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2012届高考一轮复习数学文科 课件(苏教版): 第7章 第二课时 平面的基本性质与空间两直线的位置关系


第二课时平面的基本性质与空间两直线 的位置关系

双基研习·面对高考

基础梳理
1.平面:立体几何中的平面是向四周

无限延展的
2.平面基本性质

名称

图形

文字语言 如果一条直线上的______ 两点 在一个平面内,那么这条

直线上的所有点都在这个 平面内 如果____________的两个 不重合 平面有一个公共点,那么 它们有且只有一条过这个 点的公共直线

符号语言 A∈l,B∈l, A∈α,

公理1

B∈α?l?α
若P∈α,P∈β,

公理2

则α∩β=a,且
P∈α

名称 公理3

图形

文字语言

符号语言

经过不在同一条直线 A、B、C不共线 三点 上的________,有且 ?A、B、C∈平面 只有一个平面 α且α是惟一的 A和a确定一个平 面α a∩b=P?有且只 有一个平面α使 a?α,b?α a∥b?有且只有一 个平面α,使a?α, 经过一条直线和直线 若点A?直线a,则


理 3

推论1

外的一点,有且只有 一个 ________平面


推 论

推论2

相交 经过两条______直线,

有且只有一个平面
平行 经过两条______直线,

推论3

有且只有一个平面

b?α

3.空间两条直线的位置关系 位置关系 公共点的个数 共 面 相交

直线 平行
直线

一个 有且仅有________公共点
在同一个平面内,没有_________ 公共点


线

异面直线 不同在任何一个平面内,没有________ 公共点

4.平行直线

在平面几何中,在同一平面内,如果两条直线都和第 平行 三条直线_________,那么这两条直线也互相平行. 那么,类比到空间中,对于空间的三条直线,平行于
同一条直线的两直线平行,这就是公理4.用符号表示 如下:设a,b,c为直线,a∥b且b∥c,则a∥c.

5.等角定理

如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行且方向 相等 相同,那么这两组直线所成的锐角(或直角)______ . 6.异面直线
(1)定义:所谓异面直线是指不 同在任何一个平面内的两条直线. (2)两条异面直线既不相交又不平行.

(3)判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线 异面直线 ,和平面内不经过该点的直线是__________. 图形语言是如图所示,根据该图形的符号语言是:

已知a?α,A?α,B∈α,B?a?直线AB和a是异面
直线. 7.两条异面直线所成的角

过空间任意一点分别引两个异面直线的平行直 线,那么这两条相交直线所成的锐角(或直角)叫 做这两条异面直线所成的角,若记这个角为θ,
π (0, ] 2 θ的范围为__________.

思考感悟 我们在日常生活中所看到的平面有各种形状,如 三角形、平行四边形、矩形、圆形等,这种说法

是否正确?
提示:平面具有延展性,即它是向外围无限延伸 的,因此,不能说平面具有什么形状,生活中所 说的平面是什么形状,只是指具体事物的形状, 而不是指平面.

课前热身 1.有下面几个说法:

①如果一条线段的中点在一平面内,那么它的两个端
点也在这个平面内;

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
③两组对边分别平行的四边形是平行四边形; ④四边形有三条边在同一平面内,则第四条边也在这 个平面内;

⑤点A在平面α外,点A和平面α内的任意一条直线都

不共面.
其中正确的序号是________.(把你认为正确的序号

都填上)
答案:③④ 2.以下四个命题中,正确命题是________.(填序号) ①不共面的四点中,其中任意三点不共线;

②若点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面,

则A、B、C、D、E共面;
③若直线a、b共面,直线a、c共面,则直线b、c共面


④依次首尾相接的四条线段必共面. 答案:①

3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为

棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:
①直线AM与CC1是相交直线; ②直线AM与BN是平行直线; ③直线BN与MB1是异面直线; ④直线AM与DD1是异面直线.

其中正确的结论为________(注:把你认为正确的结
论的序号都填上). 答案:③④

4.如图所示,正方体ABCD-

A1B1C1D1中,与AD1异面且与AD1所
成角为90°的面对角线(面对角线是

指正方体各个面上的对角线)共有
________条. 答案:1

考点探究·挑战高考

考点突破
证明共面问题

证明共面问题主要包括线共面、点共面两种情况,
其常用方法如下: (1)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、 线在此平面内. (2)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再 证明其余元素确定平面β,最后证明平面α、β重合.

例1 如图,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯

1 形,∠BAD=∠FAB=90° ,BC 綊 AD,BE 綊 2 1 · FA,G、H 分别为 FA、FD 的中点. 2 (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?证明你的结论.

【思路分析】

1 (1) G、H为中点 → GH綊 AD → 2

1 又BC綊 AD → GH綊BC 2

(2)方法一:证明D点在EF、CH确定的平面内. 方法二:延长FE、DC分别与AB交于M,M′,可证M

与M′重合,从而FE与DC相交.

【解】

(1)证明:由已知 FG=GA,

1 FH=HD,可得 GH 綊 AD. 2 1 又 BC 綊 AD,∴GH 綊 BC, 2 ∴四边形 BCHG 为平行四边形.

1 (2)法一:由 BE 綊 AF,G 为 FA 中点知 BE 綊 GF, 2 ∴四边形 BEFG 为平行四边形, ∴EF∥BG. 由(1)知 BG∥CH, ∴EF∥CH, ∴EF 与 CH 共面. 又 D∈FH,∴C、D、F、E 四点共面.

法二:如图,延长 FE、DC 分别与 AB 的延长线交于点 M,M′, 1 ∵BE 綊 AF, 2 ∴B 为 MA 的中点, 1 ∵BC 綊 AD, 2 ∴B 为 M′A 的中点, ∴M 与 M′重合,即 EF 与 CD 相交于点 M(M′), ∴C、D、E、F 四点共面.

【名师点评】

共面问题首先考虑确定平面,确定平

面的条件有:一是不共线三点,二是直线与直线外一
点,三是两相交直线,四是两条相互平行的直线,然

后再证明线、点在平面内.

证明线共点问题 证明共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于 一点,再证交点在第三条直线上,有时也可将问题转

化为证明三点共线.

例2 已知在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,AD

BG DH 的中点,G,H 分别是 BC, CD 上的点,且 = = GC HC 2.求证:直线 EG,FH,AC 相交于一点.

【思路分析】

可以先证EG,FH交于一点,再证AC

也过该点. 【证明】 连结EF和GH.

∵E,F分别是AB,AD的中点,

1 ∴EF 綊 BD. 2 BG DH 1 又 = =2,∴GH 綊 BD. 3 GC HC ∴EF∥GH,且 EF≠GH, ∴四边形 EFHG 是梯形.

设两腰EG,FH相交于一点T.

∵EG?平面ABC,FH?平面ACD,
∴T∈平面ABC,且T∈平面ACD.

又∵平面ABC∩平面ACD=AC,
∴T∈AC,∴直线EG,FH,AC相交于一点T.

【名师点评】 面的交线上.

线共点问题,要用到两平面交线上的

点的特征,即同时在两个相交平面内的点,必在两平

变式训练

如图所示,空间四边形ABCD中,E、F、G分别在AB
、BC、CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,

CG∶GD=3∶1,过E、F、G的平面交AD于H,连结
EH. (1)求AH∶HD; (2)求证:EH、FG、BD三线共点.

AE CF 解:(1)∵ = =2, EB FB ∴EF∥AC,∴EF∥面 ACD. 而 EF?平面 EFGH, 且面 EFGH∩面 ACD=GH, ∴EF∥GH. 而 EF∥AC,∴AC∥GH.

AH CG ∴ = =3,即 AH∶HD=3∶1. HD GD (2)证明:∵EF∥GH, EF 1 GH 1 且 = , = ,∴EF≠GH, 3 AC 4 AC ∴四边形 EFGH 为梯形.

令EH∩FG=P,则P∈EH,而EH?平面ABD, P∈FG,FG?平面BCD,面ABD∩面BCD=BD,

∴P∈BD,∴EH、FG、BD三线共点.

异面直线
1.“不同在任何一个平面内”,指这两条直线不能

确定任何一个平面,因此,异面直线既不相交,也不
平行.

2.不能把异面直线误解为:分别在不同平面内的两
条直线为异面直线.

例3

如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,M

、N分别是A1B1、B1C1的中点.问:
(1)AM和CN是否是异面直线?说明理由;

(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.

【思路分析】

(1)可证得MN∥AC,故AM、CN共面


(2)利用反证法或定理法.

【解】

(1)不是异面直线.

理由:连结MN、A1C1、AC. ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点, ∴MN∥A1C1.

又∵A1A綊C1C,

∴A1ACC1为平行四边形.
∴A1C1∥AC,得到MN∥AC,

∴A、M、N、C在同一平面内,故AM和CN不是异面
直线. (2)是异面直线.证明如下: ∵ABCD-A1B1C1D1是长方体,∴B、C、C1、D1不共 面.

假设D1B与CC1不是异面直线,

则存在平面α,使D1B?平面α,CC1?平面α,
∴D1、B、C、C1∈α,

∴与ABCD-A1B1C1D1是长方体矛盾.
∴假设不成立,即D1B与CC1是异面直线.

【名师点评】

判断两直线异面的方法有两种:(1)根

据定义,结合图形想象判断.(2)反证法:先假设两条
直线不是异面直线,即两直线平行或相交,由假设的

条件出发,经过严密的推理,导出矛盾,从而否定假
设肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经常 用到.

方法感悟 方法技巧

1.图形对于分析空间元素的位置关系,展开想象、
探索解题思路是至关重要的,因此复习时应重视两个 问题:一是画图与识图,即能正确运用实、虚线画出 结构合理的直观示意图,能正确识别空间元素点、线 、面的位置关系.二是要重视改变视角的非常规位置

的画法训练(如倒置或横、竖放置等),借助图形思考
,能正确判定空间图形位置、形状及存在的数量关系

,寻找解题思路或途径.

2.求证三点及三点以上的点共线,主要依据公理2,

只要证明这些点都是两个平面的公共点,那么它们都
在这两个平面的交线上;求证三条直线或三条以上的

直线共点的一般方法:首先证明两条直线交于一点,
再证其余各直线都经过这点.处理好这类问题是解决 高考中立体几何题型的基础.

失误防范

1.平面与平面相交有且只有一条公共直线,不能是
交于一点.

2.理解直线的位置关系,不能只想平面,要想象在
空间中的位置,异面直线是指两直线不能同在任一平 面内.

考向瞭望·把脉高考

考情分析
本节内容涉及平面的基本性质(三条公理及三个 推论),平行的传递性(公理4),空间两直线的位 置关系等内容,属于立体几何的基础性知识, 凡立体几何考题均或多或少涉及本节内容,但 主要考查本节内容的考题不多,本节的考查常 常与几何体如正方体、长方体相结合,涉及到 对空间想象能力的深入考查.

预测2012年江苏高考对本节内容的考查,可能会以综

合性问题的形式出现,但大多为容易题或中档题.由
于本节内容为立体几何的基础,因此所有的立体几何

试题都有本节内容的“影子”,应予以重视.

真题透析


(2010年高考江西卷改编)如图,M

是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中 点,给出下列四个命题: ①过M点有且只有一条直线与直线AB, B1C1都相交;

②过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直


③过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交


④过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行 . 其中真命题是________.

【解析】

对于①,平面ABM与平面B1C1M的交线即

为过点M与AB、B1C1均相交的直线,只有惟一一条
,故①正确;对于②,BB1为AB与B1C1的公垂线,过

点M与BB1平行的直线只有一条即为DD1,故②正确
;对于③,由于过一点与两条异面直线都相交的平面 有无数个,故③错误;对于④,分别取AA1、BB1、 CC1的中点与点M确定的平面即为过点M与AB、B1C1 都平行的平面,只有惟一一个,故④正确.

【答案】

①②④

【名师点评】

空间中点、线、面的位置关系要依据

相关的公理、定理来判断,也可以结合具体的空间图

形来判断,因而要熟悉相关的几何体中点、线、面的
关系.

名师预测 1.已知E、F、G、H是空间中的四个点,设命题甲

:点E、F、G、H不共面;命题乙:直线EF和GH不
相交,那么甲是乙的________条件.

答案:充分不必要
2.已知a、b是两条异面直线,c∥a,那么c与b的位 置关系是________. 答案:异面或相交

3.如图,点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上, 且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一 个图是________.

解析:①中PQ∥RS,②中RS∥PQ,④中RS和PQ相 交. 答案:③


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