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三角函数的图像与性质


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徐州龙文教育个性化辅导教案
教师 授课时间 学生 授课课题 三角函数的图 象与性质 年级 授课类型 高一 复习

教学目标

1、通过题目加深对三角函数图像和性质基础知识的掌握 2、通过题目掌握一定的解题方法和技巧,学会一定的建模法解决问题

重点:通过题目加

深对三角函数图像和性质基础知识的掌握 教学重点 难点:通过题目加深对三角函数图像和性质基础知识的掌握 与难点 通过题目掌握一定的解题方法和技巧,学会一定的建模法解决问题 参考资料 教学过程 复习巩固 新课导入

题组一

三角函数的图像问题

授课内容 1、右图为 y=Asin(?x+?)的图象的一段,求其解析式。 分析、推 导(突出教
学内容要 点,采用的 教学方法 等,要求简 明扼要,若 有与教材中 相同的文 字、表格、 例题等不要 在教案上照 抄,可注明 教材页码。 )

2 、( 江 苏

2011



5 是

分 ) 函 数 常 数 ,

f ( x) ? A sin(? x ? ? ),( A, ?, ?

A ? 0, ? ? 0) 的 部 分 图 象 如 图 所 示 , 则 f ( 0 ) ?


1

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x ? 3.为了得到函数 y ? 2 sin( ? ), x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2 sin x, x ? R 的图像上所 3 6
有的点【 】

(A) 向左平移 (B) 向右平移 (C) 向左平移 (D) 向右平移

?
6

1 个单位长度, 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍 (纵坐标不变) 3

? ?

1 个单位长度, 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍 (纵坐标不变) 6 3
个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍 (纵坐标不变) 个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍 (纵坐标不变)

6

?
6

4、把函数 y=cos(x+ φ 的最小正值为

4? )的图象向右平移 φ 个单位,所得的图象正好关于 y 对称,则 3
题组二 三角函数的定义域问题

5.已知函数 f ( x) ? log 1 sin x
2

⑴求它的定义域和值域; ⑶判断它的奇偶性;

⑵求它的单调区间; ⑷判断它的周期性.

6.求下列函数的定义域: y= cosx+ tanx;.

2

全国最大的个性化品牌辅导机构 题组三 三角函数的周期性

7.定义在 R 上的函数 f (x) 既是偶函数又是周期函数,若 f (x) 的最小正周期是 ? ,且 当 x ? [0,

?
2

] 时, f ( x) ? sin x ,则 f (

5? ) 的值为 __________ 3

9.(江苏 2008 年 5 分)若函数 y ? cos(? x ? ▲ . 题组四

?

6

)(? ? 0) 最小正周期为

? ,则 ? ? 5

三角函数的奇偶性 】

11、已知 a ? R ,函数 f ( x) ? sin x? | a |, x ? R 为奇函数,则 a=【 (A)0 (B)1 (C)-1 (D)± 1 三角函数的单调性

题组五

13、设ω >0,若函数 f(x)=2sinω x 在[- _________.

? ?

]上单调递增,则ω 的取值范围是 , , 3 4

14、函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ?[?? ,0]) 的单调递增区间是【 A. [?? , ?



? ? 5? 5? ? B. [? C. [? ,0] D. [? ,0] ] ,? ] 3 6 6 6 6 1 | | 15、函数 f(x)=( ) cosx 在[-π ,π ]上的单调减区间为_________. 3
16(2009· 福建四地六校联考)若函数 f(x)同时满足下列三个性质:①最小正周期为 π;② π π π 图象关于直线 x= 对称;③在区间[- , ]上是增函数.则 y=f(x)的解析式可以是 3 6 3 ( ) π A.y=sin(2x- ) 6 π C.y=cos(2x- ) 6 x π B.y=sin( + ) 2 6 π D.y=cos(2x+ ) 3

题组六 17、设-

三角函数的值域与最值

?
6

≤x≤

?
4

,求函数 y=log2(1+sinx)+log2(1-sinx)的最大值和最小值.

3

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18.(2010· 诸城模拟)设函数 f(x)=2cos2x+2 3sinx· cosx+m(m,x∈R) (1)化简函数 f(x)的表达式,并求函数 f(x)的最小正周期; π 1 7 (2)当 x∈[0, ]时,求实数 m 的值,使函数 f(x)的值域恰为[ , ]. 2 2 2

题组七

图象和性质的综合应用

19、如下图,某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ω x+φ )+b. (1)求这段时间的最大温差. (2)写出这段曲线的函数解析式.

4

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20、某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5cm ,秒针均匀地绕点 O 旋转,当时间

t ? 0 时,点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合,将 A,B 两点的距离 d (cm) 表示成 t ( s ) 的函
数,则 d ? ▲ ,其中 t ?[0,60] 。

小结

作业/思 考题 课后反思 (体会、 得失分 析、 改进) 学生对于本次课的评价: ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字: 教师评定: 1、 学生上次作业评价: ○ 好 2、 学生本次上课情况评价: ○ 好 ○ 较好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 一般 ○ 差 ○ 差 教师签字:

5

全国最大的个性化品牌辅导机构 主任签字: 日期 徐州龙文教育

答案
1、解析 法 1 以 M 为第一个零点,则 A= 3 ,

? ? 2 所求解析式为 y ? 3 sin(2x ? ? ) ? 2? 点 M( ,0) 在图象上,由此求得 ? ? ? 3 3 ? 所求解析式为 y ? 3 sin( 2 x ? 2? ) 3 法 2. 由题意 A= 3 , ? ? 2 ,则 y ? 3sin(2x ? ? ) 7 7 ? 3 ? 3 sin( ? ? ? ) ? 图像过点 ( ? , 3) 12 6 7 7 ? 2? 2? ? 3 ? 3 sin( ? ? ? ) 即 ? ? ? ? ? 2k? . ? ? ? ? ? 2 k? . 取 ? ? ? . 6 6 2 3 3 2? ? 所求解析式为 y ? 3 sin(2 x ? ) 3
【点晴】1. 由图象求解析式时,”第一零点”的确定很重要,尽量使 A 取正值. 2. 由图象求解析式 y ? A sin(?x ? ? ) ? k 或由代数条件确定解析式时,应注意: (1) 振幅 A=

1 ( y max ? y min ) 2 1 T , 由此推出 ? 的值. 2

(2) 相邻两个最值对应的横坐标之差,或一个单调区间的长度为 (3) 确定 ? 值,一般用给定特殊点坐标代入解析式来确定. 2、 【答案】

6 。 2
2? T 7? ? ? ? ,? ? 2 , ? ? ,∴ T ? ? , ? 4 12 4

【分析】由函数图象得 A ? 2 ,

再结合三角函数图象和性质知 2 ? 3、 【答案】C。

?
3

?? ? ? , ? ?

?
3

, f ( x ) ? 2 sin( 2x ? ∴

?
3

∴ ) 。 f ( 0 ) ? 2 sin

?
3

?

6 。 2

? ? 个单位长度,得到函数 y ? 2sin( x ? ), x ? R 的图象, 6 6 x ? 再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)得到函数 y ? 2 sin( ? ), x ? R 的图像。 3 6
【分析】先将 y ? 2 sin x, x ? R 的图象向左平移 故选 C。 4、

? 3
6

全国最大的个性化品牌辅导机构 5、解(1)x 必须满足 sinx-cosx>0,利用单位圆中的三角函数线及 2k? ? ? ? x ? 2k? ? 5 ? ,k∈Z∴ 函数定
4 4

义域为 (2k? ?

? 5 k∈Z∵ sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ? ) ∴当 x∈ (2k? ? ? , 2k? ? 5 ? ) 时, ? sin( x ? ? ) ≤1 , 2k? ? ?) , 0 4 4 4 4 4 4

1 ∴ 0 ? sin x ? cos x ≤ 2 ∴ y ≥ log 1 2 ? ? 1 ∴ 函数值域为[ ? , ?? ) 2 2 2
(3)∵ f ( x) 定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,∴ f ( x) 不具备奇偶性 (4)∵ f(x+2π )=f(x)∴ 函数 f(x)最小正周期为 2π 注;利用单位圆中的三角函数线可知,以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准,可区分 sinx-cosx 的符号;以Ⅱ、Ⅲ 象限角平分线为标准,可区分 sinx+cosx 的符号 6、解:(1)要使函数有意义,
? ?cosx≥0, 则? 即 ?tanx≥0, ?

?2kπ-2≤x≤2kπ+2, ? π ?kπ≤x<kπ+2,

π

π

(k∈Z),

π 所以 2kπ≤x<2kπ+ (k∈Z). 2 所以函数 y= cosx+ tanx的定义域是 π {x|2kπ≤x<2kπ+ ,k∈Z}. 2

?-tanx-1≥0, ? (2)由函数式有意义得? ? x π ?cos(2+8)≠0,
2sinx-1>0,

?sinx>2, ? 得?tanx≤-1, x π ?2+8≠kπ+π, ? 2
1

(k∈Z).

? ? π π 即?kπ-2<x≤kπ-4, ?x≠2kπ+3π, ? 4

π 5π 2kπ+ <x<2kπ+ , 6 6 (k∈Z).

π 3π 求交集得 2kπ+ <x<2kπ+ (k∈Z). 2 4 π 3π 所以函数的定义域是{x|2kπ+ <x<2kπ+ ,k∈Z}. 2 4 7、

3 2

9、 【答案】 10 。

7

全国最大的个性化品牌辅导机构 【分析】由三角函数的周期公式,得 T ? 11、 【答案】A。 【考点】函数的奇偶性,三角函数 sin x 的奇偶性的判断。 【分析】 f (? x) ? sin ? ? x ? ? | a |? ? sin x? | a | , ? f ( x) ? ? sin x + | a | ,且函数 f ( x) ? sin x? | a |, x ? R 为奇函数, ∵ ∴ ? sin x ? a = ? sin x+ | a | ,即 2 a =0 。∴a=0。故选 A。 13、解:由-

2?

?

?

?
5

? ? ? 10 。

? ? ? ? ≤ω x≤ ,得 f(x)的递增区间为[- , ] ,由题设得 2? 2? 2 2 ? ? ? ?? 2? ? ? 3 ? ? ? ? 3 3 ? [? , ] ? [? , ],? ? 解得 : ? ? ,? 0 ? ? ? . 3 4 2? 2? 2 2 ?? ?? ? 2? 4 ?

14、 【答案】D。 【分析】利用两角差的正弦公式对函数解析式化简整理,从而根据正弦函数的单调性求得答案:

?1 ? 3 ? ? ? ? ? f ( x) ? 2 ? sin x ? cos x ? ? 2 ? cos sin x ? sin cos x ? ? 2sin( x ? ) ?2 ? 2 3 3 3 ? ? ? ?
∵ x ?[?? ,0] ,∴ x ?

?

?? ? 4 ? ?? ? , ? ? 。 3 ? 3 3?
? ?? ? 1 ? 1 ? ?? ? , ? ? ,即 x ? ?? ? , 0? 时,函数 f ( x) 单调递增。故选 D。 3 ? 2 3? ? 6
? ? ,0]及[ ,π ].而 f(x)依|cosx|取值的 2 2

∴根据正弦函数的单调性, x ?

15、解:在[-π ,π ]上,y=|cosx|的单调递增区间是[- 递增而递减,故[-

? ? ,0]及[ ,π ]为 f(x)的递减区间. 2 2

16、解析:逐一验证,由函数 f(x) 的周期为 π,故排除 B; π π π π π 又∵cos(2× - )=cos =0,故 y=cos(2x- )的图象不关于直线 x= 对称; 3 6 2 6 3 π π π π π 令- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 2 6 2 6 3 π π π ∴函数 y=sin(2x- )在[- , ]上是增函数. 6 6 3 答案:A

? ? ]上,1+sinx>0 和 1-sinx>0 恒成立,∴原函数可化为 y= 6 4 ? ? log2(1-sin2x)=log2cos2x,又 cosx>0 在[- , ]上恒成立,∴原函数即是 y=2log2cosx,在 x∈[ 6 4
17、解:∵在[- ,

8

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2 ? ? ≤cosx≤1. , ]上, 2 6 4 2 ? ? ∴log2 ≤log2cosx≤log21,即-1≤y≤0,也就是在 x∈[- , ]上,ymax=0, 2 6 4

ymin=-1. π 18、解:(1)f(x)=2cosx+2 3sinxcosx+m=1+cos2x+ 3sin2x+m=2sin(2x+ )+m+1, 6 ∴函数 f(x)的最小正周期 T=π. π π π 7π 1 π (2)∵0≤x≤ ,∴ ≤2x+ ≤ ,∴- ≤sin(2x+ )≤1, 2 6 6 6 2 6 1 7 1 m≤f(x)≤m+3.又 ≤f(x)≤ ,故 m= . 2 2 2 19、解:(1)由图示,这段时间的最大温差是 30-10=20(℃); (2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y=Asin(ω x+φ )+b 的半个周期的图象.

1 2? ? 1 1 ? =14-6,解得ω = ,由图示 A= (30-10)=10,b= (30+10)=20,这时 y=10sin( x+φ )+20, 2 2 2 ? 8 8 3 ? 3 将 x=6,y=10 代入上式可取φ = π .综上所求的解析式为 y=10sin( x+ π )+20,x∈[6,14]. 4 4 8 ?t 20、 【答案】 d ? 10sin 。 60
∴ ? 【分析】 由题意知可以先写出秒针转过的角度, 整个圆周对应的圆心角是 360° 可以算出一秒转过的角度, , 再乘以时间,连接 AB,过圆心向它做垂线,把要求的线段分成两部分,用直角三角形得到结果: ∵ ∠AOB=

t ?t ? 2? ? , 60 30 ?AOB ?t ? 10sin 2 60

∴根据直角三角形的边长求法得到 d ? 2 ? 5 ? sin

9


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