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湖南省益阳市十七中2012-2013学年高二数学上学期期中考试试题 理


益阳市第十七中学 2012 年下学期期中考试 高二数学(理)试卷(问卷)
时量 120 分钟 总分 120 分 一.选择题(每小题 4 分,共 32 分) 1. 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,则 acosB+bcosA=( A.a B.b C.c D.不确定



2. 某观察站 C 与两灯塔 A 、 B 的距离分别为 a 米和 b 米,测得灯塔 A 在观察站 C 西偏北

60? ,灯塔 B 在观察站 C 北偏东 60? ,则两灯塔 A 、 B 间的距离为 (
a 2 ? b 2 ? ab 米 C. a 2 ? b 2 ? ab 米 D. 1 3. 在首项为 21,公比为 的等比数列中,最接近 1 的项是( ) 2
A. A.第三项 B.第四项 C.第五项



a 2 ? b 2 米 B.

a 2 ? b 2 ? 3ab 米

D.第六项 ) D.﹣

a 4. 在等比数列 ?a n ?中, a7 ? a11 =6, a 4 ? a14 =5,则 20 等于( a10 2 3 3 2 A. B. C. 或 3 2 2 3 1 1 5. 已知 a1 ? , an ? 1 ? ,则 a10 ? ( ) 4 an ?1 1 4 A. ?3 B. C. 4 3
6.不等式 4x-y≥0 表示的平面区域是( y y O O x x ) y O x

2 3 或﹣ 3 2

D. ?

1 4

y O x D D. a ? 0, ? ? 0

A B C 2 7. 如果不等式 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 解集为?,那么( ) A. a ? 0, ? ? 0 B. a ? 0, ? ? 0 C. a ? 0, ? ? 0 8. 如果实数 x, y 满足 x ? y ? 1,则 (1 ? xy)(1 ? xy) 有 (
2 2

)

1 和最大值 1 2 3 C.最小值 而无最大值 4
A.最小值

B.最大值 1 和最小值

3 4

D.最大值 1 而无最小值

二.填空题(每小题 4 分,共 28 分) 9. 在△ABC 中,已知 BC=12,A=60°,B=45°,则 AC= 10. 在△ABC 中,若 sin A ∶ sin B ∶ sinC ? 7 ∶ 8 ∶ 13 ,则 C ? _____________。
2

11. 在 等 比 数 列 ?a n ? 中 , 若 a1 , a10 是 方 程 3x ? 2 x ? 6 ? 0 的 两 根 , 则 a4 ? a7 =___________. 12. 已知数列 ?an ? 是等差数列,若 a4 ? a7 ? a10 ? 17 ,

a4 ? a5 ? a6 ? ? ? a12 ? a13 ? a14 ? 77 且 ak ? 13 ,则 k ? _________。
13. 已知数列的 S n ? n ? n ? 1 ,则 a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 =_____________。
2

1

14. 函数 y ? lg(12 ? x ? x ) 的定义域是
2

15. 设 x, y ? R 且

?

1 9 ? ? 1 ,则 x ? y 的最小值为________. x y

三.解答题(8+10+12+10+10=60 分) 5 3 16. (本小题 8 分)在△ABC 中,cosA=- ,cosB= . 13 5 (1)求 sinC 的值; (2)设 BC=5,求△ABC 的面积.

17. (本小题 10 分) 一缉私艇发现在北偏东 45 方向,距离 12 nmile 的海面上有一走私船 正以 10 nmile/h 的速度沿东偏南 15 方向逃窜.缉私艇的速度为 14 nmile/h, 若要在最短 的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东 45? ? 的方向去追,.求追及所需的时间和 ? 角的正弦值.
?

?

?

北 C 东

B

A

18.(本小题 10 分) (1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n -2n,求证数列{an}成等差数列. 1 1 1 b?c c?a a?b (2)已知 , , 成等差数列,求证 , , 也成等差数列. a b c b c a

2

19.(本小题 12 分) 已知f ( x) ?

x , 且满足:a1 ? 1, a n?1 ? f (a n ). 3x ? 1

2

? 1 ? (1)求证: ? a n

? ?是等差数列 ?

(2)

?bn ?的前n项和Sn

? 2n ? 1,

若 Tn

?

b b1 b2 ? ? ? n , 求Tn a1 a 2 an

20.(本小题 10 分) 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD,公园由 长方形的休闲区 A1B1C1D1 (阴影部分) 和环公园人行道组成。 已知休闲区 A1B1C1D1 的面积为 4000 平方米,人行道的宽分别为 4 米和 10 米。 (1)若设休闲区的长 A1 B1 ? x 米,求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S (x) 的解析 式; (2)要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计? D D1 C1 C
4米

A1 A
10 米

B1

4米

10 米 B

21.(本小题 10 分) 一个农民有田 2 亩,根据他的经验,若种水稻,则每亩每期产量为 400 千克;若种花生,则每亩每期产量为 100 千克,但水稻成本较高,每亩每期需 240 元,而花 生只要 80 元,且花生每千克可卖 5 元,稻米每千克只卖 3 元,现在他只能凑足 400 元,问 这位农民对两种作物各种多少亩,才能得到最大利润?

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益阳市第十七中学 2012 年下学期期中考试 高二数学(理)试卷(答卷) 时量 120 分钟 总分 120 分 一.选择题(每小题 4 分,共 32 分) 题号 1 答案 密 二.填空题(每小题 4 分,共 28 分) 1 2 3 4 5 6 7 8

4

姓名

1. 4. 7.

2. 5.

3. 6.

三.解答题(8+10+12+10+10=60 分) 5 3 16. (本小题 8 分)在△ABC 中,cosA=- ,cosB= . 13 5 (1)求 sinC 的值; (2)设 BC=5,求△ABC 的面积.

17. (本小题 10 分) 一缉私艇发现在北偏东 45 方向,距离 12 nmile 的海面上有一走私船 正以 10 nmile/h 的速度沿东偏南 15 方向逃窜.缉私艇的速度为 14 nmile/h, 若要在最短
?

?

?

? 的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东 45? 的方向去追,.求追及所需的时间和 ? 角的正弦值.
北 C 东

B

A

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18.(本小题 10 分) (1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n -2n,求证数列{an}成等差数列. (2)已知
1 1 1 b?c c?a a?b , , 成等差数列,求证 , , 也成等差数列. a b c b c a

2

19.(本小题 12 分) 已知f ( x) ?

x , 且满足:a1 ? 1, a n?1 ? f (a n ). 3x ? 1

? 1 ? (1)求证: ? a n

? ?是等差数列 ?

(2)

?bn ?的前n项和Sn

? 2n ? 1,

若 Tn

?

b b1 b2 ? ? ? n , 求Tn a1 a 2 an

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20.(本小题 10 分) 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD,公园由 长方形的休闲区 A1B1C1D1 (阴影部分) 和环公园人行道组成。 已知休闲区 A1B1C1D1 的面积为 4000 平方米,人行道的宽分别为 4 米和 10 米。 (1)若设休闲区的长 A1 B1 ? x 米,求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S (x) 的解析 式; (2)要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计? D D1 C1 C
4米

A1 A
10 米

B1

4米

10 米 B

21.(本小题 10 分) 一个农民有田 2 亩,根据他的经验,若种水稻,则每亩每期产量为 400 千克;若种花生,则每亩每期产量为 100 千克,但水稻成本较高,每亩每期需 240 元,而花 生只要 80 元,且花生每千克可卖 5 元,稻米每千克只卖 3 元,现在他只能凑足 400 元,问 这位农民对两种作物各种多少亩,才能得到最大利润?

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