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文科数学 2015江门一模


秘密★启用前

试卷类型:B

江门市 2015 年高考模拟考试

数学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1. 答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。 2. 做选择题时,必须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如

需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。 3. 非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上。 4. 所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不按以上要求作答的答案无效。 5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) .

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.

1.集合 A ? ?x | 2 ? x ? 7? , B ? ?x | 3 ? x ? 10? , A ? B ? A. (2 , 10) 2. i 是虚数单位, A. B. [3 , 7) C. (2 , 3] D. (7 , 10)

1? i 2

1 ?i ? 1? i 1? i B. 2
B.f ( x) ? log2 x

C.

1 ? 3i 2

D.

?1? i 2

3.下列函数中,奇函数是 A.f ( x) ? 2 x C.f ( x) ? sin x ? 1 D.f ( x) ? sin x ? tan x

4.已知向量 a ? (?3 , 4) , b ? (1 , m) ,若 a ? (a ? b ) ? 0 ,则 m ? A.

11 2

B. ?

11 2

C. 7

D. ? 7

D1

5.如图 1,四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分 别是 AB1 、 BC1 的中点.下列结论中,正确的是 A. EF ? BB1 B. EF // 平面 ACC1 A1

A1 B1
E D A
图1

C1

F

C
B

C. EF ? BD

D. EF ? 平面 BCC1 B1

6.某人午睡醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,他等待的时间不 多于 15 分钟的概率是 A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6

?x ? 2 y ? 5 ? 7.若变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? 3 ,则 z ? x ? y 的取值范围是 ?y ? 4 ?
A. [4 , 7] B. [?1 , 7] C. [ , 7 ]

8.将函数 f ( x) ? sin( x ?

?
3

5 2

D. [1 , 7]

) 的图象向右平移 ? ( ? ? 0 )个单位长度,得到的曲线经

过原点,则 ? 的最小值为 A.

? 12

B.

? 6

C.

? 4

D.

? 3

9.下列命题中,错误 的是 .. A.在 ?ABC 中, A ? B 是 sin A ? sin B 的充要条件; B.在锐角 ?ABC 中,不等式 sin A ? cos B 恒成立; C.在 ?ABC 中,若 a cos A ? b cos B ,则 ?ABC 必是等腰直角三角形; D.在 ?ABC 中,若 B ? 60? , b 2 ? ac ,则 ?ABC 必是等边三角形. 10.设 f ( x) , g ( x) 都是定义在实数集上的函数,定义函数 ( f ? g )(x) : ?x ? R ,

?e x , x ? 0, ? x , x ? 0, ( f ? g )(x) ? f ( g ( x)) .若 f ( x) ? ? 2 , g ( x) ? ? ,则 ?ln x, x ? 0. ? x , x ? 0. A. ( f ? f )(x) ? f ( x) B. ( f ? g )(x) ? f ( x)
C. ( g ? f )(x) ? g ( x) D. ( g ? g )(x) ? g ( x)

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.命题“若 a 、 b 都是偶数,则 a ? b 是偶数”的逆命题是 1 12.数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , ?n ? N * , an ?1 ? ,则 a 2015 ? 1 ? an

. .

13.某班甲、乙两位同学升入高中以来的 5 次数学考试成绩的茎叶图如图,则乙同学 这 5 次数学成绩的中位数是 是 ;已知两位 同学这 5 次成绩的平均数都是 84, 成绩比较稳定的 (第二个空填“甲”或“乙” ) .

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)
14. (坐标系与参数方程选做题) 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的方程是 x 2 ? 2 y 2 ? 5 ,

? ? x ? 3t ( t 为参数) ,则 C1 与 C 2 交点的直角坐标是 C 2 的参数方程是 ? ? ?y ? ? t 15. (几何证明选讲选做题)如图 2,⊙ O 的两条割线 与⊙ O 交于 A 、 B 、 C 、 D ,圆心 O 在 PAB 上,
若 PC ? 6 , CD ? 7



1 , PO ? 12 ,则 AB ? 3



图2 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin ?x ? 3 cos?x 的最小正周期为 ? , x ? R , ? ? 0 是常数. ⑴求 ? 的值; ⑵若 f (

?
2

?

?
12

)?

6 ? , ? ? (0 , ) ,求 sin 2? . 5 2

17. (本小题满分 13 分) 从某企业生产的某种产品中抽取 20 件, 测量这些产品的一项质量指标值, 由测量 得到如图 3 的频率分布直方图, 从左到右各组的频数依次记为 A1 ,A2 ,A3 ,A4 ,A5 . ⑴求图 3 中 a 的值; ⑵图 4 是统计图 3 中各组频数的一个算法流程图,求输出的结果 S ;

⑶从质量指标值分布在 [80 , 90) 、 [110, 120) 的产品中随机抽取 2 件产品,求所抽取两件产品的 质量指标值之差大于 10 的概率.

18. (本小题满分 14 分)

1 AB ? 2 , 2 点 E 为 AC 的中点, 将 ?ACD 沿 AC 折起, 使折起后的平面 ACD 与平面 ABC 垂直 (如 图 6) .在图 6 所示的几何体 D ? ABC 中:
如图 5,直角梯形 ABCD , ?ADC ? 900 , AB // CD , AD ? CD ? ⑴求证: BC ? 平面 ACD ; ⑵点 F 在棱 CD 上,且满足 AD // 平面 BEF ,求几何体 F ? BCE 的体积. D C D

E E A
图5

C
图6

B

A

B

19. (本小题满分 13 分) 已知 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, ?n ? N * , an 与 a n ?1 的等差中项为 n . ⑴求 a1 与 d 的值; ⑵设 bn ? 2 n ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . 20. (本小题满分 14 分)

l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线, 设 A 是圆 x 2 ? y 2 ? 4 上的任意一点, D 是直线 l

与 x 轴的交点,点 M 在直线 l 上,且满足 DM ? 点 M 的轨迹为曲线 C . ⑴求曲线 C 的标准方程;

3 DA.当点 A 在圆上运动时,记 2

⑵设曲线 C 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ,经过 F2 的直线 m 与曲线 C 交于 P、Q 两 点,若 | PQ | 2 ?| F1 P | 2 ? | F1Q | 2 ,求直线 m 的方程. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 4( a ? R 是常数) , 曲线 y ? f ( x) 在点 (1 , f (1)) 处的 切线在 y 轴上的截距为 5 . ⑴求 a 的值; ⑵ k ? 0 ,讨论直线 y ? kx 与曲线 y ? f ( x) 的公共点的个数.

评分参考

一、选择题

BADCB

CDDCA

二、填空题 ⒒若 a ? b 是偶数,则 a 、 b 都是偶数(对 1 句 3 分;表达有误适当扣分) ⒓?1 ⒔ 82 ,甲(若两空一对一错,给 3 分) ⒕ ( 3 , ? 1) (若坐标符号错误给 2 分,其他不给 分) ⒖16 三、解答题 ⒗⑴ f ( x) ? sin ?x ? 角 2 分) 由 f ( x) 的最小正周期 T ⑵由⑴知 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?
?
3 ? ) 2? 3 cos ?x ? 2 sin(?x ?

?
3

) ??3

分(振幅 1 分,辅助

?

? ? ??4

分,得 ? ? 2 ??5 分

? ? ? ? ? ? 6 f ( ? ) ? 2 sin[ 2 ? ( ? ) ? ] ? 2 sin(? ? ) ? 2 cos ? ? ? ? 8 分 2 12 2 12 3 2 5 3 (前 3 个等号每个 1 分) , cos ? ? ??9 分 5 ? 4 ∵ ? ? (0 , ) ,∴ sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? ??10 分 2 5 24 sin 2? ? 2 sin ? cos ? ? ??12 分(公式 1 分,代入求值 1 分) 25

⒘⑴依题意, (2a ? 0.02 ? 0.03 ? 0.04) ?10 ? 1 ??2 分 解得 a ? 0.005 ??3 分 ⑵ A1 ? 0.005?10? 20 ? 1 ,A2 ? 0.040?10? 20 ? 8 ,A3 ? 0.030?10? 20 ? 6 ,
A4 ? 0.020?10? 20 ? 4 , A5 ? 0.005?10? 20 ? 1 ??6

分( A2 、 A3 、 A4 各

1 分) 输出的 S ? A2 ? A3 ? A4 ? 18??8 分(列式、结果各 1 分) ⑶记质量指标在 [110, 120) 的 4 件产品为 x1 , x2 , x3 , x4 ,质量 指标在 [80 ,
90) 的

1 件产品为 y1 ,则从 5 件产品中任取 2 件产品

的结果为:?x1 , x 2 ?,?x1 , x3 ?,?x1 , x 4 ?,?x1 , y1 ? ,?x2 , x3 ? ,?x2 , x4 ? ,?x2 , y1 ? ,

?x3 , x4 ? , ?x3 , y1 ? , ?x4 , y1 ? ,共 10 种??10 分
记“两件产品的质量指标之差大于 10”为事件 A,则事件 ?x1 , y1 ? , ?x2 , y1 ? , ?x4 , y1 ? 共 4 种?? A 中包含的基本事件为: ?x3 , y1 ? , 11 分 ∴ P( A) ?
4 2 ? ??12 10 5


2 5

答:从质量指标??,??的概率为 ??13 分 ⒙⑴ AC ? AD2 ? CD 2 ? 2 2 ??1 分, ?BAC ? ?ACD ? 450 , AB ? 4 ,
BC 2 ? AC 2 ? AB2 ? 2 AC ? AB ? cos450 ? 8 ??3

分(其他方法求值

也参照给分) ∵ AB2
? AC 2 ? BC 2 ? 16 ,∴ ?ACB ? 900 ( AC ? BC )??4
? AC ,



∵平面 ACD ? 平面 ABC ,平面 ACD ? 平面 ABC ∴ BC ? 平面 ACD ??6 分

⑵∵ AD // 平面 BEF ,AD ? 平面 ACD , 平面 ACD ? 平面 BEF ∴ AD // EF ??8 分 ∵点 E 为 AC 的中点,∴ EF 为 ?ACD 的中位线??9 分 由 ⑴ 知 , 几 何 体
F ? BCE

? EF









VF ? BCE ? VB ?CEF ?

1 ? S ?CEF ? BC ??11 分 3 1 1 S ?CEF ? S ?ACD ? ??13 分, 4 2 1 1 2 ??14 分 VF ? BCE ? ? ? 2 2 ? 3 2 3

⒚⑴依题意, an ? a1 ? (n ? 1)d ??1 分 (方法一)由 an 与 an?1 的等差中项为 n 得 即
a n ? a n ?1 ? n ??2 2



[a1 ? (n ? 1)d ] ? [a1 ? nd ] 1 ? a1 ? (n ? )d ? n ??3 分 2 2 ?d ? 1 1 ? ??5 分,解得 a1 ? , d ? 1 ??6 分 ? d 2 a1 ? ? 0 ? 2 ?

(方法二)由 an 与 an?1 的等差中项为 n 得, a1 与 a2 的等差中 项为 1 , a2 与 a3 的等差中项为 2 ??3 分
d ? a1 ? a 2 ? a1 ? ? 1 ? ? 2 2 ??5 ? a ? a 3 d 2 3 ? ? a1 ? ?2 ? 2 ? 2

分,解得 a1 ? , d

1 2

? 1 ??6



⑵由⑴得 a n

?n?

1 , bn ? 2n ? an ? n ? 2n ? 2n?1 ??7 2



(方法一)记 Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n ,则
2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1 ??8



两式相减得, Tn ? ?2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1 ??10 分
? n ? 2 n?1 ? 2 n?1 ? 2 ??11



数列 ?2 n?1 ?的前 n 项和 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n?1 ? 2 n ? 1 ??12 分 ∴ Sn ? (n ? 2n?1 ? 2n?1 ? 2) ? (2n ? 1) ? n ? 2n?1 ? 3 ? 2n ? 3 ??13 分 (方法二)
S n ? (1? 2 ? 20 ) ? (2 ? 22 ? 21 ) ? (3 ? 23 ? 22 ) ? ? ? [(n ? 1) ? 2n?1 ? 2n?2 ] ? (n ? 2n ? 2n?1 )
2S n ? (1? 2 2 ? 21 ) ? (2 ? 23 ? 2 2 ) ? (3 ? 2 4 ? 23 ) ? ? ? [(n ? 1) ? 2 n ? 2 n?1 ] ? (n ? 2 n?1 ? 2 n )

??9 分,两式相减得
S n ? ?(1? 2 ? 20 ) ? (1? 2 2 ? 1? 23 ? ? ? 1? 2 n ) ? (n ? 2 n?1 ? 2 n ) ??11



? n ? 2 n?1 ? 3 ? 2 n ? 3 ??13

分 分,
3 DA 2

⒛⑴设 M ( x ,

y) 是曲线 C 上任意一点,则 D( x , 0) ??1

对 应 圆 上 的 点 为 A( x , y0 ) , 由 DM ?
(0 , y ) ?



3 (0 , y 0 ) ??2 分 2 2 3 2 2 3 y) ? 4 ?? 依题意,x 2 ? y0 2 ? 4 ,x 2 ? ( y0 ? y ??3 分, 3 3

4分
x2 y2 ? ? 1 ??5 分 4 3 ⑵由⑴得 c ? 1 , F1 (?1 , 0) , F2 (1 , 0) ??6 分

曲线 C 的标准方程为

①若 m 为直线

x ?1 ,代入

3 x2 y2 ? ?1 得 y ? ? 2 4 3

, 即 P (1 ,

3 ) 2



3 Q (1 , ? ) ??7 2


? | F1Q | 2 ? 25 , | PQ | 2 ?| F1 P |2 ? | F1Q | 2 , 2

| F1 P | 2 直接计算知 | PQ |2 ? 9 ,
x ? 1 不符合题意??8

分 ②若直线 m 的斜率为 k ,直线 m 的方程为 y ? k ( x ? 1)
? x2 y2 ? ?1 由? 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? (4k 2 ? 12) ? 0 ??9 分 3 ?4 ? y ? k ( x ? 1) ? 8k 2 4k 2 ? 12 设 P( x1 , y1 ) ,Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ,x1 ? x2 ? ?? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

10 分 由 | PQ |2 ?| F1 P |2 ? | F1Q |2 得, F1 P ? F1Q ? 0 ??11 分 即 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? 0 , ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? k ( x1 ? 1) ? k ( x2 ? 1) ? 0
(1 ? k 2 ) x1 x2 ? (1 ? k 2 )(x1 ? x2 ) ? (1 ? k 2 ) ? 0 ??12



代入得 (1 ? k 2 )( 13 分 解得 k ? ?
3 7 7

4k 2 ? 12 8k 2 2 ? 1 ) ? ( 1 ? k ) ? ? 0 ,即 7k 2 ? 9 ? 0 ?? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k

,直线 m 的方程为 y ? ?

3 7 ( x ? 1) ??14 7



21.⑴ ?x ? R , f / ( x) ? 3x 2 ? 2ax ??1 分, f / (1) ? 3 ? 2a , f (1) ? 5 ? a 切线方程为 y ? (5 ? a) ? (3 ? 2a)(x ? 1) ??2 分 切 线 在 y 轴 上 的 截 距 (5 ? a) ? (3 ? 2a) ? 5 ? ? 3 分 , 解 得 a ? ?3 ??4 分 ⑵ 由 ⑴ 得 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 4 , 解 f / ( x) ? 3x 2 ? 6x ? 0 得 x ? 0 ,
x ? 2 ??5


x
(?? , 0)
0

(0 , 2)

2

( 2 , ? ?)

f / ( x)

+

0



0

+

f ( x)



极大值



极小值


f ( x)

??7 分 记 g ( x) ? f ( x) ? kx ? x 3 ? 3x 2 ? kx ? 4 ,则直线 y ? kx 与曲线 y ? 的公共点的个数即为函数 g ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? kx ? 4 零点的个数 ① k ? 0 时, ∵ g ( x) ?
g (0) ? 4 , g (?1) ? k , g (0) g (?1) ? 4k ? 0 , g ( x) 在 (?1 , 0)

至少有一个零点??9 分,
f ( x) ? kx 在 (?? , 0) 单调递增,∴ g ( x) 在 (?? , 0) 上有且

仅有一个零点??10 分
x ? [0 , ? ?) 时, f ( x) ? f (2) ? 0 (等号当且仅当 x ? 2 时成立) ??

11 分,从而 g ( x) ? 分

f ( x) ? kx ? 0 , g ( x) 在 [0 , ? ?) 上没有零点??12

② k ? 0 时, g ( x) ? 零点。

f ( x) ,由①讨论知, g ( x) (即 f ( x) )有两个

综上所述,k ? 0 时, 直线 y ? kx 与曲线 y ?

f ( x) 有

1 个公共点, 分

k ? 0 时,直线 y ? kx 与曲线 y ? f ( x) 有两个公共点??14


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