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新人教A版必修5高中数学1.1.2余弦定理学案


高中数学 1.1.2 余弦定理学案 新人教 A 版必修 5 学习目标 1. 掌握余弦定理的两种表示形式; 2. 证明余弦定理的向量方法; 3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形 问题. 学习重难点 重点:掌握余弦定理内容 难点:运用余弦定 理解斜三角形 一、知识链接 问题 1:在一个三角形中,各 即 = = 和它所对角的 . 的 相等, 问题 2:在△ABC 中,已知 c ? 10 ,A=45?,C=30?,解此三角形. 思考:已知两边及夹角,如何解此三角形呢? 二、试一试 ※ 课前练习 探究:在 ?ABC 中 , AB 、 BC 、 CA 的长分别为 c 、 a 、 b . C b a B A ∵ AC ? ,∴ AC ? AC ? c 2 2 2 2 2 2 同理可得: a ? b ? c ? 2bc cos A , c ? a ? b ? 2ab cos C . 新知: 余弦定理: 三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的 夹角的 的积的两倍. 思考:这个式子中有几个量? 从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角? 从余弦定理,又可得到以下推论: b2 ? c 2 ? a 2 , , . cos A ? 2bc [理解定理] (1)若 C= 90? ,则 cos C ? ,这时 c 2 ? a 2 ? b2 由此可知余 弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例. (2)余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角. 试试: (1)△ABC 中, a ? 3 3 , c ? 2 , B ? 150 ,求 b . (2)△ABC 中, a ? 2 , b ? 2 , c ? 3 ? 1 ,求 A . 1 ※ 模仿练习 例 1. 在△ABC 中,已知 a ? 3 , b ? 2 , B ? 45 ,求 A, C 和 c . 变式:在△ABC 中,若 A B= 5 ,AC=5,且 cosC= 9 ,则 BC=________. 10 例 2. 在△ABC 中,已知三边长 a ? 3 , b ? 4 , c ? 37 ,求三角形的最大内角. 变式:在 ? ABC 中,若 a 2 ? b2 ? c2 ? bc ,求角 A. 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例; 2. 余弦定理的应用范围: ① 已知三边,求三角; ② 已知两边及它们的夹角,求第三边. ※ 知识拓展 在△ABC 中,若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则角 C 是直角;若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则角 C 是钝角; 若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则角 C 是锐角. 当堂检测 1. 已知 a= 3 ,c=2,B=150°,则边 b 的长为( ). 22 13 A. B. 13 C. D. 22 2 2 2. 已知三角形的三边长分别为 3、5、7,则最大角为( ). A. 60 B. 75 C. 120 D. 150 3. 已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是( A. 5 ? x ? 13 B. 13 <x<5 C. 2<x< 5 ). D. 5 <x<5 AB 与 AC 的夹角为 60°, 4. 在 △ABC 中, | AB |=3, | AC |=2, 则| AB - AC |=________. 2 2 2 5 . 在

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