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《等比数列》说课稿


2013 宜兴市职业学校公共基础学科“两课”评比

《等比数列》
说课稿

授课教材:江苏省职业学校文化课教材《数学》第二册 授课章节: 授课班级: § 6.3 等比数列 2013 级 机电(2)班
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一、教材分析 本课选自中职《数学 <第二册> 》第六章第三节《等比数列》内容。本节主要内容是等 比数列的概念、通项公式、前 n 项和公式和等比数列的性质,它是继等差数列后有一个特殊 数列,是研究数列的重要载体,与实际生活有密切的联系,如细胞分裂、银行贷款问题等都 要用等比数列的知识来解决,在研究过程中体现了由特殊到一般、类比的数学思想。等比数 列有着广泛的实际应用。 二、学情分析 学生概况:13 级机电专业都是 16、17 岁职业中专学生。学生数学基础普遍比较差,个个好 动,好奇心强,学习积极性不高。 困难预测:经过一阶段的数学学习,学生的数学思维能力稍有提高,但是学生在在抽象思维、 概括、数学语言表达等方面还有待加强,所以针对学生的认知结构通过引用实际生 活中的实例结合学生已掌握的知识,经过由浅入深、由特殊到一般地引导、启发与 探究,学生应能初步掌握。 三、教学目标 根据教学大纲要求、教材特点,本课教学目标定为: 知识技能目标:1、理解等比数列的概念及等比数列的通项公式; 2、掌握等比数列的前 n 项和公式及等比数列的性质。 过程方法目标:运用类比思想,通过连贯的引入、逐层推进的问题和例题,让学生归纳整理, 教师精讲总结,再由学生练习反馈来达成本课目标; 情感态度价值观:体验解题的成就感,感受数学的奇妙与丰富多彩,养成学生务实求真、积 极实践的科学态度。 四、重点,难点 重点:①等比数列的概念及通项公式、前 n 项和公式的推导过程及应用; ②等比数列的性质运用。 难点:①等比数列五个量中已知三量求另二量的方法; ②等比数列性质运用。 五、教法分析 根据上述教材分析,贯彻启发性教学原则,体现以教师为主导,学生为主体的教学思想, 实现课堂有效教学,确定本课主要的教法为: 1、情景探究教学 借助建立现实生活情境引导学生思考,使问题变得直观,贴近生活,易于学生突破难点; 并且让学生体会到数学知识与生活的紧密联系,激发学生数学学习的兴趣,从而提高学生数 学学习的积极性。 2、小组讨论式教学 通过观察“现实情境”图像课件的演示,让学生分组(六人一组)讨论、交流、总结, 由小组成员代表小组发表意见(不同层次的组员回答,教师给予评价不同) 。 3、讲议结合教学 教师耐心引导、分析、讲解和提问,并及时对学生的意见进行肯定与评议。 4、分层教学 提问分层、评价分层、作业分层,注意面向全体学生,充分调动不同层次学生的积极性。 六、学法分析 引导学生认真观察现实情境的图像的演示,指导学生进行分组讨论交流,归纳总结,促 进学生知识体系的建构和数学思想方法的形成,注意面向全体学生,培养学生勇于探索、勤 于思考的精神,提高学生合作学习和数学交流的能力。 七、教材处理 (1)情景设置:通过创设现实情境,明确教学任务,激发学生的学习动机和求知欲。
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(2)新课讲解:通过师生共同探讨解决问题,由学生观察及小组讨论得出等比数列的概念、通 项公式及等比数列的性质,可以加强学生对本节内容的理解和记忆,实现知识与技能目标。 (3)例题选取:选用并改进课本例题,另外配备几个自己改编的应用问题,目的引导学生理解 有关内容,以实现技能目标与情感态度目标,从而培养学生学会学习,善于学习的能力。 八、教学过程 学生课前预习(学案导学) 根据教师的任务导引,进行课前预习,并进行简单的课前练习。在预习过程中,根据预习 情况提出问题,并由各小组长进行收集整理。 【设计意图】使学生对上课的内容有个大致的了解,提前发现自己的问题,教师可以提前了 解学生学习情况,从而可以提高上课的效率。 【第一课时:课堂探究】 教学 情境设计和学习任务 师生活动 设计意图 环节 情境 1:国王奖赏国际象棋发明者的事例, 通过真实的 发明者要求:在第 1 个方格放 1 颗麦粒,在 小组讨论的形式找出三组问题 生 活 实 例 分 第 2 个方格上放 2 颗麦粒, 在第 3 个方格上 中数列的特点 析,激发学生 放 4 颗麦粒,在第 4 个方格上放 8 颗麦粒, 观察分析并得出答案: 学习的探究 依此类推,直到第 64 个方格子.则得到的 引导学生观察相邻两项间的关 知识的兴趣, 2 63 3 创 设 数列为:1,2, 2 , 2 ,……, 2 。 系,由学生归纳和概括出,以 根 据 前 面 所 【观看图片动画】 情 景 上三个数列从第 2 项起,每一 学 等 差 数 列 情境 2:学生动手操作: 项与前一项的比都等于同一个 的知识,尝试 把一张纸连续对折 5 次,试写出每次 常数(即:每个都具有相邻两 给 出 等 比 数 对折后纸的层数.通过学生动手操作 项之比为同一个常数的特点) 列的定义. 。 得到的数列为:2,4,8,16,32. 情境 3:数列 1,1,1,1, …… 新 课 [等比数列的概念] 讲 解 等比数列:一般地,如果一个数列从 学生认真阅读课本相关概念, 第 2 项起,每一项与它的前一项的比 找出关键字借助于等差数列的 培 养 学 生 发 等于同一个常数,那么这个数列就叫 概念类比形式口述等比数列的 现问题,类比 做等比数列。这个常数叫做等比数列 概念。 推导与归纳 的公比,公比通常用字母 q 表示。 学生对比等差、等比两数列的 总结的能力 总 结 异同。 归 纳 注意: ①、 an / an?1 ? q(n ? 2) ②、q (q≠0)为常数。 (当 q=1 (学生明确除了 0 的常数数列 即是等差数列又是等比数列) 时,此数列为常数数列) 课 堂 抢答:下列数列是否为等比数列? 教师出示题目. 通过一组练 巩 固 ① 8,16,32,64,128,256,…; 学生思考、抢答. 习题,加深学 ② 1,1,1,1,1,1,1,…; 师问:你能说出练习中,等比 生 对 等 比 数 ③ 243,81,27,9,3,1,,…; , 数列的公比吗? 列定义的理 ④ 16,8,4,2,0,-2,…; 教师出示练习中的等比列. 解.用抢答的 ⑤ 1,-1,1,-1,1,-1,1,…; 学生说出各题的公比 q. 方式,调动其 ⑥ 1,-10,100,-1000,…. 学习积极性.

3

问 题 思考:根据规律填空? 提 出 ⑦ 1 , 4 , 16 , 64 , 256 , 学生自主发现规律,完成两空 ( ),( )…… 格,进一步提出通项公式的概 念 20 问题:那么,如果任意给了一个等比 思考,并发表各自的意见。有 数列的首项 a1 和公比 q, 它的通项公式 不清楚之处当堂提问。

a ?

让学生参与 到知识的形 成过程中,获 得数学学习 的成就感。 引导学生进 行理性分析 与推导,从而 得出公式。 【推导过程 是一难点,分 层提出要求】

是什么呢? 等比数列的通项公式: a a a ∵ n ?1 ? q ∴ n ? q , n ?1 ? q , an an ?1 an ? 2 a a ?, 3 ? q , 2 ? q a2 a1 将各式相乘便有 an ? q n ?1 , a1
? n ?1 总 结 ∴ an ? a1q ( n ? N , n ? 2 ) 归 纳 通项公式为: an ? a1qn?1

推导过程由老师通过多煤体展 出,学生通过老师对等比数列 通项公式的推导,提出自己的 难于理解的地方,老师再做一 解答。

让学生有自 主思考的时 间。

注意:只要我们知道了等比数列的首 项 a1 和公比 d, 那么这个等比数列的通 项 an 就可以表示出来了。 思考:在等比数列通项公式中,有四 小组讨论形式展开:得出结论 通 过 此 问 题 个量 a1 , q, n, an ,知道几个量,这四个 知道其中的任意三个量,就可 的展开,进一 总 结 以求出另一个量,即知三求 步 明 确 本 节 量就可以求全? 提 高 一 . 第一个难点 例 题 例 1、求下列等比数列的第 4 项和第 8 讲 解 项: (1)5,-15,45,?; 让两个学生分别对这 4 小题加 巩固加深对 以分析。 等比数列概 (2)1.2,2.4,4.8,?; 念及其通项 2 1 3 深入探究,得到更一般化的结 公式的理解 (3) , , ,?; 3 2 8 论
(4) 2,1, 2 ,?. 2

例题评述:从该例题中可以看出,等 通过教师点 比数列的通项公式其实就是一个关于 类比等差数列中知三求一的思 评,提高学生 an 、 a1 、d、n(独立的量有 3 个)的 想解决上述例 1 对关键问题 的认知水平。 课 堂 方程; 巩 固 讲练结合,有 随堂练习:课本 16 页“练习”第 1、2 分组形式展开,分两大组,每 利 提 高 学 生 两题; 组一题。 的知识应用 例 题 水平
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讲 解 例 2: 已知一个等比数列的第 3 项和第 教师引导学生类比等差数列中 4 项分别是 12 和 18,求它的第 1 项和 已知两项求首项和公差的方法 公比. 来解决例 2。 教师启发学生,当用一个式子 【教师板书解题过程】 解决不了问题的时候,考虑构 问 题 成方程组来解决。 探 究 问题:已知等比数列 ?an ? 中,公比为 q 则 an 与 a m ( n, m ? N ? )有何关系? 得出最终答案:

an ? am q n?m
例 题 讲 解

q n?m ?

an am

教师注重引 导学生分析 题意,教会学 生思考问题、 解决问题的 思路与方法. 培养学生分 析问题的能 类比等差数列,以小组讨论的 力,在小组讨 形式展开,让组长归纳出本组 论 中 提 高 组 的意见并加以说明。 长的组织与 归纳组内成 员想法的能 力。

例 3、 在等比数列 {an } 中, 已知 a3 =20, 分析思考,然后分组讨论,让 讲练结合,有 一组学生代表发表自己的见 利 提 高 学 生 课 堂 a6 ? 120,求 an . 解。 的知识应用 巩 固 水平 在等比数列 ?an ? 中, 通过练习进 1、 2 ? 6 ,a6 ? 162, a10 = 则 ; 学生自己练习完成,通过多煤 一 步 巩 固 通 a 项公式的推 2、a3 ? 9 ,a9 ? 3 , q>0, a12 = 则 ; 体展示学生完成的过程。 导公式。 小组归纳: 以学习小组为单位,在学习小 学 生 自 己 小 1、等比数列的知识点; (学生自主归 组中,各自归纳自己对这堂课 结,使学生对 课 堂 纳) 的收获,后由小组代表总结归 自 己 所 学 知 小 结 2、整理本节课还不太理解的知识点。 纳。 识有更深刻 的认识。 【第二课时:课堂探究】 教学 情境设计和学习任务 师生活动 设计意图 环节 情境 1: 国王奖赏国际象棋发明者的事 例,发明者要求:在第 1 个方格放 1 多煤体演示情景 1, 通过此实例 颗麦粒,在第 2 个方格上放 2 颗麦粒, 吸引学生人注意力,同时设出 通 过 真 实 的 在第 3 个方格上放 4 颗麦粒,在第 4 疑问,让学生深刻体会到数学 生 活 实 例 分 个方格上放 8 颗麦粒,依此类推,直 与现实生活是紧密不可分的。 析,激发学生 到第 64 个方格子.国王能否满足他的 学习的探究 知识的兴趣, 创 设 要求呢? 【观看图片动画】 情境 2 让学生自己动手, 让学生 引 导 揭 示 数 情 景 情境 2:学生动手操作: 把一张纸连续对折 5 次,试写出每次 真正成为课堂的主人,同时引 列 的 共 性 特 对折后纸的层数.通过学生动手操作 出本节课的课题。 点,引入新课 可得折纸的层数是 2,4,8,16,32 则 S n ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? 32; 情境 3 是让学生对特殊数列加 以注意。 情境 3:1,1,1,1, …… 则 S n =1+1+1+1+……
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新 讲

问 提

总 归

探究一: 问:1,2,2 ,…,2 是什么 数列?有何特征? 学生自主发言:解决探究一的 通 过 情 景 引 2 3 63 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 应归结为什么 问题,对答问题的同学给以相 入的 1,2,3 课 数学问题? 应加分,组长记好! 来解决探究 解 一问题,让学 生掌握类比 S64 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? 263 1) 思考,并发表各自的意见。有 的数学方法 探究二: 把每一项都乘以 2, 就变成它 不清楚之处当堂提问。 的后一项,1)式两边同乘以 2 则有 让理解的同学做以解答。 题 2 3 63 64 2) (形成互帮互助) 2S64 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 出 引导学生由 .比较 1) ,2)两式,你有什么发现? 特殊到一般 分析与推导, 1)—2)得 老师用多煤体展示,让学生理 从 而 得 出 公 1 ? 2 64 64 解等比数列前 n 项和公式由特 式。 (1 ? 2)S64 ? 1 ? 2 得到: S 64 ? 1? 2 殊到一般的推导过程。 进一步掌握 等比数列中: sn =a1+a2+a3+??+an 【这是本节课的第一个难点, 错位相减的 结 分层对学生提出要求】 数学方法。 纳 2 n?2 n ?1 ?S n ? a1 ? a1 q ? a1 q ? ? a1 q ? a1 q ? ? 让学生进一 ?qSn ? a1 q ? a1 q 2 ? a1 q 3 ? ? a1 q n ?1 ? a1 q n ? 小组探讨:要求等比数列前 n 步熟悉等差 项和必须知道哪些量?并熟记 数列前 n 项和 ? (1 ? q)S n ? a1 ? a1q n 等差数列的前 n 项和公式. 公式的特征
? a1 (1 ? q n ) ? ? Sn ? ? 1 ? q ? ?na1 ? q ?1 q ?1

2

63

? a1 ? a n q ? 或 Sn ? ? 1 ? q ?na ? 1

q ?1 q ?1
通过此问题 的展开,进一 步明确本节 的重点

思考:在等比数列中,已知哪些量可 小组讨论形式展开:得出结论 总 结 以求等比数列的前 n 项和? 1、已知 q、 a1 、 an ,求 S n ; 提 高 2、已知 n、 a1 、q,求 S n 。 .

6

例 题 例 1:已知 {an } 是等比数列, 完成下表: 让 3 个学生分别对这两小题加 讲 解 让学生参与 S n 以分析。 an a1 q 题号 n 课堂。 1 1 深入探究,得到更一般化的结 8 1) 2 2 论 2 27 8 2) 3 3)
3 -2 -63

讲练结合,有 随堂练习:课本 21 页“练习”第 1、2 分组形式展开,分 4 大组,每 利 提 高 学 生 两题; 组一题。 的知识应用 例 题 水平 讲 解 1 1 1 1 例 2: 求等比数列 , , , , ? 的第 5 小组展开讨论,结果由组长整 培 养 学 生 分 2 4 8 16 理,并主动说出本组的想法。 析 问 题 的 能 项到第 10 项的和. 力,在小组讨 方法 1: 观察、发现: 老师点评出不同解法,让学生 论 中 提 高 组 a5 ? a6 ? ? ? a10 ? S10 ? S 4 . 养成平时多注重思考一题多解 长 的 组 织 与 方法 2: 此等比数列的连续项从第 5 的方法。 归纳组内成 项到第 10 项构成一个新的等比数列: 员想法的能 首项为 a5 ? 16 ,公比为 q ? 2 ,项数为 力。 练 一 练
n ? 6.

变式 1:求 1 1 ,2 1 ,3 1 ,4 1 ,5 1 ? 的前 n
2 4 8 16 32

项和. 完成书本上第 21 页习题 3,4 题 通过练习进 学生自己练习完成,通过多煤 一 步 巩 固 等 体展示学生完成的过程。 差数列的前 n 项和的求解。 以学习小组为单位,在学习小 组中,各自归纳自己对这堂课 的收获,后由小组代表总结归 纳。 学生自己小 结,使学生对 自己所学知 识有更深刻 的认识。

课堂小结: 1、回顾公式的推导,从特殊到一般是 课 堂 我们研究问题的一般方法; 小 结 2、错位相减的方法; 3、掌握等比数列的两个求和公式并能 灵活运用。

7

【第三课时:课堂探究】 教学 情境设计和学习任务 环节 1、等比数列的定义及通项公式; 复习 2、等比数列的前 n 项和公式; 引入

师生活动

设计意图

小组间互问形式展开(你问我 检 测 学 生 对 答) 所学知识点 的掌握情况 问题 1:如果在 a 与 b 中间插入一个数 学生自主发言:解决问题一的 问题,对答问题的同学给以相 b a 问 题 A,使 ,A, 成等比数列,那么 A 应 应加分,组长记好! 探 究 满足什么条件? 性质 1、若 a ,A, b 成等比数列,那 学生思考、合作探究,得出等 比中项公式.教师引导学生注 总 结 么 A 叫做 a 与 b 的等比中项 意等比中项的值有两个。 归 纳 则:A=± ab (a,b 同号) A b ? ? A 2 ? ab ? A ? ? ab a A 引导学生进 行理性分析 与推导,从而 得出公式。

让学生进一 类比等差数列,学生自主回答 步熟悉等比 练 习 练习 1、数列 1,2,4,8,16,32, (抢答形式) :对积极的同学加 中项概念及 巩 固 64……中 8 是那些项的等比中项? 以加分 求解 练习 2、求下列两个数的等比中项: (1)4 与 16; (2)9 与 10。 以小组讨论的形式展开,让组 培养学生分 长归纳出本组的意见并加以说 析问题的能 问 题 问题 2:已知等差数列 ?an ? 中,公比为 明。 力,在小组讨 探 究 q , a 与 a ( n, m ? N ? ) 则 n 有何关系? 论中提高组 m 【本节课的一个难点, q 是一 长的组织与 求 归纳组内成 性质 2、等比数列 ?an ? 中 解还是两解的情况】 员想法的能 n?m 力。 n m

a ?a q
an am

q n?m ?

学生自己练习完成,通过多煤 通 过 练 习 进 练 习 1、已知 a3 ? 10 , a6 ? 270,求 a1 , q ; 体展示学生完成的过程。 一步巩固通 巩 固 2、已知 a ? 2 , a ? 2 ,求 a 。 项公式的推 12 3 9 导公式。

在等比数列 ?an ? 中,

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问 题 听老师分析等差数列的此性质 让 学 生 进 一 性 质 3 、 在 等 比 数 列 ?an ? 中 , 若 的由来,并让有问题的学生提 步 熟 悉 等 差 探 究 问,当堂解决。 数列的第三 m+n=p+q,则, am ? an ? a p ? aq 个性质 (m, n, p, q ∈N ) 例 题 讲 解 例 1 、 已 知 { an } 是 等 比 数 列 , 且 以小组形式讨论解题方法,组 讲练结合,有 an ? 0 , a2 a4 ? 2a3 a5 ? a4 a6 ? 25 , 求 长 归 纳 出 本 组 意 见 并 做 以 解 利 提 高 学 生 答。 的知识应用 a3 ? a5 . 课 堂 水平 巩 固 练习: 小组探讨,组长整理本组完成 在 小 组 讨 论 在等比数列 {an } 中: 情况。哪小组先完成哪小组到 中 提 高 组 长 前面来讲解。 的组织与归 (1) a2 a6 a10 ? 1 ,求 a3 a9 ; 纳组内成员 1 (2)若 a 3 ? , a9 ? 8 ,求 a5 a6 a7 想法的能力。 2 课堂小结: 1、掌握等比数列的三个性质; 课 堂 2、熟练运用等比数列的性质解题。 小 结 以学习小组为单位,在学习小 组中,各自归纳自己对这堂课 的收获,后由小组代表总结归 纳。 学生自己小 结,使学生对 自己所学知 识有更深刻 的认识。

九、板书设计 等比数列: 1、定义: 2、通项公式: 3、前 n 项和公式: 4、等比数列性质: ①、 ②、 ③、

例 1、 例 2、

投影屏幕

例 3、

十、作业设计:(分别对应几课时) 必做题:1)学习指导用书 P11 A 组 1、3 2)学习指导用书 P11 A 组 2,B 组 3、5 3)学习指导用书 P12B 组 1、2、8、 选做题:1)学习指导用书 B 组 3、5 2)学习指导用书 B 组 4、6、7
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3)学习指导用书 B 组 9、10 【设计意图】体现分层教学的思想,使各层次的学生都找到各自的学习区,进一步完善教学 目标的实现。 十一、教学评价 1、通过学生的探究以及与学生的问答交流,发现其思维过程,在鼓励的基础上,纠正偏差. 2、在学生讨论、交流、合作时,教师通过观察,就个别或整体参与活动的态度和表现做出评 价,以此来调动学生参与活动的积极性。 3、通过应用(上黑板板演、问答交流等)来检验学生学习的效果,并在讲评中,肯定优点, 指出不足。 4、通过作业,反馈信息,再次对本节课做出评价,以便查漏补缺,指导今后的教学 十二、资源整合 1、多媒体与板书相结合 2、教师备课的素材与学生已有的知识、经验相结合。 十三、教学反思 教学亮点:本节内容设计的成功之处是充分利用熟悉的生活中的实例。这些实例的运用一方 面使学生保持了较高的参与热情,另一方面等比数列是在等差数列之后介绍的,学生对等差 数列的研究内容和研究方法已有了一定的了解.因此在教学方法上突出了类比思想的使用, 为学生创造好使用的条件,引导学生自己研究等比数列相关内容如定义、表示方法、通项公 式.这样从学生的最近发展区出发,不仅符合学生的认知规律,而且充分发挥了学生的主体 作用。 存在问题:在这一节课后,一个很大的感受就是在课堂上我们要说的每一句话,要提的每一 个问题,包括内容先后顺序的设置都必须反复推敲,细细琢磨。语言要简练,提出的问题要 有针对性,要能启发学生,内容的设置必须切实符合学生的认知规律。我们不仅要考虑到学 生的实际水平,而且需要预先想到课堂中学生会提到的问题以及出现的错误,并及时对学生 的表现给与充分的表扬、鼓励以及正确的引导。现在的教学需要使用鼓励教育,充分调动学 生的积极性和能动性,打开学生思维。在上述方面还有待加强。 改进设想:注意评价手段的多样化,发挥教学评价的激励功能;在资源整合中,加强数学知 识与专业的结合。注重课堂上问题的设置一定要符合学生的实际。

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