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高中物理竞赛培训教材2


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第十二讲

功能原理和机械能守恒定律

功能原理 根据质点系动能定理

W外 ? W内 ? E k 2 ? E k1
当质点系内有保守力作用和非保守力作用时,内力所做功又可分为

W内 ? W保 ? W非保
而由保守力做功特点知,保守力做

功等于势能增量的负值,即

W保 ? ??E P ? E P1 ? E P 2
于是得到

W外 ? W非保 ? E P1 ? E P 2 ? E K 2 ? E K 1 W外 ? W非保 ? E K 2 ? E P 2 ) ? ( E K 1 ? E P1 ) (
用 E 表示势能与动能之和,称为系统机械能,结果得到

W外 ? W非保 ? E 2 ? E1
外力的功和非保守力内力所做功之和等于系统机械能的增量, 这就是质点系的功能原 理。可以得到(外力做正功使物体系机械能增加,而内部的非保守力作负功会使物体系 的机械能减少) 。 功能原理适用于分析既有外力做功,又有内部非保守力做功的物体系,请看下题: 劲度系数为 k 的轻质弹簧水平放置,左端固定,右端连接一个质量为 m 的木块(图 4-7-1)开始时木块静止平衡于某一位置,木块与水平面之 间的动摩擦因数为 ? 。然后加一个水平向右的恒力作用于木 块上。

k

m

F

o 图 4-7-1

(1)要保证在任何情况下都能拉动木块,此恒力 F 不得小于多少?(2)用这个力 F 拉 木块,当木块的速度再次为零时,弹簧可能的伸长量是多少? 题目告知“开始时木块静止平衡于某一位置” ,并未指明确切的位置,也就是说木 块在该位置时所受的静摩擦力和弹簧的形变量都不清楚,因此要考虑各种情况。如果弹
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簧自然伸展时,木块在 O 点,那么当木块在 O 点右方时,所受的弹簧的作用力向右。因 为木块初始状态是静止的,所以弹簧的拉力不能大于木块所受的最大静摩擦力 mg? 。 要将木块向右拉动,还需要克服一个向左的静摩擦力 mg? ,所以只要 F≥2 mg? ,即可 保证在任何情况下都能拉动木块。 设物体的初始位置为 x 0 ,在向右的恒力 F 作用下,物体到 x 处的速度再次为零, 在此过程中,外部有力 F 做功,内部有非保守力 f 做功,木块的动能增量为零,所以根 据物体系的功能原理有

F ( x ? x0 ) ? ?mg ( x ? x0 ) ? F ? ?mg ?
可得

1 2 1 2 kx ? kx0 2 2

1 k ( x ? x0 ) 2

x?

2( F ? ?mg ) ? x0 k

因为木块一开始静止,所以要求

?

?mg

?mg x0 ≤ k k ≤

可见,当木块再次静止时,弹簧可能的伸长是

?mg

3mg? k ≤x≤ k

机械能守恒定律 若外力的与非保守内力的功之和为零时, 是机械能守恒定律。 注意:该定律只适用于惯性系,它同时必须是选择同一惯性参照系。在机械能守恒系 统中,由于保守内力做功,动能和势能相互转化,而总的机械能则保持不变。 下面介绍一例由机械能守恒推出的重要定理:伯努利方程 理想流体 不可压缩的、没有粘滞性的流体,称为理想流体。 定常流动 观察一段河床比较平缓的河水的流动,你可以看到河水平静地流着,过

W外 ? W非保 ? 0

则系统机械能守恒,这就

一会儿再看,河水还是那样平静地流着,各处的流速没有什么变化。河水不断地流走, 可是这段河水的流动状态没有改变。河水的这种流动就是定常流动。流体质点经过空间
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各点的流速虽然可以不同,但如果空间每一点的流速不随时间而改变,这样的流动就叫 做定常流动。自来水管中的水流,石油管道中石油的流动,都可以看做定常流动。 流体的流动可以用流线形象地表示。在定常流动中,流线表示流体质点的运动轨迹。 图 4-7-2 是液体流过圆柱体时流线的分布。A、B 处液体流过的横截面积大,CD 处液体 流过的横截面积小。液体在 CD 处流得急,流速大。AB 处的流线疏,CD 处的流线密,这 样,从流线的分布可以知道流速的大小。流线疏的地方,流速小;流线密的地方,流速 大。

C

A B D
图 4-7-2

伯努利方程

现在研究理想流体做定常流动时流体中压强和流速的关系。

图 4-7-3 表示一个细管,其中流体由左向右流动。在管的 a1 处和 a 2 处用横截面截出一 段流体,即 a1 处和 a 2 处之间的流体,作为研究对 象。

a 2 b2 p 2

a1b1
h1

h2

p1
图 4-7-3

a1 处的横截面积为 S 1 , a 流速为 v1 , 高度为 h1 , 1 处左边的流体对研究对象的压强为 p1 ,
方向垂直于 S 1 向右。

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a 2 处的横截面积为 S 2 ,流速为 v 2 ,高度为 h2 , a 2 处左边的流体对研究对象的压强
为 p 2 ,方向垂直于 S 2 向左。 经过很短的时间间隔 ?t ,这段流体的左端 S 1 由 a1 移到 b1 。右端 S 2 由 a 2 移到 b2 。 两端移动的距离分别为 ?l1 和 ?l 2 。左端流入的流体体积为 ?V1 ? S1 ?l1 ,右端流出的流 体体积为 ?V2 ? S 2 ?l 2 ,理想流体是不可压缩的,流入和流出的体积相等,?V1 ? ?V2 , 记为 ?V 。 现在考虑左右两端的力对这段流体所做的功。 作用在液体左端的力 F1 ? p1 S1 ,所做的功

W1 ? F1?l1 ? p1 S1?l1 ? p1?V 。
作用在右端的力 F2 ? p2 S 2 ,所做的功

W2 ? ? F2 ?l 2 ? ? p2 S 2 ?l 2 ? ? p2 ?V 。
外力所做的总功

W ? W1 ? W2 ? ( p1 ? p2 )?V

(1)

外力做功使这段流体的机械能发生改变。初状态的机械能是 a1 到 a 2 这段流体的机械 能 E1 , 末状态的机械能是 b1 到 b2 这段流体的机械能 E 2 。 b1 到 a 2 这一段, 由 经过时间 ?t , 虽然流体有所更换,但由于我们研究的是理想流体的定常流动,流体的密度 ? 和各点的 流速 v 没有改变,动能和重力势能都没有改变,所以这一段的机械能没有改变,这样机 械能的改变 E 2 ? E1 就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械 能。 由于 m ? ??V , 所以流入的那部分流体的动能 为

1 2 1 2 mv1 ? ?v1 ?V 2 2
重力势能为

图 4-7-4
4

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mgh1 ? ?gh1?V
流出流体的动能为

1 2 1 2 mv 2 ? ?v2 ?V 2 2
重力势能为

mgh2 ? ?gh2 ?V
机械能的改变为

E2 ? E1 ?

1 2 ? (v2 ? v12 )?V ? ?g (h2 ? h1 )?V 2

(2)

理想流体没有粘滞性,流体在流动中机械能不会转化为内能,所以这段流体两端受的 力所做的总功 W 等于机械能的改变

E 2 ? E1 ,即 W= E 2 ? E1
将(1)式和(2)式代入(3)式,得

(3)

( p1 ? p 2 )?V ?
整理后得

1 2 ? (v2 ? v12 )?V ? ?g (h2 ? h1 )?V 2

p1 ?

1 2 1 2 ?v1 ? ?gh1 ? p 2 ? ?v2 ? ?gh2 2 2

(4)

a1 和 a 2 是在流体中任意取的,所以上式可表示为对管中流体的任意处:
p? 1 2 ?v ? ?gh ? 2 常量

(5)

(4)式和(5)式称为伯努利方程。 流体水平流动时,或者高度差的影响不显著时(如气体的流 动) ,伯努利方程可表达为

p?

1 2 ?v ? 2 常量

(6)
甲:不转球

从(6)式可知,在流动的流体中,压强跟流速有关,流速 v 大的地方要强 p 小,流速 v 小的地方压强 p 大。 知道压强和流速的关系, 就可以解释本节开始所做的实

5

乙:旋转球

图 4-7-5

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验了。 经过漏斗吹乒乓球时, 乒乓球上方空气的流速大, 压强小, 下方空气的压强大, 乒乓球受到向上的力,所以会贴在漏斗上不会掉下来。向两张纸中间吹气,两张纸中 间空气的流速大, 压强小, 外边空气的压强大, 所以两张纸将互相贴近。 同样的道理, 两艘并排的船同向行驶时(图 4-7-4)如果速度较大,两船会互相靠近,有相撞的危 险。历史上就曾经发生过这类事故。在航海中。对并排同向行驶的船舶,要限制航速 和两船的距离。 伯努利方程的应用: 球类比赛中的旋转球和不转球的飞行轨迹不同,是因为球周围空气流动情况不 同造成的。图 4-7-5 甲表示不转球水平向左运动时周围空气的流线。球的上方和下方 流线对称,流速相同,上下不产生压强差。现在考虑球的旋转,致使球的下方空气的 流速增大,上方流速减小,周围空气流线如图乙所示。球的下方流速大,压强小,上 方流速小, 压强大。 跟不转球相比, 4-1-6 乙所示旋转球因为旋转而受到向下的力, 图 飞行轨迹要向下弯曲。 例:如图 4-7-6 所示,用一弹簧把两物块 A 和 B 连接起来后,置于水平地面上。 已知 A 和 B 的质量分别为 m1 和 m 2 。问应给物块 A 上加多大的压力 F,才可能在撤去力 F 后,A 向上跳起后会出现 B 对地无压力的情况?弹簧的质量略去不计。 设弹簧原长为 系数,则有

l0 , 建立如图 4-7-7 所示的坐标, k 表示弹簧的劲度 以


A

m1 g ? kx0

取图中 O 点处为重力势能零点, A 受力 F 由 O 点再被压缩了 x 时, 当 系统的机械能为

B
图 4-7-6

E x ? ?m1 gx ?

1 k ( x0 ? x) 2 ? (?m2 gl0 ) 2



撤去 F 当 A 上升到最高处即弹簧较 其自然长度再伸长 x ? 时, 系统的机械 能为

x0 ? x ? x0
l0

A F
A

A

O

x
B B
图 4-7-7
6

1 E x? ? m1 g ( x0 ? x ?) ? kx ? 2 ? (?m2 gl0 ) 2
③ A 在 x 处时,其受力满足

B

B

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F ? m1 g ? k ( x0 ? x?) ? 0 ,
以①式的

m1 g ? kx0 代入上式,乃有

F ? kx
当 F 撤去 A 上升到 力为 N,则对于 B 应有



x0 ? x? 处时,弹簧的弹力大小为 kx? ,设此时 B 受到地面的支持

N ? kx? ? m2 g ? 0
要 B 对地无压力,即 N=0,则上式变为

kx? ? m2 g
因为 A 由 x 处上升至 守恒,即



x0 ? x? 处的过程中,对此系统无外力和耗散力作功,则其机械能

E x? = E x
联立解②~⑥式,可得



F ? m1 g ? m2 g 。
显然,要出现 B 对地无压力的情况,应为 F ≥( m1 ? m2 ) g 。当 F=( m1 ? m2 ) g 时, 刚好能出现 B 对地无压力的情况,但 B 不会离开地面;当 F>( m1 ? m2 ) g 时,B 将出 现离开地面向上跳起的情况。

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第十三讲

动量和能量

一、冲量和动量 1、冲力(F—t 图象特征)→ 冲量。冲量定义、物理意义 冲量在 F—t 图象中的意义→从定义角度求变力冲量(F 对 t 的平均作用力) 2、动量的定义 动量矢量性与运算 二、动量定理 1、定理的基本形式与表达 2、分方向的表达式:Σ Ix =Δ Px ,Σ Iy =Δ Py ? 3、定理推论:动量变化率等于物体所受的合外力。即 三、动量守恒定律 1、定律、矢量性 2、条件

?P =Σ F 外 ?t

a、原始条件与等效 b、近似条件

c、某个方向上满足 a 或 b,可在此方向应用动量守恒定律 四、功和能 1、功的定义、标量性,功在 F—S 图象中的意义 2、功率,定义求法和推 论求法 3、能的概念、能的转化和守恒定律 4、功的求法 a、恒力的功:W = FScosα = FSF = FS S b、变力的功:基本原则——过程分割与代数累积;利用 F—S 图象(或先寻求 F 对 S 的平均作用力) c、解决功的“疑难杂症”时,把握“功是能量转化的量度”这一 要点 五、动能、动能定理 1、动能(平动动能)

2、动能定理 a、Σ W 的两种理解 b、动能定理的广泛适用性 六、机械能守恒 1、势能 a、保守力与耗散力(非保守力)→ 势能(定义:Δ Ep = -W


) b、力学领域的三种势能(重力势能、引力势能、弹性势能)及定量表达 2、机械能 3、机械能守恒定律 a、定律内容 b、条件与拓展条件(注意系统划分) c、功能原理:系统机械能的增量等于外力与耗散内力做功的代数和。

七、碰撞与恢复系数 1、碰撞的概念、分类(按碰撞方向分类、按碰撞过程机械能损失分类) 碰撞的基本特征:a、动量守恒;b、位置不超越;c、动能不膨胀。 2、三种典型的碰撞
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a、弹性碰撞:碰撞全程完全没有机械能损失。满足—— m1v10 + m2v20 = m1v1 + m2v2

1 1 1 1 2 2 m1 v10 + m2 v 2 = m1 v 1 + m2 v 2 20 2 2 2 2 2
解以上两式(注意技巧和“不合题意”解的舍弃)可得: v1 =

(m1 ? m 2 ) v10 ? 2v 20 (m2 ? m1 )v20 ? 2v10 , v2 = m1 ? m 2 m2 ? m1

对于结果的讨论: ①当 m1 = m2 时,v1 = v20 ,v2 = v10 ,称为“交换速度” ; ②当 m1 << m2 ,且 v20 = 0 时,v1 ≈ -v10 ,v2 ≈ 0 ,小物碰大物,原速率 返回; ③当 m1 >> m2 ,且 v20 = 0 时,v1 ≈ v10 ,v2 ≈ 2v10 , b、非(完全)弹性碰撞:机械能有损失(机械能损失的内部机制简介) ,只满足 动量守恒定律 c、完全非弹性碰撞:机械能的损失达到最大限度;外部特征:碰撞后两物体连为 一个整体,故有 v1 = v2 =

m1 v10 ? m 2 v 20 m1 ? m 2

3、恢复系数:碰后分离速度(v2 - v1)与碰前接近速度(v10 - v20)的比值,即: e=

v 2 ? v1 。根据“碰撞的基本特征” ≤ e ≤ 1 。当 e = 0 ,碰撞为完 ,0 v10 ? v 20

全非弹性; 当 0 < e < 1 ,碰撞为非弹性; 当 e = 1 ,碰撞为弹性。 八、 “广义碰撞”——物体的相互作用 1、 当物体之间的相互作用时间不是很短, 作用不是很强烈, 但系统动量仍然守恒时, 碰撞的部分规律仍然适用,但已不符合“碰撞的基本特征” (如:位置可能超越、机械 能可能膨胀) 。此时,碰撞中“不合题意”的解可能已经有意义,如弹性碰撞中 v1 = v10 , v2 = v20 的解。 2、物体之间有相对滑动时,机械能损失的重要定势:-Δ E = Δ E 内 = f 滑?S 相 , 其中 S 相指相对路程

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第二讲 重要模型与专题 一、动量定理还是动能定理? 物理情形:太空飞船在宇宙飞行时,和其它天体的万有引力可以忽略,但是,飞船 会定时遇到太空垃圾的碰撞而受到阻碍作用。设单位体积的太空均匀分布垃圾 n 颗,每 颗的平均质量为 m ,垃圾的运行速度可以忽略。飞船维持恒定的速率 v 飞行,垂直速度 方向的横截面积为 S ,与太空垃圾的碰撞后,将垃圾完全粘附住。试求飞船引擎所应提 供的平均推力 F 。 模型分析:太空垃圾的分布并不是连续的,对飞船的撞击也不连续,如何正确选取 研究对象,是本题的前提。建议充分理解“平均”的含义,这样才能相对模糊地处理垃 圾与飞船的作用过程、淡化“作用时间”和所考查的“物理过程时间”的差异。物理过 程需要人为截取,对象是太空垃圾。 先用动量定理推论解题。 取一段时间Δ t ,在这段时间内,飞船要穿过体积Δ V = S?vΔ t 的空间,遭遇 n Δ V 颗太空垃圾,使它们获得动量Δ P ,其动量变化率即是飞船应给予那部分垃圾的推 力,也即飞船引擎的推力。

F =

?P ?M ? v m ? n?V ? v m ? nSv?t ? v 2 = = = = nmSv ?t ?t ?t ?t

如果用动能定理,能不能解题呢? 同样针对上面的物理过程,由于飞船要前进 x = vΔ t 的位移,引擎推力 F 须做功 W = F x ,它对应飞船和被粘附的垃圾的动能增量,而飞船的Δ Ek 为零,所以:W = Mv2 即: F vΔ t =

1 Δ 2

1 (n m S?vΔ t)v2 2

得到: F =

1 nmSv2 2

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两个结果不一致,不可能都是正确的。分析动能定理的解题,我们不能发现,垃圾 与飞船的碰撞是完全非弹性的,需要消耗大量的机械能,因此,认为“引擎做功就等于 垃圾动能增加”的观点是错误的。但在动量定理的解题中,由于 I = F t ,由此推出的

F =

?P 必然是飞船对垃圾的平均推力,再对飞船用平衡条件, F 的大小就是引擎推 ?t

力大小了。这个解没有毛病可挑,是正确的。 (学生活动)思考:如图 1 所示,全长 L、总质量为 M 的柔软绳子,盘在一根光滑的直杆上,现用手握住绳子的 一端,以恒定的水平速度 v 将绳子拉直。忽略地面阻力, 试求手的拉力 F 。 解:解题思路和上面完全相同。答: 二、动量定理的分方向应用 物理情形:三个质点 A、B 和 C ,质量分 别为 m1 、m2 和 m3 ,用拉直且不可伸长的绳子 AB 和 BC 相连, 静止在水平面上, 如图 2 所示, AB 和 BC 之间的夹角为(π -α ) 。现对质点 C 施加以冲量 I ,方向沿 BC ,试求质点 A 开始 运动的速度。 模型分析:首先,注意“开始运动”的理解,它指绳子恰被拉直,有作用力和冲量 产生,但是绳子的方位尚未发生变化。其二,对三个质点均可用动量定理,但是,B 质 点受冲量不在一条直线上,故最为复杂,可采用分方向的形式表达。其三,由于两段绳 子不可伸长,故三质点的瞬时速度可以寻求到两个约束关系。下面具体看解题过程——

Mv 2 L

绳拉直瞬间,AB 绳对 A、B 两质点的冲量大小相等(方向相反) ,设为 I1 ,BC 绳对
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B、C 两质点的冲量大小相等(方向相反) ,设为 I2 ;设 A 获得速度 v1(由于 A 受合冲量 只有 I1 ,方向沿 AB ,故 v1 的反向沿 AB) ,设 B 获得速度 v2(由于 B 受合冲量为 I1 + I 2 , 矢量和既不沿 AB ,也不沿 BC 方向,可设 v2 与 AB 绳夹角为〈π -β 〉 ,如图 3 所示) , 设 C 获得速度 v3(合冲量 I + I 2 沿 BC 方向,故 v3 沿 BC 方向) 。 对 A 用动量定理,有: I1 = m1 v1 ①

?

?

?

?

B 的动量定理是一个矢量方程: I1 + I 2 = m2 v 2 , 可化为两个分方向的标量式,即: I2cosα -I1 = m2 v2cosβ I2sinα = m2 v2sinβ 质点 C 的动量定理方程为: I - I2 = m3 v3 AB 绳不可伸长,必有 v1 = v2cosβ BC 绳不可伸长,必有 v2cos(β -α ) = v3 ④ ⑤ ⑥ ② ③

?

?

?

六个方程解六个未知量(I1 、I2 、v1 、v2 、v3 、β )是可能的,但繁复程度非同 一般。解方程要注意条理性,否则易造成混乱。建议采取如下步骤—— 1、先用⑤⑥式消掉 v2 、v3 ,使六个一级式变成四个二级式: I1 = m1 v1 I2cosα -I1 = m2 v1 I2sinα = m2 v1 tgβ I - I2 = m3 v1(cosα + sinα tgβ ) 2、解⑶⑷式消掉β ,使四个二级式变成三个三级式: I1 = m1 v1 I2cosα -I1 = m2 v1 I = m3 v1 cosα + I2 ㈠ ㈡ ⑴ ⑵ ⑶ ⑷

m 2 ? m 3 sin 2 ? m2



3、最后对㈠㈡㈢式消 I1 、I2 ,解 v1 就方便多了。结果为: v1 =

Im 2 cos ? m 2 (m1 ? m 2 ? m 3 ) ? m1 m 3 sin 2 ?
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(学生活动:训练解方程的条理和耐心)思考:v2 的方位角β 等于多少? 解:解“二级式”的⑴⑵⑶即可。⑴代入⑵消 I1 ,得 I2 的表达式,将 I2 的表达式 代入⑶就行了。 答:β = arc tg(

m1 ? m 2 tg? ) 。 m2

三、动量守恒中的相对运动问题 物理情形:在光滑的水平地面上,有一辆车,车内有一个人和 N 个铅球,系统原来 处于静止状态。现车内的人以一定的水平速度将铅球一个一个地向车外抛出,车子和人 将获得反冲速度。第一过程,保持每次相对地面抛球速率均为 v ,直到将球抛完;第二 过程,保持每次相对车子抛球速率均为 v ,直到将球抛完。试问:哪一过程使车子获得 的速度更大? 模型分析:动量守恒定律必须选取研究对象之外的第三方(或第四、第五方)为参 照物,这意味着,本问题不能选车子为参照。一般选地面为参照系,这样对“第二过程” 的铅球动量表达,就形成了难点,必须引进相对速度与绝对速度的关系。至于“第一过 程” ,比较简单:N 次抛球和将 N 个球一次性抛出是完全等效的。 设车和人的质量为 M ,每个铅球的质量为 m 。由于矢量的方向落在一条直线上,可 以假定一个正方向后,将矢量运算化为代数运算。设车速方向为正,且第一过程获得的 速度大小为 V1 第二过程获得的速度大小为 V2 。 第一过程,由于铅球每次的动量都相同,可将多次抛球看成一次抛出。车子、人和 N 个球动量守恒。 0 = Nm(-v) + MV1 得:V1 =

Nm v M



第二过程,必须逐次考查铅球与车子(人)的作用。 第一个球与(N–1)个球、人、车系统作用,完毕后,设“系统”速度为 u1 。值得 注意的是,根据运动合成法则 v 球?地 ? v 球?车 ? v 车?地 ,铅球对地的速度并不是(-v) , 而是(-v + u1) 。它们动量守恒方程为: 0 = m(-v + u1) +〔M +(N-1)m〕u1 得:u1 =

?

?

?

m v M ? Nm

第二个球与(N -2)个球、人、车系统作用,完毕后,设“系统”速度为 u2 。它们 动量守恒方程为:
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〔 M+(N-1)m 〕 u1 = m(-v + u2) + 〔 M+(N-2)m 〕 u2

得 : u2 =

m v + M ? Nm

m v M ? ( N ? 1)m
第三个球与(N -2)个球、人、车系统作用,完毕后,设“系统”速度为 u3 。铅球 对地的速度是(-v + u3) 。它们动量守恒方程为: 〔M+(N-2)m〕u2 = m(-v + u3) +〔M+(N-3)m〕u3 得:u3 =

m m m v + v v + M ? ( N ? 1)m M ? ( N ? 2)m M ? Nm

以此类推(过程注意:先找 uN 和 uN-1 关系,再看 uN 和 v 的关系,不要急于化简通 分)??,uN 的通式已经可以找出: V2 = uN =

m m m m v + v + ? + v + v M ? ( N ? 1)m M ? ( N ? 2)m M ? Nm M?m
m ? M ? im v i ?1
N

即:V2 =



我们再将①式改写成:V1 =

?Mv
i ?1

N

m

①′

不难发现,①′式和②式都有 N 项,每项的分子都相同,但①′式中每项的分母都 比②式中的分母小,所以有:V1 > V2 。结论:第一过程使车子获得的速度较大。 (学生活动)思考:质量为 M 的车上,有 n 个质量均为 m 的人,它们静止在光滑的 水平地面上。现在车上的人以相对车大小恒为 v、方向水平向后的初速往车下跳。第一 过程,N 个人同时跳下;第二过程,N 个人依次跳下。试问:哪一次车子获得的速度较 大? 解:第二过程结论和上面的模型完全相同,第一过程结论为 V1 = 答:第二过程获得速度大。

? M ? nm v
i ?1

n

m



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四、反冲运动中的一个重要定式物理情形:如图 4 所示,长度为 L、质量为 M 的船停止 在静水中(但未抛锚) ,船头上有一个质量为 m 的人,也是静止的。现在令人在船上开 始向船尾走动,忽略水的阻力,试问:当人走到船尾时,船将会移动多远? (学生活动)思考:人可不可能匀速(或匀加速)走动?当人中途停下休息,船有 速度吗?人的全程位移大小是 L 吗?本系统选船为参照,动量守恒吗? 模型分析:动量守恒展示了已知质量情况下的速度关系,要过渡到位移关系,需要 引进运动学的相关规律。根据实际情况(人必须停在船尾) ,人的运动不可能是匀速的, 也不可能是匀加速的,运动学的规律应选择 S = v t 。为寻求时间 t ,则要抓人和船的 位移约束关系。 对人、船系统,针对“开始走动→中间任意时刻”过程,应用动量守恒(设末态人 的速率为 v ,船的速率为 V) ,令指向船头方向为正向,则矢量关系可以化为代数运算, 有: 0 = MV + m(-v) 即:mv = MV 由于过程的末态是任意选取的, 此式展示了人和船在任一时刻的瞬时速度大小关系。 而且不难推知,对中间的任一过程,两者的平均速度也有这种关系。即:m v = M V 设全程的时间为 t ,乘入①式两边,得:m v t = M V t 设 s 和 S 分别为人和船的全程位移大小, 根据平均速度公式, m s = M S 得: 受 船 长 ③ 解②、③可得:船的移动距离 S = L 的 约 束 , s 和 S 具 有 关 系 : s + S = ② L ①

m L M?m

(应用动量守恒解题时,也可以全部都用矢量关系,但这 时“位移关系”表达起来难度大一些——必须用到运动合成与 分解的定式。时间允许的话,可以做一个对比介绍。 ) 另解:质心运动定律 人、船系统水平方向没有外力,故系统质心无加速度→系 统质心无位移。先求出初态系统质心(用它到船的质心的水平 距离 x 表达。根据力矩平衡知识,得:x =

mL ) ,又根 2(m ? M)

据,末态的质量分布与初态比较,相对整体质心是左右对称的。弄清了这一点后,求解
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船的质心位移易如反掌。 (学生活动)思考:如图 5 所示,在无风的天空,人抓住气球下面的绳索,和气球 恰能静止平衡,人和气球地质量分别为 m 和 M ,此时人离地面高 h 。现在人欲沿悬索 下降到地面,试问:要人充分安全地着地,绳索至少要多长? 解:和模型几乎完全相同,此处的绳长对应模型中的“船的长度”“充分安全着地” ( 的含义是不允许人脱离绳索跳跃着地) 。答:

m?M h 。 M

(学生活动)思考:如图 6 所示, 两个倾角相同的斜面,互相倒扣着放在 光滑的水平地面上,小斜面在大斜面的 顶端。将它们无初速释放后,小斜面下 滑,大斜面后退。已知大、小斜面的质 量分别为 M 和 m , 底边长分别为 a 和 b , 试求:小斜面滑到底端时,大斜面后退的距离。 解: 水平方向动量守恒。 解题过程从略。 答:

m (a-b) 。 M?m
进阶应用:如图 7 所示,一个质量为 M , 半径为 R 的光滑均质半球,静置于光滑水平桌 面上,在球顶有一个质量为 m 的质点,由静止 开始沿球面下滑。试求:质点离开球面以前的 轨迹。 解说:质点下滑,半球后退,这个物理情形和上面的双斜面问题十分相似,仔细分 析,由于同样满足水平方向动量守恒,故我们介绍的“定式”是适用的。定式解决了水 平位移(位置)的问题,竖直坐标则需要从数 学的角度想一些办法。 为寻求轨迹方程,我们需要建立一个坐标: 以半球球心 O 为原点,沿质点滑下一侧的水平 轴为 x 坐标、竖直轴为 y 坐标。 由于质点相对半球总是做圆周运动的 (离开
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球面前) 有必要引入相对运动中半球球心 O′的方位角θ 来表达质点的瞬时位置, , 如图 8 所示。由“定式” ,易得: x =

M Rsinθ M?m

① ②

而由图知:

y = Rcosθ

不难看出,①、②两式实际上已经是一个轨迹的参数方程。为了明确轨迹的性质, 我们可以将参数θ 消掉,使它们成为:

y2 x2 + = 1 这样特征就明显了:质 M R2 2 ( R) M?m
点的轨迹是一个长短半轴分别为 R 和 椭圆。 五、功的定义式中 S 怎么取值? 在求解功的问题时, 有时遇到力的作用点位移 与受力物体的(质心)位移不等,S 是取力的作用点的位移,还是取物体(质心)的位 移呢?我们先看下面一些事例。 1、如图 9 所示,人用双手压在台面上推讲台,结果双手前进了一段位移而讲台未移 动。试问:人是否做了功? 2、在本“部分”第 3 页图 1 的模型中,求拉力做功时,S 是否可以取绳子质心的位 移? 3、人登静止的楼梯,从一楼到二楼。楼梯是否做功? 4、如图 10 所示,双手用等大反向的力 F 压固定汽缸两边的活塞,活塞移动相同距 离 S,汽缸中封闭气体被压缩。施力者(人)是否做功? 在以上四个事例中,S 若取作用点位移,只有第 1、 2、4 例是做功的(注意第 3 例,楼梯支持力的作用点 并未移动,而只是在不停地交换作用点) ,S 若取物体 (受力者)质心位移,只有第 2、3 例是做功的,而且, 尽管第 2 例都做了功,数字并不相同。所以,用不同的 判据得出的结论出现了本质的分歧。 面对这些似是而非的“疑难杂症” ,我们先回到“做功是物体能量转化的量度”这一

M R的 M?m

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根本点。 第 1 例,手和讲台面摩擦生了热,内能的生成必然是由人的生物能转化而来,人肯 定做了功。S 宜取作用点的位移; 第 2 例,求拉力的功,在前面已经阐述,S 取作用点位移为佳; 第 3 例,楼梯不需要输出任何能量,不做功,S 取作用点位移; 第 4 例,气体内能的增加必然是由人输出的,压力做功,S 取作用点位移。 但是,如果分别以上四例中的受力者用动能定理,第 1 例,人对讲台不做功,S 取 物体质心位移;第 2 例,动能增量对应 S 取 L/2 时的值——物体质心位移;第 4 例,气 体宏观动能无增量,S 取质心位移。 (第 3 例的分析暂时延后。 ) 以上分析在援引理论知识方面都没有错,如何使它们统一?原来,功的概念有广义 和狭义之分。在力学中,功的狭义概念仅指机械能转换的量度;而在物理学中功的广义 概念指除热传递外的一切能量转换的量度。所以功也可定义为能量转换的量度。一个系 统总能量的变化,常以系统对外做功的多少来量度。能量可以是机械能、电能、热能、 化学能等各种形式,也可以多种形式的能量同时发生转化。由此可见,上面分析中,第 一个理论对应的广义的功,第二个理论对应的则是狭义的功,它们都没有错误,只是在 现阶段的教材中还没有将它们及时地区分开来而已。 而且,我们不难归纳:求广义的功,S 取作用点的位移;求狭义的功,S 取物体(质 心)位移。 那么我们在解题中如何处理呢?这里给大家几点建议: 1、抽象地讲“某某力做的 功”一般指广义的功;2、讲“力对某物体做的功”常常指狭义的功;3、动能定理中的 功肯定是指狭义的功。

当然,求解功地问题时,还要注意具体问题具体分析。如上面的第 3 例,就相对复 杂一些。如果认为所求为狭义的功,S 取质心位移,是做了功,但结论仍然是难以令人 接受的。下面我们来这样一个处理:将复杂的形变物体(人)看成这样一个相对理想的 组合:刚性物体下面连接一压缩的弹簧(如图 11 所示) ,人每一次蹬梯,腿伸直将躯体 重心上举,等效为弹簧将刚性物体举起。这样,我们就不难发现,做功的是人的双腿而 非地面,人既是输出能量(生物能)的机构,也是得到能量(机械能)的机构——这里
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的物理情形更象是一种生物情形。本题所求的功应理解为广义功为宜。 以上四例有一些共同的特点:要么,受力物体情形比较复杂(形变,不能简单地看 成一个质点。如第 2、第 3、第 4 例) ,要么,施力者和受力者之间的能量转化不是封闭 的(涉及到第三方,或机 械能以外的形式。如第 1 例) 。以后,当遇到这样 的问题时, 需要我们慎重 对待。 (学生活动)思考: 足够长的水平传送带维 持匀速 v 运转。 将一袋货 物无初速地放上去, 在货 物达到速度 v 之前,与传送带的摩擦力大小为 f ,对地的位移为 S 。试问:求摩擦力 的功时,是否可以用 W = fS ? 解:按一般的理解,这里应指广义的功(对应传送带引擎输出的能量) ,所以“位移” 取作用点的位移。注意,在此处有一个隐含的“交换作用点”的问题,仔细分析,不难 发现,每一个(相对皮带不动的)作用点的位移为 2S 。 (另解:求货物动能的增加和与 皮带摩擦生热的总和。 )答:否。 (学生活动)思考:如图 12 所示,人站在船上,通过拉一根固定在铁桩的缆绳使船 靠岸。试问:缆绳是否对船和人的系统做功?解:分析同上面的“第 3 例” 。答:否。 六、机械能守恒与运动合成(分解)的综合 物理情形:如图 13 所示,直角形的刚性杆被固定,水平和竖直部分均足够长。质量 分别为 m1 和 m2 的 A、B 两个有孔小球,串在杆上,且被长为 L 的轻绳相连。忽略两球的 大小,初态时,认为它们的位置在同一高度,且绳处于拉直状态。现无初速地将系统释 放,忽略一切摩擦,试求 B 球运动 L/2 时的速度 v2 。 模型分析:A、B 系统机械能守恒。A、B 两球的瞬时速度不等,其关系可据“第三部 分”知识介绍的定式(滑轮小船)去寻求。 (学生活动)A 球的机械能是否守恒?B 球 的机械能是否守恒?系统机械能守恒的理 由是什么(两法分析:a、 “微元法”判断两

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个 WT 的代数和为零;b、无非弹性碰撞,无摩擦,没有其它形式能的生成)? 由“拓展条件”可以判断,A、B 系统机械能守恒, (设末态 A 球的瞬时速率为 v1 ) 过程的方程为: m2g

1 1 L 2 = m1 v1 + m 2 v 2 2 2 2 2



在末态,绳与水平杆的瞬时夹角为 30°,设绳子的瞬时迁移速率为 v ,根据“第三 部分”知识介绍的定式,有: v1 = v/cos30°, v2 = v/sin30° 两式合并成:v1 = v2 tg30°= v2/ 3 解①、②两式,得:v2 = 七、动量和能量的综合(一) 物理情形:如图 14 所示,两根长度均为 L 的刚 性轻杆,一端通过质量为 m 的球形铰链连接,另一端分别与质量为 m 和 2m 的小球相连。 将此装置的两杆合拢,铰链在上、竖直地放在水平桌面上,然后轻敲一下,使两小球向 两边滑动,但两杆始终保持在竖直平面内。忽略一切摩擦,试求:两杆夹角为 90°时, 质量为 2m 的小球的速度 v2 。 模型分析:三球系统机械能守恒、水平方向动量守恒,并注意约束关系——两杆不 可伸长。 (学生活动)初步判断:左边小球和球形铰链的速度方向会怎样? 设末态(杆夹角 90°)左边小球的速度为 v1(方向:水平向左) ,球形铰链的速度 为 v(方向:和竖直方向夹θ 角斜向左) ,对题设过程,三球系统机械能守恒,有: mg( L②

3m 2 gL m1 ? m 2

2 1 1 2 1 2 L) = m v1 + mv + 2m v 2 2 2 2 2 2



三球系统水平方向动量守恒,有: mv1 + mvsinθ = 2mv2 左边杆子不形变,有: v1cos45°= vcos(45°-θ ) 右边杆子不形变,有: vcos(45°+θ ) = v2cos45° ④
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四个方程,解四个未知量(v1 、v2 、v 和θ ) ,是可行的。推荐解方程的步骤如下 1、③、④两式用 v2 替代 v1 和 v ,代入②式,解θ 值,得:tgθ = 1/4 2、在回到③、④两式,得:v1 =

5 v2 , 3

v =

17 v2 3
3gL( 2 ? 2 ) 20

3、将 v1 、v 的替代式代入①式解 v2 即可。结果:v2 =

(学生活动)思考:球形铰链触地前一瞬,左球、铰链和右球的速度分别是多少? 解:由两杆不可形变,知三球的水平速度均为零,θ 为零。一个能量方程足以解题。答: 0 、 2gL 、0 。 (学生活动)思考:当两杆夹角为 90°时,右边小球的位移是多少? 解:水平方向用“反冲位移定式” ,或水平方向用质心运动定律。答: 进阶应用:在本讲模型“四、反冲??”的“进 阶应用” (见图 8)中,当质点 m 滑到方位角θ 时(未 脱离半球) ,质点的速度 v 的大小、方向怎样? 解说:此例综合应用运动合成、动量守恒、机械 能守恒知识,数学运算比较繁复,是一道考查学生各 种能力和素质的难题。据运动的合成,有:

3 2 L 。 8

? ? ? ? ? v 点? 半球 = v 点?地 + v 地? 半球 = v 点?地 - v 半球 ?地
其中 v 半球 ?地 必然是沿地面向左的,为了书写方 便,我们设其大小为 v2 ;v 点? 半球 必然是沿半球瞬时位置切线方向(垂直瞬时半径) 的, 设大小为 v 相 。根据矢量减法的三角形法则,可以得到 v 点?地(设大小为 v1)的示意图, 如图 16 所示。同时,我们将 v1 的 x、y 分量 v1x 和 v1y 也描绘在图中。 由图可得:v1y =(v2 + v1x)tgθ 质点和半球系统水平方向动量守恒,有:Mv2 = mv1x 对题设过程, 质点和半球系统机械能守恒, 有: mgR(1-cosθ ) = 即: ① ②

?

?

?

1 1 2 M v2 + m v1 , 2 2 2

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mgR(1-cosθ ) =

1 1 2 2 M v2 + m( v1x + v1y ) 2 2 2



三个方程,解三个未知量(v2 、v1x 、v1y)是可行的,但数学运算繁复,推荐步骤 如下—— 1、由①、②式得:v1x =

M v2 , m

v1y = (

m?M tgθ ) v2 m

2m 2 gR (1 ? cos ?) 2、代入③式解 v2 ,得:v2 = M 2 ? Mm ? ( M ? m) 2 tg 2 ?
3 、 由
2 v1

=

2 v 1x

+

2 v 1y



v1







v1

=

2gR(1 ? cos ?)( M 2 ? 2Mm sin 2 ? ? m 2 sin 2 ?) M 2 ? Mm ? m(M ? m) sin 2 ?
v1 的方向:和水平方向成α 角,α = arctg

v 1y v 1x

= arctg(

M?m tg? )这就是最后 M

的解。 〔 一 个附 属结 果: 质 点相 对半 球的 瞬 时角 速度 ω =

v相 R

=

2g ( m ? M )(1 ? cos ?) 。 〕 R ( M ? m sin 2 ?)
八、动量和能量的综合(二) 物理情形:如图 17 所示,在光滑的水平面上,质量为 M = 1 kg 的平板车左端放有 质量为 m = 2 kg 的铁块,铁块与车之间的摩擦因素μ = 0.5 。开始时,车和铁块以共 同速度 v = 6 m/s 向右运动,车与右边的墙壁发生正碰,且碰撞是弹性的。车身足够长, 使铁块不能和墙相碰。重力加速度 g = 10 m/s2 ,试求:1、铁块相对车运动的总路程; 2、平板车第一次碰墙后所走的总 路程。

模型分析:本模型介绍有两对相互作用时的处理常规。能量关系介绍摩擦生热定式 的应用。由于过程比较复杂,动量分析还要辅助以动力学分析,综合程度较高。
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由于车与墙壁的作用时短促而激烈的,而铁块和车的作用是舒缓而柔和的,当两对 作用同时发生时,通常处理成“让短时作用完毕后,长时作用才开始” (这样可以使问 题简化) 。在此处,车与墙壁碰撞时,可以认为铁块与车的作用尚未发生,而是在车与 墙作用完了之后,才开始与铁块作用。 规定向右为正向,将矢量运算化为代数运算。 车第一次碰墙后,车速变为-v ,然后与速度仍为 v 的铁块作用,动量守恒,作用 完毕后,共同速度 v1 =

mv ? M(?v) v = ,因方向为正,必朝墙运动。 (学生活动) m?M 3
v2 ,反向加速的 2a

车会不会达共同速度之前碰墙?动力学分析:车离墙的最大位移 S =

2 v1 ?mg 位移 S′= ,其中 a = a1 = ,故 S′< S ,所以,车碰墙之前,必然已和铁 2a 1 M

块达到共同速度 v1 。 车第二次碰墙后,车速变为-v1 ,然后与速度仍为 v1 的铁块作用,动量守恒,作用 完毕后,共同速度 v2 =

mv 1 ? M(? v1 ) v v = 1 = 2 ,因方向为正,必朝墙运动。 m?M 3 3 v2 v = 3 ,朝墙运动。?? 3 3

车第三次碰墙,??共同速度 v3 =

以此类推,我们可以概括铁块和车的运动情况—— 铁块:匀减速向右→匀速向右→匀减速向右→匀速向右?? 平板车:匀减速向左→匀加速向右→匀速向右→匀减速向左→匀加速向右→匀速向 右?? 显然,只要车和铁块还有共同速度,它们总是要碰墙,所以最后的稳定状态是:它 们一起停在墙角(总的末动能为零) 。 1、全程能量关系:对铁块和车系统,-Δ Ek =Δ E 内 ,且,Δ E 内 = f 滑 S 相 ,即:

1 (m + M)v2 = μ mg?S 相 2
匀减速的,故 第 一 次 : S1 =

代入数字得:S 相 = 5.4 m

2、平板车向右运动时比较复杂,只要去每次向左运动的路程的两倍即可。而向左是

v2 2a

第 二 次 : S2 =

2 v1 1 v2 = 2a 2a 3 2

第 三 次 : S3 =

v2 2 = 2a

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1 v2 2a 3 4

??

n 次碰墙的总路程是: Σ S = 2( S1 + S2 + S3 + ? + Sn )=

v2 1 1 1 ( 1 + 2 + 4 + ? + 2 n ?1) ) ( a 3 3 3

=

v2 1 1 1 ( 1 + 2 + 4 + ? + 2 n ?1) ) ( ?mg 3 3 3 M

碰墙次数 n→∞,代入其它数字,得:Σ S = 4.05 m (学生活动)质量为 M 、程度为 L 的木板固定在光滑水平面上,另一个质量为 m 的滑块以水平初速 v0 冲上木板,恰好能从木板的另一端滑下。现解除木板的固定(但无 初速) ,让相同的滑块再次冲上木板,要求它仍能从另一端滑下,其初速度应为多少?
2 mv 0 解:由第一过程,得滑动摩擦力 f = 。 2L

第二过程应综合动量和能量关系( “恰滑下”的临界是:滑块达木板的另一端, 和木板具有共同速度,设为 v ) ,设新的初速度为 v ? 0 m v ? =( m + M )v 0

1 1 m v? 2 ( m + M )v2 = fL 0 2 2
解以上三式即可。答: v ? = 0

m?M v0 。 M

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第十五讲 机械振动和机械波

知识点击 1.简谐运动的描述和基本模型 ⑴简谐振动的描述:当一质点,或一物体的质心偏离其平衡位置 x,且其所受合力 F 满足 F ? ?kx(k ? 0) ,故得 a ? ?

k x ? ?? 2 x , ? ? m

k m

则该物体将在其平衡位置附近作简谐振动。 ⑵简谐运动的能量:一个弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成, 即

? E ? 2 m?

1

2

1 1 ? kx 2 ? kA2 2 2

⑶简谐运动的周期:如果能证明一个物体受的合外力 一定做简谐运动,而且振动的周期 T ?

? F ? ?k x ,那么这个物体

??

?

2?

?

? 2?

m ,式中 m 是振动物体的质量。 k

⑷弹簧振子:恒力对弹簧振子的作用:只要 m 和 k 都相同,则弹簧振子的振动周 期 T 就是相同的,这就是说,一个振动方向上的恒力一般不会改变振动的周期。 多振子系统:如果在一个振动系统中有不止一个振子,那么我们一般要找振动系统 的等效质量。 悬点不固定的弹簧振子:如果弹簧振子是有加速度的,那么在研究振子的运动时应 加上惯性力. ⑸单摆及等效摆:单摆的运动在摆角小于 50 时可近似地看做是一个简谐运动,振 动的周期为 T ? 2?

l ,在一些“异型单摆”中, l和g 的含义及值会发生变化。 g

(6)同方向、同频率简谐振动的合成:若有两个同方向的简谐振动,它们的圆频率 都是ω ,振幅分别为 A1 和 A2,初相分别为 ?1 和 ? 2 ,则它们的运动学方程分别为

x1 ? A1 cos(?t ? ?1 ) x2 ? A2 cos(?t ? ?2 )
因振动是同方向的,所以这两个简谐振动在任一时刻的合位移 x 仍应在同一直线

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上,而且等于这两个分振动位移的代数和,即 x ? x1 ? x2 由旋转矢量法,可求得合振动的运动学方程为 x ? A cos(?t ? ? ) 这表明,合振动仍是简谐振动,它的圆频率与分振动的圆频率相同,而其合振幅 为

A?

2 A12 ? A2 ? 2 A1 A2 cos(? 2 ? ?1 )

合振动的初相满足 tan ? ? 2.机械波:

A1 sin ?1 ? A2 sin ?2 A1 cos ?1 ? A2 cos ?2

(1)机械波的描述:如果有一列波沿 x 方向传播,振源的振动方程为 y=Acosω t, 波的传播速度为 ? ,那么在离振源 x 远处一个质点的振动方程便是

x ? ? y ? A cos ?? (t ? ) ? ,在此方程中有两个自变量:t 和 x,当 t 不变时,这个方程描写 ? ? ?
某一时刻波上各点相对平衡位置的位移;当 x 不变时,这个方程就是波中某一点的振 动方程. (2)简谐波的波动方程:简谐振动在均匀、无吸收的弹性介质中传播所形成的波 叫做平面简谐波。如果一列简谐波在 o ? xy 平面内,以波速 u 沿 ox 轴正方向传播,振 源(设其位于坐标原点)的振动方程为 y ? A cos(?t ? ? ) ,由于波是振动状态的传播, 故知坐标原点的振动状态传播到离振源 x( x ? 0) 处要滞后 t0 ?

x 的时间。 这表明若坐标 u

原点振动了 t 时间,x 处的质点只振动了 t ? t0 的时间,于是 x 处振动质点的位移可表 为

x ? ? y ? A cos ?? (t ? ) ? ? ? u ? ?
显然,上式适用于表述 ox 轴上所有质点的振动,它就是平面简谐波的波函数, 也常称为平面简谐波的波动方程。

同理,如果简谐波沿 ox 轴负方向传播,则波函数为 y ? A cos ?? (t ? ) ? ? ?
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? ?

x u

? ?

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为了加深对波函数物理含义的理解,下面以 y ? A cos ?? (t ? ) ? ? ? 为例做-讨 论。 ①当 x ? x0 时(好似用摄像机对着坐标为 x0 这一质点进行拍摄) ,则

? ?

x u

? ?

x ?x ? ? ? ? y ? A cos ?? (t ? 0 ) ? ? ? ? A cos ??t ? (? ? 0 ) ? 。它表示的是坐标为 x0 的质 u u ? ? ? ?
点在不同时刻的位移,即该处质点的振动方程。 ②当 t ? t0 时(好似用照相机对一组质点在 t 0 时刻进行照相) ,则

x ? ? ?? x ? y ? A cos ?? (t0 ? ) ? ? ? ? A cos ? ? (? ? ?t0 ) ? 。它表示在给定的 t 0 时刻各 u ? ? ? u ?
质点的位移分布情况,相应的图像称为 t 0 时刻的波形图。 3.波的干涉和多普勒效应 ⑴波的叠加:几列波在同一介质中传播时,在它们相遇的区域内,每列波都将保 持各自原有的频率、 波长和传播方向, 并不相互干扰. 波的这种性质叫做波的独立性. 因 此在几列波重叠的区域内,每个介质质点都将同时参与几列波引起的振动,每个质点的 振动都是由几个分振动合成的.故在任一时刻,每个质点的位移都是几列波各自的分振 动引起的位移的矢量和.这种现象称为波的叠加. ⑵波的干涉:两列频率相同、振动方向相同、相位差恒定的波叫做相干波。两列 相干波传到同一个区域,可使某些位置的质点振动加强,某些位置的质点振动减弱,而 且振动加强和振动减弱的区域相互间隔,这种现象叫做波的干涉。 ⑶多普勒效应:当声源和观察者之间存在相对运动时,会发生收听频率和声源频 率不一致的现象.该种现象神称为多普勒效应. 为了简单,这里仅讨论波源或观察者的运动方向与波的传播方向共线的情况. 设波速为 ? 0 ,波的频率为 f ,接收到的频率为 f ? : (a)观察者以速度 u 向波源运动: f ? ?

?0 ? u f ?0

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(b)波源以速度 ? 向观察者运动: f ? ?

?0 ? ?

?0

f

(c)波源和观察者都运动: f ? ?

?0 ? u f ?0 ? ?

根据简谐振动的基本模型和各种变形的振动模型, 求振动周期是振动问题的一种基本类 型,解题中要注意简谐振动的动力学特征 F ? ?kx 或 a ? ? 等效量。 例 1.一简谐运动的系统如图 7—1 所示,不计一切摩擦,绳不可伸长, m1、m2 及弹簧的劲度系数 k 已知求 m2 上下振动的周期。 分析和解:本题是一个弹簧振子的变式模型,解题时要根据受力分析 由牛顿运动定律得出振动的动力学特征,然后由周期公式就可求出其 振动周期 设某一时刻弹簧伸长 x ,绳上张力是 FT。 分析 m1: kx ? m1 g ? FT ? m1a 分析 m2: FT ? m2 g ? m2

k x 的形式,从中得出有关 m

a 2 m2 ), 2

消去 FT: 2kx ? 2m1 g ? m2 g ? a(2m1 ?

假设振子平衡时弹簧伸长 ?x0 , 此时 m1、 2 的加速度为零, m 则有 2k ?x0 ? m2 g ? 2m1 g 设 m1 偏离平衡位置的位移为 ?x ,则 x ? ?x ? ?x0

2k (?x ? ?x0 ) ? 2m1 g ? m2 g ? a(2m1 ?
将 ?x0 ?

m2 g ? 2m1 g m 代入①式,可得 2k ?x ? a(2m1 ? 2 ) 2k 2 m ? F ?k ?x ? a(m1 ? 42 )
4m1 ? m2 m2 ,周期为 T ? 2? 4k 4

m2 ) 2



所以这个振子系统的等效质量是 m1 ?

波的干涉问题大多是问题简单,解答繁复,根据矢量叠加原理和波的干涉特征,大 多产生多值问题,在处理这类问题时,一般先不急于代人数据,文字运算有助于从物理 意义角度思考问题. 例 3.如图 7—3 所示,在半径为 45 m 的圆形跑道的 P 点和圆心 Q 点各有一个相同的扬
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声器,发出的都是波长 10 m 的完全相同的声波,一个人从直径 PH 的 H 点出发,沿逆时 针方向绕圆周走一圈,问他离开 H 点后,到达 P 点前共听到几次最 弱的声音?

分析和解:本题是根据波的干涉原理来解决声波干涉的现象, 解题时可从波程差和振动加强或减弱的条件出发。 如图 7—4 所示,设人走到圆弧上的 A 点处,∠APH=θ , 则 P、Q 两点波源到 A 的路程差Δ S 满足:Δ S=2Rcosθ ?R 考虑人的运动范围,对于θ ,有 0 ? ? ?

?
2



?R ? ?S ? R



为使人能听到最弱的声音,Δ S 又应满足: ?S ? 结合①②,将 R=45 m, λ =10 m 代入,得到

?
2

(2n ? 1)

n? N



N=0,±1,±2,±3,±4,?5 时,人能听到最弱的声音,共 10 次。 波动问题的最大特征就是其多解性,包括速度的正负方向,距离相差整数倍波长时振动 的完全等效,都应仔细考虑,在处理这类问题时,一般应先求出产生多解量的表达式, 然后通过文字运算得到所求量的表达式,最后根据有关物理意义确定题解。 例 4.图 7—5 中的实线和虚线分别表示沿 x 轴方向传播的正弦波 t=0 和 t=1s 时刻的波 形。

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(1)求该波的频率和波速; (2)写出 X=0 及 X=1 m 处的质点振动方程。 分析和解:本题的特点是波的传播方向不确定和周期的不确定(或距离相差整数倍波长 时振动的完全等效)形成多解。 (1)由题给图象可知,如果波向 x 正方向传播,则两时间间隔内该机械波可能向前 传播了 (n ? )? ,其中 n=0,1,2,3,?

1 4

?S ?? ? ?t

1 ( n ? )? 4 ? 2(n ? 1 )m / s , f ? ? ? (n ? 1 ) Hz ? 4 ?t 4

同理,如果波沿 x 轴负方向传播

3 ( n ? )? 4 ? 2(n ? 3 )m / s , f ? ? ? (n ? 3 ) Hz ?? ? 4 ?t 4
(2)如果波向 x 轴正方向传播,则有 x=0 时, y ? A cos(?t ? ?0 ) ? 0.01cos ?

?? ? (4n ? 1)? t ? ?m 2 2? ?
3? ? ? (4n ? 1)? t ? ?m 2 2 ? ?

x=lm 时, y ? A cos(?t ? ?0 ) ? 0.01cos ? 同理,如果波向 x 轴负方向传播,则有 x=0 时, y ? 0.01cos ? x=1 时, y ? 0.01cos ?

3? ? ? (4n ? 3)? t ? ?m 2 2 ? ?

?? ? (4n ? 3)? t ? ?m 2 2? ?

等效摆的问题也简谐振动的另一基本模型单摆的变形模型, 求振动周期时一般考虑等效 摆长和等效重力加速度,但对于刚体构成的复摆,其等效量的计算往往要考虑质心及刚 体的转动惯量才能简化解题过程。 例 5. 如图 7—6 所示, 由匀质金属丝做成的等腰三角形可在图示平面内作小振幅振动. 在 位置(a)和(b)的情形,长边是水平的.所有三种情形的振动周期均相等.试求 出该周期. 分析和解:该题中,悬挂的三角形架为一复摆,而复摆的周期公式为 T ? 2?

I , mgh

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对象是刚体,I 为刚体对悬点的转动惯量,h 为质心与悬点间的距离.另外,题中得出 两位置相异、周期相同的置点与质量心间的距离 S1、S2 满足 S1 ? S 2 ? 关,这是一个非常重要的结论。 如图 7—7,设三个悬点分别距金属架 Sa,Sb,Sc,对于悬 挂点距质心为 S 的复摆的周期 T, 讨论如下: T ? 2?

T 2g ,与 m,I 无 4? 2

I ? mS 2 I ? 2? 0 mgh mgS


S2 ?

I T 2g S? 0 ?0 2 4? m

其中 Io 为系统绕质心的转动惯量。将①式视为一关于 S 的一元二次方程,则当 T 为一确 定 G 位于 AC 的中点, Sa=Sc=5cm, Sb ? Sc2 ? BC ? 21.6cm
2

①式的两解为 Sa=5 cm,Sb=21. 6 cm 即 T ? 2?

S a ? Sb ? 1.04 s g

类型五、 多普勒效应的问题是波源或观察者的运动与波的传播三者间的相对运动的 问题,一般地说可化为行程问题来解,但解题过程会比较复杂,所以直接用推导得出的 公式比较简单。 例 6.一个人站在广场中央,对着甲、乙、丙三个伙伴吹哨子(频率? ? 1200Hz ) ,甲、 乙、丙距广场中央都是 100m 远,且分别在广场中央 的南东北面,第四个伙伴丁从西面乘车以 40m/s 的 速度赶来,忽然有一阵稳定的风由南向北吹来,速 度为速度为 10m/s,如图 7—8 所示,求甲、乙、丙、 丁四人听到哨声的频率各是多少?已知当时声速为 320m/s。 分析和解:由于风吹动引起介质相对声源和观察者 以速度 ? F 运动,即 u ? ? ? ? F ,应用多普勒效应

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公式? ? ?

V ?? ? V ??

? ? 1200Hz

对甲: ? ? ?? F , u ? ? F

? 则?甲 ?

V ? ?F ? ? 1200 Hz V ? ?F

对乙:由于 ? F 在东西方向无速度分量,故 ? ? u ? 0 ,

? 所以? 乙 ?

V ?0 ? ? 1200 Hz V ?0
V ? ?F ? ? 1200 Hz V ? ?F

? 对丙: ? ? ?F , u ? ?? F ,? 丙 ?
对丁:u=0, ? ? 40m / s ,

? ?丁 ?

V ?? 320 ? 40 ?? ?1200 ? 1350 Hz V ?0 320

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第十五讲

热力学基础

一、知识点击 1.气体的压强和内能 ⑴理想气体状态方程 理想气体的状态方程表述了一定质量的气体的压强 p、体积 V 和热力学温度 T 之间 的关系

p1V1 p2V2 p p m ,将密度公式 V ? 代人,可得 1 ? 2 ? T1 T2 ?1T1 ? 2T2 ?

利用 1 mol 的理想气体在标准状态下的参量可以得到 pV ? ⑵理想气体的内能

m RT M

由于理想气体分子间不存在分子力,也就没有分子力势能.因此,理想气体的内能 就是气体所有分子热运动动能的总和,即 E ? N

i i m i kT ? PV ? ( R)T 2 2 ? 2

一定质量理想气体内能的改变量是 ?E ? 2.分子热运动的特点

m i ( R)?T ? 2

能量守恒定律和热力学第一定律

⑴物质分子热运动特点:由于晶体中微粒间的作用力很强,占主要地位.微粒的热 运动主要表现为以结点为平衡位置的微振动,这称为热振动。其振动的时间、方向、振 幅、频率等都是杂乱无章的;气体中分子间距大,分子力往往可以忽略,热运动占主要 地位.分子能在空间自由运动,是完全无序的.因此它充满能到达的空间,没有一定的 体积和形状,容易被压缩,具有流动性;液体分子间距离小,相互作用力较强,其分子 热运动主要表现为在平衡位置作微振动,但它也能迁移到新的平衡位置振动.上表现出 不易压缩,具有一定体积的特点,这像固体;同时它具有流动性、没有固定形状,这像 气体。可见液体的性质是介于气体与固体之间的。 ⑵能量守恒定律和热力学第一定律 能量守恒和转化定律是自然界最普遍、最根本的规律之一,它在物理学的各个领域 有不同的体现,而热力学第一定律和物态变化就是该定律在热学领域中的生动体现. 热力学第一定律:在某一变化过程中,如果外界对物体做的功是 W,物体从外界吸 收的热量是 Q,则物体内能的增量Δ E=W+Q。在使用这个定律时要注意三个量的正负;外
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界对物体做功,W 取正;物体对外界做功,W 取负;物体从外界吸热,Q 取正;物体对外 界放热,Q 取负;物体内能增加,Δ E 取正;物体内能减少,Δ E 取负。 气体的压强问题解题关键就在于受力分析时不能遗漏缸内气体产生的压强和缸外大气 压强产生的压力,然后列出力的平衡方程或动力学方程即可求解。 例 1.两端开口的横截面积为 S 的直管固定在水平方向上,在管内有两个活塞.开始左 边活塞通过劲度系数为 k 的未形变的弹簧与固定的壁相连. 两个活塞之间的气体 压强 P0 等于外界大气压强.右活塞到右管口的距离为 H,它等于两活塞之间的距 离(图 8—1) .将右活塞缓慢地拉向右管口,为了维持活塞在管口的平衡,问需 用多大的力作用在此活塞上?摩擦不计.温度恒定. 分析和解:随着右活塞被拉向管口,两活塞之间气体的体积将扩大,压强减小,于是左 活塞也向右移动,弹簧拉长;力 F 作用在右活塞上,将它拉到管口处,列出此时两活塞 的平衡条件: 左活塞:P0S?PS?kx=0 右活塞:F 十 PS?P0S=0 ① ②

式中 P 为后来两活塞之间气体压强.可得: F 二 P0S?PS=kx 可见,x=0,F=0;k=0,F=0. 因温度恒定,根据玻意耳定律有 P0HS=P(2H?x)S 由此,得 P ?

H kH P0 ? P0 2H ? x 2kH ? F



将③式代入②式,得到关于 F 的二次方程: F2?(P0S +2kH) F+P0SkH=0 其解 F1,2 ?

P0 S P2S 2 ? kH ? 0 ? k 2H 2 2 4 P0 S P2S 2 ? kH ? 0 ? k 2H 2 2 4

既然 k=0 时,F=0,所以最终答案应为 F ?

与气体的压强相联系的不稳定平衡问题, 可通过力的分析列出力的平衡方程和位置变化 后的能量变化相结合来求解。 例 2.一个质量为 m=200.0kg,长 L0=2.00 m 薄底大金属桶倒扣在宽旷的水池底部(图 8

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—2) ,桶内横截面积 S=0.500 m2,桶的容积为 L0 S,桶本身(桶壁与桶底)的体积 V0=2.50?10-3m3,桶内封有高度 L=0.200 m 的空气,池深 H0=20.00 m,大气压强 P0=10.00 m 水柱高,水的密度ρ =1.00?103kg/m3,重力加速度 g=10.00m/s2。若用 图中所示吊绳将桶上提,使桶底能达到水面处,则绳拉力所需做的功有一最小值。 试求从开始到绳拉力刚完成此功的过程中,桶和水(包括池水和桶内水)的机械能 改变多少?不计水的阻力,不计饱和水汽压的影响,上下水温一致且保持不变。

分析和解:本题是一个与气体压强相联系的不稳定平衡问题.在上提过程中,桶内空气 体积增大、压强减小,从而对桶和桶内空气这一整体的浮力会增大.若存在桶所受浮力 等于重力的位置, 则此位置是桶的不稳定平衡点. 再稍上提, 浮力大于重力, 桶就上浮. 从 这时起,绳不必再拉桶,桶会在浮力作用下,上浮到桶底到达水面并冒出.因此绳对桶 的拉力所需做的最小功的过程, 就是缓慢地将桶由池底提高至浮力等于重力的位置所经 历的过程. 下面先看这一位置是否存在.假设存在,如图 6 一 13 所示.设此位置处桶内空气 的高度为 L? ,因为浮力等于重力,应有

mg ? ? ( L?S ? V0 ) g
可得 L? =0. 350 m 设此时桶的下方边缘距池底的高度为 H,由玻意耳定律可知.

? P0 ? H 0 ? ( L0 ? L)? L ? ? P0 ? H 0 ? ( L0 ? L?)? L?
可得 H=12.24 m 因为 H<(H0?L0),即桶仍浸在水中,可知存在上述浮力等于重力的位置。 现在再求将桶由池底缓慢地提高到 H 处,桶和水的机械能的增量Δ E。 Δ E 包括三 都分。
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(1)桶势能的增量:Δ E1=mgH; (2)在高度 H 处桶本身排开的水,可看作下降去填充在池底时桶本身所占的空间 而引起水势能的增量:Δ E2=?ρ V0gH; (3)在高度 H 时桶内空气所排开的水,可看作一部分下降去填充在池底时空气所 占的空间,另一部分(由于空气膨胀)上升到水池表面.由此引起水的势能的增量:

L L? ?E3 ? ? SLg ( L0 ? ) ? ? S ( L? ? L) gH 0 ? ? SL?g ( H ? L0 ? ) 2 2
综上所述从池底到 H 处桶和水的机械能的变化为

? L?2 ? L2 ? ?E ? ?E1 ? ?E2 ? ?E3 ? ? Sg ?( L? ? L)( H 0 ? L0 ) ? ? 1.37 ? 104 J 2 ? ? ?
热力学系统的问题从内部考虑重点是理想气体状态方程, 从外部考虑主要是能量交换的 问题,重点是用热力学第一定律来解题。 例 4.绝热容器 A 经一阀门与另一容积比 A 容积大很多的绝热容器 B 相连.开始时阀门 关闭,两容器中盛有同种理想气体,温度均为 30oC,B 中气体的压强是 A 中的两倍。 现将阀门缓慢打开,直至压强相等时关闭,问此时容器 A 中气体的温度为多少?假 设在打开到关闭阀门的过程中,处在 A 中的气体与处在 B 中的气体之间无热交换。 已知每摩尔该气体的内能为 U ?

5 RT 。 2

分析和解:气体 B 比 A 的容积大很多,这表明 B 是一个相当大的热力学系统,当小系统 A 与它发生能量交换时,它所受到的影响极小,可以忽略不计,以致可以认为它的状态 参量不会改变.因此将 B 与 A 之间的阀门打开后关闭,容器 A 中的压强也是 2P。 设气体的摩尔质量为μ ,容器 A 的体积为 V。阀门打开前,其中气体的质量为 M、 压强为 P、温度为 T,由

PV ?

M

?

RT ,得 M ?

P? V RT



因为 B 容积很大,所以在题述的过程中,B 中气体的压强和温度皆可视为不变。根 据题意,打开阀门又关闭后,A 中气体的压强变为 2P,若其温度为 T ? 、质量为 M ? ,则 有

M? ?

2P? V RT ?



由 B 进入 A 的气体的质量为 ?M ? M ? ? M ?

P?V 2 1 ( ? ) R T? T



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设这些气体处在容器 B 中时所占的体积为△V,则 ?V ?

RT ?M 2 P?



为把这些气体压入容器 A,容器 B 中其他气体对这些气体将等压做功为

W ? 2P?V ? PV (

2T ?1 ) T?



A 中气体内能的变化为 ?U ?

M? 5 ? R T ? ? T) ( ? 2



因为 A 与外界没有热交换,根据热力学第一定律,有

W ? ?U
结果为 T ? ? 353K 。 气体状态和气体功量的问题解题时,气体状态参量根据理想气体状态方程处理,而功量 的计算往往用公式比较复杂,常结合图象来解题。 例 5.如图 7-5,在一大水银槽中竖直插入一根玻璃管,管上端封闭,下端开口,已知 槽中水银面以上的那部分玻璃管的长度 L=76 cm, 管内封闭有 n=1.0?10-3mol 的空 气, 保持水银槽与玻璃管都不动而设法使玻璃管内空气的温度缓慢地降低 10℃, 问 在此过程中管内空气放出的热量为多少?已知管外大气压强为 76 cmHg,空气的摩 尔内能 U=CV T,CV =20. 5 J/mol K。 分析和解:先找出管内空气降温的过程方程,可知在管内 气降温过程中,体积和压强均减小,再在 P—V 图中作过 程曲线一过原点的直线,然后利用其过程曲线下的面积来 计算功的大小. 设管内空气柱长度为 h,大气压强为 P0,管内空气压 强为 P,水银密度为ρ ,由图可知 P0=P+ρ g(L?h) 根据题给数据可知 P0 =ρ gL。管内空气压强为 ①

P ? ? gh ? ? g

V S



S 为玻璃管横截面积,V 为管内空气体积,由②式可知, 管内空气压强与其体积成正比。由克拉伯龙方程 PV=nRT,得

?g
S

V 2 ? nRT



由③式可知,随着温度降低,管内空气体积变小,由②式知管内空气压强也变小.压强 随体积变化关系 P—V 图中过原点的直线,如图 8—5 所示.

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在管内气温度 T1 降到 T2 的过程中,气体体积由 V1 减小到 V2,外界对气体做正功, 其值可用图 8—5 中划有斜线的梯形面积来表示,即有

W?

V V 1 ?g 1 ? g 1 ? 2 )(V1 ? V2) (V12 ? V22) nR T1 ? T2) ( ? ? ( 2 S S 2S 2




管内空气内能的变化为 ?U ? nCV (T2 ? T1 ) 设 Q 为外界传给气体的热量,根据热力学第一定律, 有 Q =ΔU - W = n C V +

R T2 - T1) 2



代入有关数据后得:Q=?0. 247 J,负号表示空气放出热量.

) (

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第十六讲 原子物理
原子的核式结构 1897 年,汤姆生通过对阴极射线的分析研究发现了电子,由此认识到原子也 应该具有内部结构,而不是不可分的。1909 年,卢瑟福和他的同事以α 粒子轰击 重金属箔,即α 粒子的散射实验,发现绝大多数α 粒子穿过金箔后仍沿原来的方 向前进,但有少数发生偏转,并且有极少数偏转角超过了 90°,有的甚至被弹回, 偏转几乎达到 180°。 1911 年,卢瑟福为解释上述实验结果而提出了原子的核式结构学说,这个学 说的内容是:在原子的中心有一个很小的核,叫原子核,原子的全部正电荷和几 乎全部质量都集中在原子核里,带负电的电子在核外的空间里软核旋转,根据α 粒子散射的实验数据可估计出原子核的大小应在 10-14nm 以下。 氢原子的玻尔理论 1、核式结论模型的局限性 通过实验建立起来的卢瑟福原子模型无疑是正确的,但它与经典论发生了严 重的分歧。电子与核运动会产生与轨道旋转频率相同的电磁辐射,运动不停,辐 射不止,原子能量单调减少,轨道半径缩短,旋转频率加快。由此可得两点结论: ①电子最终将落入核内,这表明原子是一个不稳定的系统; ②电子落入核内辐射频率连续变化的电磁波。原子是一个不稳定的系统显然 与事实不符,实验所得原子光谱又为波长不连续分布的离散光谱。如此尖锐的矛 盾,揭示着原子的运动不服从经典理论所表述的规律。 为解释原子的稳定性和原子光谱的离经叛道的离散性, 玻尔于 1913 年以氢原 子为研究对象提出了他的原子理论,虽然这是一个过渡性的理论,但为建立近代 量子理论迈出了意义重大的一步。 2、玻尔理论的内容: 一、原子只能处于一条列不连续的能量状态中,在这些状态中原子是稳定的, 电子虽做加速运动,但并不向外辐射能量,这些状态叫定态。 二、原子从一种定态(设能量为 E 2 )跃迁到另一种定态(设能量为 E 1 )时,或吸 收一定频率的光子,光子的能量由这种定态的能量差决定,即

h? =E 2 -E 1
三、氢原子中电子轨道量子优化条件:氢原子中,电子运动轨道的圆半径 r 和运动初速率 v 需满足下述关系:
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rmv ? n

h 2? ,n=1、2??

其中 m 为电子质量,h 为普朗克常量,这一条件表明,电子绕核的轨道半径 是不连续的,或者说轨道是量子化的,每一可取的轨道对应一个能级。 定态假设意味着原子是稳定的系统,跃迁假设解释了原子光谱的离散性,最 后由氢原子中电子轨道量子化条件,可导出氢原子能级和氢原子的光谱结构。

氢原子的轨道能量即原子能量,为

E?

1 2 e2 mv ? k 2 r

因圆运动而有

m

v2 e2 ?k 2 r r

由此可得

E ? ?k

e2 2r

根据轨道量子化条件可得:

v?n

h 2?mr ,n=1,2??



r?k

e2 mv 2 ,便有

r?

ke2 4? 2 m 2 r 2 ? m n2h2

得量子化轨道半径为:

rn ?

n2h2 4? 2 kme2 ,n=1,2??

式中已将 r 改记为 r n 对应的量子化能量可表述为:

En ? ?

2? 2 mk 2 e 4 n2h2 ,n=1,2?? r1 ? h2 4? 2 k me2
?

n=1 对应基态,基态轨道半径为 计算可得:

r1 ? 5.29 ? 10 ?11 m =0.529 A

r 1 也称为氢原子的玻尔半径

基态能量为 计算可得: 对激发态,有:

E1 ? ?

2? 2 mk 2 e 4 h2

E 1 = ? 13.6 eV。

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rn ? n 2 r1 , En ?

E1 n 2 ,n=1,2?

n 越大,r n 越大,E n 也越大,电子离核无穷远时,对应 E? ? 0 ,因此氢原子的 电离能为:

E电离 ? E? ? E1 ? ? E1 ? 13.6eV
电子从高能态 E n 跃迁到低能态 E m 辐射光子的能量为:

hv ? En ? Em

光子频率为

v?

En ? Em E1 1 1 ? ( 2 ? 2) h h n m ,n?m

因此氢原子光谱中离散的谱线波长可表述为:

??

c hc 1 ? ?( 1 ) ?1 1 r E1 n 2 ? m 2

,n?m

试求氢原子中的电子从第 n 轨道迁跃到 n-1 第轨道时辐射的光波频率,进而 证明当 n 很大时这一频率近似等于电子在第 n 轨道上的转动频率。 辐射的光波频率即为辐射的光子频率 ? ,应有

??

1 ( E n ? E n ?1 ) h

将 代入可得

En ? ?

2? 2 mk 2 e 4 n2h2

2? 2 k 2 me 4 ? 1 1 ? 2? 2 k 2 me 4 2n ? 1 ?? ?? ? 2?? ? 2 3 2 3 h n ? h n (n ? 1) 2 ? (n ? 1)
4? 2 k 2 me 4 ?? n3h3

当 n 很大时,这一频率近似为 电子在第 n 轨道上的转动频率为:

fn ?

Un mv n ? rn ? 2?rn 2?m ? rn 2



mv n rn ? n ?

h 2?

代入得

fn ?

4? 2 k 2 me 4 ?? n3h3

因此,n 很大时电子从 n 第轨道跃迁到第 n-1 轨道所辐射的光波频率,近似 等于电子在第 n 轨道上的转动频率,这与经典理论所得结要一致,据此,玻尔认
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为,经典辐射是量子辐射在 n ? ? 时的极限情形。 氢原子光谱规律 1、巴耳末公式 研究原子的结构及其规律的一条重要途径就是对光谱的研究。19 世纪末,许 多科学家对原子光谱已经做了大量的实验工作。第一个发现氢原子线光谱可组成 线系的是瑞士的中学教师巴耳末, 他于 1885 年发现氢原子的线光谱在可见光部分 的谱线,可归纳为如下的经验公式

1 ? ? 1 ? R? 2 ? 2 ? ? n ? ,n=3,4,5,? ?2 1
式中的 ? 为波长,R 是一个常数,叫做里德伯恒量,实验测得 R 的值为 1.096776 ? 10 7 m 。上面的公式叫做巴耳末公式。当 n=3,4,5,6 时,用该式计 算出来的四条光谱线的波长跟从实验测得的
?1

H ? 、 H ? 、 H ? 、 H ? 四条谱线的波长

符合得很好。氢光谱的这一系列谱线叫做巴耳末系。 2、里德伯公式 1896 年,瑞典的里德伯把氢原子光谱的所有谱线的波长用一个普遍的经验公 式表示出来,即

? 1 1 ? ? R? 2 ? 2 ? ?n ? ? ? 1 n 2 ? n=1,2,3? n2 ?n1 ?1 , n1 ?2 , n1 ?3 ? 1
上式称为里德伯公式。对每一个 n 1 ,上是可构成一个谱线系:

n1 ? 1 , n2 ? 2 ,3,4? n1 ? 2 , n2 ? 3 ,4,5?

莱曼系(紫外区) 巴耳末系(可见光区) 帕邢系(红外区) 布拉开系(远红外区) 普丰德系(远红外区)

n1 ? 3 , n2 ? 4 ,5,6? n1 ? 4 , n2 ? 5 ,6,7? n1 ? 5 , n2 ? 6 ,7,8?

以上是氢原子光谱的规律,通过进一步的研究,里德伯等人又证明在其他元 素的原子光谱中,光谱线也具有如氢原子光谱相类似的规律性。这种规律性为原 子结构理论的建立提供了条件。 玻尔理论的局限性: 玻尔原子理论满意地解释了氢原子和类氢原子的光谱;从理论上算出了里德 伯恒量;但是也有一些缺陷。对于解释具有两个以上电子的比较复杂的原子光谱
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时却遇到了困难,理论推导出来的结论与实验事实出入很大。此外,对谱线的强 度、宽度也无能为力;也不能说明原子是如何组成分子、构成液体个固体的。玻 尔理论还存在逻辑上的缺点,他把微观粒子看成是遵守经典力学的质点,同时, 又给予它们量子化的观念,失败之处在于偶保留了过多的经典物理理论。到本世 纪 20 年代,薛定谔等物理学家在量子观念的基础上建立了量子力学。彻底摒弃了 轨道概念,而代之以几率和电子云概念。 例题 1:设质子的半径为 10
?15

m ,求质子的密度。如果在宇宙间有一个恒定

的密度等于质子的密度。如不从相对论考虑,假定它表面的“第一宇宙速度”达 到光速,试计算它的半径是多少。它表面上的“重力加速度”等于多少?(1mol
23 8 气 体 的 分 子 数 是 6 ? 10 个 ; 光 速 ? 3 ? 10 m / s ) 万 有 引 力 常 数 G 取 为 ;

6 ? 10 ?11 Nm 2 / kg2 。只取一位数做近似计算。
解 :

H2 的 摩 尔 质 量 为

2g/mol ,

H2 分 子 的 质 量 为

2 2 g? kg 23 6 ? 10 6 ? 10 26
∴质子的质量近似为 质 子 的 密

2 kg 6 ? 10 26
度 ρ

3 25 4 1 1 / ? 10 ?15 ? ? 1019 kg / m 3 26 16 ? 45 3 24 = 6 ? 10 = 4 ? 6 ? 10 ? 10

?

?

?

?

设该星体表面的第一宇宙速度为 v ,由万引力定律,得

mv 2 mM GM ?G v2 ? r r2 , r



4 M ? ?r 3 ? 3

4 G ?r 3 ? v? 3 ? 4Gr 2 ? r ∴
v ? 2?

Gp
v 2 G? ? 3 ? 10 8 2 6 ? 10 ?11 ? 1 ? 10 19 24 ? 3 ? 10 4 ?m ?

r?

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4 g ? GM / y 2 ? G ?y 3 ? / y 2 ? 4 yG? 3 由于“重力速度”



g ? 4 ? 3 ? 10 4 ? 6 ? 10 ?11 ?

1 ? 1019 ? 3 ? 1012 m / s 2 24
?11

?

?

【注】万有引力恒量一般取 G ? 6.67 ? 10

N ? m / kg 2

原子核 原子核所带电荷为+Ze,Z 是整数,叫做原子序数。原子核是由质子和中子组 成,两者均称为核子,核子数记为 A,质子数记为 Z,中子数便为 A-Z 。原子的元
A 素符号记为 X,原子核可表述为 Z X ,元素的化学性质由质子数 Z 决定,Z 相同 N

不同的称为同位素。

1 在原子物理中,常采用原子质量单位,一个中性碳原子质量的 12 记作 1 个原
?27 m ? 1.0 0 7 2 2u6 。 子 单 位 , 即 lu= 1.660566 ? 1 kg 。 质 子 质 量 : ? 中子质量:

mn ? 1.0 0 8 6 6u5 电子质量: me ? 0.000549 u。 。
结合能
A 除氢核外,原子核 Z X 中 Z 个质子与(A-Z)个中子静质量之和都大于原子核

的静质量 M X ,其间之差:

?M ? Zm ? ? ? A ? Z ?mn ? M x
称为原子核的质量亏损。式中、分别为质子、中子的静质量。造成质量亏损 的原因是核子相互吸引结合成原子核时具有负的能量,这类似于电子与原子核相 互 吸 引 力 结 合 成 原 子 时具 有 负 的 能 量 ( 例 如 氢原 子 处 于 基 态 时 电 子 轨道 能 量 为 -13.6eV) 。据相对论质能关系,负能量对应质量亏损。质量亏损折合成的能量:

?

?

?E ? ?Mc 2
称为原子核的结合能,注意结合能取正值。结合能可理解成为了使原子核分

?E 裂成各个质子和中子所需要的外加你量。 A 称为核子的平均结合能。
天然放射现象 天然放射性元素的原子核,能自发地放出射线的现象,叫天然放射现象。这 一发现揭示了原子核结构的复杂性。天然放射现象中有三种射线,它们是:

44

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4
α 射线:速度约为光速的 1/10 的氦核流( 2

He
) ,其电离本领很大。

0

β 射线:速度约为光速的十分之几的电子流( ? 1 ) ,其电离本领较弱,贯穿 本领较弱。 γ 射线:波长极短的电磁波,是伴随着α 射线、β 射线射出的,其电离本领 很小,贯穿本领最强。 原子核的衰变 放射性元素的原子核放出某种粒子后,变成另一种新核的现象,叫做原子核 的衰变,衰变过程遵循电荷守恒定律和质量守恒定律。用 X 表示某种放射性元素, z 表示它的核电荷数,m 表示它的质量数,Y 表示产生的新元素,中衰变规律为:

e

m
α 衰变:通式

z

X ?

m?4

4 Y ? He z?2 2

238
例如

92
m

U?

234

4 Th ? He 90 2

β 衰变:通式

z

X ?

0 Y? e z ?1 ?1
234 91 Pa ? 0 ?1 e

m

234
例如

90

Th ?

m
γ 衰变:通式

z

X?

m z

X ??
(γ 射线伴随着α 射线、β 射线同时放出的。

原子核放出γ 射线,要引起核的能量发生变化,而电荷数和质量数都不改变) 衰变定律和半衰期 研究发现,任何放射性物质在单独存在时,都遵守指数衰减规律

N (t ) ? N?e ? ?t
这叫衰变定律。式中



N 0 是 t=0 时的原子核数目,N(t)是经时间 t 后还没有

衰变的原子核的数目,λ 叫衰变常数,对于不同的核素衰变常数λ 不同。由上式 可得:

??

? dN / dt N



式中 ? dN 代表在 dt 时间内发生的衰变原子核数目。 分母 N 代表 t 时刻的原子

45

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核总数目。λ 表示一个原子核在单位时间内发生衰变的概率。不同的放射性元素 具有不同的衰变常数,它是一个反映衰变快慢的物理量, λ 越大,衰变越快。 半衰期表示放射性元素的原子核有半数发生衰变所需的时间。用 T 表示,由 衰变定律可推得:

T?

ln 2

?



半衰期 T 也是反映衰变快慢的物理量;它是由原子核的内部因素决定的,而 跟原子所处的物理状态或化学状态无关; 半衰期是对大量原子核衰变的统计规律, 不表示某个原子核经过多长时间发生的衰变。由①、③式则可导出衰变定律的另 一种形式,即

? 1 ?T N ? N0 ? ? ? 2 ? (T 为半衰期,t 表示衰变的时间,N 0 表示衰变前原子核的总量,
N 表示 t 后未衰变的原子核数)

t

? 1 ?T M ? M? ? ? ? 2 ? ( M ? 为衰变前放射性物质的质量,M 为衰变时间 t 后剩余的 或
质量) 。 原子核的组成 用人工的方法使原子核发生变化, 是研究原子核结构及变化规律的有力武器。 确定原子核的组成有赖于质子和中子的发现。 1919 年,卢瑟福用α 粒子轰击氮原子核而发现了质子,这个变化的核反应方 程:

t

14

4 17 1 N ? He ? O ? H 7 2 8 1

1932 年,查德威克用α 粒子轰击铍原子核而发现了中子,这个变化的核反应 方程是:

9

4 12 1 Be ? He ? C ? n 4 2 6 0

通过以上实验事实,从而确定了原子核是由质子和中子组成的,质子和中子 统称为核子。某种元素一个原子的原子核中质子与中子的数量关系为: 质子数=核电荷数=原子序数 中子数=核质量数-质子数 具有相同质子数不同中子数的原子互称为同位素, 利用放射性同位素可作 “示
46

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踪原子” ,用其射线可杀菌、探伤、消除静电等。 核能 ①核能 原子核的半径很小,其中质子间的库仑力是很大的。然而通常的原子核却是 很稳定的。这说明原子核里的核子之间一定存在着另一种和库仑力相抗衡的吸引 力,这种力叫核力。 从实验知道,核力是一种强相互作用,强度约为库仑力的确 100 倍。核力的 作用距离很短,只在 2.0 ? 10
?15

m 的短距离内起作用。超过这个距离,核力就迅速
?15

减小到零。质子和中子的半径大约是 0.8 ? 10

m ,因此每个核子只跟它相邻的核

子间才有核力的作用。核力与电荷无关。质子和质子,质子和中子,中子和中子 之间的作用是一样的。当两核子之间的距离为 0.8 ~ 2.0 fm 时,核力表现为吸力, 在小于 0.8 fm 时为斥力,在大于 10 fm 时核力完全消失。 ②质能方程 爱因斯坦从相对论得出物体的能量跟它的质量存在正比关系,即

E ? mc 2
这个方程叫做爱因斯坦质能方程,式中 c 是真空中的光速, m 是物体的质量,

E 是物体的能量。如果物体的能量增加了 △E ,物体的质量也相应地增加了 △m ,
反过来也一样。 △E 和 △m 之间的关系符合爱因斯坦的质能方程。

?E ? ?m ? c 2
③质量亏损 原子核由核子所组成,当质子和中子组合成原子核时,原子核的质量比组成 核的核子的总质量小,其差值称为质量亏损。用 m 表示由 Z 个质子、 Y 个中子组 成的原子核的质量,用 m P 和

m n 分别表示质子和中子的质量,则质量亏损为:

?m ? Zm P ? Ymn ? m
④原子核的结合能和平均结合能 由于核力将核子聚集在一起,所以要把一个核分解成单个的核子时必须反对 核力做功,为此所需的能量叫做原子核的结合能。它也是单个核子结合成一个核 时所能释放的能量。根据质能关系式,结合能的大小为:

?E ? ?m ? c 2
原子核中平均每个核子的结合能称为平均结合能,用 N 表示核子数,则:

47

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?E 平均结合能= N
平均结合能越大,原子核就越难拆开,平均结合能的大小反映了核的稳定程 度。从平均结合能曲线可以看出,质量数较小的轻核和质量数级大的重核,平均 结合能都比较小。中等质量数的原子核,平均结合能大。质量数为 50~60 的原子 核,平均结合能量大,约为 8.6 MeV 。 核反应 原子核之间或原子核与其他粒子之间通过碰撞可产生新的原子核,这种反应 属于原子核反应,原子核反应可用方程式表示,例如

14

4 17 1 N ? He ? O ? H 7 2 8 1

4
即为氦核(α 粒子) 2

He

14
轰击氮核 7

N

17
后产生氧同位素 8

O

1
和氢核 1

H
的核

反应,核反应可分为如下几类 (1)弹性散射:这种过程,出射粒子就是入射粒子,同时在碰撞过程中动能 保持不变,例如将中子与许多原子核碰撞会发生弹性散射。 (2)非弹性散射:这种过程中出射粒子也是原来的入射粒子,但在碰撞过程 中粒子动能有了变化,即粒子和靶原子核发生能量转移现象。例如能量较高的中 子轰击原子核使核激发的过程。 (3)产生新粒子:这时碰撞的结果不仅能量有变化,而且出射粒子与入射粒 子不相同,对能量较大的入射粒子,核反应后可能出现两个以上的出射粒子,如 合成 101 号新元素的过程。

253

4 256 1 Es ? He ? Md ? n 99 2 101 0

(4)裂变和聚变:在碰撞过程中,使原子核分裂成两个以上的元素原子核, 称为裂变,如铀核裂变

253

1 139 95 1 U? n? Xe ? S ? 2 n 92 0 54 88 r 0

裂变过程中,质量亏损 0.2u,产生巨大能量,这就是原子弹中的核反应。 引起原子核聚合的反应称为聚变反应,如

1 3 95 H ? H ? He ? S ? ? 1 1 2 88 r
氢弹就是利用氘、氘化锂等物质产生聚变后释放出巨大能量发生爆炸的。
48

2

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核反应中电荷守恒,即反应生成物电荷的代数和等于反应物电荷的代数和。 核反应中质量守恒,即反应生成物总质量等于反应物总质量。这里的质量指相对 论质量,相对论质量 m 与相对论能量 E 之间的关系是

E ? mc 2
因此质量守恒也意味着能量守恒。核反应中质量常采用原子质量单位,记为 u.lu 相当于 931.5MeV。 核反应中相对论质量守恒,但静质量可以不守恒。一般来说,反应生成物总 的静质量少于反应物总的静质量,或者说反应物总的静质量有亏损。亏损的静质 量记为△m,反应后它将以能量形式释放出来,称之为反应能,记为△ E,有

?E ? ?mc 2
需要注意的是反应物若有动能,其相对论质量可大于静质量,但在算反应能 时只计静质量。反应能可以以光子形式向外辐射,也可以部分转化为生成物的动 能,但生成物的动能中还可以包含反应物原有的动能。 下面讨论原子核反应能的问题: 在所有原子核反应中,下列物理量在反应前后是守恒的:①电荷;②核子数; ③动量;④总质量和联系的总能量等(包括静止质量和联系的静止能量) ,这是原 子核反应的守恒定律。下面就质量和能量守恒问题进行分析。 设有原子核 A 被 p 粒子撞击,变为 B 和 q。其核反应方程如下:

A+p→B+q
上列各核和各粒子的静质量 M 和动能 E 为 反应前 反应后

M a Ea M p E p M b Eb M q E q

根据总质量守恒和总能量守恒可得

Ma ?

Ep Eq Ea Eb ? M p ? 2 ? Mb ? 2 ? Mq ? 2 c2 c c c

由此可得反应过程中释放的能量 Q 为:
Q ? ?Eb ? Eq ? ? ?Ea ? E p ? ? ?M a ? M p ? ? ?M b ? M q ? c 2

?

?

此式表示, 反应能 Q 定义为反应后粒子的动能 超出反应前粒子的动能的差值。 这也等于反应前粒 子静质量超过反应后粒子的静质量的差值乘以
Pp

Pq

?A

Pp

c 2 。所以反应能 Q 可以通过粒子动能的测量求出,

Pb

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也可以由已知的粒子的静质量来计算求出。 下面来讨论怎样由动能来求出 Q。设 A 原子核是静止的。由能量守恒可得

Q ? Eb ? E q ? E p
根据反应前后动量守恒得

PP ? Pb ? Pq
式中 PP 为反应前撞击粒子的动量, Pb 和 可改为标量

Pq

是反应后新生二粒子的动量。上式

Pb2 ? Pp2 ? Pq2 ? 2 Pp Pq cos ?
2 由于 p ? 2ME ,上式可改为

M b Eb ? M p E p ? M q E q ? 2 M p M q E p E q cos ?
从上式求出

E b ,代入 Q ? Eb ? E q ? E p 中得

? Mq Q ? Eq ?1 ? ? M b ?

? ? M ? ? E p ?1 ? q ? ? M b ? ?

M p M q E p Eq ? ??2 cos ? ? Ab ?

从上式中的质量改为质量数之比可得:

Ap Aq E p Eq Aq ? A ? ? ? ? ? E p ?1 ? q ? ? 2 Q ? Eq ?1 ? cos ? ? ? Ab ? Ab ? Ab ? ? ? ?
如果 例1

Ep

事先测知,再测出

Eq

和β ,即可算得 Q。
12

已知某放射源在 t=0 时,包含 10 个原子,此种原子的半衰期为 30 天.

(1)计算 t1 ? 1s 时,已发生衰变的原子数; (2)确定这种原子只剩下 10 个的时刻 t 2 。
8

解: 衰变系数λ 与半衰期 T 的关系为

??

ln 2 0.693 ? T T
??t

衰变规律可表述为: N ? N? e

? N? e

?

0.693 ?t T



(1) t1 时刻未衰变的原子数为:

N1 ? N ? e

?

0.693 ?t T

50

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已发生衰变的原子数便为:
0.693 ? ?t ? ? ?1 ? e T ? ?N ? N ? ? N ? N ? ? ? ? ?

0.693 ? ? ? ? 10 12 ? ?1 ? e 30?24?3600 ? ? ? ? ?

? 2.67 ? 10 5
(2) t 2 时刻未发生衰变的原子数为:

N 2 ? N? e

?

0.693 ?t T

t2 ?
由此可解得: =399 天 例2

0.693 N ? 30 10 12 ln ? ln 8 T N 2 0.639 10

在大气和有生命的植物中,大约每 10 个碳原子中有一个 C14 原子,其
12

半衰期为 t=5700 年,其余的均为稳定的 C12 原子。在考古工作中,常常通过测定 古物中 C14 的含量来推算这一古物年代。如果在实验中测出:有一古木碳样品,在

m 克的碳原子中,在 △t(年)时间内有 △n 个 C14 原子发生衰变。设烧成木炭的树
是在 T 年前死亡的,试列出能求出 T 的有关方程式(不要求解方程) 。

解: 罗常数。

m 克碳中原有的 C14 原子数为

n? ?

m 1 ? N ? ? 12 12 10 ,式中 N ? 为阿伏加德

经过 T 年,现存 C14 原子数为

?1? n ? n? ? ? ?2?

T /?

mN ? ? 1 ? ? ? ? 12 ? 10 12 ? 2 ?

T /?

(1)

在 △T 内衰变的 C14 原子数为

?1? ?n ? n ? n? ? ?2?

?T / ?

? ? 1 ? ?T / ? ? ? n ?1 ? ? ? ? ? ?2? ? ? ?

(2)

在(1) (2)二式中, m 、 、 的,联立二式便可求出 T 。

N ? 、τ 、 △T 和 ?n 均为已知,只有 n 和 T 为未知

光学基础

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知识点击 1.几何光学的基本实验定律 光的直线传播定律:在均匀介质中,光线为一直线. 光的独立传播定律:自不同方向或由不同物体发出的光线相交时,对每一光线的独 立传播不发生影响. 光的反射和折射定律:光从一种介质射向另一种介质时,在界面上会同时产生反射 和折射两种现象.光的反射遵从反射定律,光的折射遵从折射定律,折射定律的数 学表达式是 n1 sin i1 ? n2 sin i2 , 反射定律可看作是折射定律当 n2 ? ? n1 时的特例. 当 光从光密介质射向光疏介质且人射角大于或等于临界角时,就发生全反射. 2.单球面折射与反射成像 在近轴条件下,折射球面的成像公式为

n? n n? ? n ? ? s? s r f? f ? ?1 s? s

式中 s 是物距, s ? 是像距,r 是球面曲经半径,n 和 n'分别为折射球面的物方折射 率和像方折射率.上式可改写成更具普遍性的高斯成像公式: 其中 f ? ?

n? n r和 f ? r 分别为折射球面的像方焦距和物方焦距。 n? ? n n? ? n

像 长 y? 与 物 长 y 之 比 称 做 垂 轴 ( 横 向 ) 放 大 率 ? , 对 单 折 射 球 面 成 像 , 有

??

y? ns? ? y n? s

n? s n 1 1 2 在球面折射成像公式中,令 n? ? ?n ,得球面反射成像公式: ? ? s? s r
在球面折射成像公式中,令 r=∞,得平面折射成像公式: s? ? 球面反射成像的垂轴放大率公式为 ? ?

y? s? ?? y s

在平面折射成像公式中,令 n? ? ?n ,得平面反射成像公式为 s? ? ?s 平面反射成像时垂轴放大率 ? ? ?1 3.薄透镜的成像 近轴条件下,薄透镜的成像公式为

n2 n1 n ? n1 n2 ? n ? ? ? s? s r1 r2

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利角物方焦距 f ?

n ? n1 n2 ? n ? r1 r2

n1

和像方焦距 f ? ?

n ? n1 n2 ? n ? r1 r2

n2

就可以得到薄透镜成像的高斯公式:

f? f ? ?1 s? s

对于空气中的薄透镜,n1=n2=1,焦距公式简化为 f ? ? ? f 物像公式变为

1 1 1 ? ? s? s f ?
y? n1s? ? y n2 s

薄透镜成像的垂轴放大率为 ? ? 4.光的波动性和光的量子性

⑴光的波动性: 光波是一定波长范围内的电磁波。 可见光的波长在 0. 40μ m 到 0. 76 μ m 之间,波长长于 0.76μ m 的光波称为红外线,波长短于 0. 40μ m 的光波称为紫 外线。 惠更斯一菲涅耳原理:光波波面上每一点都可看作是一个次级波源,各次波源是相 干光源,空间某点的光振动是这些相干次波的合振动. 惠更斯一菲涅耳原理是波动光学的理论基础. 光的干涉和衍射现象是光的波动性的 体现. ⑵光的量子性: 为了解释光电效应的实验规律, 爱因斯坦提出了光量子 (简称光子) 的概念.单个光子的能量 E 与频率? 成正比,即 E ? h ,式中 h 是普朗克常数. ? 由此他成功地解释了光电效应, 并从理论上得到了光电效应方程:h? ?

1 2 m?m ? W 2

光子既然具有一定的能量,就必须具有质量。按照狭义相对论质量和能量的关系

E h? ,但光子的静止质量等于零. ? c2 c2 E h? h 光子也具有动量,一个光子的动量大小为 p ? ? ? c c ?
E ? mc 2 ,就可以确定一个光子的质量: m ?
用光子的概念可以简单而成功地解释康普顿效应, 这是对光子假说的有力支持. 用反射成像和作光路图解决实际问题。 例 1.如图 13—1 所示,内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径为 R 的黑球。距球 心为 2R 处有一点光源 S,球心 O 和光源 S 皆在圆 筒轴线上,如图所示。若使点光源向右半边发出

53

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的光最后全被黑球吸收,则筒的内半径 r 最大为多少?

分 析和

解:自 S 作球的切线 SM,并画出 S 经管壁

反射形成的虚像点 S',及由 S'画出球面的切线 S'N,如图 13—2 所示,由图可看出,只 要 S'M 和 S'N 之间有一夹角, 则筒壁对从 S 向右的光线的反射光线就有一部分进入球的 右方,不会完全落在球上被吸收。 由图可看出,如果 r 的大小恰能使 S'N 与 S'M 重合,如图 13 一 3,则 r 就是题所要 求的筒的内半径的最大值。这时 SM 与 MN 的交点到球心的距离 MO 就是所要求的筒 的半径 r.由图 13—3 可得

r?

R R ? cos ? 1 ? sin 2 ?

由几何关系可知 sin ? ? 由①、②式得 r ?

R 2R

2 3R 3

用的折射定律和微元法分析解决光在非均匀介质中的传播问题。 例 2.有一块两面平行的透明板,其厚度为 d,折射率按下式变化: nx ?

n0 1? x r

,一束光

自 O 点由空气中垂直射人平行板内, 并从 A 点以角 ? 射出,如图 13—4 所示。已知 n0=1.2, r=13 cm, ? =300。试求平板的厚度 d。 分析和解:初看起来,本题似乎难于下手。我们可以遵循以 下的思路来寻求解题的途径:先分析光线在板内的轨迹特征, 由此轨迹确定 A 点的空间位置及光线在该点的入射方向,再由 A 点处光线的折射关系建立有关的方程来求解。 我们先分析一下根据本题介质分布情况而建立的一个特殊模型。 设有折射率不同的几层 均匀介质,其层间的分界面互相平行,又设有光线依次进入各层介质,如图 13 一 5 所

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示。其中各层介质的折射率分别为 n1 、n2 、n3 ?光线与分界面法线的夹角分别为

i1、i2、i3 ?由折射定律可以得到
即 n1 sin i1 ? n2 sin i2 同理可得 n2 sin i2 ? n3 sin i3

sin i2 n1 ? sin i1 n2

显然有 n1 sin i1 ? n2 sin i2 ? n3 sin i3 ? ??? ? 常数 将上述结论用于本题,可将本题的介质分布看成是层数无 限多、层厚趋于零的情况,故仍有 nx sin ix =常数 由于 x=0 时, nx ?

n0 1? x r

? n0

又此时 i0 ? 900 , sin i0 ? 1 ,故上式中的常数即为 n0 ,则上式变为

nx sin ix ? n0
将 n x 的表达式代入上式,即得 sin ix ? 1 ?

x r

由图 13—6 可见,上式表示的是以点(r,0)为圆心,以 r 为半径的圆的方程,亦 即说明光线在此介质中是沿此圆弧传播的。

光线自题给的 A 点由平板中射入空气中时,应满足的方程是(注意此时的介质分界 面与 x 轴平行,而讨论光在平板内传播时,分层介质的分界面则与 x 轴垂直)

sin ? ? nA sin 900 ? iA) (
由于 nA ?

n0 x 1? A r
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2 r 2 ? r ? x A) (

( ? 又注意到 A 点在前述的圆周上,故有 sin 90 ? iA) cos iA ?
0

r

联立上述三式可解得 sin ? ?

n0 2 2rxA ? xA r ? xA

将题中的已知数值代人上式即可解得 xA ? 1cm
2 2 故平板的厚度为 d ? y A ? r ? (r ? x A )

光通过简单的单折射球面近轴成像问题。 例 3.有一种高脚酒杯,如图 13—7 所示。杯内底面为一凸起的球面,球心在顶点 O 下 方 玻璃中的 C 点,球面的半径 R=1.50 cm,O 到杯口平面的距离为 8.0cm。在杯脚底中心处 P 点紧贴一张画片,P 点距 O 点 6. 3 cm。这种酒杯未斟酒时。若在杯口处向杯底方向观 看, 看不出画片上的景物,但如果斟了酒,再在杯口处向杯底方向观看,将看到画片上的景 物。 已知玻璃的折射率 n1=1.56, 酒的折射率 n2=1.34。 试通过分析计算与论证解释这一现象。 分析和解:把酒杯放平,分析成像问题。

(1) 未斟酒时, 杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为 n1 和 n0 =1。 在图 13-8 中, P 为画片中心, P 发出经过球心 C 的光线 PO 经过顶点不变方向进入空气中; P 发出 由 由 的另一近轴光线 PA 在 A 处折射后与轴交于 P'点,P'点即为 P 的像点。 采用我们前面规定的符号法则,物像距公式为

n0 n1 n0 ? n1 ? ? s? s R

以 n0=1,n1=1.56,s=?6.3 cm,R=?1.50 cm 代入,求得 S'=7.9 cm。 由此可见,未斟酒时,画片上景物所成实像在杯口距 O 点 7. 9 cm 处。已知 O 到杯口平 面的距离为 8. 0 cm。当人眼在杯口处向杯底方向观看时,该实像离人眼太近,所以看
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不出画片上的景物。

(2)斟酒后,杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒,折射率分别为 n1 和 n2,如图 13 一 9 所示, 此时, n1=1.56,2=1.34, 以 n S=?6.3 cm, R=?1.50 cm 代入物像距公式

n2 n1 n2 ? n1 ? ? s? s R

解得 s? ? ?13cm ,P'为 P 点的虚像点,它位于 O 点左方 13 cm 处。由此可见.斟酒后画 片上景物成虚像于 P'处,距 O 点 13 cm,即距杯口 21 cm。虽然该虚像还要因酒液平表 面的折射而向杯口处拉近一段距离,但仍然离杯口处足够远,所以人眼在杯口处向杯底 方向观看时,可以看到画片上的虚像。 光通过共轴球面系统的近轴成像问题。 例 4.在焦距为 20. 00 cm 的薄凸透镜的主轴上离透镜中心 30. 00 cm 处有一小发光点 P, 一个厚度可以忽略的光楔 C(顶角 ? 很小的的三棱镜)放在发光点与透镜之间,垂直于 主 轴, 与透镜的距离为 2.00cm, 如图 13 一 10 所示。 设光楔的折射率 n=1.5, 楔角 ? =0.028 弧度,在透镜另一侧离透镜中心 46. 25 cm 处放一平面镜 M,其反射面向着透镜并垂直 于 主轴。问最后形成的发光点的像相对发光点的位置在何处?(只讨论近轴光线,小角度 近 似适用,在分析计算过程中应作出必要的光路图) 。 分析和解:本题共有五次成像过程 ( 1 ) 光 楔 使 入 射 光 线 偏 折 , 其 偏 向 角 为

? ? (n ? 1)? ? (1.5 ? 1) ? 0.028弧度 ? 0.014弧度 因 ? 与入射角大小无关,各成像光线经
光楔后都偏折同样角度 ? 。又因光楔厚度可忽略,所以作光路图时可画成一使光线产生 偏向角 ? 的薄平板,见图 13 一 11。光点 P 经光楔成一虚像点 P ? 。对近轴光线, P ? 在 P 1 1
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正上方,到 P 的距离为 h,离光楔距离 b=28.00 cm。 h ? ? b ? (n ? 1)? b ? 0.39cm 。

(2) P ? 为透镜 L 的实物,像点 P2? 的位置可由下式求出: 1

1 1 1 ? ? ? s1 s1 f ?

? 以 s1 ? ?30.00cm , f ? ? 20.00cm 代入,得 s1 ? 60.00cm
将 PP? ,视为与光轴垂直的小物,由垂轴放大率公式 ?1 ? 1

? s1 s1

? 可求得 h2 ? ?1h ? ?0.78cm

即像点 P2? 在光轴下方与光轴的距离为 0. 78 cm, 与透镜中心的距离为 60. 00 cm 处。见图 13 一 12。 (3) P2? 在平面镜之后,对平面镜是虚物,经平面镜成实像,像点 P3? 与 P2? 对称于平 面镜。 d=13.75 cm

? ? h3 ? h2 ? ?0.78cm

P (4) 3? 作为透镜的实物, 经透镜折射后再次成像, 设像点 P2?? , 此时物距 s2=32.50 cm,
?? c 像 距 s2 ? ?5 2 . 0 0 m。 P2?? 在 透 镜 左 侧 , 主 轴 上 方 , 见 图 13 一 13 。
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? h?? ? ? 2 h2 ? 1.25cm

(5)第二次经透镜折射后成像的光线还要经光楔偏折,再次成像,像点 P?? ,在 P2?? 正 1 下方,离光楔距离为 50 cm,离光轴的距离为 h? 。

?h ? ? b? ? 0.70cm
?? h? ? h2 ? ?h ? 0.55cm
像点 P?? 在光轴上的垂足与 P 的距离为 ?s ? b? ? b ? 22.00cm 1 即最后的像点在发光点 P 左侧光轴上方,到光轴的距离为 0. 55 cm,其在光轴 上的垂足到 P 的距离为 22. 00cm。 在计算两相干光的光程差的基础上分析干涉条纹的方法解尖劈形薄膜干涉在实践中有 着广泛的应用的问题。 例 5.块规是机加工里用的一种长度标准,它是一钢质长方体,它的两个端面经过抛平 磨光,达到相互平行。图 13-14 中,G1、G2 是同规号的两个块规,G1 长度是标准的, G2 是要校准的。校准方法如下:把 G1 和 G2 放在钢质平台 上,使面和面严密接触,G1、G2 上面用一透明平板 T 压住。如果 G1 和 G2 的高度(即长度)不等,微有 差别,则在 T 和 G1、G2 之间分别形成尖劈形空气薄 层,它们在单色光垂直照射下各产生干涉条纹。 (1)设入射光的波长为 5893 A ,G1 和 G2 相隔 L=5 cm,T 和 G1、G2 间的干涉条纹间距都是 0.5mm,试求 G1 和 G2 的高度之差,怎样判断 它们谁长谁短? (2)如果 T 和 G1 间的干涉条纹的间距是 0.5mm, 而 T 和 G2 间的是 0.3mm,则说明什么问题? 分析和解: (1)如图 13 一 15,空气薄层为尖劈形,其折射率近似为 1.0,空气层
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o

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上表面和下表面的反射光叠加后产生干涉极大的条件是

2h ?

?
2

? k?

相邻两干涉极大处空气层的厚度差为 ?h ? h2 ? h1 ?

?
2

由于劈的棱角 ? 很小,故条纹间距 ?x 与相应的厚度变 化之间的关系为 ?h ? ? ? ?x 由此可得 ?x ?

? 2? ?
2?x

在本题(1)中,两个劈形空气层的干涉条纹间距相等,均为 0.5mm,因此两空气层 的棱角也必然相等,均为 ? ? ,于是 G1 和 G2 的高度差

?H ? ? ? L ?

?
2?x

L ? 29.47 ? m

当然,要判断哪块高,就不是图上画的那么显而易见了,仅靠静态条纹的性质是无法 做 出判断的。为此,轻压盖板 T 的中部,两处条纹疏密变化正好相反,条纹变密的一端块 规 长,条纹变疏的一端块规短。 (2)这说明 G2 上下两表面有不平行度,致使其上表面不严格平行 G1 的上表面,造成两 边空气层劈角不等,劈角差(用以量度不平行度)为

?? ? ? 2 ? ?1 ? (

1 1 ? ? ) ? 3.93 ?10?4 弧度 ? 1.35? 。 ?x2 ?x1 2

综合运用相关力学知识与几何知识解决光的微粒性的有关力的作用的问题。 例 6.如图 13 一 16 所示,在真空中有一个折射率为 n(n>n0, n0 为真空的折射率)、半 径 为 r 的质地均匀的小球。频率为? 的细激光 束在真空中沿直线 BC 传播, 直线 BC 与小球 球心 O 的距离为 l (l ? r ) ,光束于小球体表 面的 C 点经折射进入小球 (小球成为光传播 的媒质) 。并于小球表面的 D 点又经折射进 入真空。设激光束的频率在上述两次折射后 保持不变,求在两次折射过程中激光束中一个光子对小球作用的平均力的大小。
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分析和解: 在由直线 BC 与小球球心 O 所

确定的平面中, 激光光束两次折射的光路 BCDE

如图 13—17 所示。图中入射光线 BC 与出射光线 DE 的延长线交于 G 点。按照光的折射 定律,



n0 sin ? ? n sin ?
式中 ? 和 ? 分别是相应的入射角和折射角,由几何关系还可知

sin ? ?

l r

激光光束经两次折射,其频率? 保持不变,故在两次折射前后,光束中一个光子的 动 量的大小 P 和 P? 相等,即 P ?

h? ? P? c

式中 c 为真空中的光速,h 为普朗克常数。因射入小球的光束中光子的动量 P 沿 BC 方向,射出小球的光束中光子的动量 P? 沿 DE 方向,光子动量的方向由于光束的折射而 偏转了一个角度 2? ,由图中几何关系可知 2? ? 2(? ? ? ) 若取线段 GN1 的长度正比于光 子动量 P , GN2 的长度正比于光子动量 P? ,则线段 N1 N2 的长度正比于光子动量的改变量

?P 。由几何关系得
?P ? 2 P sin ? ? 2 h? sin ? c

△GN1N2 为等腰三角形,其底边上的高 GH 与 CD 平行,故光子动量的改变量 ?P 的方 向沿垂直于 CD 的方向,且由 C 指向球心 O。 光子与小球作用的时间可认为是光束在小球内的传播时间。即

2r cos ? cn0 n cn0 式中 是光在小球内的传播速率。按照牛顿第二定律,小球对光子的作用的平均 n ?t ?
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力大小为

f ?

?P n0 h? sin ? ? ?t nr cos ? F? n0 h? sin ? nr cos ?

按照牛顿第三定律, 光子对小球的作用的平均力大小 F ? f ,即

力的方向由 O 指向 G。将前面得到的有关表达式代入上式,经过演算最后可得

? n lh? ? r2 ? l2 F ? 0 2 ?1 ? nr nr ? ( )2 ? l 2 ? n0 ?

? ? ? ? ? ?

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第十七讲 电场

库仑定律 真空中, 两个静止的点电荷 q1 和 q2 之间的相互作用力的大小和两点电荷电量的乘 积成正比,和它们之间距离 r 的平方成正比;作用力的方向沿它们的连线,同号相斥, 异号相吸

F ?k

q1 q 2 r2

式中 k 是比例常数,依赖于各量所用的单位,在国际单位制(SI)中的数值为:

k ? 9 ?10 N ? m / C ( 常 将 k 写 成
9 2 2

k?

1 4?? 0 的 形 式 , ? 0 是 真 空 介 电 常 数 ,

? 0 ? 8.85 ?10 ?12 C 2 / N ? m 2 )
库仑定律成立的条件,归纳起来有三条: (1)电荷是点电荷; (2)两点电荷是静 止或相对静止的; (3)只适用真空。 条件(1)很容易理解,但我们可以把任何连续分布的电荷看成无限多个电荷元 (可视作点电荷)的集合,再利用叠加原理,求得非点电荷情况下,库仑力的大小。 由于库仑定律给出的是一种静电场分布,因此在应用库仑定律时,可以把条件(2) 放宽到静止源电荷对运动电荷的作用,但不能推广到运动源电荷对静止电荷的作用, 因为有推迟效应。关于条件(3) ,其实库仑定律不仅适用于真空,也适用于导体和介 质。当空间有了导体或介质时,无非是出现一些新电荷——感应电荷和极化电荷,此 时必须考虑它们对源电场的影响,但它们也遵循库仑定律。 电场强度 电场强度是从力的角度描述电场的物理量,其定义式为

E?

F q

式中 q 是引入电场中的检验电荷的电量,F 是 q 受到的电场力。 借助于库仑定律,可以计算出在真空中点电荷所产生的电场中各点的电场强度为

Qq 2 F Q E? ?k r ?k 2 q q r
式中 r 为该点到场源电荷的距离,Q 为场源电荷的电量。
O O? R?

R
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图 1-1-1(a)

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场强的叠加原理 在若干场源电荷所激发的电场中任一点的总场强,等于每个场源电荷单独存在时 在该点所激发的场强的矢量和。 原则上讲,有库仑定律和叠加原理就可解决静电学中的全部问题。 例 1、如图 1-1-1(a)所示,在半径为 R、体电荷密 度为 ? 的均匀带电球体内部挖去半径为 R? 的一个小球, 小球球心 O? 与大球球心 O 相距为 a, 试求 O? 的电场强度, 并证明空腔内电场均匀。 分析: 把挖去空腔的带电球看作由带电大球 ?R, ? ? 与带异号电的小球 ?R?,? ? ? 构成。 由公式求出它们各自在
O
a

O?

B
r

P

图 1-1-1 ( b ) (b)

O? 的电场强度,再叠加即得 E0? 。这是利用不具有对称性的带电体的特点,把它凑成
由若干具有对称性的带电体组成,使问题得以简化。 在小球内任取一点 P,用同样的方法求出 EP ,比较 EP 和 场是均匀的。采用矢量表述,可使证明简单明确。 解: 由公式可得均匀带电大球(无空腔)在 O? 点的电场强度

E0? ,即可证明空腔内电

E大球



E

大球 , o ?

?

kQa 4 ? ?k?a R 3 ,方向为 O 指向 O? 。
3

同理,均匀带异号电荷的小球

?R?,? ? ? 在球心 O? 点的电场强度 E

大球 , o ?

?0

所以

Eo? ? E

大球 , o ?

?E
?

小球

4 o? ? ?k?a 3 ,
?

如图 1-1-1(b)所示,在小球内任取一点 P, 设从 O 点到 O? 点的矢量为 a , O?P 为 b ,OP 为 r 。 则 P 点的电场强度 EP 为

?

? ? ? EP ? E大球 , p ? E小球p
?? 4 ? ? 4 ? ?k?r ? ? ? ?k?b ? 3 ? 3 ?

? ? ? ?
?

r

P
l

? ? ? ? ? ?

r

P

?

4 4 ? ? ? ? ?k? (r ? b ) ? ?k?a 3 3

图 1-1-2(a) 图 1-1-2 (b)
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? ? E P ? E0 可见:
因 P 点任取,故球形空腔内的电场是均匀的。 电势与电势差 电场力与重力一样,都是保守力,即电场力做功与具体路径无关,只取决于始末 位置。我们把在电场中的两点间移动电荷所做的功与被移动电荷电量的比值,定义为 这两点间的电势差,即

U AB ?

WAB q

这就是说,在静电场内任意两点 A 和 B 间的电势差,在数值等于一个单位正电荷 从 A 沿任一路径移到 B 的过程中,电场力所做的功。反映了电场力做功的能力。即电 势差仅由电场本身性质决定,与被移动电荷的电量无关;即使不移动电荷,这两点间 的电势差依然存在。 如果我们在电场中选定一个参考位置,规定它为零电势点,则电场中的某点跟参 考位置间的电势差就叫做该点的电势。通常我们取大地或无穷远处为零电势点。电势 是标准量,其正负代表电势的高低,单位是伏特(V) 。 电势是反映电场能的性质的物理量,电场中任意一点 A 的电势,在数值上等于一 个单位正电荷 A 点处所具有的电势能,因此电量为 q 的电荷放在电场中电势为 U 的某 点所具有的电势能表示为 ? ? qU 。 几种常见带电体的电势分布 (1)点电荷周围的电势 如图 1-2-1 所示,场源电荷电量为 Q,在离 Q 为 r 的 P 点处有一带电量为 q 的检 验电荷,现将该检验电荷由 P 点移至无穷远处(取无穷远 Q 处为零电势) ,由于此过程中,所受电场力为变力,故将 q 移动的整个过程理解为由 P 移至很近的 P1 (离 Q 距离为 r1 )
r
P
P1

P2
r2

r1

图 1-2-1

点,再由 P1 移至很近的 P2 (离 Q 距离为 r2 )点??直至无穷远处。在每一段很小的过 程中,电场力可视作恒力,因此这一过程中,电场力做功可表示为:

W ?k

Qq ?r1 ? r ? ? k Qq ?r2 ? r1 ? ? k Qq ?r3 ? r2 ? ? 2 r r12 r22 ??

?

kQq ?r1 ? r ? ? kQq ?r2 ? r1 ? ? kQq ?r3 ? r2 ? ? rr1 r1r2 r2 r3 ??

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?

kQq kQq kQq kQq kQq kQq ? ? ? ? ? ? r r1 r1 r2 r2 r3 ??

?k

Qq r

所以点电荷周围任一点的电势可表示为:

U ?k

Q r

式中 Q 为场源电荷的电量,r 为该点到场源电荷的距离。 (2)均匀带电球壳,实心导体球周围及内部的电势。 由于实心导体球处于静电平衡时,其净电荷只分布在导体球的外表面,因此其内 部及周围电场、电势的分布与均匀带电球壳完全相同。由于均匀带电球壳外部电场的 分布与点电荷周围电场的分布完全相同,因此用上面类似方法不难证明均匀带电球壳 周围的电势为。

U ?k

Q r

r>R

式中 Q 为均匀带电球壳的电量,R 为球壳的半径,r 为该点到球壳球心的距离。 在球壳上任取一个微元,设其电量为 ?q ,该微元在球心 O 处产生的电势

Ui ?

k?q R 。 由电势叠加原理, 可知 O 点处电势等于球壳表面各微元产生电势的代数和,

U ? ?U i ? ? U? kQ R

k?q k ? ? ?q R R 。

因为均匀带电球壳及实心导体球均为等势体,因而它们内部及表面的电势均为

kQ R 。

? kQ ? U ?? r kQ ? ?R
电势叠加原理

(r ? R) (r ? R)
R2
R3

电势和场强一样,也可以叠加。因为电势是标量,因此在点

R1

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图 1-2-2

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电荷组形成的电场中,任一点的电势等于每个电荷单独存在时,在该点产生的电势的 代数和,这就是电势叠加原理。 例 3、如图 1-2-2 所示,两个同心导体球,内球半径为 径为 R2 ,外半径

R1 ,外球是个球壳,内半

R3 。在下列各种情况下求内外球壳的电势,以及壳内空腔和壳外空

间的电势分布规律。 (1)内球带 ?q ,外球壳带 ? Q 。 (2)内球带 ?q ,外球壳不带电。 (3)内球带 ?q ,外球壳不带电且接地。 (4)内球通过外壳小孔接地,外球壳带 ? Q 。 解: 如图 1-2-2 所示,根据叠原理: (1) R1 处有均匀的 ?q , R2 必有均匀的 ?q ,

R3 处当然有 ? ?Q ? q ? 电荷,因此:

U1 ? k
内球

?Q ? q ? q q ?k ?k R1 R2 R3
?Q ? q ? ? k ?Q ? q ? q q ?k ?k R2 R2 R3 R3
q q ?k R1 R2

U2 ? k
外球

U12 ? U1 ? U 2 ? k
电势差

U内 ? k
腔内

?Q ? q ? q q ?k ?k r R2 R3 ( R1 <r< R2 ) ?Q ? q ? ? k ?Q ? q ? q q ?k ?k r r R3 R3
(r>

U外 ? k
壳外

R3 )

(2) R1 处有 ? q , R2 处有 ?q ,

R3 处有 ?q ,因此:

U1 ? k
内球

q q q ?k ?k R1 R2 R3 q q q q ?k ?k ?k R2 R2 R3 R3 q q ?k R1 R2

U2 ? k
外球

U12 ? U1 ? U 2 ? k
电势差

U内 ? k
腔内

q q q ?k ?k r R2 R3 ( R1 <r< R2 )
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壳外

U外 ? k

q q q q ?k ?k ? k r r r r

(r>

R3 )

R (3) R1 处有 ? q , R2 处有 ?q ,外球壳接地,外球壳 U 2 ? 0 , 3 处无电荷。
U1 ? k
内球

q q ?k R1 R2
q q ?k R1 R2

U12 ? U1 ? U 2 ? k
电势差

U内 ? k
腔内

q q ?k r R2 ( R1 <r< R2 )

壳外

U外 ? k

q q ?k ?0 r r

(r>

R3 ) R3 处有 ? ?Q ? q ? ,先求 q ? ,

(4)内球接地电势为零, 内球带 ? q? ,R2 处有 ? q? ,

?k
因为 解得 内球

?Q ? q?? ? 0 q? q? ?k ?k R1 R2 R3
q? ? QR1 R2 / ?R1 R2 ? R2 R3 ? R1 R3 ?

U1 ? 0
U 2 ? ?k

外球

?Q ? q ?? q? q? ?k ?k R2 R2 R3
q? q ? ?Q ? q ?? ?k k r R2 R3

? kQ?R2 ? R1 ? / ?R1R2 ? R2 R3 ? R1R3 ? ? U 21
U内 ? ?k
腔内

?

kQR2 ? R1 ? ?1 ? ? ?R1R2 ? R2 R3 ? R1R3 ? ? r ? ( R1 <r< R2 ) U 外 ? ?k

壳外

?Q ? q ?? ? kQR3 ?R2 ? R1 ? q? q? ?k ?k ?R1 R2 ? R2 R3 ? R1 R3 ?r r r R3

匀强电场中电势差与场强的关系 场强大小和方向都相同的电场为匀强电场,两块带等量异种电 荷的平板之间的电场可以认为是匀强电场,它的电场线特征是平行、 等距的直线。 场强与电势虽然都是反映场强本身性质特点的物理量,但两者
O
E下

P
E上

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图 1-2-3

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之间没有相应的对应联系,但沿着场强方向电势必定降低,而电势阶低最快的方向也 就是场强所指方向,在匀强电场中,场强 E 与电势差 U 之间满足

U ? Ed
这就是说,在匀强电场中,两点间的电势等于场强大小和这两点在沿场强方向的 位移的乘积。 例 4、半径为 R 的半球形薄壳,其表面均匀分布面电荷密度为 ? 的电荷,求该球 开口处圆面上任一点的电势。 解: 设想填补面电荷密度亦为 ? ? 的另半个球面如图 1-2-3 所示,则球内任一

点的场强均为 0,对原半球面开口处圆面上的任一点 P 而言,也有 EP ? 0 ,而 EP 是 上、下两个半球在 P 点产生场强 小必定相等, 而

E上 、 E下 的合成。另据对称性易知, E上 、 E下 的大

E上 、 E下 的合场强为零,说明 E上 、 E下 均垂直于半球开口平面,故在半球面

带均匀电荷的情况下,它的开口圆面应为等势点,即圆面上任一点的电势都等于开口 圆面圆心点处的电势。故

U P ? U0 ? k ?
说明

Q ? ? 2?R 2 ?k? ? 2?k?R R R

虽然场强与电势是描述电场不同方面特性的两个物理量,它们之间没有必

然的对应关系,但电势相等的各点构成的等势面应与该处的场强方向垂直,利用这个 关系可为求取场强或电势提供一条有用的解题路径。 电场中的导体与电介质 一般的物体分为导体与电介质两类。导体中含有大量自由电子;而电介质中各个 分子的正负电荷结合得比较紧密。处于束缚状态,几乎没有自由电荷,而只有束缚电 子当它们处于电场中时,导体与电介质中的电子均会逆着原静电场方向偏移,由此产 生的附加电场起着反抗原电场的作用,但由于它们内部电子的束缚程度不同。使它们 处于电场中表现现不同的现象。 静电感应、静电平衡和静电屏蔽 ①静电感应与静电平衡

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把金属放入电场中时,自由电子除了无规则的热运动外,还要沿场强反方向做定 向移动, 结果会使导体两个端面上分别出现正、 负净电荷。 这种现象叫做 “静电感应” 。 所产生的电荷叫“感应电荷” 。由于感应电荷的聚集,在导体内部将建立起一个与外 电场方向相反的内电场(称附加电场) ,随着自由电荷的定向移动,感应电荷的不断 增加,附加电场也不断增强,最终使导体内部的合场强为零, 自由电荷的移动停止, 导体这时所处的状态称为静电平衡状态。 处于静电平衡状态下的导体具有下列四个特点: (a)导体内部场强为零; (b) 净电荷仅分布在导体表面上 (孤立导体的净电荷仅分 布在导体的外表面上) ; (c)导体为等势体,导体表面为等势面; (d)电场线与导体表面处处垂直,表面处合场强不为 0。 ②静电屏蔽 静电平衡时内部场强为零这一现象,在技术上用来实现静电屏蔽。金属外壳或金 属网罩可以使其内部不受外电场的影响。如图 1-3-1 所示,由于感应电荷的存在,金 属壳外的电场线依然存在,此时,金属壳的电势高于零,但如图把外壳接地,金属壳 外的感应电荷流入大地(实际上自由电子沿相反方向移动) ,壳外电场线消失。可见, 接地的金属壳既能屏蔽外场,也能屏蔽内场。 在无线电技术中,为了防止不同电子器件互相干扰,它们都装有金属外壳,在使 用时,这些外壳都必须接地,如精密的电磁测量仪器都装有金属外壳,示波管的外部 也套有一个金属罩就是为了实现静电屏蔽,高压带电作用时工作人员穿的等电势服也 是根据静电屏蔽的原理制成。 电介质及其极化 ①电介质 电介质分为两类:一类是外电场不存在时,分子的正负电荷中心是重合的,这种 电介质称为非极性分子电介质,如 CO2 、 CH 4 等及所有的单质 气体; 另一类是外电场不存在时, 分子的正负电荷中心也不相重 合,这种电介质称为极性分子电介质,如 H 2O 、

图 1-3-1

NH 3 等。对于

有极分子,由于分子的无规则热运动,不加外电场时,分子的取

图 1-3-2

向是混乱的(如图 1-3-2) ,因此,不加外电场时,无论是极性分子电介质,还是非极 性分子电介质,宏观上都不显电性。 ②电介质的极化
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当把介质放入电场后, 非极性分子正负电荷的中心被拉开, 分子成为一个偶极子; 极性分子在外电场作用下发生转动,趋向于有序排列。因此, 无论是极性分子还是非极性分子,在外电场作用下偶极子沿 外电场方向进行有序排列(如图 1-3-3) ,在介质表面上出现 等量异种的极化电荷(不能自由移动,也不能离开介质而移 到其他物体上) ,这个过程称为极化。 极化电荷在电介质内部产生一个与外电场相反的附加电 场,因此与真空相比,电介质内部的电场要减弱,但又不能 像导体一样可使体内场强削弱到处处为零。减弱的程度随电介质而不同,故物理上引 入相对介电常数 ? 来表示电介质的这一特性,对电介质 ? 均大于 1,对真空 ? 等于 1, 对空气 ? 可近似认为等于 1。
E
? ? ?

? ? ?

图 1-3-3

E0 E 真空中场强为 0 的区域内充满电介质后,设场强减小到 E,那么比值 E 就叫做
这种电介质的介常数,用 ? 表示,则

??

E0 E

引入介电常数 ? 后,极化电荷的附加电场和总电场原则上解决了。但实际上附加 电场和总电场的分布是很复杂的,只有在电介质表现为各向同性,且对称性极强的情 况下,才有较为简单的解。如:

点电荷在电介质中产生的电场的表达式为:

E?

kQ ?r 2

电势的表达式为:

U? F?

kQ ?r kQq ?r 2

库仑定律的表达式为:

例 5、有一空气平行板电容器,极板面积为 S,与电池连接,极板上充有电荷 和

? Q0

? Q0 ,断开电源后,保持两板间距离不变,在极板中部占
? Q0

极板间的一半体积的空间填满(相对)介电常数为 ? 的电介 质,如图 1-3-4 所示。求: (1)图中极板间 a 点的电场强度 (2)图中极板间 b 点的电场强度

Ea ? ? Eb ? ?

b

a
? Q0

图 1-3-4
71

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(3)图中与电介质接触的那部分正极板上的电荷 Q1 ? ? (4)图中与空气接触的那部分正极板上的电荷 Q2 ? ?

? (5)图中与正极板相接触的那部分介质界面上的极化电荷 Q1 ? ?
解: 设未插入电介质时平行板电容器的电容为

C0 ,则

? Q0 U 1 Q 1? Ea ? ? ? ? ? d d C d ? C 0 C 0? ? ? 2 ? 2 (1)
?

? ? ? ? ? ?

Q 2 2 Q0 4?kd 2 4?kQ0 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 1 dC0 ? ? 1 d S ? ?1 S

(2)

E a ? Eb
Q1 ? CaU ?

?
2

(3)

C0 ?E0 d ? ?

? ? ?1

Q0

1 1 Q2 ? CbU ? C0 ?E0 d ? ? Q0 2 ? ?1 (4)
(5)因

E a ? Eb 故
? Q1 ? Q1 Q ? 4?k 2 S S 2 2
? Q1 ? ??Q1 ? Q2 ? ? ?

4?k

解得

? ?1 Q ? ?1 0

负号表示上极板处的极化电荷为负。 电容器的电容 电容器是以电场能的形式储存电能的一种装置,与以化学能储存电能的蓄电池不 同。 任何两个彼此绝缘又互相靠近的导体,都可以看成是一个电容器,电容器所带电 荷 Q 与它两板间电势差 U 的比值,叫做电容器的电容,记作 C,即

U?

Q U

电容的意义就是每单位电势差的带电量,显然 C 越大,电容器储电本领越强,而 电容是电容器的固有属性,仅与两导体的形状、大小位置及其间电介质的种类有关, 而与电容器的带电量无关。

72

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电容器的电容有固定的、可变的和半可变的三类,按极片间所用的电介质,则有 空气电容器、真空电容器、纸质电容器、陶瓷电容器、涤纶电容器、云母电容器、电 解电容器等。 每个电容器的型号都标明两个重要数值:电容量和耐压值(即电容器所承受的最 大电压,亦称击穿电压) 。 几种常用电容器的电容 (1)平行板电容器 若两金属板平行放置,距离 d 很小,两板的正对面积为 S、 两极板间充满相对介电常数为 ? 的电介质,即构成平行板电容器。 设平行板电容器带电量为 Q、则两极板间电势差

U ? Ed ?
C?

4?k?

?

d?

4?k Q ? d ? S

故电容

Q ?S ? U 4?kd

(2)真空中半径为 R 的孤立导体球的电容 由公式可知,导体球的电势为:

U?

kQ R

因此孤立导体球的电容为

C?

Q R ? U k

地球半径很大,电容很大,容纳电荷的本领极强。 (3)同轴圆柱形电容器 高 H、半径 R1 的导体圆柱外,同轴地放置高也为 H、内半径为

R2 > R1 的 导 体 筒 , 当 H ?? R2 时 , 便 构 成 一 个 同 轴 圆 柱 形 电 容 器 。 如 果 R2 - R1 ?? R1 ,则可将它近似处理为平行板电容器,由公式可得其电容为
2?RH? ?RH ? ?C ? 4?kD ? 2kD ? R ? R1 ? R3 ? ? D ? R2 ? R1 ? ?
(4)同心球形电容器 半径为 R1 的导体球(或球壳)和由半径为 R2 的导体球壳同心放置,便构成了同 心球形电容器。
73

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若同心球形电容器内、外球壳之间也充以介电常数为 ? 的电介质,内球壳带电量 为 Q,外球壳带 -Q 电荷,则内、外球壳之间的电势差为

U ? U内 ? U 外

?k

Q Q ? Q Q ? ? ?k ??k ?k ?R1 ?R2 ? ?R2 ?R2 ? ? ?

?k
故电容

Q? 1 1 ? ? ? ? ?R R ? ?? 1 2 ?
Q ?R1 R2 ? U ?R2 ? R1 ?k

C?

当 R2 ? ? 时,同心球形电容器便成为孤立导体(孤立导分是指在该导体周围没 有其他导体或带电体,或者这些物体都接地)球形电容器,设 R1 ? R ,则其电容为

C?

?R
k
R
Cx

R C? k。 若孤立导体外无电介质,则 ? ? 1 ,即
例 8、如图 2-4-1 所示,两个竖直放置 的同轴导体薄
L

A
h

u
d

圆筒,内筒半径为 R,两筒间距为 d,筒高为

L

?L ?? R ?? d ?,内筒通过一个未知电容 C

B
x

的电容器

与电动势 U 足够大的直流电源的 正极连接,外筒与该电源的负极相连。在两筒之间有

图 1-4-1

相距为 h 的 A、B 两点,其连线 AB 与竖直的筒中央轴平行。在 A 点有一质量为 m、电 量为-Q 的带电粒子, 它以

v0 的初速率运动, 且方向垂直于由 A 点和筒中央轴构成的平 v0 和 C x 值。

面。为了使此带电粒子能够经过 B 点,试求所有可供选择的

分析: 带电粒子从 A 点射出后,受到重力和筒间电场力的作用。重力竖直向下, 使带电粒子在竖直方向作自由落体运动;电场力的方向在垂直筒中央轴的平面内,沿 径向指向中央轴。为了使带电粒子能通过 B 点,要求它在垂直中央轴的平面内以 R 为 半径作匀速圆周运动,这就要求电场力能提供适当的向心力,即对

C x 有一定要求。为

了使带电粒子经过 B 点,还要求它从 A 点沿 AB 到达 B 点的时间刚好等于带电粒子作 圆周运动所需时间的整数倍,亦即对圆周运动的速度

v0 有一定的要求。

74

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解:

带电粒子重力作用下,从 A 点自由下落至 B 点所需的时间为

t?

2h g

带电粒子在垂直于筒中央轴的平面内,作匀速圆周运动一圈所需的时间为

T?

2?R v0

为了使带电粒子经过 B 点,要求

t ? nT , n ? 1,2 ??
由以上三式,得

v0 ?

2?R 2?Rn 2h ? ? n?r n ? 1,2 T t g ??

带电粒子作匀速圆周运动(速率 力为

v0 ,半径 R)所需的向心力由电场力提供,电场

F?

2 mv0 R

此电场力由内外筒之间的电场提供。因 R

?? d ,近似认为内外筒构成平行板电

容器,其间是大小相同的径向电场 E,设内外筒电势差为 U R ,则带电粒子所受电场力 应为

F ? QE ?

QU R d

由以上两式,得

UR ?

2 mv0 d QR

v0 代入,得

UR ?

2n 2? 2 Rdmg hQ

n ? 1,2 ??

因为内、外筒电容器 C R 与

C x 串联,故有

CRU R ? C xU x UR ?Ux ? U
解得

75

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Cx ?

CRU R U ?U R

由公式可知,同轴圆柱形电容器电容

CR ?

RL 2kd

代入,得

Cx ?

n 2? 2 R 2 Lmg k hQU ? 2n 2? 2 RLmg

?

?

n ? 1,2 ??

这就是全部可供选择的 电容器的连接

Cx 。

电容器的性能有两个指标;电容和耐压值。在实际应用时,当这两个指标不能满 足要求时,就要将电容器串联或并联使用。 (1)串联 几个电容器,前一个的负极和后一个的正极相连,这种连接方式称为电容器的串 联。充电后各电容器的电量相同,即 Q1 ? Q2 ? ?= Q ;第一个电容器的正极与第 n 个

电容器的负极之间的电 U 为各电容器电压

U i 之和,即

U ? ?U i
i ?1

n

,因此电容器串联可

以增大耐压值。用一个电量为 Q,电压为 U 的等效电容来代替上述 n 个串联的电容器, 则电容为

C?

Q ? Q / ?U1 ? U 2 ? ? ? U n ? U

n 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? Ci?1 C C1 C2 Cn i ?1

(2)并联 把 n 个电容器的正极连在一起, 负极连在一起, 这种连接方式称为电容器的并联。

充电后正极总电量 Q 等于各电容器正极电量 的电压 U 等于各电容器的电压

Qi 之和,即

Q ? ? Qi
i ?1

n

;正极和负极之间

U i ,即 U ? U i , ?i ? 1,2,?n ? 。

用一个电量为 Q、电压为 U 的等效电容器代替上述几个并联的电容器,则电容为

Q Q ? i i ?1 C? ? U U
76

n

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C ? C1 ? C2 ? ?Cn ? ? Ci
i ?1

n

带电导体的能量

一带电体的电量为 Q,电容为 C,则其电势

U?

Q C 。我们不
Ui

U

妨设想带电体上的电量 Q,是一些分散在无限远处的电荷,在外 力作用下一点点搬到带电体上的,因此就搬运过程中,外力克服 静电场力作的功,就是带电体的电能。该导体的电势与其所带电
O
?Q Q

1 量之间的函数关系如图 1-5-1 所示, 斜率为 C 。 设每次都搬运极
少量的电荷 ?Q ,此过程可认为导体上的电势不变,设为 过程中搬运电荷所做的功为

图 1-5-1

U i ,该

Wi ? U i ?Q ,即图中一狭条矩形的面积(图中斜线所示)

因此整个过程中,带电导体储存的能量为

W ? ?Wi ? ?U i ?Q
其数值正好等于图线下的许多小狭条面积之和,若 ?Q 取得尽可能小,则数值就 趋向于图线下三角形的面积。

1 Q2 1 W ? ?U i ?Q ? QU ? ? CU 2 2 2C 2
上述带电导体的静电能公式也可推广到带电的电容器,因为电容器两板间的电势 差与极板上所带电量的关系也是线性的。 电场的能量

1 W ? CU 2 2 由公式 ,似乎可以认为能量与带电体的电量有关,能量是集中在电荷
上的。其实,前面只是根据功能关系求得带电导体的静电能,并未涉及能量的分布问 题。由于在静电场范围内,电荷与电场总是联系在一起的,因此电能究竟与电荷还是 与电场联系在一起,尚无法确定。以后学习了麦克斯韦的电磁场理论可知,电场可以 脱离电荷而单独存在,并以有限的速度在空间传播,形成电磁波,而电磁波携带能量 早已被实践所证实。因此我们说,电场是电能的携带者,电能是电场的能量。下面以 平行板电容器为例,用电场强度表示能量公式。

1 1 ?S ?E 2 Sd W ? CU 2 ? ? E 2d 2 ? 2 2 4?kd 8?k
单位体积的电场能量称为电场的能量密度,用 ? 来表示
77

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??

W ?E 2 ? V 8?k

上式是一个普遍适用的表达式,只要空间某点的电场强度已知,该处的能量密度 即可求出,而整个电场区的电场能量可以通过对体积求和来求得。 电容器的充电 如图 1-5-2 所示, 一电动势为 U 的电源对一电容为 C 的电容器充电, 充电完毕后, 电容器所带电量

Q ? CU
电容器所带能量

1 W ? CU 2 2
而电源在对电容器充电过程中,所提供的能量为

W ? ? QU ? CU 2 ? 2W
也就是说,在充电过程中,电容器仅得到了电源提供的一半能量,另一半能量在 导线和电源内阻上转化为内能,以及以电磁波的形式发射出去。 例 7、用 N 节电动势为 ? 的电池对某个电容器充电,头一次用 N 节电池串联后对 电容器充电;第二次先用一节电池对电容器充电,再用两节串联再充一次,再用三节 串联再充??直到用 N 节串联充电,哪一种方案消耗电能多?

1 E ? Q?N? ? 2 解: 第一次电源提供的能量 W ? Q?N? ? ,电容器储能 ,

消耗的能量

1 1 2 ?E ? W ? E ? Q?N? ? ? C ?N? ? 2 2 。

第二次充电时,电容器上电量从 0→Q1→Q2→Q3??而

Q1 ? C?
电源每次提供能量为

Q2 ? C (2? )

Q3 ? C (3? )

W1 ? ??Q ? ??Q1 ? C? 2
????

W2 ? 2? ? ?Q2 ? 2? ?Q2 ? Q1 ?1 ? 2C? 2

WN ? ?QN ? QN ?1 ?1 N? ? NC? 2

W ? ? ?W ? ? C? 2 ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? N ? ?

1 N ?N ? 1?C? 2 2

消耗的能量

1 ?E ? ? W ? ? E ? CN? 2 ? ?E / N 2

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显然,前一种方案消耗能量多,实际上,头一种方案电源搬运电量 Q 全部是在电 势差 N? 条件下进行的。第二种方案中,只有最后一次搬运电量 差 N? 下进行的,其余 N ? 1 是在小于 N? 下进行的。

?QN ? QN ?1 ? 是在电势

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第十八讲 静电场中的导体与电介质

一、金属导体的电结构 导体:当物体的某部分带电后,能够将获得的电荷迅速向其它部分传布开,这种物 体称为导电体(导体) 。 绝缘体(电介质) :物体的某部分带电后,其电荷只能停留在该部分,不能显著地 向其它部分传布,这种物体称为绝缘体。 半导体:导电能力介于导体和电介质之间的物质。 ★ 注意:导体、半导体和电介质之间无严格的界限,只是导电的程度不同。 金属导体的电结构: 在各种金属导体中,由于原子最外层的价电子与原子核之 间的吸引力很弱,很容易摆脱原子的束缚,脱离原来所属的原 子在金属中自由移动,成为自由电子;组成金属的原子,由于 失去部分价电子成为带正电的离子(晶体点阵)(如图) 。 金属导体的电结构:带负电的自由电子和带正电的晶体点 阵。
当导体不带电也不受外电场作用时,两种电荷在导体内均匀分布,没有宏观移动,只有 微观的热运动。 二、静电感应与静电平衡

如果我们把导体放入静电场 E0 中,电场将驱动自由电荷定向运动,形成电流,使 导体上的电荷重新分布,见下图(a) 。在电场的作用下导体上的电荷重新分布的过程叫 静电感应,感应所产生的电荷分布称为感应电荷,按电荷守恒定律,感应电荷的总电量 是零。感应电荷会产生一个附加电场 E ? ,见下图(b) ,在导体内部这个电场的方向与 原场 E0 相反,其作用是削弱原电场。随着静电感应的进行,感应电荷不断增加,附加 电场增强,当导体中总电场的场强 E ? E0 ? E ? ? 0 时,自由电荷的再分布过程停止,静 电感应结束,导体达到静电平衡,见下图(c).

?

?

?

?

?

?

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三、导体的静电平衡条件 导体的静电平衡条件:导体处于静电平衡时,导体内部各点的场强为零。 根据静电平衡的条件,可得出如下结论: (1)静电平衡下的导体是等势体,导体的表面是等势面。 (解释)

(a)

(b) 导体的静电感应和静电平衡

(c)

(2)在导体表面外,靠近表面处一点的场强的大小与导体表面对应点处的电荷面 密度成正比,方向与该处导体表面垂直。 对结论(2)给予证明: 方向:由于电场线处处与等势面垂直,所以导体表面附近若存在电场,则场强方向 必与表面垂直。 大小(高斯定理) : 如图所示:在导体外紧靠表面处任取一点 P ,过 P 作导体表 面的外 法线矢量 n0 ,则 E ? En n0 并过 P 作如图所示的圆柱型高斯面。 整个柱体的表面 (上底、 下底和侧面)构成封闭曲面,根据高斯定理,可得

?

?

?

? e ? En ?S ?

??S ?0
En ?

所以

? ?0

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矢量式: E ?

?

? ? n ?0 0

? ? ?当? ? 0时,E沿n0方向 ? ? ? ? ? ?当? ? 0时,E与n0反向

四、导体表面上的电荷分布 当导体处于静电平衡时,导体内部处处无净电荷存在,电荷只能分布在导体的表面 上(用高斯定理给予证明) 。 若导体内部有空腔存在 (如图) 而且在空腔内部没有其他 , 带电体,可证明不仅导体内部没有净电荷,而且在空腔的 内 表面上处处也没有净电荷存在,电荷只能分布在外表面。 实验表明:导体所带电荷在表面上的分布一般是不均匀的。对于孤立导体,其表面 上电荷的分布与表面曲率有关:曲率越大处,电荷面密度越大;反之越小。 尖端放电现象:具有尖端的带电导体,其尖端处电荷面密度很大,场强很大,以至 于使周围的空气电离而引起放电的现象。 (举例说明) 五、静电屏蔽 1.空腔内无带电体 处于静电场中的空腔导体在达到静电平衡时,电荷只能分布在导体的外表面,空腔 导体内表面上处处无感应电荷。 (可用高斯定理给予证明) 表明:电场线将终止于导体的外表面而不能穿过导体的内表面进入内腔,因此,可 用空腔导体屏蔽外电场,使空腔内的物体不受外电场的影响。 2.空腔内有带电体 若一导体球壳的空腔内有一正电荷,则球壳的内表面上 将产生感应负电荷, 外表面上将产生感应正电荷, 如图 (a) 。 球壳外面的物体将受到影响,此时把球壳接地,则外表面上 的正电荷和从地上来的负电荷中和,球壳外面的电场消失。 用空腔导体屏蔽外电场

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(a)

(b)

结论:接地空腔导体将使外部空间不受空腔内的电场的影响。如图(b) ★ 空腔导体的静电屏蔽作用:空腔导体(无论接地与否)将使腔内空间不受外电场 的影响,而接地的空腔导体将使外部空间不受空腔内的电场的影响。 应用:高压带电作业 电容,电容器

一、孤立导体的电容

q ; 孤立导体所带电量与其电势的比值。 U 1C 单位:法拉(F) 1F ? ; 1V
定义: C ?

1F ? 10 6 ?F ? 1012 PF
物理意义:反映了导体的容电本领。 二、电容器及电容 当导体周围有其他导体时, 其本身的电荷分布会受 到其他导体上的感应电荷的影响, 不能再用 C ? 述 q 与 U 之间的关系。 采用静电屏蔽方法消除其他导体的影响: 把导体 A 放入空腔导体 B 中,则 A 所带电荷与 A、B 间电势差的关系为

q 来描 U

C?

q q ? U A ? U B U AB

(1)

该系统称为电容器,C 成为电容器的电容。 三种电容器电容的计算:

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1. 球形电容器: 有一个金属球和一个与它同心的金属球壳 构成。如图所示。求它的电容方法: 设内球所带电荷为 ?q ,外球壳所带电荷为 ?q ,(a) 计算 球与球壳之间的电场分布和电势差 (b) 根据 C ?

q 求电容。 U AB

由于是球形导体且实现了静电屏蔽, 内球上的电荷和球壳内表面上的感应电荷均为 球对称分布,因此球与球壳间的电场分布具有球对称性,由高斯定理可求得两者间任一 点 r 处的场强为

?? E?

q ?? r0 4?? 0 r 2 1

球与球壳间的电势差为:

U AB ?

R2

R1

? 4?? r
0

q

2

dr ?

q ( R2 ? R1 ) 1 1 ? )? 4?? 0 r R1 R2 4?? 0 R1 R2 q (

所以

C?

4?? 0 R1 R2 ? R2 ? R1 ?

当 R2 ? ? 时, C ? 4?? 0 R1 (孤立球形导体的电容) 2.平行板电容器 如图所示:两板之间的场强可认为是匀强电场(除板的边缘部分有少量电场泄漏 外) ,两板之间的场强为

? ? ? E ? n0

?0

两板之间的电势差为

? B ?? ? d qd U AB ? U A ? U B ? ? E ? dl ? Ed ? ? A ?0 ?0S
平行板电容器的电容为

C?

? S q ? 0 U AB d

3.圆柱形电容器 如图所示: 利用高斯定理,可求得两导体间任一点 r 处的电场强度为
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? E?

? ? q ? r0 ? r0 2?? 0 r 2?? 0lr

内外导体之间的电势差为

U AB ? ?

R2

q 2?? 0lr

R1

dr ?

q 2?? 0l

ln

R2 R1

圆柱形电容器的电容为

C?

2?? 0l q ? U AB ln R2 R1

★计算电容器的电容的一般步骤: (1)令电容器的两极板带电荷 ? q ,即对电容器充电; (2)求出两极板之间的场强分布 ; (3)由场强积分求出两极板之间的电势差; (4)由电容器的电容的定义式 C ? q / U AB 计算其电容。 结论:电容器的电容取决于电容器的几何形状,尺寸大小和极板间的相对位置等因 素,与两极板所带电荷和电势差无关。另外,填入绝缘材料可增大电容器的电容。 三、电容器的连接方式 电容器的连接方式:串联和并联 电容器组的等值电容:电容器组所带的电荷与两端电势差之比。 并联(如图) : 电容器组所带的总电荷 q 为各个电容器上所带电荷之和, 电容器组两端的电势差 U 与各电容器上的电势差相等,即

q ? q1 ? q2 , U ? U1 ? U 2
并联电容器的等值电容为

C?

q q1 q2 ? ? ? C1 ? C2 U U U

★ 注意:电容器并联时,总电容增大,但电容器组的耐压 值与电容器组中耐压最小的电容器的耐压值相等。 串联(如图) :

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各电容器所带电荷均为 q,若两端电势差为 U,则

U ? U1 ? U 2
等值电容的倒数为

1 U U1 U 2 1 1 ? ? ? ? ? C q q q C1 C2
★ 注意:电容器串联时,总电容减小,耐压值增大,但电容器组的耐压值并不是将各 电容器的耐压值简单相加。

电介质中的静电场

电位移

一、电介质的电结构 电介质的主要特征:它的分子中电子被原子核束缚得很紧,在宏观上几乎没有自由 电荷,其导电性很差,故也称绝缘体。 电偶极子模型:在离开分子的距离比分子本身的线度大得多的地方观察,分子中全 部正电荷所起的作用可用一个等效的正电荷来代替, 全部负电荷所起的作用可用一个等 效的负电荷来代替,若两者不重合,构成电偶极子。 电介质的分类(按分子中正、负电荷中心的分布) : 无极分子:分子中的正、负电荷的等效中心在没有外场时互相重合。如:氢、氮、 甲烷等。

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有极分子:分子中的正、负电荷的等效中心在没有外场时互相不重合,构成一个电 偶极子(分子电矩 pm ) 。整块的有机分子电介质,可看成无数多个分子电矩的集合。如 甲醇、水、硫化氢等。 当无外电场时,有极分子的电矩 p m 的取向由于分子的热运动而表现出空间的各向 等几率性,就介质中任意一个小区域来看,分子电矩都互相抵消,宏观电矩等于零,即

?

?

?p

?

m

? 0 ,处于电中性状态。对于无极分子来说,也是处于宏观电中性状态。

二、电介质的极化 电介质的极化:当电介质置于电场中时,原子中的正、负电荷都将受到电场力的作 用,从而发生一定程度的微小移动,这将导致原子内部的电荷分布发生微小变化,从而 出现微小的反向附加电场,这种现象称为电介质的极化。 无极分子电介质—位移极化: 无外电场时,分子的正、负电荷中心重合,电介质不带电。 加外电场时,如图所示:

产生沿电场方向的电偶极矩,极化的效果:端面出现束缚电荷,如下图所示:

有极分子电介质—取向极化: 无外电场:有极分子的电偶极矩由于热运动,在空间的取向是杂乱无章的,但表现 出空间的各向等几率性,介质不带电。 加外电场:有极分子的电矩 pm 将取向外电场排列,在介质任一小区域出现宏观电 矩

?

?p

?

m

?0。

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极化的效果:端面出现束缚电荷,如下图所示。

? E0 ? 0

? E0 ? 0

电介质在电场中极化,会出现极化电荷(束缚电荷)——不能在介质中自由移动, 受到分子的束缚。极化电荷在介质中产生附加电场 E ? (退极化场) ,则介质中的总场强

?

? ? ? E ? E0 ? E ? ? ? ? ? (以平行板电容器为例介绍) E ? 与 E0 的方向相反,介质中的总场强 E 比 E0 小。
三、电极化强度 为了定量地描述电介质内各处极化的强弱程度,引入了电极化强度 P 。 电极化强度 P :电介质中某点附近单位体积内分子电偶极矩的矢量和。

?

?

P?

??? ? pm ?V

(1)

?V :宏观小、微观大的体积元。
极化状态:各分子电偶极矩的矢量和不会完全相互抵消。 均匀极化:电介质中各点的 P 的大小和方向都相同。 在各向同性的电介质中, 反映介质中某一点极化强弱的 P 矢量与该点的总场强 E 的 关系为

?

?

?

?? ? P ? ? 0 ?e E

(2)

式中 ? e 称为电介质的电极化率, 取决于电介质的性质。 ? e 是一个大于零的常数, 若 则这样的电介质称为均匀电介质。 四、电介质中的高斯定理 电位移矢量 当静电场中有电介质时,在高斯面内不仅有自由 电荷,还有极化电荷,这时,高斯定理应有什么样的

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变化呢? 以两带电平行板中充满均匀各向同性的的电介质为例进行讨论。 在电介质中,高斯定理应改为

? E ? dS ? ??
S

??

?

q0 ? q?

?0

(3)

其中, q0 为高斯面内包围自由电荷的代数和, q ? 为高斯面内包围束缚电荷的代数 和。 如图所示,整块电介质中所有分子电矩的矢量和

??? ? pm ? 0
设两极板所带自由电荷的面密度为 ?? 0 ,电介质表面出现的极化电荷面密度为

?? ? ,则
E?

? , ? pm ? ? ?Sd ?0

介质内极化强度的大小为 P ?

?p
?V

m

?

? ?Sd
Sd

? ? ? ? , 方向与 E0 相同

在该电场中,作一圆柱型高斯面,下底面 ?S1 在导体极板内,上底面 ?S2 在电介质 内紧贴电介质的下表面,如图所示。 对整个闭合曲面 S 计算 P 的曲面积分,则

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? P?dS ? ? P?dS ? ? P?dS ? ? P?dS ? ?? ?? ?? ??
S ?S1 ?S2 侧面

因为金属中 P ? 0 ,侧面上 P ? dS ? 0 ,根据前面的分析 P ? ? ? ,所以可得,

?

?

?

? ? ? ? q? ? ? ? P ? d S ??
S

(4)

由此式可知:闭合曲面内极化电荷的电荷量等于极化强度对该曲面通量的负值。 把(4)代入(3)式,可得

? (? ??
S

0

?? ? ? ? ? E ? P) ? d S ? q0
?? ? ?

(5) (6)

令 D ? ?0 E ? P

??

? ,单位: C ? m?2 D —电位移矢量(电感应矢量)
89

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联立(5)和(6) ,可得,

?? ? ? D ? d S ? q0 ? ??
S

(7)

上式称为电介质中的高斯定理: 电位移矢量对任一闭合曲面的通量等于该曲面所包 围自由电荷的代数和。 ★ 注意: (7)式表明 D 对闭合曲面的通量仅与该曲面内的自由电荷有关,与束缚 电荷无关,但 D 本身既与自由电荷有关,又与束缚电荷有关。 对于各向同性的均匀电介质,

?

?

? ? ?? P ? ? 0 ?e E
将其代入(6)式,可得 D ? ? 0 (1 ? ? e ) E ? ? 0? r E ? ? E 其中, ? r 叫做介质的相对介电常数( ? r ? 1 ) ? 为介质的绝对介电常数。 , 对电介质充满电场的情况下, E 的分布。如平行板电容器充满线性均匀介质时, 仍取上图中的高斯面,则

?

?

?

?

?

? D ? d S ? ?D?S ? ?? ?S ??
0 S

??

? ?

?? D ? ? ? q D ? ? 0 , 由 D ? ? E 可得, E ? ? 0 ? 0

?

?

? 0? r S

?

1

?r

E0

两极板间的电势差为 电容器的电容为

U ? Ed ?

C?

q0 ? S ? 0? r S ? ? ? ? r C0 U d d

q0 d ?S

其中 C0 为没有电介质时的电容。 加入电介质后, E ? E0 / ? r , C ? ? r C0 电场的能量

一、带电体系的静电能 任何物体的带电过程,都是电荷之间相对移动的过程。在移动电荷到物体上使其成 为带电体的过程中,由于电荷之间存在着相互作用力,外力克服电场力做功,根据能量 转化与守恒定律,外力对系统做的功等于系统能量的增加,因 此任何带电系统都具有能量。 在系统带电过程中,外界所做的功: 当某一系统的电荷为q,电势为U时,如果再从电势为零
90

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处将 dq 的电荷移到该物体上,外力所做的功为

dA ? Udq

在带电体带电Q的过程中,外力所做的总功为

A ? ? dA ? ? Udq
0

Q

外力做的功将转变为带电系统的能量,则

We ? A ? ?

Q

0

U d q

(1)

以电容器为例,研究它所具有的能量: 如图所示,给平行板电容器充电。设在 t 时刻,电容器上已充电 q(t ) ,它激发的电 场强度的大小为

q ,两板间的电势差为 u (t ) ? q(t ) / C ,此时再移动 dq 的电荷,需克 ?0S

服电场力做功为

dA ? udq ?

qdq 。 C

给电容器充电 Q 的过程中,需克服电场力作的总功为

A ? ? dA ? ?

Q

0

qdq Q 2 ? C 2C

(2)

该功等于带电荷为 Q 的电容器所具有的能量 We ,即

We ?

Q2 2C

(3)

由于 Q ? CU ,上式可写成 We ? 二、电场的能量

1 1 CU 2 或 We ? QU 2 2

从电场的观点来看,带电体或带电系统的能量也即是电场的能量。下面以平行板电 容器为例,看看这些能量是如何分布的。 当平行板电容器极板上的电荷量为 Q 时,极板间的电势差 U ? Ed , C ? ? 把这些关系式代入(3) ,可得

S d

1 1 1 We ? CU 2 ? ? E 2 Sd ? ? E 2 SV 2 2 2
式中V表示电容器内电场空间所占的体积。

(4)

上式表明:带电体或带电系统所储藏的电能可用表征电场性质的场强E表示,电能 储藏在电场中。

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为了描述静电场中的能量分布,引入能量密度。 能量密度( we ) :电场中单位体积内的电场能量。 在平行板电容器中,电场能量密度为

we ?


We 1 2 1 D 2 1 ? ?E ? ? DE V 2 2 ? 2

(5)

说明:上式不但适用于均匀电场,也适用于非均匀电场。

带电系统整个电场中所储存的能量,

?1 ? We ? ? we dV ? ? ? DE ? dV 2 ? V V?


(6)

说明:能量是物质的状态之一,电场具有能量,说明电场也是一种物质。

1、 三个电容器串联,电容分别为 8 ?F ,8 ?F ,4 ?F ,其两端 A、B 间的电压为 12v, (1)求电容为 4 ?F 的电容器的电量(2)将三者拆开再并联(同性极板联在一起) 求电容器组两端的电压。 (10 分)

解: (1)根据电荷守恒定律,三个串联电容上的电量相等:? C AB ? 2??F ? (2 分)

? Q ? C AB U AB ? 2 ? 10 ?6 ? 12 ? 24 ? 10 ?6 ?C ?(1分) ? Q1 ? Q 2 ? Q 3 ? 24 ? 10 ?6 ?C ??1分 ?

(2)将三个电容器同性极边在一起后, (如图) 分) (1 ,总电量:

Q AB ? Q1 ? Q2 ? Q3 ? 3 ? 24 ? 10 ?6 ? 72 ? 10 ?6 ?C ??1分 ? C AB ? C1 ? C 2 ? C 3 ? 20 ??F ??2分 ?? U AB ? Q AB 72 ? 10 ?6 ? ? 3.6?V ??2分 ? C AB 2 ? 10 ?5

16、 两金属球的半径之比为 1:4,带等量的同号电荷,当两者的距离远大于两球半径 时, 有一定的电势能, 若将两球接触一下再移回原处, 则电势能变为原来的多少倍?

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(12 分) 解:因两球间距离比两球的半径大得多,这两个带电球可视为点时荷,设两球各带电

5Q 2 量为 Q,若选无穷远处为电势零点,则两带电球之间的电势能为 W0 ? (4 32?? 0 R 0
分)式中 R0 为小球半径,当两球接触时,电子电荷将在两球间重新分配,因两球半 径之比为 1:4,故两球电量之比 Q1:Q2=1:4,Q2=4Q1 (2 分) ;但 Q1+Q2= Q1+4Q1=5Q1=2 Q(2 分)

? Q1 ? 2Q ; Q2 ? 4 ? 2Q ? 8Q ( 2 分 ) 当 返 回 原 处 时 , 电 势 能 为 5 5 5
W=

Q1Q 2 16 ? W1 (2 分) 4?? 0 d 25

17、 空气中有一半径为 R 的孤立导体球,令无限远处电势为零,试计算: (1)该导体 的电容; (2)球上所带电荷为 Q 时储存的静电能; (3)若空气的击穿场为 Eg,导体 球上能储存的最大电荷值(12 分) 解: (1)设导体球上带电荷 Q,则导体球的电势为 U= 电容的定义 C=Q/U= 4?? 0 R (3 分) (2)导体球上的电荷为 Q 时,储存的静电能 W=Q2/(2C)=Q2/ 8?? 0 R (3 分) (3)导体球上能储存 Q 时,必须空气中最大场强 E=Q/ 4?? 0 R 2 ? Eg 因此,球上能储存的最大电荷值 QM ? 4?? 0 R 2 Eg (2 分) 18、 平行板电容器两极板相距 d,面积为 S,用电源给其充电,当电压为 U0 时,拆去 电源,然后将介质板插入(其厚度为 t,相对介电常数为ε r) ,求此情况下: (1)极 板上的电量 Q(2)介质中的 E、D(3)两极板间的电位差 U 及电容 C(15 分) 解: (1)极板上所带电量: Q ? U 0 C 0 ? (2 分)

Q

4?? 0 R

(2 分) ;按孤立导体

U 0? 0 S (3 分) (2)用高斯定理求得: ; d

D ??0 ?

Q U 0? 0 (3 分) ? S d

介质中的 D 与空气中的 D 相等, 介质中的场强:E ?

?

?

?

D

? 0? r

?

Q

? 0? r S

?

U0 (3 ? rd

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分)(3)空气中的场强 ;

E0 ?

D0

?0

?

U0 ?1分??U ? E0 ?d ? t ? ? Et ? U 0 ?d ? t ? ? U 0 t ? U 0 ?? r d ? ?1 ? ? r ?t ??2分? d d ?rd ?rd

?C ?

? 0? r S Q ?3分? ? U ? r d ? ?1 ? ? r ?t

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第十九讲 电路

一.知识网络或概要

q ;I=nqvS t U 2、电阻定义式: R ? (R 是由导体本身的因素决定,与加在导体两端电压及通过导 I
1、电流强度: I ? 体的电流强度无关) 。 3、电阻定律: R ? ?

L S

4、电阻率与温度的关系: ? t ? ? 0 (1 ? at) (a 为电阻率的温度系数,温度 t 变化不大) 5、欧姆定律: I ?

U (此式只适用于金属导电和均匀分布的电解液导电,对非线性元 R

件(如灯丝、二极管等)和气体导电就不适用了。 6、电功和电热: W ? qU ? It ? U ? IUt 7、串联电路和并联电路: (1)串联电路:特点: 等效总电阻: 焦耳定律: Q ? I 2 Rt

I ? I1 ? I 2 ? I 3 ? ?

U ? U1 ? U 2 ? U 3 ? ?

R ? R1 ? R2 ? R3 ? ?

电流分配规律: U?R

U1 U 2 U 3 ? ? ??? I R1 R2 R3 P P1 P2 ? ? 3 ??? I2 R1 R2 R3
U1 ? U 2 ? U 3 ? ? I ? I1 ? I 2 ? I 3 ? ?

功率分配规律: P?R (2)并联电路:特点: 等效总电阻:

1 1 1 1 ? ? ? ?? R R1 R2 R3

电流分配规律: I?

1 R 1 R

I1 R1 ? I 2 R2 ? I 3 R3 ? ? ? U
P1 R1 ? P2 R2 ? P3 R3 ? ? ? U 2

功率分配规律: P? 8、含源电路的欧姆定律

当导体内部有电源时, 其电流与电压的关系服从另一规律, 称为含源电路欧姆定律。
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如图所示,电路中每一点都有稳定的电势,任意两点间都有稳定的电势差。假定电 流方向为从 a 到 b,则经过 E1 后,电势降低 E1;经过 E2 后,电势升高 E2。得含源电路的 R I 欧姆定律为: U a ? E1 ? Ir1 ? IR ? E2 ? Ir2 ? U b
a E1 r1 E2 r2 b

U a ? U b ? E1 ? E2 ? Ir1 ? Ir2 ? IR
注意: (1) U a ? U b 就是表示从 a 到 b 电势降低的值。 (2)电路元件上的电势降的正、负符号规定。 当支路上电源电动势的方向(规定从电源的负极指向电源正极)和走向一致时,电 源的电势降为电源电动势的负值(电源内阻视为支路电阻) ,反之取正值。 9、闭合电路欧姆定律 若图中的 a、b 两点用导线相连,则此电路称之为闭电路。按上述方法得:

U a ? E1 ? Ir1 ? IR ? E2 ? Ir2 ? U a

? E1 ? Ir1 ? IR ? E2 ? Ir2 ? 0
上式说明在电路中的任意一个闭合回路上,电势降的代数和等于零。 符号规定同上,只不过前述两点间的走向要改为闭合回路的绕行方向。 10、电动势 电动势反映电源把其他形式的能转化为电能本领的物理量,用ε 表示,其大小 定义为非静电力把单位正电荷从电源负极移到正极所做的功,即 ? ? W非 / q ,单 位为伏(V) 。 在闭合电路中,电源的电动势等于外电压(路端电压)与内电压之和。 11、输出功率 电源的输出功率是指通过外电路的电流强度 I 与路端电压 U 的乘积, P 出 =IU。 即

P出 ? I R ?
2

?2
(r ? R) 2

?

?2
( R ? r ) 2 / R ? 4r

,当 R=r 时,P 出 有最大值即 Pm ?

?2
4R

?

?2
4r



电源的效率是电源的输出功率与电源的总功率之比。

??

I 2R R ? 100 % ? ? 100 % ,因此当 R 增大时,η 提高,当 R=r 时, 2 R?r I (R ? r)

电源有最大输出功率,但效率仅为 50%。 12、电池组
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把 n 个电动势都是ε 、内阻都是 r 的电池串联起来,所得串联电池组的电动势 和内阻分别为ε


=nε , 串 =nr。 r 当用电器的额定电压高于单个电池组的电动势时,

可以用串联电池组供电。但这时全部电流要通过每个电池,所以用电器的额定电 流必须小于单个电池允许通过的最大电流。 把 n 个电动势都是ε 、内阻都是 r 的电池并联起来,所得的并联电池组的电动 势和内阻分别为:ε


=ε ,r 并 =r/n。当用电器的额定电流比单个电池允许通过的

最大电流大时,可以采用并联电池组供电。但这时用电器的额定电压必须低于 单 电池的电动势。若上述两种情况都不满足,可用混联电池组。 13、叠加原理 若电路中有多个电源,通过电路中任一支路的电流等于电路中各个电动势单独 存在时在该支路上产生的电流之代数和。 这与力学中常用的 “力的独立作用原理” 极为相似。应用时要注意,当单独考虑某一电源的作用时,将其他电压源的电动 势用内电阻代替,若电源为理想电压源(即内阻等于零) ,则将电源短路;同时, 若电源为电流源, 则将电流源开路用内阻代替, 若为理想电流源 (其内阻无限大) , 将电流源开路即可。 14、惠斯通电桥 用欧姆表测电阻,虽然很方便,但不够准确;而用伏安法测电阻,电表引起的 系统误差又难以消除。在实验室里比较准确地测量电阻,常 用惠斯通电桥。 如图所示是惠斯通电桥的原理图。R1、R2、R3、Rx 四个电
R1 R3 G R2 B A Rx

阻是电桥的四个臂,其中 Rx 是待测电阻,G 是灵敏电流计。 测量时, 调节 R3 使电流计 G 中的电流为零时, B 两点等势, A, 电桥平衡,易得如下关系式:R1R x=R 2R3

惠斯通电桥的精确决定于已知电阻的准确度和电流计 G 的灵敏度。采用惠斯通 电桥法测电阻,既避免了电流表分流、电压表分压的影响,又能消除电源电动势和 内阻变化对测量的影响。 惠斯通电桥有多种形式,中学实验室里常用的是滑线式 电桥,如图所示。CD 为 1m 长的均匀电阻线,B 是滑动触头,
C R L1 K ε A G Rx B L2 D

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可沿 CD 移动。当电桥平衡时,可得: R x ? 15、补偿电路

L2 R L1
ε R

补偿电路是一种比较精确地测量电压、电动势、电阻、 电流的仪器,用于测电动势、电压时叫电势差计。
ε A
x

C B 2 1 DG

如图是用补偿法测量电动势的原理电路图,其中ε 被测电源,ε
s


ε

s

是标准电池,ε 是工作电源。AC 是一段均匀

x

电阻丝,G 是灵敏电流计。先将开关 K 掷于 1 方,调节触头 B 使电流计电流为零。 这时 D 与 B 点等电位,故 ? x ? U AB ? IR AB (I 是流过 AB 的电流) 再将开关掷于 2 方,因一般ε S≠ε x,调节滑动触头至另一点 B′以重新达到平 衡。同理有 ? x ? U AB ? I ?R AB 因两种情况下 G 都无电流,故 I=I′,则有:

? x R AB L ? ? AB ? s R AB? L AB?

其中 LAB 及 LAB′ 分别为 AB 及 AB′段的长度。测出 LAB 和 LAB′ ,利用ε S 的已知值 便可由上式求得ε x。 用电势差计测量电动势的最大优点是它不影响被测电路的工作情况。 因此在精确测量中 经常用到。 二、重点难点解析 1.各种功率的区别 (1) 与电源相关的几种功率 ①电源的功率:P = IE;②电源内部消耗的功率:P 内 = I2r ③电源的输出功率:P 出 = IU 端 ;④三种功率间的关系:P = P 内 + P 出 ⑤电源的最大输出功率:当 R= r 时,电源有最大输出功率 Pmax ? (2) 实际功率和额定功率 用电器在额定电压下的功率叫做额定功率:P 额 = I 额 U 额 用电器在实际电压下的功率叫做实际功率:P 实 = I 实 U 实 实际功率并不一定等于额定功率. “用电器在额定电压下”是实际功率与额定功率 相等的情况.用电器在不使用时,实际功率是 0,而额定功率仍然是它的额定值. (3) 电功率和热功率
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E2 E2 ? 4 R 4r

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①电功率:P 电 = IU;②热功率:P 热 = I2R ③在纯电阻电路中,电功率和热功率相等: P电 ? P热 ? IU ? I 2 R ? ④在非纯电阻电路中,电功率和热功率不相等:P 电≠P 热 (4) 输电线路上的损耗功率和输电功率 ①输电功率:P 输 = IU 输 ;②热功率:P 线 = I2R 2.动态电路的分析方法 对于电路的动态变化问题,按局部→全局→局部的逻辑思维进行分析推理.一般步 骤: ①确定电路的外电阻,外电阻 R 外总如何变化; ②根据闭合电路欧姆定律 I 总 ?
E ,确定电路的总电流如何变化; R外总 ? r
U2 R

③由 U 内 ? I 内 r ,确定电源的内电压如何变化; ④由 U 外 ? E ? U 内 ,确定电源的外电压(路端电压)如何变化; ⑤由部分电路欧姆定律确定干路上某定值电阻两端的电压如何变化; ⑥确定支路两端的电压如何变化以及通过各支路的电流如何变化. 3.电路的简化和识别 (1) 电路化简原则 ①无电流的支路化简时可去除;②等电势的各点化简时可合并; ③理想导线可任意长短、 变形; ④理想电流表可认为短路, 理想电压表可认为断路; ⑤电压稳定时电容器可认为断路. (2) 常用等效化简方法 ①电流分支法:a.先将各结点用字母标上;b.判定各支路元件的电流方向(若电 路原无电流,可假设在总电路两端加上电压后判断) ;c.按电流流向,自左到右将各元 件、结点、分支逐一画出;d.将画出的等效图加工整理. ②等势点排列法:a.将各结点用字母标上;b.判定各结点电势的高低(若原电路 未加电压,可先假设加上电压) ;c.将各结点电势高低自左到右排列,再将各结点之间 支路画出;d.将画出的等效图加工整理. 一般可将以上两种方法结合使用,效果更好. 4.含容电路的分析
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(1)解决这类问题的一般方法:通过稳定的两个状态来了解不稳定中间变化过程. (2)只有当电容器充、放电时,电容器支路中才会有电流,当电路稳定时,电容 器对电路的作用是断路. (3)电路稳定时,与电容器串联的电阻为等势体,电容器的电 压为与之并联的电阻电压. 6.电路的故障分析 电路出现的故障有两个原因: (1)短路; (2)断路(包括接线断路或者接触不良、 电器损坏等情况) . 一般检测故障用电压表.①如果电压表示数为 0,说明电压表上无电流通过,则可 能电压表所在支路有断路,或并联路段内有短路.②如果电压表有示数,说明电压表上 有电流通过,则在并联路段之外无断路,或并联路段内无短路. 1、有如图所示的电阻网络,求 A、B 之间的电阻 RAB 分析:要求 A、B 之间的电阻 RAB 按照电流分布法的思想,只要设上电流以后,求得 A、B
O

间的电压即可。
? A

? I2 ?

I1

2R
I3

?

R R

?
I4
? B

R

2R I 5

?

C

2、 n 个接线柱, 有 任意两个接线柱之间都接有一个电阻 R 求 AB 两个接线柱之间的电阻。 E
? ? D

? C
A ?

? B

3、如图所示的电路是一个单边的线型无限网络,每个电阻的阻值都是 R,求 A、B 之间 的等效电阻 RAB .
A
?

C

B

?

D

4、如图所示是一个无穷方格电阻丝网络的一部分,其中每一小段电阻丝的阻值都是 R 求相邻的两个结点 A、B 之间的等效电阻。 分析:假设电流 I 从 A 点流入,向四面八方流到 无穷远处,根据对称性,有 I/4 电流由 A 点流到 B 点。 假设电流 I 经过无限长时间稳定后再由四面八方汇集到 B 点后流出, 根据对称性, 同样有 I/4 电流经 A 点流到 B 点。
A

?

B

?

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5、如图所示,R1、R2、R3 为定值电阻,但阻值未知,Rx 为电阻箱.当 Rx 为 Rx1 ? 10? 时, 通过它的电流 I x1 ? 1A;当Rx为Rx 2 ? 18? 时,通过它的电流 I x 2 ? 0.6 A. 则当 I x 3 ? 0.1A 时,求电阻 Rx 3 .

6、下图为用补偿原理测电池电动势 Ex 的电路图,Es 标准电池的电动势,且已知,内阻 r 未知,R1、 R2 为两只标准电阻箱,当 K1、K2 合上时,调节电阻箱 2 为一定阻值 R2’, 调节电阻箱 1 为一定阻值 R1’ 时,检流计 G 指零。再调节电阻箱 2 为 R2 ,调节电阻箱 1 为一定阻值 R1 时,检流计 G 指零。求待测池电动势 Ex?

12、分析:从图 3 中可以看出,整个电阻网络相对于 AB 的电流流入、流出方式上具有 上下对称性,因此可上下压缩成如图所时的等效减化网络。从如图 4 所示的网络中可以 看出,从 A 点流到 O 电流与从 O 点到 B 电流必相同;从 A1 点流到 O 电流与从 O 点到 B1 电流必相同。据此可以将 O 点断开,等效成如图 5 所示的简单网络,使问题得以求解。 解:根据以上分析求得 RAB=5R/48 13、分析:要求 A、B 之间的电阻 RAB 按照电流分布法的思想,只要设上电流以后,求得 A、B 间的电压即可。 解:设电流由 A 流入,B 流出,各支路上的电流如图所示。根据分流思想可得 I2=I-I1 I3=I2-I1=I-2I1

A、O 间的电压,不论是从 AO 看,还是从 ACO 看,都应该是一样的,因此 I1(2R)=(I-I1)R+(I-2I1)R 解得 I1=2I/5

14、分析:粗看本题根本无法求解,但是能充分利用电桥平衡的知识,则能十分方便得 求解。
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解:如图 20 所示,设想本题求两接线柱 A、B 之间的等效电阻,根据对称性易知,其余 的接线柱 CDE---- 中, 任意两个接线柱之间的电阻无电流通过, 故这些电阻都可以删除, 这样电路简化为:A、B 之间连有电阻 R,其余(n-2)个接线柱之间仅有电阻分别与 A、B 两点相连,它们之间没有电阻相连。即 1/RAB=1/R+1/[2R/(n-2)] 所以 RAB=2R/n

15、解:因为是“无限”的,所以去掉一个单元或增加一个单元不影响等效电阻即 RAB 应该等于从 CD 往右看的电阻 RCD RAB=2R+R*RCD/(R+RCD)=RCD 整理得 解得:RCD=(1+31/2)R= RAB 16、分析:假设电流 I 从 A 点流入,向四面八方流到 无穷远处,根据对称性,有 I/4 电流由 A 点流到 B 点。 假设电流 I 经过无限长时间稳定后再由四面八方汇集到 B 点后流出, 根据对称性, 同样有 I/4 电流经 A 点流到 B 点。 解 : 从 以 上 分 析 看 出 , AB 段 的 电 流 便 由 两 个 I/4 叠 加 而 成 , 为 I/2 因 此 UAB=(I/2)*r A、B 之间的等效电阻 17、118 欧 解析 电源电动势 ? 、内电阻 r、电阻 R1、R2、R3 均未知, RAB=UAB/I=r/2 RCD2-2RRCD-2R2=0

按题目给的电路模型列式求解,显然方程数少于未知量数, 于是可采取变换电路结构的方法.将图所示的虚线框内电路 看成新的电源,则等效电路如图所示,电源的电动势为 ? ? ,内电阻为 r ? . 根据电学知 识,新电路不改变 Rx 和 Ix 的对应关系 18、Ex=Es(R2’- R1’)/(R2’- R2+R1’- R1)

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第二十讲 磁场对电流的作用和电磁感应

知识点击 1.安培力作用下的载流导线和载流线圈 ⑴安培力:长为Δ L 电流强度为 I 的载流导线处的磁感应强度为 B ,电流元的方向 与 B 之间的夹角为θ ,则电流元所受安培力为 F=IBΔ Lsinθ ,力的方向可由左 手定则确定. ⑵ 磁场对载流平面线圈的作用:匀强磁场中,平面载流线圈各电流元所受力的矢 量和为零,即

??

??

?? ? F ? 0 ,但线圈受一力矩作用,其力矩大小为 M=ISBsinθ ?

2.带电粒子在磁场中的运动 ⑴洛伦兹力: 磁场对运动电荷的作用力称之为洛伦兹力. 若带电粒子所带电量为 q, 速度为 ? ,则运动粒子在磁感应强度为 B 的一点所受洛伦兹力的大小为

?

??

f ? q ? B sin ? 。
洛伦兹力总是与粒子运动速度垂直,洛伦兹力不做功,它不能改变运动电荷速度的 大小,只能改变速度的方向,使其运动路径发生弯曲. ⑵带电粒子在匀强磁场中的运动:设有一匀强磁场,磁感应强度为 B ,一电量为 q、 质量为 m 的粒子,以初速度 ? 进人磁场中运动. (a) ? ∥ B , f ? q? B sin ? ? 0 粒子在磁场中作匀速直线运动. (b) ? ⊥ B , f ? q? B ,方向垂直于 ? 和 B ,带电粒子在磁场中作匀速圆周运动。

??

?

? ?

?? ??

?

??

圆周运动的半径 R ?

m? qB

周期 T ?

2? R

2? ?

m? qB

?
?

?
??

?

2? m qB

(c) ? 和 B 成一任意夹角α ,我们把 ? 分解为与 B 平行的分量 ? cos? 和垂直分量

?

??

? sin ? 。粒子所作的运动是上面两种运动的叠加,粒子作螺旋运动,螺旋半径
R? m? sin? 2? m 2? m? cos ? ,运动的周期 T ? ,其螺距 h ? ? cos ? ? T ? qB qB qB

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3.电磁感应的基本定律

感生和动生感应电动势

⑴法拉第电磁感应定律:闭合回路中的感应电动势 ? 与穿过回路的磁通量的变化 率

?? ?? ?? 成正比。这就是法拉第电磁感应定律,即 ? ? ? K ,或 ? ? ? ?t ?t ?t

楞次定律:闭合导体回路中感应电流的方向,总是使得感应电流所激发的磁场阻止 引起感应电流的磁通量的变化,这个结论就是楞次定律. ⑵动生电动势和感生电动势: 法拉第电磁感应定律告诉我们:只要闭合回路的磁通量发生变化,回路中就有电动 势产生,而不管磁通量的变化是怎样引起的.而 ? ?

? B ?S cos?
i i

i

,造成中变化

的原因有下列三种情况:第一是 B 、θ 不变,但回路的一部分切割磁感线运动使得 回路面积改变导致Ф 变;第二是 B 、S 不变,但θ 变,即回路在磁场中转动,使回 路所包围的面与 B 的夹角改变而导致Ф 变; 第三是 S、θ 不变, B 变导致必Ф 变. 但 第一、 二种情况是由于线圈回路的一部分或整体在磁场中运动使得通过回路的磁通 量改变而产生感应电动势,这类感应电动势称之为动生电动势;动生电动势对应的 非静电力是洛伦兹力,当 ab 导体在匀强磁场中向右以速度 v 运动时,自由电子受 到向下的洛伦兹力的作用: f ? e? B ,而其电动势为单位正电荷从负极通过电源内 部移到正极过程中洛伦兹力所做的功: ? ?

??

??

??

??

A e? Bl ? ? Bl? 。 e e

若导线 ? 的方向不与 B 垂直,而夹角为θ 时,则导线内的动生电动势为

?

??

? ? Bl? sin ? 。
第三种情况是磁场的变化使得回路的磁通量改变而产生的感应电动势,这种感应电 动势称之为感生电动势. 4.自感和互感 ⑴自感:因线圈内电流变化而在线圈自身引起感应电动势的现象称为自感现象.所 产生电动势称为自感电动势. 根据毕奥一萨伐尔定律,通过线圈的磁通量与线圈中电流成正比: ? ? LI 根据法拉第电磁感应定律,自感电动势为 ?自 ? ? L

?I ?t

⑵互感:1,2 线圈中的电流 I1 和 I2 可在线圈 2,1 中产生磁通量,而当 I1 和 I2 变化 时,可在线圈 2 和 1 中产生感应电动势,这种现象称为互感现象,所产生的感应电
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动势称为互感电动势. 设线圈 1 中的电流 I1 在线圈 2 中产生的磁通量为Ф 12,线圈 2 中的电流 I2 在线圈 1 中产生的磁通量为Ф 21,根据毕奥-萨伐尔定律:Ф 12=MI1 根据法拉第电磁感应定律: ? 2 ? ? M Ф 21=MI2

?I1 ?t

?1 ? ? M

?I 2 ?t

利用配速度的方法处理带电粒子在电磁场中的复杂运动的问题。 例 1.在空间有相互垂直的场强为 E 的匀强电场和磁感应强度为 B 的匀强磁场。如图 11 一 1 所示,一电子从原点静止释放,求电子在 y 轴方向前进的最大距离。 分析和解:虽然电子在 O 点速度为 0,但也可设 想其具有沿 x 方向的速度 ?? 和逆 x 轴方向的 ?? ,

?

?

? E ? 满足 Be? ? eE , ? ? B ? 与 ?? 所对应的洛伦兹力沿 y 轴反方向,与电子所受
电场力平衡。与 ?? 对应的洛伦兹力与 y 轴同向。电 子的运动可视为一个速率为 ? 的沿 x 轴正向的匀速直线运动和一个速率为 ? 的匀速 圆周运动的合成,对匀速圆周运动有 e? B ? m

?

?2
R

,而 R ?

ym 2

ym ?

2mE eB 2

利用微元法处理长直电流与圆形电流的相互作用的问题。 例 3.如图 11 一 3 所示,有一无限长直线电流 I0,另有一半径为 R 的圆形电流 I,其直 径 AB 与此直线电流近似重合.试求 (1)半圆弧 AaB 所受作用 力的大小和方向;

(2)整个圆形电流所受的作用力的大小和方向。

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分析和解:1) ( 半圆电流所受磁力见图 11 一 3 ( b) , AaB 弧上的 C 点取一电流元 I ?l , 在 其所在处的磁感强度方向垂直纸面向里,大小为

B?

?0 I 0 ?0 I 0 ? 2? X 2? R sin ?

则电流元 I ?l 上所受到的安培力为 ?f ? IB?l ? 现将 ?f 分解到 x 轴和 y 轴

?0 II 0 ?l ,方向沿径向。 2? R sin ?

?f x ? ?f sin ? ?
考虑到对称性,

?0 II 0 ?0 II 0 ?l , ?f y ? ?f cos ? ? ?l 2? R 2? R tan ?

? ?f

y

?0

f ? f x ? ? ?f x ? ?

?0 II 0 ? II ? II ?l ? 0 0 ? ? R ? 0 0 ,方向沿 x 轴正方向。 2? R 2? R 2

(2)由于左半圆 AbB 的电流与右半圆 AaB 的电流等值反向且与 I0 对称,所处空间的 磁感应强度也是对称反向的,故两半圆所受安培力等值同向,都沿 x 轴正向,那么

f ? f AaB ? f AbB ? ?0 II 0
利用圆电流近似处理为无限长载流直线的方法处理对称圆形电流间的相互作用的问题。 例 4. (1)图 11 一 4 所示是两根相同的导线环 A 与 B。中心都在 z 轴上,两导线环分别 位于平面 z ? ?h 。 为了使两环互相排斥, 它们通的电流方向应是相同还是相反? (2) 一个通以电流的导线圆环能在不用任何器械的情况下漂浮在水平的超导平面之上。 假设 A 就是这样一个均匀圆环,它的质量为 M,且它的半径 r 远大于它和超导平面 的距离 h,平面 z=0 就是超导平面.证明达到平衡时的高度,即导线环 A 离超导平 面的距离 h0 ?

?0 rI 2
2 Mg

。 (3)如果飘浮的环在垂直方向上振动,求振动的周期。

分析和解: (1)因为 r>>h,所以可将两导 线环看作两根长的平行导线,要它们相互 排斥,电流方向必须相反。 (2)因超导体内磁感应强度为零,为抵消 A 产生的磁力线穿过超导面,即在超导面下, 与 A 对称处有线圈 B,其中电流大小与 A 中 相同,而方向相反。A 与超导面的作用相同 于 A、B 两线圈的作用,把两环看作两根长的

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平行导线,因而 A 所受的磁场力为

Fm ? IlB ? I ? 2? r ?

?0 I ? I 2r ? 0 2? ? 2h 2h
?0 I 2 r
2h0
,即 h0 ?

当平衡时磁场力应等于重力 Mg,所以 Mg ?

?0 rI 2
2 Mg



(3)在平衡位置附近,可令 h ? h0 ? ?h , ?h 为一相对平衡位置的小位移,而合力 等于重力和磁场力的合成,即

F ? Fm ? Mg ?

?0 I 2 r
2(h0 ? ?h)

? Mg ?

?0 I 2 r
2h0

(1 ?

? I 2r ?h ) ? Mg ? ? 0 2 ?h h0 2h0

振动的角频率为: ? ?

?0 I 2 r
2h M
2 0

?

Mg g ? h0 M h0

振动周期为: T ?

2?

?

? 2?

h0 g

带电粒子在感生电场作用和变化的磁场作用下做加速圆周运动的问题。 例 5.一个长的螺线管包含了另一个同轴的螺线管(它的半径 R 是外面螺线管的一半) 。 它们的线圈单位长度具有相同的圈数,且初始时都没有电流。在同一瞬间,电流开 始在两个螺线管中线性增长。在任意时刻,里边的螺线管中的电流为外 边螺线管中的两倍,它们的方向相同。由于增长的电流,一个 初始静止的处于两个螺线管中间的带电粒子,开始沿着一根圆 形的轨道运动(见图 11 一 5) 。问圆的半径 r 为多少? 分析和解:在 t 时刻外边螺线管中的电流为 I ? kt ,在里 边的螺线管中的电流为 2I ? 2kt ,其中 k 是一个常数。由这些 电流产生的磁场在外边螺线管中为 B ? ?0 nkt ,而在里边螺线管 中为 3B, 其中 n 为单位长度上螺线管的圈数。 由半径为 r 的粒子轨道所包围的磁通 量为

? ? ? R 2 ? 2 B ? ? r 2 ? B ? 2 R 2 ? r 2 )??0 nkt (
感生电场的大小可以从磁场随时间的变化率计算得出:

E ? 2? r ?

(2 R 2 ? r 2 ) ?0 nk ?? ? (2 R 2 ? r 2 )??0 nk ,因此 E ? 2r ?t
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带电粒子由磁场限制在它的圆形轨道上,因此,从作用在它上面的力的总的径向分 量为零,我们可以得到

m? 2 ? q? B r



根据公式 mat ? qE ,粒子由合力的切向分量沿着它的圆形轨道加速,其中 m 是质 量,q 是粒子的电荷。 当电场力的大小恒定时,粒子的速度随时间均匀地增加,

q(2 R 2 ? r 2 ) ?0 nk qE ? ? at t ? t? t m 2mr
把上式和 B 的值代入方程①,我们得到

mq(2 R 2 ? r 2 ) ?0 nk t ? q?0 nkt 2mr 2

满足上式的条件为

(2 R 2 ? r 2 ) ? 1 ,即 r ? 2 R 2r 2

运用微元法和节点定律解电路中的自感电动势的问题。 例 7.如图 11 一 7(a)所示的电路中,已知ε ,R,r,L,电源内阻不计,电感内阻为 r。 问闭合电键 K 后,有多少电量通过无电阻导线 ab?

分析和解:当闭合电键 K 后,由于电感 L 的存在,支路 ad 段上的电流 i2 从零逐渐增大, 直至电流达到稳定。 当电流稳定时, 电感中无感生电动势, 所以节点 a 和 b 的电势相同, 无电流流动。在电流达到稳定之前,支路 ad 和 bc 中电流不等,而由两个 R 并联的两支 路中电流相等,所以将有电荷通过导线 ab。设自闭合 K 到电流稳定的过程中任一时刻, 各支路中的电流如图 11 一 7 (b)所示。 由无阻导线 ab 相连的两点 a 和 b 电势始终相等。 因此,流经 R 的电流应相等,即

i3 ? i4



写出 a 点节点方程:
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i3 ? i2 ? i



将每一时刻看成稳恒电流,得

2i3 ? i3 ? i4 ? i1 ? i2



K 闭合后 L 上电流 i2 渐增,回路 abcda 有方程 L 即L

?i2 ? (i1 ? i2 )r ?t

?i2 ? i2 r ? i1r ? 0 ?t



利用式②、③,得

i ? i3 ? i2
i1 ? i2 ? 2i3 ? 2i2 ? 2i
联立式④、⑤得到 ⑤

L ?i2 ? i?t 2r



从闭合 K 直至电流稳定,易知 i2 从零增加到

1 ? ? ? ? 2 1 (R ? r) (R ? r) 2
所以可以对式⑥两边整个过程求和,得到通过 ab 的电量:

q?

L ? ? 2r ( R ? r )

变化的磁场产生涡旋电场带电小球的切向作用力形成力矩的刚体的角动量问题。 例 8.如图 11—8 所示,在一个半径为 r,质量为 m,可以无摩擦地自由转动的匀质绝缘 圆盘中部有一细长螺线管,其半径为 a,沿轴线方向单位长度上绕有 n 匝线圈,线圈中通以稳恒电流 I。在圆盘的边缘上均匀地嵌着 N 个带等量正电荷 q 的小球。设开始时,螺线管中的电流为 I, 圆盘静止,然后将电流切断,试求圆盘转动的角速度。 分析和解:设螺线管电流切断后,在Δ t 时间内电流从 I 减为零, 在此过程中任意时刻 t 的电流表示为 i(t),则在 t 时刻由 i(t)产生 的磁场 B(t)为 B(t)=μ
0

ni(t)

B 的方向沿轴向,B(t)将随 i(t)减小为零,变化的 B(t)产生环状
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涡旋电场,在 r 处的涡旋电场 E(t)应满足

E (t)2? r=? =-

? ? B t)S? ( ?? ?B t) ( ?i t) ( ?? ? ?S ? ?? a 2 ?0 n ?t ?t ?t ?t

即E (t)= ?

a2 ?i t) ( ?0 n 2r ?t

因 i(t)随时间减小, 向一致。

?? ?i t) ( 的方向与电流的方 (t) ? 0 。E(t)>0。即涡旋电场 E ?t

在半径为 r 的圆周上嵌着的 N 个带电小球所受的总切向力为

F(t)=NqE(t)= ?

a2 ?i t) ( ?0 nNq 2r ?t

它相对转轴形成的力矩为

1 ?i t) ( M(t)=F(t)r= ? a 2 ?0 nNq 2 ?t
由刚体的角动量定理,在电流从 I 减小为零的Δ t 时间内,刚体所获得的全部冲量 矩等于它的角动量的增量。因开始时刚体(圆盘)静止,角动量为零,故有

1 ( 1 ? ?i t) ? 1 2 J? =? M ?t ? a 2 ?0 nNq ? ? ? ?t ? ? a ?0 nNq ? ? ??i t)? a 2 ?0 nNqI ( ? 2 2 ? ?t ? 2
圆盘绕轴的转动惯量 J 为 J= mr 2 代入上式,得出电流降为零后,圆盘转动的角速度ω 为 ? = 类型八、超导框在非均匀磁场中振动的问题。 例 9.有一边长为 a 的正方形小框,由不会发生形变 的、电阻为零的超导体材料制成,置于非均匀磁场中,

1 2

a 2 ?0 nNqI 。 mr 2

?? B 的三个分量为 Bx ? 0 , By ? ?ay , Bz ? B0 ? ax ,
式中 a 、 B0 为常量,线框的自感系数为 L,质量为 m, 水平放置,如图 11 一 9 所示。试确定小线框的运动 规律,即在 t 时刻小线框所处的位置。设在 t=0 时,小线框的中心 O 在坐标原点。 分析和解: (1)与一般导体在非均匀磁场中运动时 情况不同,无论磁场均匀与否, 超导体框内的磁通量恒保持不变。为了确定其值,我们可利用 t=0 时的 ? 值即 ? 0 。
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? 0 ? B0 ? a ? 0)S ? a 2 B0 (
(2)线框中电流强度的计算,小线框中电动势为零,但电流不为零,这是超导体 一个特殊的电磁性质。怎样确定这个电流 I 的大小?这里的关键在于正确理解超导 线框内的 ? 0 为什么不变。当线框从 t=0 受重力作用开始下滑,其外磁场通过线框 的通量因 z<0 实际上是减小了,因而产生了感应电流,这个感应电流 I 的磁场是补 偿线框回路中磁通量减小,所以线框内的总磁通量 ? 0 保持不变。 线框位置为 z 处时感应电流产生的磁通量 ? 感应 为 ? 感应 ? ? a 2? z 。 利用电流与磁通量成正比的关系有 LI ? ?a 2? z ,从而得到

I?

? a 2? z ,式中 L 为线圈的自感。 L
??? ?

(3)线框受力分析,线框受到沿 z 轴负方向的力 mg ,线框中的电流受到外磁场作 用的安培力。Bz 对线框产生的力,AB 与 CD 边上受力大小相等,方向相反;BC 边与 DA 边亦然,故合力为零,不影响线框的运动。而 B y 对 BC 与 DA 两边无作用,只对 AB 边与 CD 边有安培力作用,二者大小相等,方向相同,系沿 z 轴正方向(因线框 向下运动)且 F安 ? 2a ?

a I ? a 2? I 2

(4)小框运动满足的方程

maz ? ?mg ? a 2? I

maz ? ?mg ? a 4? 2 L

a 4? 2 z L

令k ?

则 maz ? ?mg ? kz 上述方程与一个无重、劲度系数为 k 的弹簧,其下悬一质量为 m 的物体运动方程相 同。因而可用类比法而求得线框位置 z 随时间变化的规律。 首先确定振动的平衡位置 zo ,而且 Zo 的绝对值就是振幅,物体在平衡位置时,加速

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度 a z 等于零

a 4? 2 z0 ? ?mg L

z0 ? ?

mgL a 4? 2
k a 2? ? m Lm

振动的圆频率 ? ?

z 随时间变化的规律是 z ?

mgL a 2? (cos t ? 1) ? 2a4 Lm

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第二十一讲 带电粒子在电磁场中的运动

要点讲解 学习这部分知识,首先要清楚重力场、电场和磁场对带电粒子的作用的性质,以及 重力场、电场和磁场对带电粒子作用力的区别:只要带电粒子处于重力场中,就一定会 受到重力,而且带电粒子所受重力一定是恒力;只要带电粒子处于电场中,就一定分受 到电场力,而且,如果电场是匀强电场,那么带电粒子所受电场力一定是恒力;在磁场 中,只有带电粒子运动才可能受到洛仑兹力作用, 只有带电粒子的运动方向不与磁场方 向平行,带电粒子才一定受到洛仑兹力作用。同时,要注意,洛仑兹力的方向与带电粒 子的运动方向垂直,这就意味着,作曲线运动的带电粒子所受的洛仑兹力是变力。 重力、 电场力对带电粒子作功; 而洛仑兹力对带电粒不作功。 因此, 在很多情况下, 需要从能量变化的角度考虑问题。 【例题分析】 例 1.用轻质绝缘细线把带负电的小球悬挂在 O 点,在没有磁场时,小球在竖直平 面内 AB 之间来回摆动,当小球经过悬点正下方时悬线对小

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