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平面向量易错点归纳总结


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台江学大 阿东家的阿西 2011.4.13

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2011 届高考数学概念方法题型易误点技巧总结(五) 平面向量
1、向量有关概念: (1)向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示,注意 不能说向量就是有向线段,为什么

?(向量可以平移) 。如已知 A(1,2) ,B(4,2) ,则把向量 AB 按向量 a =(-1,3)平移后得到的向量是_____(答: (3,0) ) (2)零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作: 0 ,注意零向量的方向是任意的; (3)单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 AB 共线的单位向量是 ? AB ); | AB | (4)相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性; (5)平行向量(也叫共线向量) :方向相同或相反的非零向量 a 、 b 叫做平行向量,记作: a ∥ b , 规定零向量和任何向量平行。提醒: ①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等; ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念: 两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直 线平行不包含两条直线重合; ③平行向量无传递性! (因为有 0 ); ④三点 A、B、C 共线 ? AB、 AC 共线; (6)相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a 的相反向量是- a 。 如下列命题: (1)若 a ? b ,则 a ? b 。 (2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。

B ? D C (3) 若A

B C D 是平行四边形。 B C D , 则A (4) 若A

, ? c , 是平行四边形, 则 AB ? DC 。 (5) 若 a ?bb

则a ?c 。 (6)若 a // b, b // c ,则 a // c 。其中正确的是_______(答: ( 4) (5) ) 2、向量的表示方法: (1)几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如 AB ,注意起点在前,终点在后; (2)符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如 a , b , c 等; (3)坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 为基底, 则平面内的任一向量 a 可表示为 a ? xi ? y j ? ? x, y ? ,称 ? x, y ? 为向量 a 的坐标, a = ? x, y ? 叫做向量 a 的 坐标表示。如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理: 如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量 a,有且只有一对实数 ?1 、

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?2 ,使 a= ?1 e1+ ?2 e2。
如(1)若 a ? (1,1), b ? (1, ?1), c ? (?1,2) ,则 c ? ______(答: a ? b ) ; (2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是 A. e1 ? (0,0), e2 ? (1, ?2) C. e1 ? (3,5), e2 ? (6,10) B. e1 ? (?1,2), e2 ? (5,7) D. e1 ? (2, ?3), e2 ? ( , ? ) (答:B) ;

1 2

3 2

1 2

3 4

(3) 已知 AD, BE 分别是 ?ABC 的边 BC , AC 上的中线,且 AD ? a, BE ? b ,则 BC 可用向量 a, b 表示为 _____(答: a ? b ) ; (4)已知 ?ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2 DB , CD ? r AB ? s AC ,则 r ? s 的值是___ (答:0) 4 、实数与向量的积:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a ,它的长度和方向规定如下:
? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??

2 3

4 3

?1? ? a

? ? a , ? 2 ? 当 ? >0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同,当 ? <0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反,当

? =0 时, ? a ? 0 ,注意: ? a ≠0。
5、平面向量的数量积: (1)两个向量的夹角:对于非零向量 a , b ,作 OA ? a, OB ? b , ?AOB ? ?

? 0 ? ? ? ? ? 称为向量 a ,b 的夹角,当? =0 时,a ,b 同向,当? = ? 时,a ,b 反向,当? = 2 时,a ,
b 垂直。
(2)平面向量的数量积:如果两个非零向量 a ,b ,它们的夹角为 ? ,我们把数量 | a || b | cos? 叫做 a 与 b 的数量积(或内积或点积) ,记作: a ? b ,即 a ? b = a b cos ? 。规定:零向量与任一向量的数量积 是 0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量。 如(1)△ABC 中, | AB |? 3 , | AC |? 4 , | BC |? 5 ,则 AB ? BC ? _________(答:-9) ; (2)已知 a ? (1, ), b ? (0, ? ), c ? a ? kb, d ? a ? b , c 与 d 的夹角为 (3)已知 a ? 2, b ? 5, a b ? ?3 ,则 a ? b 等于____(答: 23 ) ; (4)已知 a, b 是两个非零向量,且 a ? b ? a ? b ,则 a与a ? b 的夹角为____(答: 30 ) (3) b 在 a 上的投影为 | b | cos ? ,它是一个实数,但不一定大于 0。如已知 | a |? 3 , | b |? 5 ,且
? ?

?

? ??

? ??

? ??

1 2

1 2

?
4

,则 k 等于____(答:1) ;

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12 ) 5

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? ?

a ? b ? 12 ,则向量 a 在向量 b 上的投影为______(答:

(4) a ? b 的几何意义:数量积 a ? b 等于 a 的模 | a | 与 b 在 a 上的投影的积。 (5)向量数量积的性质:设两个非零向量 a , b ,其夹角为 ? ,则: ①a ? b ? a ? b ? 0 ; ② 当 a ,b 同向时,a ? b = a b ,特别地,a ? a ? a ? a , a ? a ;当 a 与 b 反向时,a ? b =- a b ;当 ? 为锐角时, a ? b >0,且 a、 b 不同向, a ? b ? 0 是 ? 为锐角的必要非充分条件;当? 为钝 角时, a ? b <0,且 a、 b 不反向, a ? b ? 0 是 ? 为钝角的必要非充分条件; ③ 非零向量 a , b 夹角 ? 的计算公式: cos ? ?
? ?
?

2

2

2

a ?b a b
?

;④| a ? b |?| a || b | 。

如 (1) 已知 a ? (? ,2? ) ,b ? (3? ,2) , 如果 a 与 b 的夹角为锐角, 则 ? 的取值范围是______ (答:

? ? ? 或? ? 0且? ? ) ;
(2)已知 ?OFQ 的面积为 S ,且 OF ? FQ ? 1 ,若 围是_________(答: (
? ?? ? ?? ? ?? ? ?? 1 3 ,则 OF , FQ 夹角 ? 的取值范 ?S? 2 2

4 3

1 3

? ? , )) ; 4 3

(3)已知 a ? (cos x,sin x), b ? (cos y,sin y), a 与 b 之间有关系式 k a ? b ? 3 a ? kb , 其中k ? 0 , ① 用 k 表示 a ? b ;② 求 a ? b 的最小值,并求此时 a 与 b 的夹角 ? 的大小(答:①a ? b ? 值为

k2 ?1 ( k ? 0) ;② 最小 4k

1 , ? ? 60 ) 2

6、向量的运算: (1)几何运算: ① 向量加法:利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量,如此 之外,向量加法还可利用“三角形法则” :设 AB ? a, BC ? b ,那么向量 AC 叫做 a 与 b 的和,即

a ? b ? AB ? BC ? AC ;
② 向量的减法:用“三角形法则” :设 AB ? a, AC ? b, 那么a ? b ? AB ? AC ? CA ,由减向量的 终点指向被减向量的终点。注意:此处减向量与被减向量的起点相同。 如(1)化简:①AB ? BC ? CD ? ___;

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②AB ? AD ? DC ? ____;③( AB ? CD) ? ( AC ? BD) ? _____(答:①AD ;②CB ;③0 ) ; (2) 若正方形 ABCD 的边长为 1, 则 | a ? b ? c | =_____ (答: ; 2 2) AB ? a, BC ? b, AC ? c , (3)若 O 是 ABC 所在平面内一点,且满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ,则 ABC 的形 状为____(答:直角三角形) ; (4)若 D 为 ?ABC 的边 BC 的中点, ?ABC 所在平面内有一点 P ,满足 PA ? BP ? CP ? 0 , 设

| AP | ; ? ? ,则 ? 的值为___(答:2) | PD |

(5)若点 O 是 △ ABC 的外心,且 OA ? OB ? CO ? 0 ,则 △ ABC 的内角 C 为____(答: 120 ) ; (2)坐标运算:设 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则: ① 向量的加减法运算: a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 。 如(1)已知点 A(2,3), B(5, 4) , C (7,10) ,若 AP ? AB ? ? AC(? ? R) ,则当 ? =____时,点 P 在 第一、三象限的角平分线上(答:

?

?
2

1 ) ; 2 1 ? ? (2)已知 A(2,3), B(1,4), 且 AB ? (sin x,cos y) , x, y ? (? , ) ,则 x ? y ? 2 2 2

(答:

?
6



) ; (3)已知作用在点 A(1,1) 的三个力 F1 ? (3,4), F2 ? (2, ?5), F3 ? (3,1) ,则合力 F ? F1 ? F2 ? F3 的

终点坐标是

(答: (9,1) )

② 实数与向量的积: ? a ? ? ? x1 , y1 ? ? ? ? x1 , ? y1 ? 。 ③ 若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 AB ? ?x 2 ?x 1 ,y 2 ?y 1 ? ,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向 线段的终点坐标减去起点坐标。 如设 A(2,3), B(?1,5) ,且 AC ?

1 AB , AD ? 3 AB ,则 C、D 的坐标分别是__________(答: 3

(1,

11 ; ),(?7,9) ) 3
④ 平面向量数量积: a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 。

? ,求向量 a 、 3 1 3? ? 1 , ] ,函数 f ( x) ? ? a ? b 的最大值为 ,求 ? 的值(答: (1)150 ;(2) 或 (2)若 x∈ [? c 的夹角; 2 8 4 2
如已知向量 a =(sinx,cosx), b =(sinx,sinx), c =(-1,0) 。 (1)若 x=

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台江学大 ; ? 2 ?1 ) ⑤ 向量的模: | a |? 阿东家的阿西 2011.4.13

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x 2 ? y 2 , a ?| a |2 ? x 2 ? y 2 。如已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,

2

那么 | a ? 3b | =_____(答: 13 ) ; ⑥ 两点间的距离:若 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 | AB |?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2



如如图,在平面斜坐标系 xOy 中, ?xOy ? 60 ,平面上任一点 P 关于 斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若 OP ? xe1 ? ye2 ,其中 e1 , e2 分别为与 x 轴、 y 轴同方向的单位向量,则 P 点斜坐标为 ( x, y ) 。 (1)若点 P 的斜坐标为(2,- 2) ,求 P 到 O 的距离|PO|; (2)求以 O 为圆心,1 为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程。 (答: (1)2; (2) x2 ? y 2 ? xy ?1 ? 0 ) ;

7、向量的运算律:

? ? (2)结合律: a ? b ? c ? ? a ? b ? ? c, a ? b ? c ? a ? ? b ? c ? , ? ? a ? ? b ? ? ? a ? b ? ? a ? ? ? b ? ; (3)分配律: ? ? ? ? ? a ? ? a ? ? a, ? ? a ? b ? ? ? a ? ? b , ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c 。
(1)交换律: a ? b ? b ? a , ? ? a ? ? ?? ? a , a ? b ? b ? a ; 如下列命题中:① a? ( b ? c ) ? a? b ? a? c ;② a? ( b ? c ) ? ( a? b ) ? c ;
2 2 2 ③ ( a ? b ) ?| a | ?2 | a | ? | b | ? | b | ;④ 若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ; ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?

?

?

?

? ?

? ?

?

? ?

? ?

?

⑤ 若 a ? b ? c ? b, 则 a ? c ;⑥ a ? a ;⑦

2

2

a ?b a
2

?

b a

;⑧(a ? b)2 ? a ? b ;⑨(a ? b)2 ? a ? 2a ? b ? b 。

2

2

2

2

其中正确的是______(答:①⑥ ⑨ ) 提醒: (1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以移项,两边平方、 两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约 去一个向量,切记两向量不能相除(相约); (2)向量的“乘法”不满足结合律,即 a(b ? c) ? (a ? b)c ,为 什么? 8、向量平行(共线)的充要条件: a // b ? a ? ? b ? (a ? b)2 ? (| a || b |)2 ? x1 y2 ? y1 x2 =0。如(1)若向量

u ? a ? 2b , 当 x =_____时 a 与 b 共线且方向相同 (答: 2) ; (2) 已知 a ? (1,1), b ? (4, x) , a ? ( x,1), b ? (4, x ) , v ? 2a ? b ,且 u // v ,则 x=______(答:4) ; (3)设 PA ? (k ,12), PB ? (4,5), PC ? (10, k ) ,则 k=_____

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台江学大 阿东家的阿西 2011.4.13 时,A,B,C 共线(答:-2 或 11)

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? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 特 别 地

9 、 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 : a ? b ? a ? b ? 0 ?| a ? b |?| a ? b |

(

AB AB

?

AC AB )? ( ? AC AB

AC 。 ) AC
(答:

如(1)已知 OA ? (?1,2), OB ? (3, m) ,若 OA ? OB ,则 m ?

3 ) ; 2

(2) 以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB,?B ? 90? , 则点 B 的坐标是________ (答:(1,3)或(3,-1) ) ; (3)已知 n ? (a, b), 向量 n ? m ,且 n ? m ,则 m 的坐标是________ (答: (b, ?a)或(?b, a) ) 10.线段的定比分点: (1)定比分点的概念:设点 P 是直线 P 1 P 2 上异于 P 1 、P 2 的任意一点,若存在一个实数 ? ,使

? 的定比分点; PP ? ? PP2 ,则 ? 叫做点 P 分有向线段 PP 1 1 2 所成的比,P 点叫做有向线段 PP 1 2 的以定比为
(2)? 的符号与分点 P 的位置之间的关系: 当 P 点在线段 P 1 P 2 上时 ? ? >0; 当 P 点在线段 P 1 P 2 的延长线上时 ? ? <-1;当 P 点在线段 P 2 P 1 的延长线上时 ? ?1 ? ? ? 0 ;若点 P 分有向线段 PP 1 2 所成 的比为 ? ,则点 P 分有向线段 P 2P 1 所成的比为 _______(答: ? )

1

?

。如若点 P 分 AB 所成的比为

3 ,则 A 分 BP 所成的比为 4

7 3

? ,则 ( 3)线段的定比分点公式:设 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) , P( x, y ) 分有向线段 PP 1 2 所成的比为
? x? ? ? ? ?y ? ? ?

x ?x ? x1 ? ? x2 x? 1 2 ? ? 2 1? ? ? ? ,特别地,当 =1 时,就得到线段 P 1 P 2 的中点公式 。在使用定比分点的坐 ? y ? y1 ? y2 y1 ? ? y2 ? ? 2 1? ?

标公式时,应明确 ( x, y ) , ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标。在具体计算时应 根据题设条件,灵活地确定起点,分点和终点,并根据这些点确定对应的定比 ? 。 如(1)若 M(-3,-2) ,N(6,-1) ,且 MP ? ?
???

7 1 ??? MN ,则点 P 的坐标为_______(答: ( ?6, ? ) ) ; 3 3

(2)已知 A(a,0), B(3,2 ? a) ,直线 y ? ax 与线段 AB 交于 M ,且 AM ? 2MB ,则 a 等于_______ (答:2或-4)
x? ? x ? h 11.平移公式:如果点 P( x, y ) 按向量 a ? ? h, k ? 平移至 P( x?, y?) ,则 ? ;曲线 f ( x, y) ? 0 按向 ? ? y? ? y ? k

1 2

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量 a ? ? h, k ? 平移得曲线 f ( x ? h, y ? k ) ? 0 . 注意: (1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系? (2)向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊! 如(1)按向量 a 把 (2, ?3) 平移到 (1, ?2) ,则按向量 a 把点 (?7, 2) 平移到点______(答: (-8, 3) ) ; (2)函数 y ? sin 2 x 的图象按向量 a 平移后,所得函数的解析式是 y ? cos 2 x ? 1 ,则 a = ________(答: ( ?
? ?

? ,1) ) 4

12、向量中一些常用的结论: (1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用; (2) || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | ,特别地,当 a、 b 同向或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b |

b 反 向 或 有 0 ? | a ? b |? | a |? |b ? b 不共线 ? || a | ? | b ||?| a ? b | ; 当 a、 | | |a ? | b | ? | | a| ? b ;| 当 a、
(这些和实数比较类似 ). ? | |a ? | b | ? | | a| ? b ?| a| ?| b | | (3)在 ?ABC 中, ① 若 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ? x3 , y3 ? ,则其重心的坐标为 G ?

? x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 ? , ?。 3 3 ? ?

如若⊿ ABC 的三边的中点分别为(2,1) 、 (-3,4) 、 (-1,-1) ,则⊿ ABC 的重心的坐标为_______ (答: ( ?

2 4 , )) ; 3 3 ②PG ? 1 ( PA ? PB ? PC ) ? G 为 ?ABC 的重心,特别地 PA ? PB ? PC ? 0 ? P 为 ?ABC 的重 3
③PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? P 为 ?ABC 的垂心; ④ 向量 ? ( AB ? AC )(? ? 0) 所在直线过 ?ABC 的内心(是 ?BAC 的角平分线所在直线);

心;

| AB | | AC |

⑤| AB | PC? | BC | PA? | CA | PB ? 0 ? P ?ABC 的内心;

? ,点 M 为平面内的任一点,则 MP ? MP1 ? ? MP2 ,特别地 P 为 (4) 若 P 分有向线段 PP 1 2 所成的比为 1? ?
MP 1 ? MP 2 ; PP 1 2 的中点 ? MP ? 2

(4)向量 PA 、 PB、 PC 中三终点 A、B、C 共线 ? 存在实数 ?、? 使得 PA ? ? PB ? ? PC 且

? ? ? ? 1 . 如 平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 坐 标 原 点 , 已 知 两 点 A(3,1) , B(?1,3) , 若 点 C 满 足
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? ??

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? ?? ? ??

OC ? ?1 OA? ?2 OB ,其中 ?1 , ?2 ? R 且 ?1 ? ?2 ? 1,则点 C 的轨迹是_______(答:直线 AB)

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