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指数函数及其性质


2015年 10月16 日

2.1.2

指数函数及其性质
第1课时

清远市第二中学 高一数学组 李凤燕 备课组长 胡水平

学习目标:
1、理解指数函数的概念,会判断一个函数是否 为指数函数 2、根据图象理解和掌握指数函数的性质 3、体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的 思想

问题引入
将一张白纸连续对折,你知道对折15 次后,纸有多高吗,有姚明高吗?

解:对折次数 1 2 3

层数 2 2×2=22 2 ×2=2 …
2 3

15

214 ×2=215 (如10张纸的厚度是1毫米的话,大约 3.2米多)



214 ×2=215

问题引入
将一页白纸连续对折,你知道对折15 次后,纸有多高?有姚明高吗? (1)对折 x 次后,纸的层数y与对折次数x 有怎样的关系?

解:对折次数 1 2 3

层数 2 2×2=22 2 ×2=2 …
2 3

15

… x

214 ×2=215

2x-1 ×2=2x



(1)

y=2

x

x? N*

问题引入
将一页白纸连续对折,你知道对折15 次后,纸有多高吗?有姚明高吗? (1)对折 x 次后,纸的层数y与对折次数x 有怎样的关系? y ? 2x , x ? N * (2)设这页纸的面积单位为1,则对折后 每页纸的面积 y 与对折次数x的关系又是 怎样的?

解:对折次数 1
2

每页面积
1 1 ( 2) 1 2 ( 2) 1 3 ( 2)

3

15

?1? ? ? ?2?
?1? * y ? ? ? , x?N ?2?
x

x

1 x ( 2)



15

两个关系式是函数吗?它们的共同特征是什么?

y?2

x x

它们都是函数

?1? y?? ? ?2?
x

ax

形如 y ? a (a?0,且a ?1)的函数叫做指数 函数.其中x是自变量,函数的定义域是R

新知讲授
1、指数函数的定义:

一般地,函数 y = ax(a?0,且a ?1)叫 做指数函数,其中x是自变量 .函数的定 义域是R .

观察指数函数的特点:

y ? 1? a

x

指数是x, x的取 值范围是R

? 4 ? y ? ? ?4 ? x ? 7? y ? x

?1? y ? 2 ? 4
?x

系数为1 底数a是常数(a>0且a ?1) 练习:判断下列函数是否是指数函数?
x
x

? 2? y ? x x ?5? y ? ?

4

?3? y ? ?4
?6? y ? 4
x2

x

? 9? y ? 2

1 ?8? y ? ? 2a ? 1? (a ? 2 且a ? 1)
x

例1:已知指数函数 f ? x ? ? a (a>0,且a≠1) 的图象经过点 (3, ? ) ,求 f ? 0? , f ?1? , f ? ?3? 的值.
x

1 (2, ) ,其中a?0,且a?1,求 f ? 0 ? 2

练习: x?1 已知函数 f ? x ? ? a ( x ? 0) 的图象经过点

质探 究 函 数 的 图 象 及 性

用描点法作函数 y ? 2x 和y ? 3x的图象 .
x
y=2x y=3x




-3
1/8

-2
1/4 1/9

-1
? 1/3
x

0
1 1

1
2 3
x

2
4 9

3
8 27


… …

… 1/27

yy ? 3

y?2

1
-3 -2 -1

o

1

2

3

x

质探 究 函 数 的 图 象 及 性

1 x 1 x 用描点法作函数 y ? ( ) 和y ? ( ) 的图象 . 2 3
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …

y=2-x
y=3-x



8

4

2

1
1

1/2
1/3

1/4
1/9

1/8
1/27




… 27
1 y ? ( )x 2

9 3 1 y ? ( )x 3

y

y=1
O

x

1 y ? ( )x 2

1 y ? ( )x 3

y=3X

y

y = 2x

当底数a
y=1

(a ? 0且a ? 1)

O

x

取任意值时,指数 函数图象是什么样?

观察图象,回答下列问题:
1、图象分别在哪几个象限? 一、二象限 2、图象的上升、下降与底数a有联系吗?
a>1,图象上升

0<a<1,图象下降

3、图象中有哪些特殊的点?(0,1) 1 x y ? ( )x 4、函数 y ? 3 与 图象有什么关系 ? 关于y轴对称 3

指数函数 y ? a (a?0,且a ?1)的图象及性质
x

a>1
图 象
y=1 0 当 x > 0 时,y > 1.
当 x < 0 时, 0< y < 1.

0<a<1
y=ax
(a>1)

y

y=ax
(0<a<1)

y
(0,1)

y=1
x

(0,1)

x

当 x < 0 时,y > 1;

0

性 质

( 0,+ ∞ ) 值 域 : 恒过点: ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
在R上是单调: 增函数 在R上是单调: 减函数

> 0 时, 0< y < 1. 定 义 域 :当 x R

利用单调性比较两个数的大小
例2 、比较下列各题中两个值的大小:
(1 ) 1.7
2.5
?2.7

<

.

1.7

3

(2)0.8

?0.1

.

0.3 ?1? 3 ( 4 ) . 1.7 (3) . 2 ? ? ?2? 解:(1)因为f(x)=1.7x在R上是增函数,

0.8 3.1 0.9
y

?0.2

y=1.7x

且2.5 < 3, 所以1.7 2.5< 1.73。

1

0

2.5 3

x

利用单调性比较两个数的大小
例2 、比较下列各题中两个值的大小:
(1 ) 1.7
2.5
?2.7

0.3 ?1? 3 ( 4 ) . 1.7 (3) . 2 ? ? ?2? 解:(1)因为f(x)=0.8x在R上是减函数,

< <

.

1.7

3

(2)0.8

?0.1

< >

.

0.8 3.1 0.9
y

?0.2

且-0.1 > -0.2, 所以0.8 -0.1< 0.8-0.2。

y=0.8x
1

-0.2 -0.1 0

x

利用单调性比较两个数的大小
例2 、比较下列各题中两个值的大小:
(1 ) 1.7
2.5
?2.7

?1? (3) ? ? ?2?

< <

. .

1.7
2
3

3

(2)0.8

?0.1

(4)1.7 0.3

< >

. .

0.8 3.1 0.9

?0.2

小结:利用指数函数单调性比大小的方法 : 1、构造函数的方法: 数的特征是同底数不 同指数(包括可转化为同底的) 2.、搭桥比较法: 用特殊的数1或0.

练习:比较下列各题中两个值的大小
(1)3 ____ > 3
1.5 0.7 0.1

(2)0.7

?0.1 ? 2 3

____ > 0.7

5 (3)( ) ____1 > 6 0.1 0.3 (4)1.4 ____ > 0.9

课堂小结:
1、指数函数的定义: 一般地,函数 y = ax(a?0,且a ?1)叫做指 数函数,其中x是自变量 .函数的定义域是R . 2、指数函数的图象与性质

指数函数 y ? a (a?0,且a ?1)的图象及性质
x

a>1
图 象
y=1 0 当 x > 0 时,y > 1.
当 x < 0 时, 0< y < 1.

0<a<1
y=ax
(a>1)

y

y=ax
(0<a<1)

y
(0,1)

y=1
x

(0,1)

x

当 x < 0 时,y > 1;

0

性 质

( 0,+ ∞ ) 值 域 : 恒过点: ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
在R上是单调: 增函数 在R上是单调: 减函数

> 0 时, 0< y < 1. 定 义 域 :当 x R

作业:P59 5,7 思考: 1、P60 1 x 2、底数a对指数函数 y ? a 的图象有什么 变化?

谢 谢!


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