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15、一元二次方程根的判别式和韦达定理


15、一元二次方程根的判别式与韦达定理 、 A 夯实基础 1、已知方程 2 x + kx + 6 = 0 的一个根是 x1 = 2 ,则方程的另一个根 x2 =
2

,k =

2、已知关于 x 的方程 k 2 x 2 + (2k ? 1) x + 1 = 0 有两个不相等的实数根 x1 , x2 ,求实数 k 的取 值范围.

3、求作一个一元二次方程,使它的两个根是方程 2 x ? 3 x ? 1 = 0 的各个根的 2 倍.
2

4 、 若 关 于 x 的 方 程 x 2 ? 2( m ? 1) + m 2 ? 3 = 0 的 两 实 数 根 为 x1 , x2 , 且

( x1 + x2 ) 2 ? ( x1 + x2 ) ? 12 = 0 ,求实数 m 的值.

5、已知方程 2 y 2 + (m 2 ? 2m ? 15) y + m = 0 的两个根互为相反数,求实数 m 的值.

6、若方程 x ? x ? 1 = 0 的两个根为 x1 , x2 ,求 x1 ? x2 的值.
2

7、已知关于 x 的一元二次方程 x 2 ? kx + 5( k ? 5) = 0 是两个根 x1 , x2 异号,且满足

2 x1 + x2 = 7, 求实数 k 的值.

8、已知关于 x 的方程 x ? 2k + 4 x + k = 0 有着两个不等的实数根,求实数 k 的取值范围.
2

9、已知关于 x 的方程 ( a ? c ) x ? 2bx + ( a ? c) = 0 ,这里 a, b, c 是 ?ABC 的三边长.请判断
2

方程的根的情况.

10、关于 x 的方程 x 2 + (2 ? k ) x + k ? 2 = 0 的两实数根为 x1 , x2 ,是否存在常数 k 使

x1 x2 3 + = 成立?若存在,求实数 k 的值;若不存在,请说明理由. x2 x1 2

B 走向名校 11、 (2005 年天津市中考题)若关于 x 的一元二次方程 2x2-2x+3m-1=0 的两个实数根 x1,x2,且 x1·x2>x1+x2-4,则实数 m 的取值范围是 (A)m> ? (C) m< ?

5 3

(B) m≤ (D) ?
2

1 2

5 3
2

5 1 <m≤ 3 2
2

12、三个方程 x ? 4 x + 2a ? 3 = 0 , x ? 6 x + 3a + 12 = 0 , x + 3 x ? a + 一个方程有实数解,求实数 a 的取值范围.

25 = 0 中至少有 4

13、 (2005 年灵武市中考题)已知实数 a, b 满足 a 2 ? 3a + 1 = 0, b 2 ? 3b + 1 = 0, 则 值为 .

b a + 的 a b

14、 (2004 年呼和浩特市中考题)已知 b, c 为互不相等的实数,且满足关系式

b 2 + c 2 = 2a 2 + 16a + 14 与 bc = a 2 ? 4a ? 5 ,求实数 a 的取值范围.

15、 (2003 年呼和浩特市中考题)已知方程 ( x ? 1)( x ? 2) = k 2 ,其中 k 为实数,且 k ≠ 0 , 不解方程求证: (1)这个方程有两个不相等的实数根; (2)方程的一个根大于 1,另一个根小于 1.

16、 (2005 年包头市中考题)关于 x 的一元二次方程 2 x + 4 x + m = 0 .
2

(1)已知 x = 1 是方程的一个根,求方程的另一个根; (2)若 x1 , x2 是方程的两个不同的实数根,且满足 x1 + x2 + 2 x1 x2 ? x1 x2 = 0 ,求 m 的值.
2 2 2 2

17、 (2005 年黑龙江省中考题)若关于 x 的一元二次方程 x 2 + (4m + 1) x + 2m ? 1 = 0 . (1)求证:不论 m 为任何实数,方程有两个不相等的实数根; (2)是否存在实数 m ,使方程的两个实数根的倒数和为-3?若存在,求 m 的值; 若不存在, 请说明理由.

18(2004 年沈阳市中考题)阅读下列解题过程: 题目:已知方程 x +3x+1=0 的两个根为 α、β,求 解:∵∵=3 ﹣4×1×1=5>0
2 2

的值.

∴α≠β(1) 由一元二次方程的根与系数的关系,得 α+β=﹣3,αβ=1(2) ∴ = + = = =﹣3(3)

阅读后回答问题: 上面的解题过程是否正确若不正确,指出错在哪一步,并写出正确的解题过程.

19、讨论关于 x 的方程 (m ? 2) x 2 + (2m ? 1) x + m ? 2 = 0 的根的情况.

20、已知斜边为 10 的直角三角形的两直角边 a, b 是方程 x ? mx + 3m + 6 = 0 的两个根,求
2

m 的值.

C 冲击金牌 21、关于 x 的一元二次方程 mx 2 ? 2( m ? 1) x ? 4 = 0( m ≠ 0) 的两个根,其中一个比 1 大,一 个比 1 小,则实数 m 的取值范围为 .
2

22、已知实数 a, b 满足 2a 2 ? 8a + 3 = 0,3b 2 ? 8b + 2 = 0 ,且 ab ≠ 1 ,求 a +

1 的值. b2

23、已知 a, b 是方程 x 2 + ( m ? 2) x + 1 = 0 的两个根,试求 (1 + ma + a 2 )(1 + mb + b 2 ) 的值.

24、已知 α , β 是方程 x ? x ? 1 = 0 的两个实数根,求 α + 2 β ? 1 的值.
2

3

25、已知实数 x, y , z 满足 x = 6 ? y, z = xy ? 9 ,求证: x = y
2


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