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2015年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)试题


2O15年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)
(2015 年 5 月 17 日下午 14:30— —16:30) 考生注意: 1.本试卷共三大题(16个小题),全卷满分140分. 2.用黑(蓝)色圆珠笔或钢笔作答. 3.计算器、通讯工具不准带入考场. 一、单项选择题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
7 1? ? 1.己知n为正整数,二项式 ? x 2

? 3 ? 的展开式中含有 x 的项,则n的最小值为 x ? ? ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 a b c ? ? 2、 在△ABC中 ,内角A.B,C的对边长分别为a,b,c, 若 , cos A 2 cos B 3cos C 则∠A的大小为( ) ? ? ? 5? A. B. C. D. 12 6 4 3 3、已知二面角 ? ? l ? ? 的大小为30°,则由平面 ? 上的原在平面 ? 上的正射影 得到的椭圆的离心率等于( ) 1 1 3 3 A. B. C. D. 3 2 3 2 M 4、记函数 f ( x) ? 2 ? x ? 3x ?12 的最大值为M,最小值为m,则 的值为( ) m 6 A. B. 2 C. 3 D.2 2 5、 已知正三棱锥P-ABC的底面ABC是正三角形。 该正三角形的外接球的球心O满足: AB ? OB ? OC ? 0 ,则二面角A-PB-C的余弦值为( ) 1 1 2 3 A. B. C. D. 6 5 8 3 6、设质数 p ,满足存在正整数 x, y 使得 p ? 1 ? 2 x 2 , p2 ? 1 ? 2 y 2 ,则符合条件 的质数 p 的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 4 ? 2i 7、 i 为虚数单位,复数 z ? ,则 z = 1? i 1 2 1 8、若 4a ? 6b ? 9c ,则 ? ? ? a b c 9、已知点 P( x, y) 满足 x ? y ≤2,则到 x 轴的距离 d ≤1 的点 P 的概率是

n

10、设 x ? sin x ? cos x ? 1 ? 0 , 2cos y ? 2 y ? ? ? 4 ? 0 ,则 sin(2 x ? y) 的值是 11、在矩形 ABCD 中,AB=3,AD=4,P 为矩形 ABCD 所在平面上的一点,满足 PA=2, PC= 21 。则 PB ? PD ? a2 12、对任意正整数 n ,定义函数 ? (n) ? 1 ,且当 n ? p1a1 p2 ??? ptat ≥2 时,

? ( n) ? ?

?(?1)t , a1 ? a2 ? ??? ? at ? 1 ? ? ?0(否则)

,其中, t ≥1, p1 , p2 , ???, pt 是不同的质数。
k

若记 A ? ?x1, x2 , ???xk ? 为12的全部不同正因数的集合, ? ? ( xi ) ?
i ?1

三、解答题(本大题共4个小题,每小题20分,共80分) 13、已知数列 ?an ? 满足: a1, a2 ? 1, a3 成等差数列,且对任意的正整数 n ,均有
1 3 an ?1 ? 2n ? 。其中 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项之和。 2 2 (1)求 a1 , a2 , a3 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式 Sn ?
14、已知函数 f ( x) ? sin 4 x

? ? 3? ? ? x) ,求 g ( x) 在 ? , ? 的最大值与最小值; 2 ?6 8 ? ? 2? 3? 88? 89? )? f( )? f( ) ? ??? f ( )? f( ) 的值。 (2)求 f ( 180 180 180 180 180 y2 2 ? 1的右支上任意一点 P( x0 , y0 ) 作直线 l 与两条渐近线交于 A、B,若 15、过双曲线 x ? 4 P 是 AB 的中点。 (1)求证:直线 l 与双曲线只有一个交点;
(1)记 g ( x) ? f ( x) ? f ( (2)△OAB 的面积为定值。 16、已知 a 为实常数,函数 f ( x) ? e? x sin x ? ax( x ??0,2? ?) 。

?

(1)记 f ( x ) 的导函数为 g ( x) ,求 g ( x) 在 ?0, 2? ? 上的单调区间; (2)若 f ( x ) 在 ? 0, 2? ? 的极大值、极小值恰好各有一个,求实数 a 的取值范围。


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