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数学-扬州中学2013-2014学年高一下学期3月阶段检测数学


江苏省扬州中学 2013—2014 学年度第二学期阶段检测

高一数学试卷 高考资源网
2014 年 3 月 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 1. cos165 =
2
?

。 . 。

2、函数 y ?

cos x 的最小正周期为

3.设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3, a6 ? 11,则 S 7 ?

4、 已知数列 {an } 是等差数列, a1=-9, S3=S7, 那么使其前 n 项和 Sn 最小的n是_____________. 5.若 ? ? (

?

2

, ? ) , tan( ? ?

?

4

)?

1 ,则 sin ? ? 7

。 . 。

6、已知 ?ABC 中, AB ? 3 , BC ? 1 , A ? 30? ,则 AC ? 7.已知角 ? , ? , ? 构成公差为 8.若 ? ? ?

? 2 的等差数列,若 cos ? ? ? ,则 cos ? ? cos ? = 3 3


? ?? ? , ? ? ,且 3 cos 2? ? sin( ? ? ) ,则 sin 2? = 4 ?2 ?
?
4


9、在△ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 A ?

cos B ? cos2B ? 0, a 2 ? c 2 ? b ? ac ? 2 ,则 b=
?

.

10. 已 知 数 列 ?an ? 满 足 关 系 式 an?2 ? an?1 ? an (n ? N ) , 且 a9 9 8 ? 3 , a1000 ? 1 , 则

a2012 ? a2013 ? a2014 =



11.在锐角△ ABC 中, sin( A ? B ) ?

3 5 , sin( A ? B) ? ,则 tan 2 B ? 5 13



12.在△ ABC 中, AB ? BC ? 2BC ? CA ? 3CA ? AB ,则

tan A : tan B : tan C =



13.在等差数列 ?an ? 中, 记数列 ? a2 ? 5, a6 ? 21, 对任意 n ? N 恒成立,则正整数 m 的最小值为
?

?1? m 若 S 2 n ?1 ? S n ? ? 的前 n 项和为 S n , 15 ? an ?
.

14.设 y ? f ( x) 是定义在区间 D 上的函数,对于区间 D 的非空子集 I,若存在常数 m ? R ,
1

满足:对任意的 x1 ? I ,都存在 x2 ? I ,使得

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? m , 则 称 常 数 m 是 函 数 f ( x) 在 I 上 的 “ 和 谐 数 ” 。若函数 2
f ( x) ? sin x ? cos x, x ? R , 则函数 f ( x) 在区间 ?0, ? ?上的 “和谐数” 是
二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 。

2 cos 10? ? sin 20? ; cos 20? ? 1 ? 2 ? ? ? ?? o s (2) 已知 cos( ? ? ) ? ? ,sin( ? ? ) ? , 且 ? ? ? ? ,0 ? ? ? , 求c 2 9 2 3 2 2 2
15.化简求值: (1) 的值。

16、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,函数

f ( x) ? 2cos x sin( x ? A) ? sin A( x ? R) 在 x ?
(1)当 x ? (0,

?
2

5? 处取得最大值。 12

) 时,求函数 f ( x) 的值域;

(2)若 a ? 7 且 sin B ? sin C ?

13 3 ,求 ?ABC 的面积。 14

17. 已知公差大于零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn, 且满足: a3 ? a4 ? 117, a2 ? a5 ? 22 . (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)若数列 {bn } 是等差数列,且 bn ?

Sn ,求非零常数 c. n?c

18、已知数列 {an } 满足 a1 ?

a 2a ? 1 1 ,且当 n ? 1 , n ? N * 时,有 n ?1 ? n ?1 , an 1 ? 2 an 5
2

(1)求证:数列 {

1 } 为等差数列; an

(2)试问 a1 ? a2 是否是数列 {an } 中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由。

19.某个公园有个池塘,其形状为直角三角形 ABC, ?C ? 90? , AB ? 200米,BC=100 米; (1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在 AB,BC,CA 上取点 D,E,F,使得 EF∥ AB,EF⊥ED,在△ DEF 内喂鱼,求△ DEF 面积的最大值; (2)现在准备新建造一个荷塘,分别在 AB,BC,CA 上取点 D,E,F,建造△ DEF 走廊 (不考虑宽度)供游客休息,且使得△ DEF 为正三角形,求△ DEF 边长的最小值。

20.已知数列 ?an ? 满足 a2 ? 3a1 , S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且有

S n?1 ? S n ? S n?1 ? 3n 2 ? 2(n ? 2, n ? N * )
(1)若数列 ?an ? 为等差数列,求通项 an ; (2)若对于任意 n ? N , an ? an?1 恒成立,求 a1 的取值范围。
*

3

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江苏省扬州中学 2013—2014 学年度第二学期阶段检测

高一数学试卷答题纸
成绩 一、填空题(每小题 5 分,计 70 分) 1. 5. 9. 13. 2. 6. 10. 14. 3. 7. 11. 4. 8. 12.

2014 年 3 月

姓名__________________

学号

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分) 15.

16.

班级__________________

17.

4

18.

19.

(请将 20 题解答写在答题纸反面)

江苏省扬州中学 2013—2014 学年度第二学期阶段检测

5

高一数学试卷

答案

2014 年 3 月

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 1. ? 5.

6? 2 4

2、 ? 6、1 或 2 10.2 14.

3.49 7. ?

4、5

3 5

2 3

8. ?

17 18

9、2 13.5

11.0

12. 3:1:2

2 ?1 2

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15.化简求值:

2 cos 10? ? sin 20? ( 3) cos 20? ? 1 ? 2 ? ? ? ?? o s (2) 已知 cos( ? ? ) ? ? ,sin( ? ? ) ? , 且 ? ? ? ? ,0 ? ? ? , 求c 2 9 2 3 2 2 2
(1) 的值。

7 5 27

16、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,函数

f ( x) ? 2cos x sin( x ? A) ? sin A( x ? R) 在 x ?
(1)当 x ? (0,

?
2

5? 处取得最大值。 12

) 时,求函数 f ( x) 的值域;

(2)若 a ? 7 且 sin B ? sin C ?

13 3 ,求 ?ABC 的面积。 14

6

17. 已知公差大于零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn, 且满足: a3 ? a4 ? 117, a2 ? a5 ? 22 . (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)若数列 {bn } 是等差数列,且 bn ?

Sn ,求非零常数 c. n?c

17. (1) {an } 为等差数列,∵a3 ? a4 ? a2 ? a5 ? 22,又 a3 ? a4 ? 117,
2 ∴ a3 , a4 是方程 x ? 22 x ? 117 ? 0 的两个根

又公差 d ? 0 ,∴a3 ? a4 ,∴a3 ? 9 , a4 ? 13

?a1 ? 1 ∴an ? 4n ? 3 , ?d ? 4 n(n ? 1) ? 4 ? 2n 2 ? n , (2)由(1)知, S n ? n ? 1 ? 2 Sn 2n 2 ? n b ? ? ∴ n n?c n?c 1 6 15 ∴b1 ? , b2 ? , b3 ? , 1? c 2?c 3?c 2 ∵{bn } 是等差数列,∴2b2 ? b1 ? b3 ,∴2c ? c ? 0 , 1 ∴c ? ? ( c ? 0 舍去) ,再验证成立 2
∴ ? ∴?
7

? a1 ? 2d ? 9 ?a1 ? 3d ? 13

18、已知数列 {an } 满足 a1 ? (1)求证:数列 {

a 2a ? 1 1 ,且当 n ? 1 , n ? N * 时,有 n ?1 ? n ?1 , an 1 ? 2 an 5

1 } 为等差数列; an

(2)试问 a1 ? a2 是否是数列 {an } 中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由。 a 2a ? 1 18.(1)证明:? 当 n ? 1 , n ? N * 时, n ?1 ? n ?1 ,? an?1 ? 2an an?1 ? 2an an?1 ? an ,又 an 1 ? 2 an

? an ? 0 ,?
(2)? a1 ? 又? a1 a 2 ?

1 1 1 ? ? 4 ,? 数列 { } 为等差数列; an a n a n ?1

1 1 1 1 ,? ? a 2 ? ,? , ? 5 ? 4(n ? 1) ? 4n ? 1 ,? a n ? 9 4n ? 1 5 an 1 1 1 ? ,若 ,得 n=11,所以 a1a2 是数列 {an } 的 第 11 项。 45 45 4n ? 1
?

19.某个公园有个池塘,其形状为直角三角形 ABC, ?C ? 90 , AB ? 200米,BC=100 米; (1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在 AB,BC,CA 上取点 D,E,F,使得 EF∥ AB,EF⊥ED,在△ DEF 内喂鱼,求△ DEF 面积的最大值; (2)现在准备新建造一个荷塘,分别在 AB,BC,CA 上取点 D,E,F,建造△ DEF 走廊 (不考虑宽度)供游客休息,且使得△ DEF 为正三角形,求△ DEF 边长的最小值。
? 19.(1)解:在直角三角形 ABC, ?C ? 90 , AB ? 200米,BC=100 米;? A ? 30? ,? EF∥

AB,EF⊥ED,

? ∠CFE=30°,设 EF=x,0<x<200,? CE=

x x ,? BE=100- ,? EF⊥ED, 2 2

?

EF ⊥ AB,

? DE=

1 3 3 x x(200 ? x) ,当 x=100 时, (100 ? ) , ? S ?ABC ? EF ? ED ? 2 8 2 2

S MAX ? 1250 3 ;
(2)设边长为 a, ∠BFE= ? , ? ? (0,

?
2

) ,? BE=asin ? ,EC=100- asin ? ,∠DEC=

?
6

?? ,

∠EDC=

?
2

? ? ,在三角形 DEC 中,

a sin

?
3

?

100 ? a sin ? sin(

?
2

??)

,? a ?

50 3 cos? ? 3 sin ? 2

? a 的最小值为

100 3 。 7

20.已知数列 ?an ? 满足 a2 ? 3a1 , S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且有

S n?1 ? S n ? S n?1 ? 3n 2 ? 2(n ? 2, n ? N * )
(1)若数列 ?an ? 为等差数列,求通项 an ;

8

(2)若任意 n ? N * , an ? an?1 恒成立,求 a1 的取值范围。 解: ( 1 ) ? S n?1 ? S n ? S n?1 ? 3n 2 ? 2(n ? 2, n ? N * ) , ? S 3 ? S 2 ? S1 ? 14 , 即

a3 ? 2a2 ? 3a1 ? 14,又? a2 ? 3a1 ,? a3 ? 14 ? 9a1

? 2a2 ? a1 ? a3 , ? d ? a2 ? a1 ? 2 , ? an ? 2n ? 1 解得 a1 =1, ? 数列 ?an ? 为等差数列,
(2)? S n?1 ? S n ? S n?1 ? 3n 2 ? 2(n ? 2, n ? N * ) ,

? Sn?2 ? S n?1 ? S n ? 3(n ? 1) 2 ? 2(n ? 2, n ? N * )
两式作差得 an?2 ? an?1 ? an ? 6n ? 3(n ? 2, n ? N * ) 所以 an?3 ? an ? 6(n ? 2, n ? N * )

?a1 , n ? 1 ? ? ?2n ? 3a1 ? 4, n ? 3k ? 1, k ? N 可求得 a n ? ? ? ?2n ? 9a1 ? 8, n ? 3k , k ? N ?2n ? 6a ? 7, n ? 3k ? 1, k ? N ? 1 ?
若任意 n ? N * , an ? an?1 恒成立,所以 a1 ? a 2 且 a3k ?1 < a 3k < a3k ?1 < a3k ? 2

?a1 ? 3a1 ?3a ? 6 ? ?9a ? 8 13 7 1 1 ? a1 ? ?? ,解得 ? 15 6 ?? 9a1 ? 8 ? 6a1 ? 5 ? ?6a1 ? 5 ? 3a1 13 7 ? a1 ? 所以 a1 的取值范围为 15 6

9


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