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二项式定理1


二项式定理 (一 )

知识回顾:
1.(a+b)1= 2.(a+b)2= 3.(a+b)3=

问题产生:
1.(a+b)4= 2.(a+b)n=

问题探讨:
问题1:
(a1+b1)(a2+b2)(a3+b3)(a4+b4)的展 开式共有几项?每项各有什么特征? 你能不用乘法分配律写出各项吗?

问题探讨:
问题2: 如果a1=a2=a3=a4=a,b1=b2=b3=b4=b,
以上结果又将如何?

模型转化:
4个容器中有红、蓝玻璃球各 一个,每次从 4 个容器中各取一 个球,有什么样的取法?各种取 法有多少种?

都不取蓝球 (全取红球): C (? C ) 取1个蓝球 (1蓝3红) : C (? C ) 2 取2个蓝球 (2蓝2红) :C 2 ( ? C 4) 4 取3个蓝球 (3蓝1红) :C (? C ) 4 0 取4个蓝球 (无 红球) : C 4 ( ? C 4)
0 4 4 4

1

3

4

4

3

1

4

4

C

m m m n ?m Cn ? C n?1 nn

? C ?C

m?1 n

回到主题:
(a+b)n=

1 3 (a ? b) 4 ? C 40 a 4 ? C 4 a b ? C 42 a 2 b 2 ? C 43 ab3 ? C 44 b 4

? a ? 4a b ? 6a b ? 4ab ? b
4 3 2 2 3

4

(a+b)的n次方展开式的系数的规律
?a ? b ?0 ??? ?a ? b ?1 ??? ?a ? b ?2 ??? ?a ? b ?3 ??? ?a ? b ?4 ??? ?a ? b ?5 ??? ?a ? b ?6 ???
??????

1 1 1 1 1 1 1 6 5 4 10 15 20 3 6 10 15 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1

本节课的课题《二项式定理》就是 杨辉简介
?

研究 (a+b)的平方,(a+b)的三次 南宋末年钱塘人,是当时有名的数学家和教 方…… (a+b)的n次方的乘法展开式的规 育家,杨辉一生编写的数学书很多,但散佚 律, 法国数学 严重。 家帕斯卡在 17世纪发现了它,国外把这一规 杨辉生活在浙江杭州一带,曾当过地方官, 律称为帕斯卡三角。其实,我国数学家杨辉早 到过苏州、台州等地,他每到一处都会有人 在 1261年在他的《详解九章算法》中就有了相 慕名前来 请教数学问题。 应的图表。

猜想:
(a ? b) ? ____?_____
n
0 n 1 n?1 2 n?2 2 (a ? b)n ? Cn a ? Cna b ? Cn a b ? ?

?C n a
r

n? r

b ? ?? ? C n b n
r

n

Cnr an-rbr:二项展开式的通项,记作Tr+1

典例分析
1 4 例1:展开(1+ ) x

典例分析
1 6 例2: 展 开 (2 x ? ) ,并求第 3项 的 x 二项式系数和第 6项 的 系 数
注意区别二项式系数与项的系数的概念 r 二项式系数为 C n ; 项的系数为:二项式系数与数字系数的积

典例分析
例3、求(x+a)12的展开式中的倒数第4项。

注:特指二项式的展开项特定顺序 下的项.

典例分析
例4、(1)求(1+2x) 的展开式的第4项的系数
7

1 8 3 (2)求(x ? ) 的展开式中x 的系数和中间项 x

实战演练
x 3 9 ) 的展开式常数项 1、求 ( ? 3 x

实战演练
x 3 9 ) 的展开式的中间两项 2、求 ( ? 3 x





1)注意二项式定理 中二项展开式的特征

2)区别二项式系数,项的系数
3)掌握用通项公式求二项式系数,项的系 数及项






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