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全等三角形典型例题(1)


例 1 已知 ?ABC ? ?DEF,且∠A = 52° ,∠B = 31°21′ ,ED = 10cm 求 ∠F的度数与AB的长. 解: 在?ABC中,∠A + ∠B + ∠C = 180°

∴ ∠C = 180°? ( ∠A + ∠B) 又 Q ∠A = 52° ,∠B = 31°21′ ∴ ∠C = 180°? (52°+31°21′) = 96°39 ′ Q ?ABC ? ?DEF , ∠C = ∠F ∴ ∠F = 96°39 ′ DE = 10cm ∴ AB = 10cm
例 2 填 空 : 如 图 : CD⊥AB , BE⊥AC , 垂 足 分 别 为 D 、 E , 如 果 ?ABE ? ?ACD 那 么

∠B = ∠C , ∠BAE = ∠CAD

∠AEB = ∠ADC,AB = AC,AE = AD,BE = CD,
如果?BDF ? ?CEF,那么∠BFD = ∠CFE , BF = CF
注意:表示两个全等三角形时,要把对应顶点的字母写在对应的位置上。 注意 例 3 已知 BE = ED,∠1 = ∠2 求证: ?ABE ? ?CDE 证明: 证明 Q ∠1 = ∠2( 已知 )

∴ AE = EC ( 在一个三角形中,等角对等边 ) 在?ABE和?CDE中
? BE = ED(已知) ? ?∠AEB = ∠CED(对顶角相等) ? AE = EC(已证) ? ∴ ?ABE ? ?CDE(SAS) 小结:本题中由 ∠1 = ∠2 得到AE = EC, 这一点必须十分熟练,因为见到一种图形,立即想到 小结
它的性质,是研究几何图形最重要的基本功。借助于等腰三角形证明全等三角形问题是基本题型,应 熟练掌握。 例 4 已知:如图:四边形 ABCD 中,E 是 AC 上一点, ∠1 = ∠2 ,EB = ED 求证: ?EBA ? ?EDA 证明: 证明 Q ∠1 = ∠2 (已知)

∴ ∠AEB = ∠AED(等角的补角相等)

在?EBA和?EDA中

? BE = DE(已知) ? ?∠AEB = ∠AED(已证) ? AE = AE(公共边) ? ∴ ?EBA ? ?EDA(SAS)
例 5 求证:等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边。 已知:如图, ?ABC中,AB = AC,∠1 = ∠2 求证: AD⊥BC,BD = DC 证明: 证明 在?ABD和?ACD中

? AB = AC(已知) ? ?∠1 = ∠2 (已知) ? AD = AD(公共边) ? ∴ ?ABD ? ?ACD(SAS) ∴ BD = DC,∠3 = ∠4 又 Q ∠3 + ∠4 = 180° 即 2∠3 = 180° ∴ ∠3 = 90° , ∴ AD⊥BC
小结:证明一个文字叙述的命题,根据题意,画出图形,分清命题中的条件与结论,用符号语言 小结 写出已知,求证,然后加以证明。 例 6 已知:如图, M在AB上, ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4 求证: AC = AD 证明: 证明 在?MCB和?MDB中

?∠1 = ∠2( 已知 ) ? ? MB = MB( 公共边 ) ? ?∠3 = ∠4( 已知 )
∴ ?MCB ? ?MDB( ASA) ∴ BC = BD( 全等三角形对应边相等 )

∴ ?ACB和?ADB中 ? BC = BD( 已证 ) ? ?∠1 = ∠2( 已知 ) ? ? AB = AB( 公共边 )

∴ ?ABC ? ?ABD(SAS) ∴ AC = AD(全等三角形对应边相等) 例 7 已知: ?ABC ,点 E、F 分别在 AB、AC 边上,点 D 是 BC 边中点,且 EF / / BC , DE = DF 求证: AB = AC 分 析 : 要 证 明 AB = AC , 只要证出∠B = ∠C即可 , 在?DBE和?DCF 中 , 由 已 知 DB = DC,DE = DF 只需证明 ∠2 = ∠4 ,又因为 EF / / BC , 所以可推出∠1 = ∠2,

∠3 = ∠4, 再由DE = DF,可得 ∠1 = ∠3, 从而可推出 ∠2 = ∠4 。 证明: 证明 Q DE = DF ( 已知 ) ∴ ∠1 = ∠3( 等边对等角 ) Q EF / / BC ( 已知 ) ∴ ∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4( 两直线平行,内错角相等 )
∴ ∠2 = ∠4( 等量代换 ) 在?DBE和?DCF中 ? DB = DC ( 已知 ) ? ?∠2 = ∠4( 已证 ) ? DE = DF ( 已知 ) ? ∴ ?DBE ? ?DCF ( SAS ) ∴ ∠B = ∠C ( 全等三角形对应角相等 ) ∴ AB = AC ( 等角对等边 )
例 8 已知: AC⊥BD于C,AC = DC,CB = CE 求证: DF⊥AB 分析:证明两条直线互相垂直,在三角形中一般有两种方法可以采用,一种是证明三角形中两个 分析 锐角互余,这样可推出第三个角是 90° ,从而证出两条直线互相垂直,另一种是证明三角形中的一个 角与一个直角相等,从而证出这个角也是直角,本题可根据已知条件推出 ?ACB ? ?DCE ,得出

∠A = ∠D,又知∠A + ∠B = 90° , 所 以 ∠D + ∠B = 90° , 也 可 由 ∠A = ∠D, ∠AEF = ∠DEC , 得出∠AFE = ∠DCE = 90° 从而证出 DF⊥AB 。 证明: 证明 Q AC = DC,CB = CE,AC⊥BD 在?ACB和?DCE中
? AC = DC ( 已知 ) ? ?∠ACB = ∠DCE = 90° ?CB = CE ( 已知 ) ? ∴ ?ACB ? ?DCE ( SAS ) ∴ ∠A = ∠D( 全等三角形对应角相等 ) Q ∠A + ∠B = 90° ∴ ∠D + ∠B = 90° ∴ ∠BFD = 90° ∴ DF⊥AB( 垂直定义 )
(1) AE = CF 例 9 已知:B、E、F、D 在一条直线上, AB = CD,∠B = ∠D,BF = DE 求证: (2) AE / / CF (3) ∠AFE = ∠CEF

证明: (1)Q BF = DE ( 已知 ) 证明:

∴ BF + EF = DE + EF( 等量加等量和相等 )
即BE = DF 在?DFC和?BEA中
? DF = BE ( 已证 ) ? ?∠D = ∠B( 已知 ) ?CD = AB( 已知 ) ? ∴ ?DFC ? ?BEA( SAS ) ∴ CF = AE
(2) ∠DFC = ∠BEA( 全等三角形对应角相等 )

∴ CF / / AE (3) 在?AFE和?CEF中 ? AE = CF ( 已证 ) ? ?∠EFA = ∠FEC ( 已证 ) ? EF = EF ( 公共边 ) ? ∴ ?AFE ? ?CEF ( SAS ) ∠AFE = ∠CEF
小结:在证明三角形全等时,要善于把间接的条件转化为可以直接判定三角形全等的条件,复杂 小结 的问题中还需把一对全等三角形对应元素作为判定另一对三角形全等的条件。 例 10 已知: ∠BAC = ∠DAE , ∠ABD = ∠ACE , BD = CE 求证: AB = AC , AD = AE 证明: 证明 Q ∠BAC = ∠DAE( 已知 )

∴ ∠BAC ? ∠DAC = ∠DAE ? ∠DAC ( 等量或等量差相等 )

即∠BAD = ∠CAE 在?ABD和?ACE中 ? AB = AC ( 已知 ) ? ?∠BAD = ∠CAE ( 已证 ) ?∠ABD = ∠ACE ( 已知 ) ? ∴ ?ABD ? ?ACE ( AAS )

∴ AB = AC , AD = AE ( 全等三角形对应边相等 )
: 【专项训练】 专项训练】 一、填空题: 填空题 1、如图: ?GAB ? ?HDC ,对应角为 , ?AEC ? ?DFB ,对应边为 。

第1题 , ∠DBC = = 主要的判定根据是 度。 。

第2题 ,DE=

2、如图,把 ?BDE绕着B点逆时针旋转 30° ,得到?BCA,则∠D =

3、如图, AB / / A ′B ′,BC / / B ′C ′,CA / / C ′A ′,则?ABC、?BAC ′、?A ′ CB、

?CB ′A 一定

第3题 4、如图,如果 ?ABC ? ?A ′ B ′C ′ ,那么 ∠A =

第4题

∠ABC =
AC//

∠C =
二、证明题

,AB=

AC=

5、如图:若 ?ABC ? ?ADE,∠EAC = 29°31′ ,则 = ∠EAC = 29°31′ 。 1、已知: AB / / DC,AB = DC,BE = DF , 求证: AF / / CE,AE / / CF

第1题

第2题

2、已知 O 是 AB 中点,OC=OD, ∠AOD = ∠BOC ,求证: AC = BD 3、已知: AB / / CD,AF = CE,∠B = ∠D ,求证: DF / / BE

第3题

第4题

4、已知: AD与BC相交于点O,BE⊥AD,DF⊥BC,AO = CO, BE = DF,

∠ABC = ∠CDA ,求证: AB = CD


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