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高二下数学竞赛试题


高二下数学竞赛试题
班级_______________姓名_____________学号_____ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题只有一项是对的. 1.已知命题 p :函数 y ? sin 4 x 是最小正周期为

q :函数 y ? tan x 在 ( , ?) 上单调递减,则下列命题为真命题的是 2
A.

p ? q B. (?p) ? q C. (?p) ? (?q ) D. (?p) ? (?q)

?

? 的周期函数,命题 2

2.某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,得下表数据: x y 6 2 8 3 10 5 12 6
?

? ?a ? ? bx ? 中的 b 的 根据上表提供的数据, 用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y
? ?a ? ? bx ? 中, a ? y ?b x, 值为 0.7 , 则记忆力为 14 的同学的判断力约为 (附: 线性回归方程 y
其中 x , y 为样本平均值) A.7 B. 7.5 C.8 D. 8.5 )
? ?

3. 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S2 ? 4 , S4 ? 20 ,则该数列的公差 d ? ( A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 )

4. 已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的准线与圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16 相切,则 p 的值为( A.

1 2

B. 1

C. 2

D. 4

5. 若向量 a ? (cos? ,sin ? ) , b ? ( 3, ?1) ,则 2a ? b 的最大值为( A. 4 B. 2 2 C. 2

) D.

2

? 和直线 m ,给出条件:① m // ? ; 6. 已知平面 ? 、 ②m ?? ; ③ m ?? ; ④? ? ? ; ⑤ ? // ? .
由这五个条件中的两个同时成立能推导出 m // ? 的是( A.①④ 7. 若 f ( x) ? cos( x ? B.①⑤ C.②⑤ ) D.③⑤

?
4

) ,则
B. f (?1) ? f (1) ? f (0) D. f (1) ? f (0) ? f (?1)

A. f (?1) ? f (0) ? f (1) C. f (1) ? f (?1) ? f (0)

1

8.双曲线

的焦点到渐近线的距离为( B. C.1

) D.3

A.2

?y ? 0 ? 9. 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ,则 z ? 3x ? 5 y 的取值范围是( ?x ? 4 y ? 3 ?
A. ? ??,9? B. ?3, ?? ? C. ? ?8,9?

)

D. ? ?8,3?

10. 对任意实数 x, y ,定义运算 x ? y ? ax ? by ? cxy ,其中 a, b, c 是常数,等式右边的运算是 通常的加法和乘法运算.已知 1 ? 2 ? 3 , 2 ? 3 ? 4 ,并且有一个非零常数 m ,使得 ?x ? R , 都有 x ? m ? x ,则 3 ? 4 的值是 A. ?4 B. 4 C. ?3 D. 3

二、填空题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分 11. 执行如图 1 的程序框图,输出的 S ? .

12. 已知 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , 且c ?

2,b ? 6,B ? 120? ,则 ?ABC 的面积等于________.
. .

13. 一个三棱锥的正视图和侧视 图及其尺寸如图 2 所示(均为 直角三角形),则该三棱锥的俯视图的面积为
2 2

14.过点(2,1)作圆 ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 4 的弦,其中最短的弦长为 15. 在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7 ? _____. 16.不等式 | 2 x ? 1|? 2 的解集为 .
3

17.已知函数 y ? f ( x) ? x3 为偶函数,且 f (10) ? 10, 若函数 g ( x) ? f ( x) ? 4 ,则 g (?10) = .

2 正视图 图2

1 侧视图

18.已知 19.在等比数列 中, 的前 5 项和等于 20. 已 知 时,

,则 ,若 为等差数列,且 , 则数列

是 周 期 为
5 ), f ( ? ) ? 2

2 .

的 奇 函 数 , 当

2

三.解答题:本大题共 2 小题,每小题 25 分,满分 50 分.解答须写出文字说明、证明过 程和演算步骤. 21.(本题满分 25 分)设数 ?an ? 满足: a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ? n ? an (n ? N ? ) . (1)求证:数列 ?an ? 1 ? 是等比数列; (2)若 bn ? (2 ? n)(an ? 1) , 且对任意的正整数 n, 都有 bn ?

1 t ? t 2 ,求实数 t 的取值范围。 4

3

22.(本题满分 25 分) 已知函数 f ( x) 满足如下条件:当 x ? (?1, 1] 时, f ( x) ? ln(x ? 1) ,且 对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? 2 f ( x) ? 1 . (1)求函数 f ( x) 的图象在点 (0 , f (0)) 处的切线方程; (2)求当 x ? (2k ? 1 , 2k ? 1] , k ? N * 时,函数 f ( x) 的解析式; (3)是否存在 xk ? (2k ?1 , 2k ? 1] , k ? 0 , 1, 2, ?, 2011,使得等式
2011 k ?0

? [2 x
k

k

? f ( xk )] ? 4019? 22012 ? 2017成立?若存在就求出 xk

1, 2, ?, 2011) ( k ? 0, ,若不存在,说明理由.

4

高二下数学竞赛试题答案
1 D 2 B B 3 4 C 5 A 6 D 7 A 8 C 9 C 10 D

11.

25 3 ; 12、 ; 24 2

13、1;

14、 2 2 ;

15、20;

16、 ? ?

? 3 1? , ?; ? 2 2?

17、2014; 18、 ?

3;

19、10;

20、 ?

1 2

2 2.【解析】解: (1) x ? (?1, 1] 时, f ( x) ? ln(x ? 1) ,

f ?( x) ?

1 , x ?1

所以,函数 f ( x) 的图象在点 (0 , f (0)) 处的切线方程为

y ? f (0) ? f ?(0)(x ? 0) ,即 y ? x .
(2)因为 f ( x ? 2) ? 2 f ( x) ? 1 ,
5

所以,当 x ? (2k ? 1 , 2k ? 1] , k ? N * 时, x ? 2k ? (?1 , 1] ,

f ( x) ? 2 f ( x ? 2) ? 1 ? 22 f ( x ? 4) ? 2 ? 1 ? 23 f ( x ? 6) ? 22 ? 2 ? 1

? ? ? 2k f ( x ? 2k ) ? 2k ?1 ? 2k ?2 ? ? ? 2 ? 1 ? 2k ln(x ? 2k ? 1) ? 2k ? 1 . 8 分
(3)考虑函数 g ( x) ? 2k x ? f ( x) , x ? (2k ? 1 , 2k ? 1] , k ? N , 则 g ?( x) ? 2 ?
k

2k 2 k ( x ? 2k ) ? , x ? 2k ? 1 x ? 2k ? 1

当 2k ? 1 ? x ? 2k 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减; 当 x ? 2k 时, g ?( x) ? 0 ; 当 2k ? x ? 2k ? 1 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增; 所以,当 x ? (2k ? 1, 2k ? 1] , k ? N 时, g ( x) ? g (2k ) ? (2k ? 1)2k ? 1 , 当且仅当 x ? 2k 时, g ( x) ? g (2k ) ? (2k ? 1)2k ? 1 .
2011

所以,
n

?[2k xk ? f ( xk )] ? ? g ( xk ) ? ?[(2k ? 1)2k ? 1]
k ?0 k ?0 k ?0 k

2011

2011



?[(2k ? 1)2
k ?0

? 1] ? 1 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? (2n ? 1)2n ? n ,

令 Sn ? 1? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? (2n ? 1)2n ,则 2Sn ? 1? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (2n ? 1)2n ?1 , 两式相减得, ? Sn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? 2 ? 2n ? (2n ? 1)2n ?1

? 1 ? 21 ?

2 ? 22 (2n ?1 ? 1) ? (2n ? 1)2n ?1 ? ?(2n ? 3)2n ?1 ? 6 . 2 ?1

所以, Sn ? (2n ? 3)2n ?1 ? 6 ,
2011



?[(2k ? 1)2
k ?0 2011

k

? 1] ? S 2011 ? 2011? 4019? 2 2012 ? 2017.
2011 k ?0 2011 k ?0

所以,

?[2 x
k k ?0

k

? f ( xk )] ? ? g ( xk ) ? ?[(2k ? 1)2k ? 1 ? 4019? 2n ?1 ? 2017.

当且仅当 xk ? 2k , k ? 0, 1, 2, ?, 2011时,

6

2011 k ?0

?[2k xk ? f ( xk )] ? ? g ( xk ) ? ?[(2k ? 1)2k ? 1 ? 4019? 2n ?1 ? 2017.
k ?0 k ?0

2011

2011

所以,存在唯一一组实数 xk ? 2k , k ? 0 , 1 , 2 , ? , 2011 ,
2011

使得等式

?[ 2 x
k k ?0

k

? f ( xk )] ? 4019? 2n ?1 ? 2017成立.

7


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