误区:平移变换左右不分; 变换是对x还是ωx+φ分不清.

拓展延伸
π 已知函数 y ? f ( x) 的图象右移 个单位,然后 8

再把图象上每一点的横坐标扩大原来的两倍,得
π y ? 3sin( x ? ),求 y ? f ( x) 的解析式. 6

思路分析
π 已知函数 y ? f ( x) 的图象右移 个单位,然后 8

再把图象上每一点的横坐标扩大原来的两倍,得
π y ? 3sin( x ? ),求 y ? f ( x) 的解析式. 6
π 横坐标扩大原来的两倍 ? y ? f ( x) ????? ? y ? f ( x ? ) ??????? 8 1 π y ? f( x? ) π ? ?1 2 8 y ? f (x ? ) ?
? ?2 8 ? ?
π 右移 个单位 8

求解过程
π 解 ①将 y ? 3sin( x ? )图象上每一点的横坐标缩 6

小为原来的一半(纵坐标不变)得到函数
π y ? 3sin(2 x ? ) 的图象; 6 π ②将所得的图象向左平移 个单位得到 8 π π 函数 y ? 3sin[2( x ? ) ? ]的图象; 8 6 5π 整理,得 y ? 3sin(2 x ? ) 即为所求. 12

总结提炼
知识与内容 一、聚焦重点:三角函数的周期性与单调性. 二、廓清疑点:三角函数初相的确定. 三、破解难点:三角函数的图象变换.

总结提炼
思想与方法 (1)整体代换 (2)换元法 (3)化归转化思想 (4)数形结合思想





同步练习
π? ? 1. 要得到函数 y ? sin ? 2 x ? ?的图象,只需将函数 3? ? y ? sin x 变换得到?
π 2. 已知y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? ), 在同一周期内, 2 π 7π 当 x ? ,y有最小值 ? 2; 当 x ? ,y有最大值 2, 12 12 求函数的解析式. π 3. 求函数 y ? 3sin( ? 2 x ) 的单调递减区间. 3

参考答案
π 1.向左平移 个单位. 6 π 2. y ? 2 sin( 2 x ? ) . 3 π 5π 3.[kπ ? , kπ ? ], k ? Z . 12 12


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