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割尾法


& ( ( ’年第 G期

中学数学月刊

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割尾法 " 在递推数列竞赛题中的妙用 !
梁新潮 浙江省新昌中学 # $ % & ’ ( ( ) 有些递推数列的竞 赛题 * 其递 推 关 系式 中含有常数 * 对于这类题 * 往往可以通过消去 常 数找到解题的突破口 * 我

们称这种 方 法 为 割尾法 " 这种方法的关键是如何消去常数 * ! + 常用的有姊妹式相减 , 换元等方法 * 本文举例 说明 + 例- # 年莫斯科数学竞赛题 ) 已知 % . / $
& 1 2 5%6 & 数列 0 1 3满足 1 * 1 # 2 2 %4 1 &4 % 24 1 2 5& 证明 8 7$ ) * 1 + 29 : & 分析 去分母得 1 再 1 * 2 5% 6 & 2 2 5&4 1 & 写出其姊妹等式 1 两式相减 1 * 26 & 2 6% 2 5 %4 1 消去常数 * 经过变形就便于求解了 + & 由已知 1 1 * 2 2 5& 4 1 2 5% 6 & & 两式相减得 1 1 1 * # 1 ) 2 6% 2 5%4 1 2 26 1 2 5& 26 &

# 1 ) # 1 1 )4 ( * 2 6%5 1 2 5% 2 6%6 1 2 5%5 $ 2 显然数列0 故 1 1 3是 递 增 数 列 * 2 2 6% 5 所以 1 1 * 1 * C 2 5%B ( 2 6%4 $ 25 1 2 5% 假 设 存 在 某 一 自 然 数 @* 满 足 则$ 由 C 式得 %. A . D 1 D 1 & @* & @+ 所以 $ 1 1 * D 1 ; & @ 4 $ & @5 % 5 1 & @5 & & @5 & 如此继续下去 * 应有 $ 这与 1 矛 D 1 + ( (4 % 盾* 故假设不成立 * 原命题成立 + 例E # 年全国高中联赛加试题 ) 设 & ( ( ( 数 列 0 1 3满 足 1 % * F ( * 且 2 ( 4 ( 4 I1 1 F * 2 6%4 G 26 / 25 $ 求 H # 24 ( * % * & * ;) * 1 F JF 2 6%4 A 26 G 25 < 证8 1 2 是完全平方数 + 先用代入法消去 F 得 * 2和 F 2 6% 如果等式中没有 1 < 1 4( * 2 6 &5 % 2 6 %6 1 26 / 常 数项 / 就可以利用特征根法求出 1 问题 * * 2 就容易解决 + 因此如何去掉 ! 尾巴 " /是关键 + 证明 由已知可得 1 < 1 2 6& 5 % 2 6% 6 1 2 6 /4 ( * C 令K 把1 代入 C 式 * 24 1 26 1 24 K 25 1 得 K < K & 16 /4 ( * 2 6&5 % 2 6%6 K 26 % 令% 得 145 %+ & 16 /4 ( * & 所以 K 由特征根法 < K * 2 6 &5 % 2 6 %6 K 24 ( 分析

证明

41 # 1 ) * 2 5% 2 6%6 1 2 5% 1 26 1 2 5& 2 6%6 1 2 5% 即1 4 * 1 1 2 5% 2 1 2 6%6 1 2 5% 26 1 2 5& 所以1 4 4 ; 4 1 1 2 2 5% 1 $6 1 % 4< + 1 & 从而 1 由于 1 1 # 27 $ ) * 24 < 2 5%5 1 2 5& % 因此 * 41 * 1 + &4 % 29 : 例 = 设 1 * & 1 1 ( 4 % 2 6% 4 $ 2 6 证明 8 对于 1 不可能有某 > ’ 16 < # 2 9 ?) +
& 2 2

一自然数 @ 使 1 A .整除 + & @ 能被 %. 分析 把递推关系式移项得 & 1 2 6% 5 $ 1 24 了+ 两边平方就露出! 尾 巴" > ’ 16 < *
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容易求得 L 6 <> $* L 5 <> $+ %4 G &4 G

% % 2 于是 K # G6 < > $) 6 # G5 < 24 < < 2 & 而# 所以 > $) * G M <> $) 4# & M > $) * % % & 2 4 N # & 6 > $) 6# & 5 & < % % & 2 2 > $) O6 4 N # &6 > $) 6 # &5 & < 1 24 K 26
2 & > $) O* 2 2 因为 # 为正偶 & 6 > $) 6# & 5 > $) 数* 所以 1 2 是完全平方数 +

证明 平方 * 得

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"割尾法"在递推数列竞赛题中的妙用
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 梁新潮 浙江省新昌中学,312500 中学数学月刊 ZHONGXUE SHUXUE YUEKAN 2005(7)

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