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《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》学案


两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一.学习目标
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二 倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. (一) 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1.公式 S(α±β):sin(α± β)=___

______________; 2.公式 C(α±β):cos(α± β)=________________; 3.公式 T(α±β):tan(α± β)=__________________, 公式可变形为:tanα± tanβ=_________________. (二) 、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.公式 S2α:sin2α=________; 2 . 公 式 C2 α : cos2α = _____________ = = , 公式可变形为:sin2α=________,cos2α=________; 3.公式 T2α:tan2α=________. 辅助角公式: a sin ? ? b cos? ? a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) ,其中 tan ? ? 你知道如何推导公式 C? ? ? 吗?又如何由它推出其它公式? 。

二.基础练习:
1.判断题: (1) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式对任意的角都适用.( ) 1 3 ?π ? (2) 2cosx- 2 sinx=cos?3-x?. ( ) ? ? 1+tan2α 2tanα (3) 用 tanα 表示 sin2α , cos2α ,得 sin2α = , cos2α = . 1-tan2α 1-tan2α ( ) ?π ? ?π ? (4) ?? ? R ,sin?4-α?=cos?4+α?. ( ) ? ? ? ? (5) ?? ? R, sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? ( ) 1 2. 已 知 s i n? ? co s? ? , 且 ? 为 第 二 象 限 角 , 则 sin 2? ? , 5 sin ? ? cos ? ? 。

小结: 三.问题探究 探究点一
例1

两角和与差的三角函数公式的应用
函数 y=sin(x+10°)+cos(x+40°)(x∈R)的最大值是________.

→ 绕点 O 按逆 在平面直角坐标系中,点 O(0,0),P(6,8),将向量OP 3π → ,则点 Q 的坐标是( 时针方向旋转 4 后得向量OQ ) A.(-7 2,- 2) B.(-7 2, 2) C.(-4 6,-2) D.(- 4 6,2) 例2 归纳总结

变式题 1. 已知直线 l: xtanα-y-3tanβ=0 的斜率为 2, 在 y 轴上的截距为 1, 则 tan(α +β)=( ) 7 7 5 A.-3 B.3 C.7 D.1 2 在平面直角坐标系中,以原点 O 为顶点,以 x 轴的非负半轴为始边作锐角 α,钝角 β,它们的终边分别与单位圆相交于 A,B 两点,且 A,B 两点的横 α+β 3 1 坐标分别为 2 ,-2,那么 sin 2 的值等于 ( ) A. 6- 2 4 B. 2+ 6 4 C.- 2+ 6 4 D.- 6- 2 4

探究点二
例3

倍角公式的应用
) 8 2 D. 35

π? 4 π? ? ? 设 α 为锐角,若 cos?α+6?=5,则 sin?2α+12?的值为( ? ? ? ? 3 5 7 2 17 2 A. 17 B. 25 C. 50

归纳总结 变式题 3 7 ?π π? (1) 若 θ∈?4,2?,sin2θ= 8 ,则 sinθ=( ) ? ? 3 4 7 A.5 B.5 C. 4 ?π ? 1 ?2π ? (2) 若 sin?6-α?=3,则 cos? 3 +2α?的值为( ) ? ? ? ? 1 1 7 A.3 B.-3 C.9

3 D.4

7 D.-9

探究点三
例4

角变换的应用
)

β? π π 3 ?π ? 1 ? π β? ? 若 0<α<2, -2<β<0, cos?4+α?=3, cos?4-2?= 3 , 则 cos?α+2?=( ? ? ? ? ? ? 3 3 5 3 6 A. 3 B.- 3 C. 9 D.- 9

归纳总结
3 ? ? 1 ( ? ? ? ), t a ? n? ( ?) ? n? (?) ? , 则 t a? 5 4 2 2

变 式 题 : 已 知 sin 2? ? ( ) A.-2

B.

-1

C. ?

2 11

D.

2 11

课后练习
π? 1 ?π ? ? 1.若 α∈? ,π ?,tan?α + ?=7,则 sinα =( ) 4? ?2 ? ? 3 4 3 A.5 B.5 C. -5 1 π 2. 若 tanα=2,则 cos(2α+2)=________.

4 D. -5

π π 3.已知角 α∈4,2,且(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0.

π (1)求 tan(α+4)的值; π (2)求 cos(3-2α)的值.

sinA+sinB △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,tanC= , cosA+cosB sin(B-A)=cosC. (1)求角 A,C; (2)若 S△ABC=3+ 3,求 a,c. 4. 《作业手册》第 21 讲


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