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2014年高中数学必修4知识点总结


2014 年高中数学必修 4 知识点总结
?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象 限,则称 ? 为第几象限角.

? ? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90 ? k ?

360 ? 180 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ?? 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
第一象限角的集合为 ? k ? 360? ? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

4、已知 ? 是第几象限角,确定

?

份,再从 x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来 ? 是第几象限对应的标号即为 终边所落在的区域. n 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. l 6、 半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l , 则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? . r 7、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360? , 1? ?

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等 n
*

? 180 ? ? ,1 ? ? ? ? 57.3 . 180 ? ? ?

?

?

8、 若扇形的圆心角为 ? ??为弧度制? , 半径为 r , 弧长为 l , 周长为 C , 面积为 S ,
1 1 则 l ? r ? , C ? 2r ? l , S ? lr ? ? r 2 . 2 2

9、设 ? 是一个任意大小的角,? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? ,它与原点 的距离是 r r ? x2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限 正切为正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? . 12、同角三角函数的基本关系: ?1? sin 2 ? ? cos2 ? ? 1
sin ? sin ? ? 1 ? cos ? , cos ? ? 1 ? sin ? ? ; ? 2 ? cos? ? tan ? ?
2 2 2 2

y P T v O M A x

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

13、三角函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

? 6 ? sin ? ?

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 14、函数 y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数

y ? sin ? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩
短)到原来的
1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不
变) ,得到函数 y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象. 函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长 (缩短) 到原来的 得到函数
y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移
1

?

倍 (纵坐标不变) ,

? 个单 ?

位长度,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所

有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) 得到函数 ,

y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象.
函数 y ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质:
①振幅: ? ;②周期: ? ?

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位:? x ? ? ;⑤初相: ? 2?

?.
函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得
1 1 ? ? ymax ? ymin ? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:

最大值为 ymax ,则 ? ?
函 质 数 y ? sin x



y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R

??1,1?
当 x ? 2 k? ?

??1,1?
? k ???
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

?
2

最 值

时 , ymax ? 1 ; 当
x ? 2 k? ?

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

?
2

? k ??? 时, ymin ? ?1.
2?

既无最大值也无最小 值

? k ??? 时, ymin ? ?1.
2? 周 期 性 奇 奇函数 偶 性 单 ? ?? ? 调 在 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ? 性

?

偶函数

奇函数



?2k? ? ? , 2k? ?? k ???

上 是 增 函 数 ; 在

? ?? ? 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

? k ??? 上是增函数;在 ?2k? ,2k? ? ? ?
? 3? ? ? ?2k? ? 2 , 2k? ? 2 ? ? ?

? k ??? 上是增函数.

? k ??? 上是减函数.

? k ??? 上是减函数.
对 称 中 心 对 称 中 心 对 ? k? ,0?? k ??? 称 对 称 性 ? x ? k? ? ? k ? ? ? 2 对 称 中 心
? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?

?



? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?

对称轴 x ? k? ? k ???

无对称轴

16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b . ⑷运算性质:①交换律: a ?b ? b ?a ;②结合律: a ?b ? c ? a ? b ? c ;③

?

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?

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?

? ? ? ? ? a ?0 ? 0?a ? a .
⑸坐标运算:设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .

C

?

?

? ?

? a
?

? b

?

?

?

? ?

?? ? ? 设 ? 、? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? , ? 则 ??

? ? x1

x2 y1 y2 ,?

?.

? ? ? ? ???? ??? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

19、向量数乘运算: ? ? ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ①

?a ? ? a ;

?

?

②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当

?

?

?

?

? ? ? ? 0 时, ? a ? 0 .
⑵运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b . ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? . 20、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a .

?

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b 设 a ? ? x1, y1 ? , ? ? x2 , y2 ? , 其中 b ? 0 , 则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时, 向量 a 、 b ? 0 b
共线.

?

?

?

?

?

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?

21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面 内的任意向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、?2 ,使 a ? ?1e1 ? ? e2 . (不共线的向量 e1 、e2 作 2 为这一平面内所有向量的一组基底) 22、 分点坐标公式: 设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点,?1 、?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? , 当 ?1? ? ? ??2 时,点 ? 的坐标是 ? 23、平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 .
? ?

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?? ?

?

?

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?? ?

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??? ?

????

? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? , ?. 1? ? ? ? 1? ?

? ?

? ?
?

??

? ?

?

?

a ⑵性质: a 和 b 都是非零向量, 设 则① a ? b ? a ? b ? 0 . ②当 a 与 b 同向时, ? b ? a b ;
2 当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a ? a 或 a ? a ? a .③ a ? b ? a b .

?

?

?

? ?
?2

?

?

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⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 .
2 2 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x ? y ,或 a ?

? ?

? ?

?

?

?? ?
?

?

?

? ?

?

?? ?

? ?

? ?

? ?

?

? ?

?

?2

?

x2 ? y 2 .

设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 . 设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b cos ? ? ? ? ? . 2 2 2 a b x1 ? y 12 x 2? y 2
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;

⑵ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 1 ? tan ? tan ?

⑹ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) . 1 ? tan ? tan ?

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ⑵

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?
1 ? cos 2? ) . 2



cos 2 ? ?

cos 2? ? 1 2



sin 2 ? ?

⑶ tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?
?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

26、 ? sin ? ? ? cos ? ?

? . ?

高中数学必修 5 知识点
1、正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ??? C 的外接

a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C 2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; a b c ② sin ? ? , sin ? ? , sin C ? ; 2R 2R 2R ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; a?b?c a b c ? ? ? ④ . sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C 1 1 1 3、三角形面积公式: S ???C ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2
圆的半径,则有 4、余弦定理:在 ??? C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? , b ? a ? c ? 2ac cos ? ,
2 2 2 2 2 2

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 5、余弦定理的推论: cos ? ? , cos ? ? , cos C ? . 2bc 2ab 2ac

6、设 a 、 b 、 c 是 ??? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:①若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;
2 2 2

?

②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 .
2 2 2

?

2

2

2

?

7、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 8、数列的项:数列中的每一个数. 9、有穷数列:项数有限的数列. 10、无穷数列:项数无限的数列. 11、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 12、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. 13、常数列:各项相等的数列. 14、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 15、数列的通项公式:表示数列 ?an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 16、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系的公式. 17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为 等差数列,这个常数称为等差数列的公差. 18、由三个数 a , ? , b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 ? 称为 a 与 b 的 等差中项.若 b ? 19、若等差数列

a?c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 2
1

?an ? 的首项是 a ,公差是 d ,则 a

n

? a1 ? ? n ?1? d .

20、通项公式的变形:① an

? am ? ? n ? m? d ;② a1 ? an ? ? n ?1? d ;③ d ?


an ? a1 n ?1



④n ?

an ? am an ? a1 ? 1 ;⑤ d ? n?m d

* 21、若 ?an ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 am ? an * 若 ?an ? 是等差数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 2an

? ap ? aq ;

? ap ? aq .

22、等差数列的前 n 项和的公式:① Sn ?

n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? d. ;② Sn ? na1 ? 2 2

* 23、等差数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ? ? ,则 S2n

?

?

? n ? an ? an?1 ? ,且

S偶 ? S奇 ? nd ,

S奇 a ? n S偶 an?1



* ②若项数为 2n ? 1 n ? ? ,则 S2n?1 ? ? 2n ?1? an ,且 S奇 ? S偶 ? an ,

?

?

S奇 n (其中 ? S偶 n ? 1

. S奇 ? nan , S偶 ? ? n ?1? an ) 24、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为 等比数列,这个常数称为等比数列的公比. 25、 a 与 b 中间插入一个数 G , a ,G ,b 成等比数列, G 称为 a 与 b 的等比中项. 在 使 则 若

G 2 ? ab ,则称 G 为 a 与 b 的等比中项.
26、若等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1q n?1 . 27、通项公式的变形:① an

? amqn?m ;② a1 ? an q?? n?1? ;③ q n ?1

?

an ;④ a1

q n?m ?

an am



28、若 ?an ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 am ? an ? a p ? aq ; 若 ?an ? 是等比数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 an
2

? ap ? aq .

?na1 ? q ? 1? ? 29、等比数列 ?an ? 的前 n 项和的公式: Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q . ? 1 n ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q
* 30、等比数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ? ? ,则

?

?

S偶 S奇

?q.

② Sn? m

? Sn ? qn ? Sm .

③ Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n 成等比数列. 31、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 32、 不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ; a ? b, b ? c ? a ? c ; a ? b ? a ? c ? b ? c ; ② ③ ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ;
n n ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑦ a ? b ? 0 ? a ? b ? n ??, n ? 1? ;

⑧ a ? b ? 0 ? n a ? n b ? n ? ?, n ? 1? . 33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式.

34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系: 判别式 ? ? b ? 4ac
2

??0

??0

??0

二次函数 y ? ax2 ? bx ? c

? a ? 0? 的图象
有两个相异实数根 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0
2

x1,2 ?

? a ? 0? 的根
ax2 ? bx ? c ? 0
一元二次 不等式的 解集

?b ? ? 2a

有两个相等实数根

x1 ? x2 ? ?

? x1 ? x2 ?

b 2a

没有实数根

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? a ? 0?
ax2 ? bx ? c ? 0

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

? a ? 0?

?x x

1

? x ? x2 ?

?

?

35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式. 36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组. 37、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成有序数对

? x, y ? ,所有这样的有序数对 ? x, y ? 构成的集合.
38、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 ,坐标平面内的点 ? ? x0 , y0 ? . ①若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的上方. ②若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的下方. 39、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 .

y ? ①若 ? ? 0 , ?x?? ? C 则

0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域;?x ? ?y ? C ? 0 表

示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域.

y ? ②若 ? ? 0 , ?x?? ? C 则

0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域;?x ? ?y ? C ? 0 表

示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域.

40、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条 件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式. 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解 ? x, y ? . 可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 41、设 a 、 b 是两个正数,则 几何平均数. 42、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即 43、常用的基本不等式:① a ? b ? 2ab ? a, b ? R ? ;② ab ?
2 2
2 2

a?b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的 2 a?b ? ab . 2

a 2 ? b2 ? a, b ? R ? ; 2

a 2 ? b2 ? a ? b ? ? a?b ? ③ ab ? ? ?? ? a ? 0, b ? 0? ;④ ? ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ? ? 2 ?
44、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有 ⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值

s2 . 4

⑵若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p .


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