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福建省武平县第一中学2015届高三下学期高考模拟考试数学(理)试题 Word版含答案


2015 高三数学模拟试卷(理)
一、选择题(50 分) 1.设错误!未找到引用源。为虚数单位,则复数错误!未找到引用源。对应的点 位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知全集错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,则图中阴影部分 表示的集合是( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到 引用源。 C.错误!未找到引用源

。 D.错误! 未找到引用源。 3.函数错误!未找到引用源。的零点个数是( ) A.1 B.0 C.4 D.2 4.命题“若错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。或错误!未找到引 用源。 ”的否命题是 ( ) A.若错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。 B.若错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。 C.若错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。 D.若错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。 5.“|x-1|<2 成立”是“x(x-3)<0 成立”的( ) A.充分不必要条 件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.函数错误!未找到引用源。的单调递减区间为 A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到 引用源。 D.错误!未找到引用源。 7.在等比数列错误!未找到引用源。中,若错误!未找到引用源。 ,错误!未找 到引用源。 ,错误!未找到引用源。的错误!未找到引用源。项和为错误!未 找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 ( ) A.错误!未找到引用源。 B.2 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 8.若将函数错误!未找到引用源。的图象向右平移错误!未找到引用源。个单位, 所得图象关于错误!未找到引用源。轴对称,则错误!未找到引用源。的最小 正值是 A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找 到引用源。 D.错误!未找到引用源。 9.设 F1 、 F2 分别为双曲线
x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的左、右焦点.若在双曲线右支 a 2 b2

上存在点 P ,满足 PF2 ? F 1 的距离等于双曲线的实轴长, 1F 2 ,且 F2 到直线 PF 则双曲线的离心率为( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!

-1-

未找到引用源。 D.2 10.定义一种新运算:错误!未找到引用源。 ,已知函数错误!未找到引用源。 , 若函数错误!未找到引用源。恰有两个零点,则实数错误!未找到引用源。 的取值范围为 ( ) A. (0,1) B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找 到引用源。 D.错误!未找到引用源。 二、填空题(20 分) 11.已知集合 A ? {?2 , ? 1 , 0 , 1 } ,集合错误!未找到引用源。 ,则 A ? B ? _______. 12.某市有大型超市 200 家、中型超市 400 家、小型超市 1400 家.为掌握各类超 市的营业情况,现按分层抽样方法抽取一个容量为 100 的样本,应抽取中型超 市_____家. 13.空间一线段 AB,若其主视图、左视图、俯视图的长度均为错误!未找到引用 源。 ,则线段 AB 的长度为 . 14.如右图是某高三学生进入高中三年来第 1 次至 14 次的数学考试成绩茎叶图, 根据茎叶图计算数据的 中位数是 . 15.关于函数 f(x)=lg 错误!未找到引用源。(x≠0),有下列命题: ①其图象关于 y 轴对称; ②当 x>0 时,f(x)是增函数;当 x<0 时,f(x)是减函数; ③f(x)的最小值是 lg 2; ④f(x)在区间(-1,0)、(2,+∞)上是增函数; ⑤f(x)无最大值,也无最小值. 其中所有正确结论的序号是________ 三、解答题(80 分) 16. (本小题满分 12 分)在 错误!未找到引用源。中,已知错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。. (1)求错误!未找到引用源。与 错误!未找到引用源。的值; (2)若角错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 的对边分别为错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用 源。 ,且错误!未找到引用源。 ,求错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 的值. 17. (本小题满分 12 分)某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试.甲、乙两 人参加了 5 次考试,成绩如下: 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲的成绩 错 误 ! 未 错 误 ! 未 错误!未找 错误!未找 错误!未找 找 到 引 用 找 到 引 用 到引用源。 到引用源。 到引用源。 源。 源。 乙的成绩 错 误 ! 未 错 误 ! 未 错误!未找 错误!未找 错误!未找 找 到 引 用 找 到 引 用 到引用源。 到引用源。 到引用源。 源。 源。 (Ⅰ)若从甲、乙两人中选出 1 人参加比赛,你认为选谁 合适?写出你认为合适 的人选并说明理由;
-2-

(Ⅱ)若同一次考试成绩之差的绝对值不超过错误!未找到引用源。分,则称该 次考试两人“水平相当” .由上述错误!未找到引用源。次摸底考试成绩统计,任 意抽查两次摸底考试,求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率. 18.已知三棱柱错误! 未找到引用源。 中, 侧棱垂直于底面, 错误! 未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,点错误! 未找到引用源。在错误!未找到引用源。上. (Ⅰ) 若错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。中点,求证:错误!未 找到引用源。平面错误!未找到引用源。 ; (Ⅱ)当错误!未找到引用源。时,求二面角错误!未找到引用源。的余弦值

19. (本小题满分 12 分)设点 F1 (?c,0) 、F2 (c,0) 分别是椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 的 2 a

左、右焦点, P 为椭圆 C 上任意一点,且错误!未找到引用源。的最小值为 0 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l1 : y ? kx ? m, l2 : y ? kx ? n(直线 l1 、l2 不重合),若 l1 、l2 均与椭圆 C 相 切,试探究在 x 轴上是否存在定点错误!未找到引用源。,使点错误!未找到引用 源。到 l1 、l2 的距离之积恒为 1?若存在,请求出点错误!未找到引用源。坐标;若不 存在,请说明理由. 20. (本小题满分 13 分)已知函数错误!未找到引用源。 . (Ⅰ)若错误!未找到引用源。 ,求函数错误!未找到引用源。的极值; (Ⅱ)设函数错误!未找到引用源。 ,求函数错误!未找到引用源。的单调区间; (Ⅲ)若存在错误!未找到引用源。 ,使得错误!未找到引用源。成立,求错误! 未找到引用源。 的取值范围.

21.①选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 A ? ?
2? ?1 ?. ? ?1 4 ?

(1)求 A 的逆矩阵 A ?1 ; (2)求矩阵 A 的特征值 ?1 、 ? 2 和对应的一个特征向量 ?1 、 ? 2 ②选修 4—4:坐标系与参数方程

? 2 t ? x ? 3? ? 2 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,在极 2 ?y ? 5 ? t ? ? 2
坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的单位长度,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴
-3-

xyz

为极轴)中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? . (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于 A, B 两点,若点 P 坐标为 (3, 5) ,求 | PA | ? | PB | . ③选修 4—5:不等式选讲 设函数错误!未找到引用源。 。 (Ⅰ)解不等式错误!未找到引用源。 ; (Ⅱ)已知关于 x 的不等式错误!未找到引用源。恒成立,求实数 a 的取值范围。
参考答案

一.ADDBB

CBCBD
20 错误!未找到引用源。 94.5

二 错误!未找到引用源。
①③④

10.由题可知,错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,画出图像如图,当函数错误! 未找到引用源。恰有两个零点,即函数错误!未找到引用源。有两个交点时,实数错误!未 找到引用源。的取值范围为错误!未找到引用源。 ; 16.(1) Q sin( ? A) ? cos A ,? cos A ?

π 2

11 5 3 , 又 Q 0 ? A ? π , ? sin A ? . 14 14
6分

1 π Q cos( π ? B ) ? ? cos B ? ? ,且 0 ? B ? π , ? B ? . 2 3 a b a ? sin B ? ?b ? ? 7, (2)由正弦定理得 sin A sin B sin A

2 2 2 2 另由 b ? a ? c ? 2ac cos B 得 49 ? 25 ? c ? 5c ,解得 c ? 8 或 c ? ?3 (舍去) ,

?b ? 7 , c ? 8 .
17(Ⅰ)答案一: 错误!未找到引用源。 ,从稳定性角度选甲合适. 答案二:错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。乙的成绩波动大,有爆发力, 选乙合适. (Ⅱ)恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共错误!未找到引用源。共错误!未找到引 用源。种情况. 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。次摸底考试成绩统计,任意抽 查两次摸底考试,恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率错误!未找到引用源。 . 18. (Ⅰ) 连结错误!未找到引用源。 ,交错误!未找到引用源。于错误!未找到引用源。 , 连结错误!未找到引用源。 . ∵ 直三棱柱错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。是 错误!未找到引用源。中点, ∴侧面错误!未找到引用源。为矩形,错误!未找到引用源。 为错误!未找到引用源。的中位线∴ 错误!未找到引用源。 . ∵错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 平面错误!未 找到引用源。 ,∴错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 . (Ⅱ)∵ 错误!未找到引用源。 , 由直三棱柱可知,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到 引用源。 , 所以如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 C.

-4-

则错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。错误!未找到引用 源。 . 设错误!未找到引用源。 , ∵点错误!未找到引用源。在线段错误!未找到引用源。上,且错误!未找到引用源。 , 即 错误!未找到引用源。 . ∴错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 . 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引 用源。 ,错误!未找到引用源。 , 平面错误!未找到引用源。的法向量为错误!未找到引用源。 , 设平面错误!未找到引用源。 的法向量为错误!未找到引用源。 , 由 错误!未找到引用源。 , 得错误!未找到引用源。 , 所以错误!未找到引用源。 ,即错 误!未找到引用源。 . 设二面角错误!未找到引用源。的大小为错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 所以二面角错误!未找到引用源。的余弦值为错误!未找到引用源。 . 19. (1)设 P ( x, y ) ,则有 F1 P ? ( x ? c, y ) , F2 P ? ( x ? c, y )

PF1 ? PF2 ? x 2 ? y 2 ? c 2 ?

a2 ?1 2 x ? 1 ? c 2 , x ? ?? a, a ? a2

由错误!未找到引用源。最小值为 0 得 1 ? c 2 ? 0 ? c ? 1 ? a 2 ? 2 , ∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 2
2 2

4分
2

(2)把 l1 的方程代入椭圆方程得 (1 ? 2k ) x ? 4mkx ? 2m ? 2 ? 0 ∵直线 l1 与椭圆 C 相切,∴ ? ? 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 2) ? 0 ,化简得
2 2 2 2

m 2 ? 1 ? 2k 2

同理可得: n 2 ? 1 ? 2k 2 8分

∴ m 2 ? n 2 ,若 m ? n ,则 l1 , l2 重合,不合题意, ∴ m ? ? n ,即 m ? n ? 0

设在 x 轴上存在点错误!未找到引用源。,点错误!未找到引用源。到直线 l1 , l2 的距离之积为 1,则

| kt ? m | | kt ? m | ? ? 1 ,即 | k 2t 2 ? m 2 |? k 2 ? 1 , 2 2 k ?1 k ?1
把 1 ? 2k 2 ? m 2 代入并去绝对值整理, k (t ? 3) ? 2 或者 k (t ? 1) ? 0
2 2 2 2

前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的 k ? R 恒成立 则 t 2 ? 1 ? 0 ,解得 t ? ?1 ; 综 上 所 述 , 满 足 题 意 的 定 点 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 存 在 , 其 坐 标 为 (?1, 0) 或 (1, 0) 13 分

-5-

20. (Ⅰ)错误!未找到引用源。的定义域为错误!未找到引用源。 当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 . 错误!未找到引用源。 ,解得错误!未 找到引用源。.当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。单调递减;当错误!未找 到引用源。时,错误!未找到引用源。单调递增; 所以当错误!未找到引用源。时,函数错误!未找到引用源。取得极小值,极小值为错误! 未找到引用源。 ; ..4 分 (Ⅱ)错误!未找到引用源。 ,其定义域为错误!未找到引用源。 . 又错误!未找到引用源。 . ..6 分 由错误!未找到引用源。可得错误!未找到引用源。 ,在错误!未找到引用源。上错误!未找 到引用源。 ,在错误!未找到引用源。上错误!未找到引用源。 , 所以错误!未找到引用源。的递减区间为错误!未找到引用源。 ;递增区间为错误!未找到引 用源。 . .. 7 分 (Ⅲ)若在错误!未找到引用源。上存在一点错误!未找到引用源。 ,使得错误!未找到引用 源。成立, 即在错误!未找到引用源。上存在一点错误!未找到引用源。 ,使得错误!未找到引用源。 .即 错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上的最小值小于零. 8 分 ①当错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。时,由(II)可知错误!未找到引用源。 在错误!未找到引用源。上单调递减. 故错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上的最小值为错误!未找到引用源。 ,由错 误!未找到引用源。 , 可得错误!未找到引用源。. 因为错误!未找到引用源。 .所以错误!未找到引用源。 ; ②当错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。时, 由(II)可知错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上单调递减,在错误!未找到 引用源。上单调递增. 错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上最小值为错误!未找到引用 源。 . 11 分 因为错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。 . 错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。不满足题意,舍去. 12 分 综 上 所 述 : 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。 . 13 分

?2 ?3 ?1 21.① A ? ? ?1 ? ?6

1? ? ? 3 ? 1 ? 6 ? ?
? ?1
1
?2
? ? 2 ? 5? ? 6 ,
3分

(2)矩阵 A 的特征多项式为 f (? ) ?

? ?4

?2? ?1? 令 f (? ) ? 0 ,得 ?1 ? 2, ?2 ? 3 , 当 ?1 ? 2 时,得 ?1 ? ? ? ,当 ?2 ? 3 时,得 ? 2 ? ? ? . ?1 ? ?1?
②( 1 )圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? ,即 ? ? 2 5? sin ? ;
2

-6-

?? 2 ? x2 ? y 2 ? 2 2 把 ? ? sin ? ? y 代入上式得 x ? y ? 2 5 y ? ? cos ? ? x ?
所以圆 C 的直角坐标方程 x ? ( y ? 5 ) ? 5
2 2

(2)设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 直线 l 的普通方程为: x ? y ? 3 ? 5 , 代入上述圆方程消去 y 得: x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ? 2 所以 | PA | ? | PB | .=
2 2

? x1 ? 3?

2

? y1 ? 5

?

?

2

?

? x2 ? 3?

2

? y2 ? 5

?

?

2

= x1 ? y1 ? 2 5 y1 ? 6 x1 ? 14 ?

2 2 x2 ? y2 ? 2 5 y2 ? 6 x2 ? 14

= 14 ? 6 x1 ? 14 ? 6 x2 ? 14 ? 6 ?1 ? 14 ? 6 ? 2 = 3 2 ③解: (Ⅰ)由题意得:错误!未找到引用源。

2 (?? ,?4) ? ( ,?? ) 3 错误!未找到引用源。所以 f ( x) ? 0 的解集为:
(Ⅱ)因为错误!未找到引用源。

a??
所以错误!未找到引用源。而错误!未找到引用源。 ,即

13 2

-7-


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