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山东省菏泽一中2013届高三阶段性检测数学文科


山东省菏泽一中 2013 届高三阶段性检测数学文科

数学(文)试题
本试卷共 4 页,分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时 间 120 分钟.

第Ⅰ卷 (选择题

共 60 分)

注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑. (特别强调:为方便 本次阅卷,每位考生在认真填涂 “数学”答题卡的前提下,再将Ⅰ卷选择题答案重涂在 另一答题卡上. )如需改动,用橡皮擦干净后,再改涂在其它答案标号. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 复数

i ?1 ( i 为虚数单位)等于 i ?1
( ) C. i D. ? i B.—1

A.1

2. 设集合 U ? {1, 2,3, 4,5}, A ? {1, 2,3}, B ? {2,5}, 则A ? (? B) = U ( ) B.{2}

A.{1,3}

C.{2,3}

D.{3}

3. 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? a7 ? a11 ? 12 ,则 S13 等于 ( ) B.54

A.52

C.56

D.58

4. 在 ?ABC 中,若 A ? 60?, BC ? 4 3, AC ? 4 2 ,则角 B 的大小为 ( B.45° ) C.135° D.45° 135° 或

A.30° 5. 设函数 f ( x ) ?

1 x ? ln x ( x ? 0) ,则 y ? f ( x) 3
( ) B.在区间 (1, e),(e,3) 内均有零点. D.在区间内 (1, e),(3, e ) 内均有零点.
? ? ? ? ? ?

A.在区间 ( ,1),(1, e) 内均有零点. C.在区间 (e,3),(3, e ) 内均无零点.
? ?

1 e

2

2

6 . 设 向 量 a ? (1,2) , b ? (x,1) , 当 向 量 a ? 2 b 与 2 a ? b 平 行 时 , 则 a ? b 等 于 ( A.2 B.1 ) C.

5 2

D.

7 2

1

7.若不等式 | x ? 1|? a 成立的充分条件是 0 ? x ? 4 ,则实数 a 的取值范围是 ( A. ?3, ?? ? ) C. ?1, ?? ? D. ? ??,1?

B. ? ??,3?

8. 函数 y ? lg

1 的大致图象为 | x ? 1|
( )

9. 将函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图象先向左平移

? ,然后将得到的图象上所有点的横坐标变 6

为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则所得到的图象对应函数解析式为 ( ) A. y ? ? cos x 10. 考察下列命题: ( ) ①命题“若 lg x ? 0, 则 x ? 1 ”的否命题为“若 lg x ? 0, 则x ? 1 ;” ②若“ p ? q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题; ③命题 p : ?x ? R ,使得 sin x ? 1 ;则 ? p : ?x ? R ,均有 sin x ? 1 ; ④“ ?m ? R, 使f ( x) ? (m ? 1) ? x m 则真命题的个数为 A.1 11.已知 f ( x) ? ? ( ) B.2 C.3 D.4
2

B. y ? sin 4 x

C. y ? sin( x ?

?
6

)

D. y ? sin x

?4m?3

是幂函数 且在(0,??) 上递减” ,

?(3 ? a )x ? 4a , x<1, 是(- ? ,+ ? )上的增函数,那么 a 的取值范围是 ?log a x, x ? 1
( ) C.[

A. (1,+ ? )

B. ? ,3) (-

3 ,3) 5

D. (1,3)

12 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 y ? f (x) 满 足 下 列 三 个 条 件 : ① 对 任 意 的 x ? R 都 有

f ( x ? 2) ? ? f ( x); ② 对 于 任 意 的 0 ? x1 ? x2 ? 2 , 都 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ), ③

2

y ? f ( x ? 2) 的图象关于 y 轴对称,则下列结论中,正确的是
( A. f (4.5) ? f (6.5) ? f (7) C. f (7) ? f (4.5) ? f (6.5) ) B. f (4.5) ? f (7) ? f (6.5) D. f (7) ? f (6.5) ? f (4.5)

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

注意事项: 1. 第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题. 2.第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在 “数学”答题卡指定的位置. 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 当 a ? 0 且 a ? 1 时,函数 f ( x) ? a x?2 ? 5 的图象必过定点 14. 已知 f ( x) ? ? .

?3e x ?1 , x ? 3 ? 则 f ( f (3)) 的值为 ?log3 ( x 2 ? 6), x ? 3, ?



15. 已知直线 y ? x ? 1 与曲线 y ? ln( x ? a ) 相切,则 a 的值为



16. 设 ?ABC 中, AB ? (1, 2) , AC ? (? x, 2x)( x ? 0) ,若 ?ABC 的周长为 6 5 时, x 的 值为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin x cos x ? 3 cos2 x. (Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f (x) 在区间 [ ?

??? ?

??? ?

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 6 2

18. (本小题满分 12 分) 记函数 f ( x) ? lg( x ? x ? 2) 的定义域为集合 A , 函数 g ( x ) ?
2

3 ? x 的定义域为集合

B.
(Ⅰ)求 A ? B ; (Ⅱ) C ? x x ? 4 x ? 4 ? p ? 0, p ? 0 , C ? ( A ? B ) , 若 且 求实数 p 的取值范围.
2 2

?

?

3

19. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的角 A、 C 所对的边分别是 a, b, c , B、 设向量 m ? (a, b) ,

??

? n ? (sin B,sin A) ,

? ? p ? (b ? 2, a ? 2)
(Ⅰ)若 m ∥ n ,求证: ?ABC 为等腰三角形; (Ⅱ)若 m ⊥ p ,边长 c ? 2 , C ?

??
??

?

??

?
3

,求 ?ABC 的面积.

20. (本小题满分 12 分) 若二次函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c 满足 f (2) ? f (?2) ,且函数的 f ( x ) 的一个零点为1 . (Ⅰ) 求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)对任意的 x ? ? , ?? ? , 4m2 f ( x) ? f ( x ?1) ? 4 ? 4m2 恒成立,求实数 m 的取 值范围.

?1 ?2

? ?

21. (本小题满分 12 分) 经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以 30 天计) t 天 (1 ? t ? 30, t ? N ) 的 ,第 旅游人数 f ? t ? (万人)近似地满足 f ? t ? =4+ ,而人均消费 g (t ) (元)近似地满足
?

1 t

g (t ) ? 120 ? t ? 20 .
(Ⅰ)求该城市的旅游日收益 w(t ) (万元)与时间 t (1 ? t ? 30, t ? N ) 的函数关系式; (Ⅱ)求该城市旅游日收益的最小值.
?

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x ln x. (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的极值点;
4

(Ⅱ)若直线 l 过点 (0, ?1) 且与曲线 y ? f ? x ? 相切,求直线 l 的方程; ( Ⅲ ) 设 函 数 g ( x) ? f ( x) ? a( x ? 1), a ? R, 求 函 数 g ( x) 在 [1 e] 上 的 最 小 , 值. e ? 2.71828? ) (

参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. CAABD CADDC DB 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.

(? 2 , 6 )

14. 3

15. 2

16.

30 11

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. 解: (Ⅰ)? f ( x) ? sin x cos x ? 3 cos2 x

?

1 3 ? 2 sin x cos x ? (cos2 x ? 1) 2 2

?

1 3 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

? sin(2 x ?

?
3

)?

3 2
…………………6 分

2? ?? . 2 ? ? ? 4? (Ⅱ)∵ ? ? x ? , 0 ? 2 x ? ? , 6 2 3 3
∴函数 f (x) 的最小正周期 T ? ∴?

3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1, 2 3

…………………9 分

∴ 0 ? sin(2 x ?

?
3

)?

3 3 2? 3 ? 1? ? , 2 2 2 2? 3 ,最小值为 0. 2
……………12 分

∴ f (x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最大值为 6 2

18.解: (Ⅰ)依题意,得 A ? x x ? x ? 2 ? 0 ? x x ? ?1或x ? 2
2

?

? ?

?

B ? x 3 ? x ? 0 ? ?x ?3 ? x ? 3?

?

?

5

? A ? B ? ?x ?3 ? x ? ?1或2 ? x ? 3?
分 (Ⅱ)? p ? 0 ? C ? x ?2 ? p ? x ? ?2 ? p 又 C ? ( A ? B)

…………………6

?

?

??2 ? p ? ?3 ?? ??2 ? p ? ?1
…………………12

?0 ? p ? 1


19. 证明: (Ⅰ) ∵ m ∥ n , ∴ a sin A ? b sin B ,由正弦定理可知,

??

?

a b ? b? ,其中 R 是 ?ABC 外接圆的半径, 2R 2R ∴a ? b. 因此, ?ABC 为等腰三角形. a?

…………………6 分

(Ⅱ)由题意可知, m ? p ? 0 ,即 a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0,? a ? b ? ab. 由余弦定理可知, 4 ? a2 ? b2 ? ab ? (a ? b)2 ? 3ab, 即 (ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0

?? ? ?

? ab ? 4 , ab ? 1 舍去) ( 1 1 ? ∴ S ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 . 2 2 3
20.解: (Ⅰ) ∵ f (2) ? f (?2) 且 f (1) ? 0 ∴

…………………12 分

b ? 0, c ? ?1
………………………4 分



f ( x) ? x2 ?1

2 2 2 2 (Ⅱ)由题意知: 4m ( x ?1) ? ( x ?1) ?1 ? 4m ? 4 ? 0 在 x ? [ , ??) 上恒成立,
2 整理得 m ?

1 2

1 1 1 1 ? ? 在 x ? [ , ??) 上恒成立, 2 x 2x 4 2

………………………6

分 令 g ( x) ? ∵

1 1 1 1 1 5 ? ? ? ( ? )2 ? 2 x 2x 4 x 4 16 1 x ? [ , ??) 2
………………………8 分



1 ? ? 0, 2? x

6

当 分

1 19 ? 2 时,函数 g ( x) 得最大值 , x 4 19 19 19 , 解得 m ? ? 或m ? . 4 2 2

………………………10

2 所以 m ?

………………………12

分 21. (Ⅰ)解: W ?t ? ? f ?t ?g ?t ? ? ? 4 ? ? 120 ? t ? 20 分

? ?

1? ? t?

?

………………………4

100 ? ?401? 4t ? t ?1 ? t ? 20? ? =? ?559 ? 140 ? 4t ?20 ? t ? 30? ? t ?
(Ⅱ) t ? ?1,20? ,401 ? 4t ? 当 分

…………………………6 分

100 100 (t=5 时取最小值) ……9 ? 401? 2 4t ? ? 441 t t
140 ? 4t 递减, t
) 有 最 小 值 W ( 30 ) =

30 当 t ? ?20,, ? ,因为 W ?t ? ? 559 ?
所 以 t=30 时 , W (

t

443

2 3,


………11 分

所 元

t ? ?1,30?





W



t













441



………12 分 …………1

22 .解: (Ⅰ) f ??x ? ? ln x ? 1, x >0 分 而 f ?? x ? >0 ? lnx+1>0 ? x > , f ?? x ? <0 ? ln x ? 1 <0 ? 0< x < ,

1 e

1 e

所 以 增 .

? 1? ?1 ? f ?x ? 在 ? 0, ? 上 单 调 递 减 , 在 ? ,?? ? 上 单 调 递 ? e? ?e ?
…………3 分

所 以 x? 在.

1 是 函 数 e

f ?x ? 的 极 小 值 点 , 极 大 值 点 不 存

…………………4 分

(Ⅱ)设切点坐标为 ?x0 , y0 ? ,则 y0 ? x0 ln x0 , 切线的斜率为 ln x0 ? 1, 所以切线 l 的方程为 y ? x0 ln x0 ? ?ln x0 ? 1??x ? x0 ?.
7

…………5 分

又切线 l 过点 ?0,?1? ,所以有 ?1 ? x0 ln x0 ? ?ln x0 ? 1??0 ? x0 ?. 解得 x0 ? 1, y0 ? 0. 所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1. ………6 分

(Ⅲ)g ?x ? ? x ln x ? a?x ?1? , g ??x ? ? ln x ? 1 ? a. g ?? x ? <0 ? ln x ? 1 ? a <0 ? 0 则 < x < ea?1 , g ??x ? >0 ? x > e a ?1 , 所以 g ?x ? 在 0, e a ?1 上单调递减, e a ?1 ,?? 上单调 在 递增. 分 ………………8

?

?

?

?

当 ea?1 ? 1, 即 a ? 1 时, g ?x ? 在 ?1, e? 上单调递增,所以 g ?x ? 在 ?1, e? 上的最小值为

g ?1? ? 0.
当 1< e
a ?1

……9 分 <e,即 1<a<2 时, g ?x ? 在 1, e a ?1 上单调递减,在 e a ?1 , e 上单调递增. ………11

?

?

?

?

g ?x ? 在 ?1, e? 上的最小值为 g ?ea?1 ? ? a ? ea?1.
分 当e

? ea ?1 , 即 a ? 2 时, g ?x ? 在 ?1, e? 上单调递减,
……12

所以 g ?x ? 在 ?1, e? 上的最小值为 g ?e? ? e ? a ? ae. 分 综上,当 a ? 1 时, g ?x ? 的最小值为 0;当 1<a<2 时, g ?x ? 的最小值为 a ? e 当 a ? 2 时, g ?x ? 的最小值为 a ? e ? ae . 分

a ?1



………14

8


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