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5、求数列的通项


“由数列的递推关系式,求通项公式”的类型和方法
(一) 、利用推导 a n ? S n ? S n ?1 (n ? 2) 的方法求数列的通项公式

n ① 在 数 列 ?a n ? 中 , 已 知 a1 ? 1,an ? a 1 ? a 2? ? ? an ( ? 2 ) 则 此 数 列 的 通 项 公 式 是 ,
an =________



n ( 1) ② 数 列 ?a n ? 满 足 a1 ? 2 a2 ? 3 a 3 ? ? ? ?n ?a 3 ?n n ,?则 此 数 列 的 通 项 公 式
an =________
③数列 ?a n ?满足 3a1 ? 2 ? 3 a 2 ? 3 ? 3 a3 ? 4 ? 3 a 4 ? ? ? n ? 3 a n ? 3n(n ? 1)
2 3 4 n

则此数列的通项公式 an =______________ (4)已知数列 ? an ? 的前 N 项和为 S n ,满足: 则此数列的通项公式 an =______________ (二)、已知数列的递推式,求数列的通项公式───递归数列

S ? n 3n S1 ? 1 S 2 ? 2 ? ??? n ? (n ? N * ) a1 a2 an 2

?a n ?为等差数列 ? ? ?

?a n ? a n ?1 ? d ?a1已知 ?

?a n ?为等比数列 ? ? ?

?a n ? a n?1 ? q ?a1已知 ?

1、形如 an ? an ?1 ? f (n) 的形式,采用“累加法” ①已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 1
n ?1

?a

? an ? 3n ,求 an 。

?a1 ? 1 ? 1 ,求 an 。 ②已知数列 ?a n ?满足 ?a ? a ? n ?1 n ? n(n ? 1) ?

2、形如 an ? an ?1 ? f (n) 的形式,采用“累乘法” 已知数列 ?a n ?满足 ?

?a1 ? 2 ? n ? 2 ,求 an 。 a ? an ? n?1 n ?

1

3、形如 an ? kan ?1 ? b (k ? 0) 的形式,采用“待定系数法” ①已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 1
n ?1

?a

? 4an ? 3 ,求 an 。

1 ? ?a1 ? 2 ②已知数列 ?a n ?满足 ? ,求 an 。 1 ?a n ?1 ? a n ? 1 3 ?
③已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 1
n ?1

?a

? 2an ? n ,求 an 。

特别地,形如 a n ?1 ? kan ? b ? c 的形式,分两种情况:
n

(1)当 k ? c 时,采用“两边同除以 c

n ?1

” :
n

已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 1, a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 2 ,求 an

(2)当 k ? c 时,一般采用“待定系数法” : 已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 1, a n ?1 ? 2a n ? 3
n ?1

,求 an

4、另有: “取倒数”“取对数”等法 ,

?a1 ? 1 ? ①已知数列 ?a n ?满足 ? 3a n ,求 an ?a n ?1 ? 2a ? 3 n ?
?a1 ? 2
2 ?an ?1 ? an

②已知数列 ?a n ?满足 ?

,求 an

2

(3)设数列 ?a n ?满足 an ? 0, a1 ? 2 , 且当 n ? 2 时, an ? an ?1 ? 有 的通项公式 an ? _____________ (三)、已知数列中, S n 与 an 的关系式,求 an (或 S n ) 1、已知数列 ?a n ?满足 a1 ?

n ? 2 ,则数列 {an } an ? an ?1

1 , S n ? n 2 a n ,求 an 。 2

? a ?1? ? 2、设数列 ?an ?的前 n 项的和为 S n ,且 an ? 0 , S n ? ? n ? ? n ? N ? ,求 S n 。 ? 2 ?
2

3、已知数列 ?an ?的前 n 项的和为 S n , a1 ? 4 ,且当 n ? 2 时满足 an ? 求 Sn 。

1 2

?

Sn ? Sn ?1 ,

?

4、已知数列 ?an ?中, a1 =

1 ,前 n 项和为 S n , 且 2 Sn ?1 ? Sn ? an ? 0 ( n ? 2 ) ,求 an 。 2

5、已知数列 ?an ?中, a1 ? 5, a n ? S n ?1 (n ? 2, n ? N ) ,求 an 。

6、数列 ?an ?的前 n 的和为 S n ? 2a n ?

1 (n ? N ? ) ,求 an 。 n 2

3

7、设数列 ?an ?的前 n 项的和为 S n ,且 an ? 0 , 1 ? a n ? 2a n ? S n (n ? N ) ,求 an 。
2 ?

8、已知数列 ?an ?中, a1 ? 1, 2a n ? S n ? a n ? 2S n (n ? 2, n ? N ) ,求 an 。
2 ?

9、已知数列 ?an ?中, a1 ?

1 , S n ? n 2 a n ? n(n ? 1) ,求 an 。 2

10、已知数列{an}的各项均为正数,且前 n 项和 Sn 满足 Sn ? a9 成等比数列,求数列{an}的通项公式.

1 (an ? 1)(an ? 2) .若 a2、a4、 6

11、设正项数列 ? an ? 满足: a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ? ( S n ) (n ? N ) ,求数列{an}的通项
3 3 3 3 2 *

公式.

12、数列 ? an ? 满足 Sn ?

n(a1 ? an ) ,问数列 ? an ? 是否是等差数列? 2

4


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