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北师大版必修4高中数学第二章平面向量数量积的坐标表示课件3


平面向量数量积 的坐标表示 复习 1、向量加法 三角形法则 a + b = ( x 1+ x 2, y 1+ y 2) 2、向量减法 三角形法则 a+b b a b a ma a a-b a – b = ( x 1 – x 2, y 1 – y 2 ) 3、实数与向量的积 ma = (mx1, my1) 4、向量的数量积 a ? b = | a | | b | cos θ 5、共线的充要条件 a ∥ b (a≠0) , 即a、b共线 ? 存在实数m,使b = ma ? x1y2 = x2y1 6、垂直的充要条件 a?b ? a?b=0 b θ a 平面向量数量积的坐标表示 中在直角坐标系中,已知两个非零向量a =(x1,y1), b = (x2,y2), 如何用 a 与 b 的坐标表示 a · b 呢? 设x轴上的单位向量 i,y轴上的单位向量 j 则 i i = | i |2 = 1,j j = | j |2 = 1 ? i? j = j ? i = 0 ? B(x2,y2) y ∵a = x1 i + y1 j ,b = x2 i + y2 j ∴a ·b =( x1 i + y1 j)· (x2 i + y2 j) =x1x2+y1y2. b j O i A(x1,y1) a x =x1x2 i ·i + x1y2i · j + y1x2 j · i + y1y2 j · j 结论:两个向量的数量积等于它们的对应坐标乘积的和 a ·b = x1x2+y1y2 2 2 | a | ? x ? y | ab |= ?x ? y 11 、设 aa == (x , ,则 或 例 、设 ( 5y) , 7), (6, 4),求a · b 2 2 2 2、设a = AB,若A(x1,y1),B(x2,y2),则 | a |?| AB |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) 2 2 即是平面内两点间的距离公式 3、设a = (x1,y1),b = (x2,y2),则 a ⊥b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 例2、已知A(1、2),B(2,3),C(2,5), 求证Δ ABC是直角三角形 证明: ∵AB = (2 - 1,3 - 2)= (1,1) y C AC = (2 - 1 ,5 - 2 )= (3 ,3 ) ∴AB ? AC = 1╳(3 )+ 1 ╳ 3 = 0 ∴AB⊥AC ∴Δ ABC是直角三角形 O B A x 例3、已知正方形OABC的边长为1,点D、E分别为 AB、 BC的中点,求∠DOE的值. 解:以 OA 和 OC 所在直线为坐标轴建立 直角坐标系,如图所示. 则由已知条件,可得 1 OD ? (1 , ) , OE ? ( 1 , 1) 2 2 y C E B D O A x 故 因 1 1 1? ? ? 1 4 OD ? OE ? cos ?DOE ? ? 2 2 5 5 5 | OD || OE | ? 2 2 ? 4 0 ? ?DOE ? 所以 ?DOE ? arccos 2 5 例4 已知四点坐标:A(-1,3)、B(1,1)、C(4,4)、 D(3,5). (1)求证:四边形ABCD是直角梯形; (2)求∠DAB的大小. (1) 证明: AB = (1 – (-1), 1 – 3) = (2, -2), DC = (4 – 3, 4 – 5) = (1, -1), BC = (4 – 1,

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