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【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第九课


数学

R B(理)

§2.9 函数的应用
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ

基础知识·自主学习
要点梳理
1.几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型 函数模型 一次函数模型 反比例函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型
基础知识

知识回顾 理清教材

函数解析式 f(x)=ax+b (a、b 为常数,a≠0) k f(x)=x+b (k,b 为常数且 k≠0) f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) f(x)=bax+c (a,b,c 为常数,b≠0,a>0 且 a≠1) f(x)=blogax+c (a,b,c 为常数,b≠0,a>0 且 a≠1) f(x)=axn+b (a,b 为常数,a≠0)
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
(2)三种函数模型的性质 函数 性质 在(0,+∞) 上的增减性 增长速度 y=ax(a>1) 单调 递增 越来越快 随 x 的增大 y=logax(a>1) 单调 递增 越来越慢 y=xn(n>0) 单调递增 相对平稳
知识回顾 理清教材

图象的变化 逐渐表现为 现为与 x轴 平行 各有不同 与 y轴 平行 值的比较
基础知识

随 x 的增大逐渐表 随 n 值变化而

存在一个 x0,当 x>x0 时,有 logax<xn<ax
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
2.解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初 步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为 符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)解模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

知识回顾 理清教材

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

以上过程用框图表示如下:

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) × (3) × (4) × (5) √ (6) √

解析

A A D
2ln 2 1 024

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 二次函数模型

【例 1】 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的 抛物线的一段,已知跳水板 AB 长为 2 m,跳水板距水面 CD 的 高 BC 为 3 m,CE=5 m,CF=6 m,为安全和空中姿态优美, 训练时跳水曲线应在离起跳点 h m(h≥1)时达到距水面最大高度 4 m,规定:以 CD 为横轴,CB 为纵轴建立直角坐标系. (1)当 h=1 时,求跳水曲线所在的抛物线方程; (2)若跳水运动员在区域 EF 内入水时才能达 到压水花的训练要求,求达到压水花的训练 要求时 h 的取值范围.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
思维启迪 物线方程;

二次函数模型
(1)可根据抛物线方程的顶点式求跳水曲线所在的抛

(2)利用 x=5,x=6 时函数值的符号求 h 范围.

解 (1)由题意知最高点为 (2+h,4),h≥1,
设抛物线方程为 y=a[x-(2+h)]2+4,

当 h=1 时,最高点为(3,4),方程为 y=a(x-3)2+4,

将 A(2,3)代入,得 3=a(2-3)2+4,解得 a=-1.
∴当 h=1 时,跳水曲线所在的抛物线方程为 y=-(x-3)2+4.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 二次函数模型

(2)将点 A(2,3)代入 y=a[x-(2+h)]2+4 1 2 得 ah =-1,所以 a=-h2.

由题意,得方程 a[x-(2+h)]2+4=0 在区间[5,6]内有一解.

1 令 f(x)=a[x-(2+h)] +4=-h2[x-(2+h)]2+4, 1 则 f(5)=-h2(3-h)2+4≥0,
2

1 4 2 且 f(6)=-h2(4-h) +4≤0. 解得 1≤h≤3.

4 达到压水花的训练要求时 h 的取值范围为[1,3].
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 二次函数模型

思维升华

实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、

产量等),可根据已知条件确定二次函数模型,结合二次 函数的图象、单调性、零点解决,解题中一定注意函数 的定义域.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y=3 000+20x-0.1x2 (0<x<240,x∈N+),若每台产品的售价为 25 万 元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( C ) A.100 台 B.120 台 C.150 台 D.180 台

解析 设利润为 f(x)万元,则
f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)

=0.1x2+5x-3 000 (0<x<240,x∈N+).
令 f(x)≥0,得 x≥150, ∴生产者不亏本时的最低产量是 150 台.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

指数函数模型
诺贝尔奖发放方式为每年一发,把奖金总额平均分成 6

份,奖励给分别在 6 项(物理、化学、文学、经济学、生理学和 医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金 额是基金在该年度所获利息的一半,另一半利息作基金总额, 以便保证奖金数逐年增加.假设基金平均年利率为 r= 6.24%. 资料显示:1999 年诺贝尔奖金发放后基金总额约为 19 800 万美 元.设 f(x)表示第 x(x∈N+)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999 年记为 f(1),2000 年记为 f(2),?,依次类推).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 指数函数模型

(1)用 f(1)表示 f(2)与 f(3),并根据所求结果归纳出函数 f(x)的表 达式; (2)试根据 f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009 年度诺贝尔奖 各项奖金高达 150 万美元”是否为真, 并说明理由. (参考数据: 1.031 29=1.32)

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
思维启迪

指数函数模型
从所给信息中找出关键词, 增长率问题可以建立指数

函数模型.

解 (1)由题意知, 1 f(2)=f(1)(1+6.24%)-2f(1)· 6.24%=f(1)(1+3.12%), 1 f(3)=f(2)(1+6.24%)-2f(2)· 6.24%
=f(2)(1+3.12%)=f(1)(1+3.12%)2,
∴f(x)=19 800(1+3.12%)x
基础知识
-1

(x∈N+).
思想方法 练出高分

题型分类

题型分类·深度剖析
题型二 指数函数模型

(2)2008 年诺贝尔奖发放后基金总额为
f(10)=19 800(1+3.12%)9=26 136,

11 故 2009 年度诺贝尔奖各项奖金为6· 6.24%≈136(万美元), 2f(10)· 与 150 万美元相比少了约 14 万美元,是假新闻.
思维升华 此类增长率问题, 在实际问题中常可以用指数函数模 型 y=N(1+p)x(其中 N 是基础数,p 为增长率,x 为时间)和幂函 数模型 y=a(1+x)n(其中 a 为基础数, x 为增长率, n 为时间)的形 式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格中给定的值 对应求解.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素, 其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯 137 的衰变 过程中,其含量 M(单位:太贝克)与时间 t(单位:年)满足函数关系:M(t) t =M02- ,其中 M0 为 t=0 时铯 137 的含量.已知 t=30 时,铯 137 含 30 量的变化率 是-10ln 2(太贝克/年),则 M(60)等于 ( D ) ... A.5 太贝克 C.150ln 2 太贝克 B.75ln 2 太贝克 D.150 太贝克

t 1 ? 解析 ∵M′(t)=-30M02 30 ln 2, 1 1 ∴M′(30)=-30×2M0ln 2=-10ln 2,∴M0=600.

∴M(t)=600×2
基础知识

?

t 30

,∴M(60)=600×2 2=150(太贝克).


题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 分段函数模型
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 某市居民自来水收费标准如 下:每户每月用水不超过 4 吨时, 每吨为 1.80 元, 当用水超过 4 吨时, 超过部分每吨 3.00 元.某月甲、乙 两户共交水费 y 元,已知甲、乙两 户该月用水量分别为 5x,3x(吨). (1)求 y 关于 x 的函数; (2)若甲、 乙两户该月共交水费 26.4 元,分别求出甲、乙两户该月的用 水量和水费.
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 分段函数模型
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 某市居民自来水收费标准如 下:每户每月用水不超过 4 吨时, 每吨为 1.80 元, 当用水超过 4 吨时, 超过部分每吨 3.00 元.某月甲、乙 两户共交水费 y 元,已知甲、乙两 户该月用水量分别为 5x,3x(吨). (1)求 y 关于 x 的函数; (2)若甲、 乙两户该月共交水费 26.4 元,分别求出甲、乙两户该月的用 水量和水费.
基础知识 题型分类

题中 y 关于 x 的函数为分 段函数关系.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 分段函数模型
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 某市居民自来水收费标准如 下:每户每月用水不超过 4 吨时, 每吨为 1.80 元, 当用水超过 4 吨时, 超过部分每吨 3.00 元.某月甲、乙 两户共交水费 y 元,已知甲、乙两 户该月用水量分别为 5x,3x(吨). (1)求 y 关于 x 的函数; (2)若甲、 乙两户该月共交水费 26.4 元,分别求出甲、乙两户该月的用 水量和水费.
基础知识 题型分类



(1) 当甲的用水量不超过

4 吨时,即 5x≤4,乙的用水 量也不超过 4 吨, y=1.8(5x+3x)=14.4x;

当甲的用水量超过 4 吨时,乙 的用水量不超过 4 吨,即 3x≤4,且 5x>4 时, y=4×1.8+3x×1.8+3(5x-4) =20.4x-4.8.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 分段函数模型
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 某市居民自来水收费标准如 下:每户每月用水不超过 4 吨时, 每吨为 1.80 元, 当用水超过 4 吨时, 超过部分每吨 3.00 元.某月甲、乙 两户共交水费 y 元,已知甲、乙两 户该月用水量分别为 5x,3x(吨). (1)求 y 关于 x 的函数; (2)若甲、 乙两户该月共交水费 26.4 元,分别求出甲、乙两户该月的用 水量和水费.
基础知识 题型分类

当乙的用水量超过 4 吨,即 3x>4 时, y=2× 4× 1.8+3× [(3x-4)+ (5x-4)]=24x-9.6.

所以 y=

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 分段函数模型
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 某市居民自来水收费标准如 下:每户每月用水不超过 4 吨时,

(2)由于 y=f(x)在各段区间上

均单调递增; 每吨为 1.80 元, 当用水超过 4 吨时, 4 4 超过部分每吨 3.00 元.某月甲、乙 当 x∈[0,5]时,y≤f(5)<26.4; 两户共交水费 y 元,已知甲、乙两 当 x∈(4,4]时,y≤f(4)<26.4; 5 3 3 户该月用水量分别为 5x,3x(吨). 4 当 x∈(3,+∞)时,令 (1)求 y 关于 x 的函数;
(2)若甲、 乙两户该月共交水费 26.4 24x-9.6=26.4,解得 x=1.5. 元,分别求出甲、乙两户该月的用 所以甲户用水量为 水量和水费. 5x=5×1.5=7.5 吨;
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 分段函数模型
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 某市居民自来水收费标准如 下:每户每月用水不超过 4 吨时, 每吨为 1.80 元, 当用水超过 4 吨时, 两户共交水费 y 元,已知甲、乙两 户该月用水量分别为 5x,3x(吨). (1)求 y 关于 x 的函数; (2)若甲、 乙两户该月共交水费 26.4 元,分别求出甲、乙两户该月的用 水量和水费.
基础知识 题型分类

付费 S1=4×1.8+3.5×3

超过部分每吨 3.00 元.某月甲、乙 =17.70(元);

乙户用水量为 3x=4.5 吨,

付费 S2=4×1.8+0.5×3 =8.70(元).

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 分段函数模型
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 某市居民自来水收费标准如 下:每户每月用水不超过 4 吨时, 每吨为 1.80 元, 当用水超过 4 吨时, 超过部分每吨 3.00 元.某月甲、乙 两户共交水费 y 元,已知甲、乙两 户该月用水量分别为 5x,3x(吨). (1)求 y 关于 x 的函数;

(1) 分段函数主要是每一段自 变量变化所遵循的规律不同, 可以先将其当作几个问题,将 各段的变化规律分别找出来, 再将其合到一起,要注意各段 自变量的范围, 特别是端点值.

要力求准 (2)若甲、 乙两户该月共交水费 26.4 (2)构造分段函数时, 元,分别求出甲、乙两户该月的用 确、简捷,做到分段合理不重
水量和水费.
基础知识 题型分类

不漏.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 某学校制定奖励条例,对在教育教学中取得优异成绩的 教职工实行奖励,其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对 任课教师进行奖励的.奖励公式为 f(n)=k(n)(n-10),n>10(其中 n 是 任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该 ? ?0 ?100 ? 科省平均分之差,f(n)的单位为元),而 k(n)=?200 ? ?300 ? ?400 ?n≤10?, ?10<n≤15?, ?15<n≤20?, ?20<n≤25?, ?n>25?.

现有甲、乙两位数学任课教师,甲所教的学生高考数学平均分超出省 平均分 18 分, 而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分 21 分. 则 乙所得奖励比甲所得奖励多 A.600 元
基础知识

( C.1 600 元
思想方法

)

B.900 元
题型分类

D.1 700 元
练出高分

题型分类·深度剖析

解析

∵k(18)=200(元),

∴f(18)=200×(18-10)=1 600(元).

又∵k(21)=300(元),∴f(21)=300×(21-10)=3 300(元), ∴f(21)-f(18)=3 300-1 600=1 700(元).故选 D.
答案

D

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列3 函数应用问题

典例:(12 分) 在扶贫活动中,为了尽快脱贫 (无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种 消费品专卖店以 5.8 万元的优惠价格转让给 了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型企业 乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证 企业乙的全体职工每月最低生活费的开支 3 600 元后, 逐步偿还转 让费 (不计息 ).在甲提供的资料中:①这种消费品的进价为每件 14 元;②该店月销量 Q(百件)与销售价格 P(元)的关系如图所示; ③每月需各种开支 2 000 元.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列3 函数应用问题

(1)当商品的价格为每件多少元时, 月利润扣除职工最低生活费的余额 最大?并求最大余额; (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?
思 维 启 迪 规 范 解 答 答 题 模 板 温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列3
思 维 启 迪

函数应用问题
规 范 解 答 答 题 模 板 温 馨 提 醒

(1)认真阅读题干内容,理清数量关系. (2)分析图形提供的信息,从图形可看出函数是分段的. (3)建立函数模型,确定解决模型的方法.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列3
思 维 启 迪

函数应用问题
规 范 解 答 答 题 模 板 温 馨 提 醒

解 设该店月利润余额为 L, 则由题设得 L=Q(P-14)×100-3 600-2 000,①

-2P+50 ? ? 由销量图易得 Q=? 3 - P+40 ? ? 2
代入①式得

?14≤P≤20?, ?20<P≤26?,
2分

4分

(1)当 14≤P≤20 时,Lmax=450 元,此时 P=19.5 元;

1 250 61 当 20<P≤26 时,Lmax= 3 元,此时 P= 3 元.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列3
思 维 启 迪

函数应用问题
规 范 解 答 答 题 模 板 温 馨 提 醒
8分

故当 P=19.5 元时,月利润余额最大,为 450 元.
(2)设可在 n 年后脱贫, 依题意有 12n×450-50 000-58 000≥0,解得 n≥20.

即最早可望在 20 年后脱贫.

12分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列3
思 维 启 迪

函数应用问题
规 范 解 答 答 题 模 板 温 馨 提 醒

解函数应用题的一般程序: 第一步:审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; 第二步:建模——将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的

数学模型;

第三步:解模——求解数学模型,得到数学结论;
第四步:还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.

第五步:反思回顾——对于数学模型得到的数学结果,必须验证这个数 学结果对实际问题的合理性.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列3
思 维 启 迪

函数应用问题
规 范 解 答 答 题 模 板 温 馨 提 醒

(1)本题经过了三次建模:①根据月销量图建立 Q 与 P 的函数 关系;②建立利润余额函数;③建立脱贫不等式.

(2)本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数,在实际问 题中,由于在不同的背景下解决的问题发生了变化,因此在 不同范围中,建立函数模型也不一样,所以现实生活中分段 函数的应用非常广泛.
(3)在构造分段函数时,分段不合理、不准确,是易出现的错误.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高

1.认真分析题意,合理选择数学模型是解决应用问题的

方 法 与 技 巧

基础;
2.实际问题中往往解决一些最值问题,我们可以利用二次 函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值.

3.解函数应用题的四个步骤:①审题;②建模;③解模; ④还原.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.函数模型应用不当,是常见的解题错误.所以,要 正确理解题意,选择适当的函数模型.

失 误 与 防 范

2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确 定函数的定义域.
3.注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证这个 数学解对实际问题的合理性.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1.若一根蜡烛长 20 cm,点燃后每小时燃烧 5 cm,则燃烧剩下的 高度 h(cm)与燃烧时间 t(小时)的函数关系用图象表示为( B )

解析

根据题意得解析式为 h=20-5t(0≤t≤4),其图象为 B.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

2.利民工厂某产品的年产量在 150 吨至 250 吨之间,年生产的总 x2 成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的关系可近似地表示为 y= - 10 30x+4 000,则每吨的成本最低时的年产量(吨)为 A.240 B.200 C.180 ( B ) D.160

y x 4 000 解析 依题意,得每吨的成本为x=10+ x -30, x 4 000 10· x -30=10, x 4 000 当且仅当10= x ,即 x=200 时取等号, y 则x≥2
因此,当每吨成本最低时,年产量为 200 吨,故选 B.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

3.某工厂采用高科技改革,在两年内产值的月增长率都是 a,则 这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为 ( A.a12-1 C.a
解析

)

B.(1+a)12-1 D.a-1

不妨设第一年 8 月份的产值为 b,则 9 月份的产值为

b(1+a),10 月份的产值为 b(1+a)2,依次类推,到第二年 8 月份是第一年 8 月份后的第 12 个月, 即一个时间间隔是 1 个 月,这里跨过了 12 个月,故第二年 8 月份产值是 b(1+a)12.
思想方法

基础知识

题型分类

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

3.某工厂采用高科技改革,在两年内产值的月增长率都是 a,则 这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为 ( B ) A.a12-1 C.a B.(1+a)12-1 D.a-1

又由增长率的概念知,这两年内的第二年某月的产值比第一年 b?1+a?12-b 12 相应月产值的增长率为 = (1 + a ) -1. b

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

4.某电信公司推出两种手机收费方式:A 种方式是月租 20 元,B 种方式是月租 0 元.一个月的本地网内打 出电话时间 t(分钟)与打出电话费 s(元)的函数关系如 图,当打出电话 150 分钟时,这两种方式电话费相差 A.10 元 B.20 元 C.30 元 40 D. 元 3 ( A )

解析 设 A 种方式对应的函数解析式为 s=k1t+20,

B 种方式对应的函数解析式为 s=k2t,
1 当 t=100 时,100k1+20=100k2,∴k2-k1=5, 1 t=150 时,150k2-150k1-20=150×5-20=10.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

5. 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如 图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料 上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取 的矩形面积最大时,矩形两边长 x、y 应为 A.x=15,y=12 C.x=14,y=10 B.x=12,y=15 D.x=10,y=14 ( A )

24-y x 5 解析 由三角形相似得 = ,得 x=4(24-y), 24-8 20 5 ∴S=xy=-4(y-12)2+180,

∴当 y=12 时,S 有最大值,此时 x=15.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
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6.一个容器装有细沙 a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢 慢地匀速漏出,t min 后剩余的细沙量为 y=ae-bt(cm3),经过

6 min,容 8 min 后发现容器内还有一半的沙子,则再经过____
器中的沙子只有开始时的八分之一.

解析 当 t=0 时,y=a,当 t=8 时,y=ae
-8b

-8b

1 =2a,

1 ∴e =2,容器中的沙子只有开始时的八分之一时, 1 -bt 即 y=ae =8a, 1 -bt - - e =8=(e 8b)3=e 24b,则 t=24,所以再经过 16 min.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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A组
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专项基础训练
5 6 7 8 9 10

7. A、 B 两只船分别从在东西方向上相距 145 km 的甲乙两地开出.A 从甲地自东向西行驶. 25 B 从乙地自北向南行 16 km/h, 经过________ 8 小时,AB 间的距离最短.

解析

设经过 x h,A、B 相距为 y km,
2 2

29 则 y= ?145-40x? +?16x? (0≤x≤ 8 ),求得函数的最小 25 值时 x 的值为 8 .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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A组
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专项基础训练
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8.某市出租车收费标准如下:起步价为 8 元,起步里程为 3 km(不 超过 3 km 按起步价付费);超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过 部分按每千米 2.15 元收费;超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.85 元收费, 另每次乘坐需付燃油附加费 1 元. 现某人乘坐一次 9 出租车付费 22.6 元,则此次出租车行驶了________ km.
解析 设出租车行驶 x km 时,付费 y 元,

?9,0<x≤3 ? 则 y=?8+2.15?x-3?+1,3<x≤8 ?8+2.15×5+2.85?x-8?+1,x>8 ?



由 y=22.6,解得 x=9.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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A组
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专项基础训练
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9.某地上年度电价为 0.8 元,年用电量为 1 亿千瓦时.本年度计 划将电价调至 0.55 元~0.75 元之间, 经测算, 若电价调至 x 元, 则本年度新增用电量 y(亿千瓦时)与(x-0.4)元成反比例.又当 x=0.65 时,y=0.8. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)若每千瓦时电的成本价为 0.3 元,则电价调至多少时,本年 度电力部门的收益将比上年度增加 20%?[收益=用电量× (实 际电价-成本价)]
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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A组
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专项基础训练
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k 解 (1)∵y 与(x-0.4)成反比例,∴设 y= (k≠0). x-0.4 把 x=0.65,y=0.8 代入上式, k 得 0.8= ,k=0.2. 0.65-0.4 0.2 1 ∴y= = , x-0.4 5x-2 1 即 y 与 x 之间的函数关系式为 y= . 5x-2 1 (2)根据题意, 得(1+ )· (x-0.3)=1×(0.8-0.3)×(1+20%). 5x-2
整理,得 x2-1.1x+0.3=0,解得 x1=0.5,x2=0.6.
经检验 x1=0.5,x2=0.6 都是所列方程的根.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

∵x 的取值范围是 0.55~0.75,

故 x=0.5 不符合题意,应舍去.∴x=0.6.
∴当电价调至 0.6 元时,本年度电力部门的收益将比上年 度增加 20%.

基础知识

题型分类

思想方法

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1 2 3

A组
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专项基础训练
5 6 7 8 9 10

10. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况. 在 一般情况下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/时)是车流密度 x(单位:辆/千米 )的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米 时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/ 千米时,车流速度为 60 千米 /时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤ x≤ 200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量 (单位时间内通过桥上某观 测点的车辆数,单位:辆/时) f(x)= x· v(x)可以达到最大,并求出 最大值.(精确到 1 辆/时)
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10



(1)由题意,当 0≤x≤20 时,v(x)=60;

当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b,
? ?200a+b=0, 再由已知得? ? ?20a+b=60,

1 ? ?a=-3, 解得? ?b=200. 3 ?

? ?60, 故函数 v(x)的表达式为 v(x)=?1 ?200-x?, ? ?3
60x, ? ? (2)依题意并由(1)可得 f(x)=?1 x?200-x?, ? ?3
基础知识 题型分类 思想方法

0≤x≤20, 20<x≤200.
0≤x≤20, 20<x≤200.
练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,

故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1 200;
? 1 1? ?x+?200-x??2 10 000 当 20<x≤200 时,f(x)=3x(200-x) ≤3? ? = 3 , 2 ? ?

当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立.

10 000 所以当 x=100 时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值 3 . 10 000 综上, 当 x=100 时, f(x)在区间[0,200] 上取得最大值 3 ≈3 333,
即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/时.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

基础知识

题型分类

思想方法

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1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

1.某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先 经历了 n 次涨停(每次上涨 10%), 又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%), 则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为 A.略有盈利 C.没有盈利也没有亏损 B.略有亏损 D.无法判断盈亏情况 ( B )

解析

设该股民购这支股票的价格为 a, 则经历 n 次涨停后的价

格为 a(1+10%)n=a×1.1n,
经历 n 次跌停后的价格为 a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n= a×(1.1×0.9)n=0.99n· a<a,故该股民这支股票略有亏损.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

2. 某建材商场国庆期间搞促销活动, 规定: 顾客购物总金额不超过 800 元, 不享受任何折扣, 如果顾客购物总金额超过 800 元, 则超过 800 元部分享受一定的折扣优惠,按下表折扣分别累计计算. 可以享受折扣优惠金额 不超过 500 元的部分 超过 500 元的部分 y 关于 x 的解析式为 ?0,0<x≤800, ? y=?5%?x-800?,800<x≤1 300, ?10%?x-1 300?+25,x>1 300. ? 若 y=30 元,则他购物实际所付金额为________元.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

折扣率 5% 10%

某人在此商场购物总金额为 x 元,可以获得的折扣金额为 y 元,则

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

解析

若 x=1 300 元,则 y=5%(1 300-800)=25(元)<30(元),

因此 x>1 300.

∴由 10%(x-1 300)+25=30,得 x=1 350(元).

答案 1350

基础知识

题型分类

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1

B组
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专项能力提升
3 4 5

3.某医院为了提高服务质量,对挂号处的排队人数进行了调 查,发现:当还未开始挂号时,有 N 个人已经在排队等候 挂号;开始挂号后排队的人数平均每分钟增加 M 人.假定 挂号的速度是每个窗口每分钟 K 个人, 当开放一个窗口时, 40 分钟后恰好不会出现排队现象; 若同时开放两个窗口时, 则 15 分钟后恰好不会出现排队现象.根据以上信息,若要 求 8 分钟后不出现排队现象,则需要同时开放的窗口至少 应有________个.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

解析

设要同时开放 x 个窗口才能满足要求,
① ② ③
? ?K=2.5M, 由①②,得? ? ?N=60M,

?N+40M=40K, ? 则?N+15M=15K×2, ?N+8M≤8Kx. ?

代入③,得 60M+8M≤8×2.5Mx,解得 x≥3.4.
故至少同时开放 4 个窗口才能满足要求.

答案

4

基础知识

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思想方法

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1

B组
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专项能力提升
3 4 5

4.某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件, 需另投入成本为 C(x)万元,当年产量不足 80 千件时,C(x)= 1 2 x + 10x( 万元 ) ;当年产量不少于 80 千件时, C(x) = 51x + 3 10 000 通过市场分析, 若每件售价为 500 元时, x -1 450(万元). 该厂年内生产的商品能全部销售完. (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润 最大?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
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B组
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专项能力提升
3 4 5

(1)当 0<x<80,x∈N+时,

500×1 000x 1 2 1 L(x)= 10 000 -3x -10x-250=-3x2+40x-250;
500×1 000x 10 000 当 x≥80,x∈N+时, L(x)= 10 000 -51x- x +1 450-250
10 000 =1 200-(x+ x ),

? 1 2 ?-3x +40x-250?0<x<80,x∈N+?, ∴L(x)=? ?1 200-?x+10 000??x≥80,x∈N+?. x ?
1 (2)当 0<x<80,x∈N+时,L(x)=-3(x-60)2+950,
∴当 x=60 时,L(x)取得最大值 L(60)=950.

当 x≥80,x∈N+时,

基础知识

题型分类

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1

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专项能力提升
3 4 5

10 000 L(x)=1 200-(x+ x )≤1 200-2

10 000 x· x =1 200-200=1 000,

10 000 ∴当 x= x ,即 x=100 时,L(x)取得最大值 L(100)=1 000>950.

综上所述,当 x=100 时,L(x)取得最大值 1 000,

即年产量为 100 千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.

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5.经市场调查,某商品在过去 100 天内的销售量和价格均为 1 112 时间 t(天)的函数,且日销售量近似地满足 g(t)=- t+ 3 3 1 (1≤t≤100,t∈N).前 40 天价格为 f(t)= t+22(1≤t≤40, 4 1 t∈N),后 60 天价格为 f(t)=- t+52(41≤t≤100,t∈N), 2 试求该商品的日销售额 S(t)的最大值和最小值.

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专项能力提升
3 4 5

1 112 1 当 1≤t≤40,t∈N 时, S(t)=g(t)f(t)=(- t+ )( t+22) 3 3 4

112×22 1 2 1 2 500 2 =-12t +2t+ =- ( t - 12) + 3 12 3 , 2 500 所以 768=S(40)≤S(t)≤S(12)= 3 .
当 41≤t≤100,t∈N 时,

1 112 1 S(t)=g(t)f(t)=(-3t+ 3 )(-2t+52)
112×52 1 12 8 =6t -36t+ 3 =6(t-108)2-3, 1 491 所以 8=S(100)≤S(t)≤S(41)= 2 . 2 500 综上,S(t)的最大值为 3 ,最小值为 8.

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