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导数公式及导数的运算法则


基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
一、知识自测: 1、几个常用函数的导数: (1)f(x)=C,则 f ’(x)=_______ (4)f(x)= 1 ,则 f’(x)=_______
x

(2)f(x)=x,则 f ’(x)=_______ (3)f(x)= x 2 ,则 f ’(x)=_______ (5)f(x)=


x ,则 f ’(x)=_______

2、基本初等函数的导数公式: (1)f(x)=C(C 为常数) ,则 f ’(x)=_______ (3)f(x)=sinx,则 f ’(x)=_______ (5)f(x)= a x ,则 f ’(x)=_______ (7)f(x)= log a x ,则 f ’(x)=_______ 3、导数的运算法则: 已知 f ( x ), g( x ) 的导数存在,则: (1) [ f ( x ) ? g( x )]? ? __________ _____ (2) [ f ( x ) ? g( x )]? ? __________ ________ (3) [ (2)f(x)= x (a ? Q ) ,则 f ’(x)=_______
a

(4)f(x)=cosx,则 f ’(x)=_______ (6)f(x)= e ,则 f ’(x)=_______ (8)f(x)= ln x ,则 f ’(x)=_______
x

f ( x) ]? ? ____________________ g( x )

4、复合函数求导 (1) 、复合函数的概念:一般的,对于两个函数_______和________,如果通过变量 u,y 可以表示成 x 的函 数,那么称这个函数为两个函数的复合函数,记作___________ (2) 、复合函数的求导法则:_________________ 即:_______________________________________ 二、典型例题 例 1、利用求导公式和运算法则求导数 1、 y ? 3 x 2 ? x sin x 2、 y ? e x ln x 3、 y ?

ln x ? 2x x?1

练习: (1) y ? ln sin 2 x
x

(2) y ? sin2 ( 2 x ? ? )
3

(3) y ? 3 x

2

?2 x?3

(4) y ?

1 (1 ? 3 x ) 4

(5) y ? x 1 ? x 2

(6) y ? log 2 ( 2 x 2 ? 3 x ? 1)

例 2、求曲线的切线方程: 1、函数 g( x ) ? 2 x 3 ? 2 x 2 ? 7 x ? 4 在 x=2 处的切线方程为_________________ 2、求过曲线 y=cosx 上点 P( ? , 1 )且与过这点的切线垂直的直线方程 3 2

3、在曲线 y ? x 3 ? 3 x 2 ? 6 x ? 10 的切线中,求斜率最小的切线方程。

4、 偶函数 f ( x ) ? ax 4 ? bx 3 ? cx 2 ? dx ? e 的图像过点 P (0,1) , 且在 x=1 处的切线方程为 y=x-2, 求 y=f(x) 的解析式。

例 3、求导公式的综合应用 1、点 P 是曲线 y ? e 上任意一点,求点 P 到直线 y=x 的最小距离。
x

2、已知 f ?( x ) 是一次函数, x ? f ?( x) ? (2 x ? 1) f ( x) ? 1 对一切 x ? R 恒成立,求 f ( x ) 的解析式。
2

1、函数 y ? (2 ? x3 )2 的导数是( A. 6 x ? 12 x
5 2


3

B. 4 ? 2 x B.

C. 2(2 ? x3 )3 ) C.
1 2 1? a
1

D. 2(2 ? x3 ) ? 3x
? 1 2 1? x

2、设 y ? 1 ? a ? 1 ? x , 则y ? ? ( A.
1 2 1? a ? 1 2 1? x
2 1? x

D. ?

1 2 1? x

3、已知 y ? 1 sin 2 x ? sin x ,那么 y ? 是( ) 2 A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值又有最小值的偶函数
1 1 4、 (1)设函数 f(x)满足 2 f ( x ) ? 3 f ( ) ? ,求 f ?( x ). x x

), 求f ?( x ). 3 5、已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图,那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是 (
(2)设 f ( x ) ? e 3 x ?1 cos(2?x ?

?

)


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