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9.6空间向量坐标运算3


空间向量的坐标运算
——空间直角坐标系 向量的直角坐标运算.
i x z

a
A(x,y,z)

k O j y

? ? ? ? 3. ? : a ? (3, ?2,4), b ? (?2,5, ?3), 求a ? b, 已知 ? ? ? ? ? a ? b,3a ? 5b, a? .

b
4.下面两个向量是否平行 ? ? ?

(1)a ? (2, ?1, ?? b ? (6, ?3, ?6), 2), ? (2)a ? (0,0,1), b ? (0,0, ?3).

? ? ? ? 解:(1)b ? 3(2, ?1, ?2) ? 3a,? a // b. ? ? ? ? (2)b ? ?3(0,0,1) ? ?3a,?a // b.

例2 在正方体ABCD ? A1B1C1D1中,E , F 分别是

BB1 , CD的中点.求证 : D1F ? 平面ADE.
D1 A1 z

证明: 设正方体的棱长为1, ??? ? ???? ? ???? ? ? ?

B1 建立如图的空间直角坐标系 ???? ???? ? E y 1 D C 则 AD ? (?1, 0, 0), D1 F ? (0, , ?1), F A 2 ???? ???? ? B 1 x AD?D1 F ? (?1, 0, 0)?(0, , ?1) ? 0. ??? ???? ? ? 2 1 ??? ? ??? ???? ? ? ? AE ? D1F. ? AD ? D1F. 又 AE ? (0,1, ), 2 ??? ???? ? ? 又AD ? AE=A, 1 1 AE ?D1 F ? (0,1, )?(0, , ?1) ? 0. 2 2 ? D1F ? 平面ADE.

DA ? i, DC ? j , DD1 ? k .

C1

练习 、如图,在空间平移?ABC至?A?B?C ?, 1 连结对应顶点,已知CC ? ? 平面ABC,且 AC ? BC , AC ? BC ? CC ? ? a, D、E分别 为AB、BB?的中点,建立适当的坐标系, 并写出各点的坐标。

C?

B?
E

A?
C A
D

B

练习 P39

9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E , F 分

别是BB1 , D1B1的中点, 求证EF ? DA1. 证明: 建立如图空间直角坐标系得 z D
∵ ???? D (0,0,0),A 1(1,0,1) ?
1

F

C1

? DA1 ? (1,0,1). y E D 1 1 1 C A ? E (1,1, ), F ( , ,1), B x 2 2 2 ??? ? 1 1 1 ? EF ? (? , ? , ) ??? ???? ? ? 2 2 2 ? EF ? DA1, ??? ???? ? ? 1 1 1 EF ?DA1 ? (? , ? , )?(1, 01) ? 0, 即EF ? DA1. 2 2 2

A1

B1

练习P39 10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1 ,

求证DB1 ? 平面ACD1.

证明: 建立如图空间直角坐标系得 ∵ D (0,0,0),B 1(1,1,1)

D1 A1 A

z
C1 B1 D B

???? ? ? DB1 ? (1,1,1).

y

C

???? ? ???? ? ? AD1 ? (?1,0,1).CD1 ? (0, ?1,1), ???? ???? ? ? DB1 ????? ? (1,1,1)? ?1,0,1) ? 0, AD1 ( ???? ? ? DB1 ? 1 ? (1,1,1)? ?1,1) ? 0, 又AD1 ? AC ? A, CD (0, ???? ???? ??? ???? ? ? ? ? ???? ? ? AD1 ? DB1, AC ? DB1. ? DB1 ? 平面ACD1.

∵ A (1,0,0),D 1(0,0,1),C (0.1,0), x

? ? ? ? 5. 已知: a ? (2, ?1,3), b ? (?4, 2, x), a ? b, 求x的值. ? ? 解: a ? b. ?

6. 已知: A(3,5, ?7), B(?2,4,3)求AB, BA和线段 AB的中点坐标. ??? ? ??? ? 解:AB ? (?5, ?1,10), BA ? (5,1, ?10). ?? 1 ??? ??? ? ? ? 1 9 设AB的中点为M,则OM ? (OA ? OB) ? ( , , ?2) 2 1 9 2 2 ? AB的中点M的坐标为( , , ?2). 2 2

?? ?a? ? (2, ?1,3)? ?4, 2, x) ? ?8 ? 2 ? 3x ? 0. b ( 10 ?x ? . ??? ??? ? ? 3

例2

B 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1 D1 中, 1 E1 ?

A1B1 ? D1F1 ? 4

,求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
解:设正方体的棱长为1,如图建
C1

z

D1 A1

F1 E1 B1

立空间直角坐标系 O ? xyz ,则

? 3 ? B(1,1, 0) , E1 ?1, ,1? , ? 4 ?
C

D

O
B

y

? 1 ? D(0 , 0 , 0) , F1 ? 0 , ,1? . ? 4 ?

A

x

???? ? 3 ? ? 1 ? ? BE1 ? ?1, ,1? ? (1,1, 0) ? ? 0 , ? ,1? , 4 ? ? 4 ? ?

例2

B 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1 D1 中, 1 E1 ?
A1B1 4

? D1F1 ?

,求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
???? ? 1 ? ? ? 1 ? DF1 ?? 0 , ,1?? (0 , 0 , 0) ? ? 0 , ,1? . ? 4 ? ? 4 ?
???? ???? ? ? 15 ? 1? 1 BE1 ?DF1 ? 0 ? 0 ? ? ? ? ? ? 1? 1 ? , 16 ? 4? 4

z
D1 A1 F1 E1 B1 C1

D

O

A

x

???? ? ? 17 ???? 17 y | BE1 |? C , | DF1 |? . 4 4 15 ???? ???? ? ? B ???? ???? ? ? BE ?DF1 15 16 ???? 1 ???? ? ? ? cos ? BE1 , DF1 ?? ? . | BE1 | ? | DF1 | 17 17 17 ? 4 4

??? ??? ?? ? ? ? 7. 已知A(4,1,3), B(2, ?5,1), C(3,7, ?5), 求AB, BC, CA

??? ? ??? ? 解: (-2,-6,-2) AB ? ________, | AB |? ________, 2 11 ??? ? ??? ? (1,12,-6) BC ? ________. | BC |? ________. 181 ??? ? ??? ? (1,-6,8) CA ? ________. | CA |? ________. 101
8 .写出与原点距离等于3的点的坐标所满足的条件. 解: 设点 P ( x , y , z ) 到原点的距离为3,得

的坐标与长度.

???? 2 2 2 | PO |? x ? y ? z ? 3 ,

x ? y ? z ? 9.
2 2 2


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