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云南省玉溪一中2012-2013学年高二上学期期末考试 理科数学


玉溪一中 2014 届高二上学期期末考试 数学试卷(理)
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1、设 a,b∈ R ? , A ? A、A≤B

a ? b , B ? a ? b ,则 A,B 的大小关系是(
B

、 A≥B C、A<B



D、A>B

2、设抛物线的顶点在原点,焦点与椭圆 ( ) A、y2=-8x B、y2=-4x

x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合,则此抛物线的方程是 6 2

C、y2=8x

D、y2=4x

3、口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红球的概率是 0.42,摸 出白球的概率是 0.28,则摸出黑球的概率是( A、0.42 B、0.28 ) B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
3 2

) C、0.7 D、0.3

4、若 a,b∈R,则 a>b>0 是 a2>b2 的( A、充分不必要条件 C、充要条件

5、命题“对 ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是( A、不存在 x∈R,x3-x2+1≤0 C、 ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

) B、 ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

> D、 ?x ? R, x ? x ? 1 0
3 2

6、已知 x+2y+3z=6,则 2x+4y+8z 的最小值为( A、 33 6 B、 2 2

) C、12 D、 12 3 5

7、某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54

? ? ? ? 根据上表可得回归方程 y ? bx ? a中的b 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为

-1-



) A、63.6 万元 C、67.7 万元 B、65.5 万元 D、72.0 万元

8、运行如右图所示的程序框图,则输出的数是 5 的倍数的概率为 ( ) A、

1 5 1 2

B、

1 10 1 20

Y

C、

D、

9、设 F1 , F2 .分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点,若在双曲线右支上存在点 a2 b2

P,满足 PF2 ? F1 F2 ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长, 则该双曲线的渐近线方程为( A、 3x ? 4 y ? 0 ) C、 5x ? 4 y ? 0 D、 4 x ? 3 y ? 0 )

B、 3x ? 5 y ? 0

10、若 0<x1<x2, 0<y1<y2,且 x1+x2=y1+y2=1,则下列代数式中值最大的是( A、x1y1+x2y2 B、x1x2+y1y2 C、x1y2+x2y1 D、

1 2

11、已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A, B 是该抛物线上的两点,且|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的 中点到 y 轴的距离为( A、 ) B、1 C、

3 4

5 4

D、

7 4

12、已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点,若满足 MF1 ? MF2 的点 M 总在椭圆的内部,则椭圆离 心率的取值范围是( A、 (0, 1) )

B、 (0,

2 ) 2

C、 (0, ]

1 2

D、 [

2 ,1) 2

-2-

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、从一堆苹果中任取 20 个,并得到它们的质量(单位:克)数据分布表如下: 分组 频数 [90,100) 1 [100,110) 2 [110,120) 3 [120,130) 10 %. . . [130,140) 3 [140,150) 1

则这堆苹果中,质量不小于 120 克的苹果数占苹果总数的

14、集合 A={x|︱x+3|+|x-4|≤9},B{x|x=4t+ -6,t∈(0,+∞) },则集合 A∩B= 15、 已知函数 f(x)=-x2+ax-b, a,b 都是区间[0,4]内的数, f(1)>0 成立的概率是 若 则

1 t

16、椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆相交于 A,B 两点,当△ FAB 的周长最大 4 3
.

时,△ FAB 的面积是

三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、 (本题 10 分)某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料,在自动包装传送带上每隔 30min 抽取 一包产品,称其重量,分别记录抽查数据如下: 甲:102, 101, 99, 98, 103, 98, 99; 乙:110, 115, 90, 85, 75, 115, 110。 (Ⅰ)这种抽样方法是哪一种? (Ⅱ)将这两组数据用茎叶图表示出来; (Ⅲ)将两组数据比较:说明哪个车间的产品较稳定。

18、 (本题 12 分)已知集合 A ? x | x ? 2 x ? 3<0 ,B ? ? x |
2

?

?

? ?

x?2 ? <0? x?3 ?

(Ⅰ)在区间(-4,4)上任取一个实数 x,求“x∈A∩B”的概率; (Ⅱ)设(a,b)为有序实数对,其中 a 是从集合 A 中任取的一个整数,b 是从集合 B 中任取 的一个整数,求“b-a∈A∪B”的概率.

-3-

19、 (本题 12 分)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E, F 分别是棱 BC,CC1 上的点, CF=AB=2CE, AB:AD:AA1=1:2:4. (Ⅰ)求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值; (Ⅱ)证明 AF⊥平面 A1ED; (Ⅲ)求二面角 A1-ED-F 的正弦值。

20、 (本题 12 分)如图,设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的投影,M 为 PD 上一点,且|MD|=

4 |PD|. 5 4 的直线被曲线 C 所截线段的长度. 5

(Ⅰ)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为

21、 (本题 12 分)已知实数 a,b,c,d 满足 a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5, 求证: (Ⅰ) (b ? c ? d ) ? 2b ? 3c ? 6d ;
2 2 2 2

(Ⅱ) a ?

3 1 ? . 2 2

22、 (本题 12 分)直线 l:y=kx+1 与双曲线 C: 2 x ? y ? 1 的右支交于不同的两点 A,B
2 2

(Ⅰ)求实数 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在, 求出 k 的值;若不存在,说明理由.

-4-

高二(上)数 学 答 案(理)
一、选择题: 题号 答案 1 D 2 C 3 D 4 A 5 C 6 C 7 B 8 A 9 D 10 A 11 C 12 B

二、填空题: 13、 70 14、

?x 2 ? x ? 5 ?

15、

9 32

16、 3

17、解: (Ⅰ)因间隔时间相同,故是系统抽样。 (Ⅱ)茎叶图如下: 甲 7 8 9 10 11 乙 5 5 0 0 0 5 5

9 9 8 8 3 2 1

(Ⅲ)甲车间:

1 (102+101+99+98+103+98+99)=100 7 1 2 2 2 2 方差: S1 ? [(102 ? 100 ) ? (101 ? 100 ) ? ? ? (99 ? 100 ) ] ? 3.43 7
平均值: x1 ? 乙车间: 平均值: x2 ? 方差: S 2
2

1 (100+115+90+85+75+115+110)=100 7 1 ? [(110 ? 100 ) 2 ? (115 ? 100 ) 2 ? ? ? (110 ? 100 ) 2 ] ? 228 .59 7
2 2

? x1 ? x2 , S1 <S 2

?甲 车 间 的 产 品 稳 定

1 18、解: (Ⅰ)由已知 A ? ? x | ?3<x< ?,B ? ? x | ?2<x<3? ,设事件“x∈A∩B”的概率为 P , 1
则P ? . 1 (Ⅱ) 因为a, b ? Z,且a ? A, b ? B (-2,-1),(-2,0)(-2,1)(-2,2)(-1,-1)(-1,0)(-1,1) , , , , , , ?基本事件共 12 个, (-1,2)(0, -1)(0,0)(0,1)(0,2) , , , , 设事件 E 为“b-a∈A∪B”,则事件 E 中包含 9 个基本事件.

3 8

? P( E ) ?

9 3 ? 12 4 3 ,0) 2

19、解:如图所示,建立空间直角坐标系,点 A 为坐标原点.设 AB=1,依题意得 D(0,2,0) ,F (1,2,1) 1(0,0,4) ,A ,E(1,

-5-

(Ⅰ)易得 EF ? (0,

1 ,1), A1 D ? (0,2,?4). 2
EF ? A1 D | EF || A1 D | ?? 3 5

于是 cos ? EF , A1 D ??

3 5 3 1 (Ⅱ)证明:易知 AF ? (1,2,1), EA1 ? (?1,? ,4), ED ? (?1, ,0). 2 2
所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为 . 于是 AF ? EA1 ? 0, AF ? ED ? 0. 因此,AF⊥EA1,AF⊥ED. 又 EA1∩ED=E,所以 AF⊥平面 A1ED.

?u ? EF ? 0 ? (Ⅲ)设平面 EFD 的法向量 u=(x,y,z),则 ? ?u ? ED ? 0 ?
不妨令 x=1,可得 u=(1,2,-1). 由(Ⅱ)可知, AF 为平面 A1ED 的一个法向量. 于是 cos ? u , AF ??

?1 ?2 y ? z ? 0 ? 即? ?? x ? 1 y ? 0 ? 2 ?

u ? AF | u || AF |

?

2 3

从而 sin ? u, AF ??

5 . 3

所以二面角 A1-ED-F 的正弦值为

5 . 3

?xp ? x ? 20、解: (Ⅰ)设 M(x,y),P(xp,yp),由已知得 ? 5 ?yp ? y 4 ?

5 x2 y 2 ?1 因为点P在圆上, x 2 ? ( y )2 ? 25 ,即 C 的方程为: ? ? 25 16 4
(Ⅱ) 过点(3,0)且斜率为

4 4 的直线 l 为 y ? ( x ? 3) 5 5

设直线 l 与 C 的交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

-6-

4 ? ? y ? 5 ( x ? 3) ? ? x 2 ? 3x ? 8 ? 0 ? 2 2 由?x y ? ?1 ? 25 16 ? ? x1 ? x2 ? 3, x1 ? x2 ? ?8
? AB ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? ? 41 41 ? 41 ? 25 5 16 ) ?( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? 25 ?

21、证明: (Ⅰ)? (2b 2 ? 3c 2 ? 6d 2 )(

1 1 1 ? ? ) ? (b ? c ? d ) 2 2 3 6

1 1 1 ? ? ? ?1 2 3 6
? (b ? c ? d )2 ? 2b2 ? 3c 2 ? 6b2
(Ⅱ)由(Ⅰ)得(3-a)2<5-a2

3 1 ? a 2 ? 3a ? 2 ? 0, 即: ? ) 2 ? ; (a 2 4 3 1 ? a? ? 2 2
22、解: (Ⅰ)由 ?

?y ? kx?1 ?2 x ? y ? 1
2 2

? (k 2 ? 2) x 2 ? 2k x ? 2 ? 0??①

?k 2 ? 2 ? 0 ? 2 2 ?△? (2k ) ? 8(k ? 2)>0 ? 据题意: ?? 2k >0 ? k2 ? 2 ? 2 >0 ? 2 ?k ? 2

解得-2<k< ? 2

(Ⅱ)设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2) ,

2k ? ? x1 ? x2 ? 2 ? k 2 ? 则由①式得: ? ? x1 ? x2 ? 2 ? k2 ? 2 ?
假设存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆过双曲线 C 的右焦点 F(

6 ,0) ,则 FA ? FB. 2

FB ∴ FA · =0

-7-

即: 1- (x

6 6 ) 2- (x )+y1y2=0 2 2

(x1-

6 6 ) 2- (x )+(kx1+1) 2+1)=0 (kx 2 2

(1+k2 )x1 x2+(k-

5 6 ) 1+ x2)+ =0 (x 2 2

∴(1+k2) ?

2k 5 6 2 +(k- )· + =0 2 2 2?k 2 k ?2
2

∴5k2+2 6 k -6=0

∴k=-

6? 6 6? 6 或 k= (舍去) ? (-2,- 2 ) 5 5 6? 6 时,使得以线段 AB 为直径的圆经过的双曲线 C 的右焦点。 5

∴k=-

-8-


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