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高一必修2多媒体教案4.2.1 直线与圆的位置关系


4.2
4.2.1

直线、圆的位置关系
直线与圆的位置关系

(1).理解直线与圆的位置关系;
(2).掌握直线与圆的位置关系的几何判定; (3).利用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.

一个小岛的周围有 环岛暗礁,暗礁分布在 以小岛的中心为圆心, 半径为30km的圆形区 域.已知小岛中心位于 轮船正西70km处,港口 位于小岛中心正北40km 处.如果轮船沿直线返 港,那么它是否有触礁 的危险?

y

.港口

O

.
轮船

x

1、点与圆的位置关系

设圆C : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 , 点M ( x0 , y0 )到 圆心的距离为d , 则有:

(1)d>r ? 点M 在圆外; (2)d ? r ? 点M 在圆上; (3)d<r ? 点M 在圆内.

2、直线与圆的位置关系

设圆C: ? a) ? ( y ? b) ? r , 直线l : Ax ? By ? C ? 0, (x
2 2 2

圆心C到直线的距离为d .则有几何特征:
(1)d ? r ? 直线与圆相离,没有公共点;
(2)d ? r ? 直线与圆相切,只有一个公共点; (3)d ? r ? 直线与圆相交,有两个公共点.

?( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2, 消去y,得到关于x一元二次方程, ? ? Ax ? By ? C ? 0 其判别式为?.则有代数特征:

(1)? ? 0 ? 直线与圆相离,没有公共点;
(2)? ? 0 ? 直线与圆相切,只有一个公共点; (3)? ? 0 ? 直线与圆相交,有两个公共点.

例1、如图,已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y22y-4=0,判断直线l与圆的位置关系;如果相交,求它们

的交点坐标。

分析: 方法一, 判断直线与圆的位置关系, 就是看由它们的方程组成的 y

l
B

方程组有无实数解、有几组实
数解; 方法二,

C
O

.

A
x

可以依据圆心到直线
的距离与半径长的关系, 判断直线与圆的位置关系.

解法一: 由直线与圆的方程,得
?3x ? y ? 6 ? 0, ? 2 x ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0. ? (1) (2)

2 消去 y ,得 x ? 3x ? 2 ? 0

因为 ? ? (?3)2 ? 4 ? 2 ?1 ? 1 ? 0,
所以直线与圆相交,有两个公共点. 由 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 解得

x1 ? 2, x2 ? 1. y1 ? 0, y2 ? 3.

将 x1 ? 2, x2 ? 1. 分别代入(1)得

直线与圆有两个交点,坐标分别为A(2,0),B(1,3)

解法二:圆x2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0可化为x2 ? ( y ?1)2 ? 5,
其圆心坐标为(0,1),半径长为 点C(0,1)到直线的距离为
d? 3? 0 ?1 ? 6 32 ? 12 ? 5 ? 5 10
5

所以直线与圆相交,有两个公共点.

x 2 ? 3x ? 2 ? 0 解得 x1 ? 2, x2 ? 1. 将 x1 ? 2, x2 ? 1. 分别代入(1)得 y1 ? 0, y2 ? 3.
由 直线与圆有两个交点,坐标分别为A(2,0),B(1,3)

练习1:直线 4 x ? 3 y ? 35 ? 0与圆心在原点的圆C相切,求圆 C的方程。 解:设圆C的方程为 x2 ? y 2 ? r 2 由题意圆心 O(0, 0) 到直线 4 x ? 3 y ? 35 ? 0 的距离

d?

0 ? 0 ? 35 3 ?4
2 2

? 7.

所以圆的半径长 r ? 7 ,

x2 ? y2 ? 49. 圆方程为

练习2:判断直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与圆 x2 ? y 2-2x ? 0 的位置 关系.
2 2 解:方程 x ? y -2x ? 0 经过配方,得

( x ?1)2 ? y 2 ? 1
圆心坐标是(1,0),半径长r=1. 圆心到直线3x+4y+2=0的距离
d? |3?0? 2| ?1 5

因为d=r,所以直线3x+4y+2=0与圆相切.

练习3:已知直线 l : y ? x ? 6 ,圆C: x2 ? y 2-2 y ? 4 ? 0

试判断直线与圆C有无公共点,有几个公共点.
解:圆C的圆心坐标是(0,1),半径长 r ? 5

圆心到直线y=x+6的距离
d ? 0 ?1 ? 6 1 ? ( ?1)
2 2

5 2 ? ? 2

5

所以直线l与圆C无公共点.

例2

已知过点M(-3,-3)的直线l被圆x2+y2+4y-21=0

所截得的弦长为 4 5 ,求直线l的方程. 解:将圆的方程写成标准形式,得x2+(y+2)2=25, 所以,圆心的坐标是(0,-2)半径长r=5. 如图,因为直线l被圆所截得 的弦长是 4 5 ,所以弦心距为
52 ? ( 4 5 2 ) ? 5 2

即圆心到所求直线l的距离为 5 .

因为直线l过点M(-3,-3),所以可设所求直线l的 方程为y+3=k(x+3) 即kx-y+3k-3=0. 根据点到直线的距离公式,得到圆心到直线l的距离
d? 2 ? 3k ? 3 k ?1
2

.

因此,

2 ? 3k ? 3 k ?1
2

? 5.

即 3k ? 1 ? 5 ? 5k 2 ,
两边平方,并整理得到 2k2-3k-2=0,

解得k= ?

1 ,或k=2. 2

所以,所求直线l有两条,它们的方程分别为 y+3= ? (x+3),或 y+3=2(x+3). 即x+2y+9=0,或2x-y+3=0.
1 2

发现结论: 判断直线与圆的位置关系有两种方法 (1)判断直线与圆的方程组是否有解 a、有解,直线与圆有公共点. 有一组则相切; 有两组,则相交

b、无解,则直线与圆相离

练习:试解决本节引言中的问题.

解:以台风中心为原点,东 西方向为x 轴,建立如图所 示的直角坐标系,(其中, 取10km为单位长度)这样, 受台风影响的圆形区域所对 应的圆O方程为
x ? y ?9 轮船航线所在直线L的方程为 4x+7y-28=0 问题归结为圆O与直线L有无 公共点的问题。
2 2

y

.港口
.
轮船 x

O

(2)圆心到直线的距离d与半径r的关系

d?

Aa ? Bb ? C A2 ? B2

如果 d ? r 直线与圆相交; 如果 d ? r 直线与圆相切; 如果
d ?r

直线与圆相离.

1.⊙O的半径为3 ,圆心O到直线l的距离为d,若直线l 与⊙O没有公共点,则d为( A ):

A.d >3

B.d<3

C.d ≤3

D.d =3

2.圆心O到直线的距离等于⊙O的半径,则直线 和⊙O的位置关系是( C ): A.相离 B.相交 C.相切 D.相切或相交

3.判断:若直线和圆相切,则该直线和圆一定有一个公
共点.( √ ) 相离 ,以A为圆心,

4.等边三角形ABC的边长为2,则以A为圆心,半径为1.7 的圆与直线BC的位置关系是

3 为半径的圆与直线BC相切.

1、本节课我们主要探讨了直线与圆的位置关系及其判定, 以及直线与圆的位置关系的一些简单应用

2、对于直线与圆的位置关系利用圆心到直线的距离与半
径的大小来判断比较简单,主要是由于圆具有特殊的几 何性质。 3、判断直线与圆的位置关系要充分利用圆的几何性质。

不要被不重要的人或事过多打扰,因
为“成功的秘诀就是抓住目标不放”。


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