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选修2-1课件3.2.4 立体几何中的向量方法(四)


空间“角度”问题

复习引入
1.异面直线所成角

? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为a , b
?
2 ), 则

若两直线 l , m 所成的角为? (0 ≤ ? ≤

? ? a?b cos ? ? ? ? a b

l
<

br />l

? a

?

m

? ? a b ?

m

2、二面角
①方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的 方向向量(在二面角的面内且垂直于二面角的棱) 的夹角。如图(2),设二面角? ? l ? ? 的大小为? 其中AB? l , AB ? ? , CD ? l , CD ? ?

cos? ? cos AB, CD ?
B

AB ? CD AB ? CD

C

L

D

?

?

A

2、二面角

②法向量法 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。 ? ? 如图,向量 n ? ?,m ? ? ,

? ? 则二面角? ? l ? ? 的大小 ? =〈m, n 〉
? ? ? ? m, n

m

n

? ? u?v 若二面角? ? l ? ? 的大小为 ? (0 ? ? ? ? ,) 则 cos ? ? ? ? . u v

L

?

?

注意法向量的方向:同进 同出,二面角等于法向量 夹角的补角;一进一出, 二面角等于法向量夹角

?

3. 线面角
设n为平面 ? 的法向量,直线AB与平面? 所 成的角为 ? 1 ,向量 AB 与n所成的角为? 2 ,



?1 ?

?
2

?? 2

(0 ? ? 1 ?

?

? ?1 ? ? 2 ? 2
,0 ? ? 2 ? ? )
n B

而利用 cos? 2 ? 从而再求出

2 AB ? n

AB ? n

可求

?2 ,
?
A

?2

?1

?1

n

3. 线面角

? ? 设直线l的方向向量为 a,平面 ? 的法向量为 u ?
直线 l 与平面 ? 所成的角为? ( 0 ≤ ? ≤

,且

? ? a u
?

? ? a?u sin ? ? ? ? a u

2

),则

? a
?

l

?

?

? u

基础训练:

??? ? ???? 1、已知 AB =(2,2,1), AC =(4,5,3),则平面
ABC的一个法向量是______ .
2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射 影的方向向量分别是a=(1,0,1),b=(0,1, 1),那么这条斜线与平面所成的角是______ 600 .

3、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1), 则两平面所成的钝二面角为______ 1350 .

例1: 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 6, AD ? 8, AA1 ? 6, M 为B1C1上的一点,且B1M ? 2, 点N 在线段A1D上, A1 N ? 5, 求AD与平面ANM 所成的角的正弦值. 解:如图建立坐标系A-xyz,则
A1 1 B1 1 M

z
NC

D1 1

? ? ? AM ? (6,2,6), AN ? (0,4,3). ? 设平面 ? ?的法向量n ? ( x, y, z),由
? AM ? n ? 0 ? ? AN ? n ? 0

A(0,0,0), M (6,2,6) 由A1 N ? 5, 可得 N (0,4,3)

C1 1
D D

A

y

x

B B

C C



6x ? 2 y ? 6z ? 0 4 y ? 3z ? 0

| sin ? |?

| AD ? n | | AD | ? | n |

例1: 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 6, AD ? 8, AA1 ? 6, M 为B1C1上的一点,且B1M ? 2, 点N 在线段A1D上, A1 N ? 5, 求AD与平面ANM 所成的角的正弦值.
???? ? 4 得n ? (1,1,? ) 又 AD ? (0,8,0), 3 ? ?
| 0 ? 1? 8 ? 0 | 3 34 ? ? , 34 4 2 2 2 8 ? 1 ? 1 ? (? ) 3

A1 1 B1 1 M

z
NN

D1 1

| AD ? n | ? ? ?| sin ? |? | AD || n |

C1 1
D D

A

y

x

B B

C C

3 34 AD与平面ANM 所成角的正弦值是 34

【典例剖析】

例2、如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平 行四边形,侧面SBC ? 底面ABCD。已知?ABC ? 450 AB=2,BC= 2 2 ,SA=SB= 3 . (1)求证

SA ? BC.

(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。 z S

C

O

B y

D
x

A

【典例剖析】 例3 如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形, 侧棱PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD= 3,在线段BC 上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450? 若存在,确定点E的位置;若不存在说明理由。
z P

A B E D x C y

解:以A为原点,AD、AB、AP所在的直线分 别为X轴、Y轴、Z轴,建立空间直角坐标系, A(0,0,0), P(0,0,1), D( 3,0,0), E(m,1,0), 设BE=m ,则 ??? ? ??? ? ??? ? ? AP ? (0,0,1), DP ? (? 3,0,1), DE ? (m ? 3,1,0) ?
设平面PDE的法向量为n ? ( x, y, z ), ? ??? ? ? ???? ? 则n ? DP, n ? DE ,

令x ? 1, 得n ? (1, 3 ? m, 3), ? PA与平面PDE所成角的大小为45? ?sin 45? ?

? ? ? ? 3 x ? z ? 0, ? z ? 3 x, ?? 解得 ? ? ? ?( m ? ? 3) x ? y ? 0, ? y ? ( 3 ? m ) x,

3 4 ? ( 3 ? m)2

,

解得m ? 3 ? 2或m ? 3 ? (舍), 2

因此,当BE ? 3 ? 2时,PA与平面PDE所成角的大小为45?。

【典例剖析】 例4、(2004,天津)如图所示,在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是正方形,侧棱PD? 底面ABCD,PD=DC, E是PC的中点。 (1)证明:PA//平面EDB; (2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。 z P y
E

C
G

B x

D

A

【巩固练习】

1 三棱锥P-ABC PA⊥ABC,PA=AB=AC,
?BAC ? 90 ,E为PC中点 ,则PA与BE所成角
0

6 的余弦值为_________ 6

. 0 2 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, ?BAC ? 90 AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成
3 10 角的余弦值为_________ 10

.
0

3正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的

45 中点, 则二面角E-BC-A的大小是__________

【课后作业】 如图,已知:直角梯形OABC中, OA∥BC,∠AOC=90°,SO⊥面 OABC,且OS=OC=BC=1,OA=2。 求: (1)异面直线SA和OB所成的角的余 A 弦值 x (2)OS与面SAB所成角的余弦值 (3)二面角B-AS-O的余弦值

z
S

O C B

y


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