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对数与对数运算


对数和对数运算
教学目标: (1)理解对数的概念 (2)掌握对数的运算法则 教学重难点重点:重点对对数概念的理解和对数运算性质的熟练使用 难点 对对数概念的理解 一、问题提出 已知 2000 年,企业收入 a 元,如果每年平均增长率为 3% 估算,经过几年,企业收入 为 2 a 元? 解:设经过 x 年,企业收入为 2 a 元,则有

a(1 ? 3

%) x ? 2a,
化简得

1.03x ? 2.
已知底数和幂的值,求指数的问题——对数问题. 一、对数的定义 一般的,如果 a ? R (a ? 0 且 a ? 1) 成立

ab ? N .
那么称数 b 叫作以 a 为底 N 的对数,记作 loga N , 其中 a 叫底数, N 叫真数. 反解 指数
x

对数
x

由于指数函数 y ? a 对任意的 x ? R 都有 y ? (0, ??), 且 y ? a , 当 0 ? a ? 1 时,在 R 上单调递减;当 a ? 1 时,在 R 上单调递增.得到对实数 a (a ? 0 且 a ? 1), x ? 0, 对数 log a x 存在,而且是唯一存在的. 注意:若 a ? 0 且 a ? 1, N ? 0 有 (1)对数与指数的关系: b ? log a N ? a ? N ? a .
b N b ab ? N b ? log a N

(2)数 1 的对数 a0 ? 1 ? loga 1 ? 0; 底数的对数 a1 ? a ? loga a ? 1. (3)对数恒等式 a
loga N

? N,

意义:正数 N 先取以 a 为底对数,再取以 a 为底的指数 (4)零和负数没有对数. 二、对数的性质 若 a ? 0 且 a ? 1, M , N ? 0, 则

(1)乘积的对数 loga (MN ) ? loga M ? loga N ; (2)幂的对数 loga M N ? N loga M ( N ? R);

M ? log a M ? log a N . N 1 log a M ( N ? 0); (4)开方的对数 log a ( N M ) ? N M M log a b. (5)重要公式 log a N b ? N
(3)商的对数 log a 证明:(1)设 log a M ? p, log a N ? q, 则有 a p ? M , aq ? N.

? MN ? a p aq ? a( P?q ) . ? p ? q ? loga (MN ),


loga (MN ) ? loga M ? loga N.
p

证明(2)设 log a M ? p, 则有 a ? M .

? M N ? (a p ) ? a( Np ) . ? Np ? N loga (M ),


loga M N ? N loga M ( N ? R).
p q

证明(3)设 loga M ? p, loga N ? q, 则有 a ? M , a ? N.

?


M M ap , ? q ? a ( P ? q ) .? p ? q ? log a N N a

log a

M ? log a M ? log a N . N
p

证明(4)设 log a M ? p, 则有 a ? M .

?N M ? N ap ? a


(

P ) N

.?

p 1 ? log a ( M ), N N

loga M N ? N loga M ( N ? 0).
p

证明(5)设 logb a ? p, 则有 b ? a.

? b ? a. ? b ? a ,
p

1 p

log a b 1 1 1 ? ? . ? log a b. ? log a N b ? N logb a Np N p
M log a b. N



log a N b M ?

三、两种对数

(1)常用对数:以 10 为底的对数,记作 lg N . (2)自然对数:以 e 为底的对数,记作 ln N , 其中 e 为无理数(欧拉常数), e ? 2.71828. 四、例题讲解

(1) lg 20 ? lg 5; (2) log1.5 9 ? 2log1.5 2; (3) ln
五、探究问题与作业

1 ? log 6 216. e2

试画出对数函数 y ? log 2 x 的图像,并根据函数图像得出一些性质. 习题 1、2、3. 六、课后小节 对数函数的概念和对数函数的运算法则. 七、板书设计 对数和对数运算 一、对数的定义 注意 二、对数的性质 (1)(2)(3)(4)(5) (主板书) 对数运算法则的证明 三、两种对数 四、例题讲解 (副板书) 问题提出 三、探究问题与作业 四、课后小节 (辅助性板书)


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