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导数与函数的单调性教学设计


2014 年全省学前教育及中小学教育教学优秀论文(教学设计、 案例) 评选活动

类别: 教学设计

题目: 姓名: 单位:

导数在函数单调性中的应用 郭世成 白银 市 会宁 县(区)鸡儿咀初级中学 13884295655 学校

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导数在函数的单调性中的应用

/>白银市会宁县鸡儿咀初级中学 郭世成 一、教材分析 本节课是新课标高中数学A版选修2-2第三章第一节的内容。函数单 调性是高中阶段刻划函数变化的一个最基本的性质。在高中数学课程中, 对于函数单调性的研究分成两个阶段:第一个阶段是用定义研究单调性, 知道它的变化趋势; 第二阶段用导数的性质研究单调性, 知道它的变化快 慢。那么高一是处在第一个阶段,而高二我们是处在第二个阶段。 在学习本节课之前学生已经学习了导数、函数及函数单调性等概念, 对单调性有了一定的感性和理性的认识, 同时在第二章中已经学习了导数 的概念,对导数有了一定的知识储备。 函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点。以前学习了利用 函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性,学习了导数以后, 利用导数来研究函数的单调性, 是导数在研究处理函数性质问题中的一个 重要应用。同时,在本章第二节要学习利用导数研究函数的极值,学习了 导数研究函数的单调性,对于研究利用导数求函数的极值有重要的帮助。 因此,学习本节内容具有承上启下的作用。 二、学情分析 课堂学生为高二年级的的学生,学生基础普遍比较好,但是学习单调 性的概念是在高一第一学期学过, 现在有些同学已经淡忘, 同时又有一部 分同学对于单调性概念的理解不够准确,而导数是高中学生新接触的概 念,所以如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点。
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在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的 四则运算, 初步接触了导数在几何中的简单应用, 但对导数的应用还仅停 留在表面上。 本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单 调性。 三、教学目标 1、知识与能力目标: 一是能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间;二是掌握 判断函数单调性的方法;三是能由导数信息绘制函数大致图象。 2、过程与方法目标: 通过利用导数研究单调性问题的研究过程,体会从特殊到一般的、 数形 结合的研究方法。 3、情感态度与价值观目标: (1)通过导数方法研究单调性问题,体会到不同数学知识间的内在 联系,认识到数学是一个有机整体。 (2)通过导数研究单调性的基本步骤(即算法)的形成和使用,使 得学生认识到导数使得一些复杂的问题就变得有矩可循, 因而认识到导数 的实用价值。 四、教学重、难点 教学重点:利用求导的方法判定函数的单调性。 教学难点:为什么会将导数与函数的单调性联系起来 五、教法准备

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讲授法,引导发现法,合作探究法。 六、教具准备 传统板书与多媒体辅助教学相结合。 七、教学准备
多媒体 (画出函数① y ? f ( x) ? x ② y ? f ( x) ? 2 x ? 5 ③ y ? f ( x) ? ?3x ? 4 在同一 个坐标系下的图象) ; 并 写 出 以 下 四 个 函 数 : ① f ( x) ? 2x
?? ? f ( x) ? log3 x x ? ? 0, ??? ,③ y ? sin x x ? ? , ? ? ,④ y ? 2 x2 ? 5x ? 4 ?2 ?
x?R , ②

5? ? x ? ? ??, ? 4? ?

八、教学流程
开 始

复习引入
学生回答

问题 1 练习

提出问题

问题 2 学生练习

得出定义

例1 师生互动

得出结论

学生练习

作业布置

结束

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九、教学过程 教学环节 师生活动 师:提出问题: 新课引入 a. 函数增减性的定义是什么? b. 导数的定义是什么? 生:思考以前学习过的数学知识,说出 两个问题的概念的要点来。举手回答。 设计目的 引导学生理解函 数的单调性概念 及导数的概念



师:显示多媒体(出示 3 个函数的解析 让学生观察导数 式及图象)引导学生观察并回答以下问 的符号与函数图 题: 象有何联系,并



① 这 3 个函数图象都是直线, 其斜率分 概括、总结出直 别是多少?其值有何特点?单调性 线的斜率与导数 如何? 的关系及直线的



② 分别求出这 3 个函数的导数?并观 单调性与导数的 察其导数值有何特点? 关系。让学生能 了解直线的单调



性与函数的导数 符号有关。

生:学生思考并归纳总结

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① 每一条直线的斜率值等于该函数的导 数值。 新 ② 函数的导数值大于零时, 其函数为单调 递增; 函数的导数值小于零时, 其函数 为单调递减。 课 生:思考并举手,教师指定一个学生上 台作图。再指定一个学生上台求出函数的 导数: ① 函数 f ( x) ? x ,其直线斜率 K=1,其导 数值 f ?( x) ? 1 ? 0 ② 函数 f ( x) ? 2 x ? 5 ,其斜率 K=2,其导 数值 f ?( x) ? 2 ? 0 ③ 函数 f ( x) ? ?3x ? 4 ,其斜率 K=-3,其 导数值 f ?( x) ? ?3 ? 0





师:显示多媒体(出示 4 个函数的解析 让学生总结出曲 式) :引导学生完成以下问题: 线的切线的斜率

① 在不同坐标系下分别做出这 4 个函数 与导数的关系及 的图象? ② 分别求出这 4 个函数的导数? 生:① f ?( x) ? 2x ln 2 ② f ?( x) ?
1 x ln 3

曲线函数的导数 与曲线的单调性 之间的关系。让 学生能了解曲线 的单调性也与函 数的导数符号有 关。

③ f ?( x) ? cos x ④ f ?( x) ? 4 x ? 5 师:引导学生思考并提出以下问题:
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探 究 函 数 ① 每一个函数在某一点的切线斜率值是 让学生再次观察 的导数与 否等于该函数在该点处的导数值? 并总结出曲线的

函 数 的 单 ② 同一个函数在每一点处的切线的斜率 切线的斜率值与 调性的关 系 值有何特点?它与该函数的单调性有 导数的关系及曲 何联系呢? 线的单调性与导 数的关系。

师生: ① 是。根据导数的几何意义可得。 ② 其斜率值都大于零或都小于零。 当斜率 让学生能理解利 值都大于零时, 其函数为单调递增; 当 用导数的符号来 斜率值都小于零时,其函数为单调递 判定函数的单调 减。 性之间的充分性

③ 若函数的导数值大于零, 则函数为单调 与必要性。 递增; 若函数的导数值小于零, 则函数 为单调递减。

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师:定理: 一般地,函数y=f(x)在某个区间(a,b) 内 归纳总结 1) 如果恒有 f′(x)>0, 那么 y=f(x)在这个区间(a,b)内单调递 增; 2) 如果恒有 f′(x)<0, 让学生更进一步 地体会函数的单

那么 y=f(x)在这个区间(a,b)内单调递 调性与导数符号 减。 注意: 间的关系及利用 导数判定函数单

①应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义, 调 性 的 一 般 步 它必是定义域内的某个子区间。 ②如果在某个区间内恒有f /(x)=0 f(x) 为常数函数. ③ 同一个函数的单调性与该函数的导数 值有何联系呢? ④ 函数的导数值、单调性与区间有关系 吗? ,则 骤。

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反思: 若函数 y ? f ( x) 在某区间上是单调递增 函数, 那么导数值 f ?( x) ? 0 恒成立吗?若函 数 y ? f ( x) 在某区间上是单调递减函数, 那 么其导数值 f ?( x) ? 0 恒成立吗? 生:回答老师问题, 通过实例让学生 例 例 1:求函数 掌握利用函数的

y ? 2 x3 ? 6 x 2 ? 7 的单调递增区间与递减区 导数符号来判定

间。 题 师:分析 根据上面结论,我们知 讲

函数单调性的方 法及过程;进一 步让学生体会利 用导数工具解决

道函数的单调性与函数导数的符号有关。 函数的单调性问 因此,可以通过分析导数的符号求出函数 题。 的单调区间。



生:学生分组讨论,共同来研究该函数 的单调性。 积极思考并举手回答;教师指定一个学生 回答, 教师板书。 生回答问题并同时板书。 师:函数 让学生熟悉并掌

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y ? 2 x3 ? 6 x 2 ? 7 的定义域是什么?其导数 握求函数的定义

如何求?

域及求导的方

生:函数的定义域是 ? ??, ??? ,其导数 法。 值是:
f ?( x) ? 6 x 2 ? 12x

学生回顾本节课 = 6 x( x ? 2) 的主要内容及函 师:若 f ?( x) ? 0 时, x 的区间是什么?若 数单调性的导数
f ?( x) ? 0 时, x 的区间又是什么?

定义。 生:当 x ? (??, ?2) 或 x ? (0,??) 时, f ?( x) ? 0 , 因此,在这两个区间上,函数是增加的; 当 x ? (?2,0) 时, f ?( x) ? 0 ,因此,在这个区 间上,函数是减少的。 所以,函数
y ? 2x3 ? 3x2 ? 36x ? 16 的递增区间为 ? ??, ?2?
(0, ? ?) (- 2,0) 和 ;递减区间为 。

加强学生对利用 师:讨论函数单调性的一般步骤是什么? 课堂小结 师生: 性的方法进一步 a 求函数 f ( x) 的导数。 熟练掌握,同时 b 讨论单调区间,解不等式 f ?( x) ? 0 ,解 让学生对所学知 导数求函数单调

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集为增区间; 解不等式 f ?( x) ? 0 , 解集为减 识进一步巩固和 区间。 c 得出结论。 熟练掌握.

课堂练习

1、求下列函数的的单调区间: ① f ( x) ? ( ) x ② y ? 3x ? x 3 ③ f ( x) ? log 1 x
2

培养学生共同解 决问题、探讨问 题的能力和合作 意识,从而培养

1 2

2、讨论函数 y ? 2 x ? sin x 在 ? 0, 2? ? 上的单 学生的探究意识 调性。 和探究能力。

课后小结

本节课从几个函数的图象与区间上的导 让学生明确本节 数值之间的关系,引入了函数单调性的导 课的中心内容是 数定义,根据定义让学生明确了利用导数 什么。 求函数单调性的方法,并掌握了求函数单 调性的一般步骤。

课后思考

根据函数的导数定义及利用导数求 为下一节学习利 函数单调性的方法步骤,如何画出函数的 用导数求函数的 大致图象? 极值作准备。

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十、教学反思 1、本节课由于提前撰写了教学设计,并且经过了精心的修改,通过 课堂教学的实施, 能够把新课标理念渗透到教学中去, 体现了以学生为主 体,以教师为主导的作用发挥的比较到位,学生能极思考,思维敏捷,合 作学习氛围浓厚,是一堂成功的教学设计课。 2、本节课存在的不足之处是: (1)教学引入时间较长,致使整堂课时间安排显得前松后紧。 (2) 在引导学生探讨如何把导数与函数的单调性联系起来时, 列举的 函数有点多;应该去掉 1-2 个函数(一次函数只需选一个) 。 (3)由于前松后紧,课堂小结不够到位。 3、改进的思路: (1)选取函数时去掉两个一次函数。 (2)在引导学生提问时,问题要简明扼要,并对学生的回答给出合 理的评价。

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附:

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