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2016届高考数学大一轮复习 第8章 第5节 椭圆课件 文 新人教版


第五节





考纲要求:1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程.2. 掌握椭圆的简单几何性质.3.理解数形结合思想.

[基础真题体验] 考查角度[椭圆的定义及标准方程] x2 y2 1.(2011· 课标全国卷)椭圆 + =1 的离心率为( 16 8 1 A. 3 1 B. 2 3 C.

3 2 D. 2 )

x2 y2 【解析】 在 + =1 中,a2=16,b2=8,c2=a2-b2 16 8 c 2 2 2 =16-8=8,∴c=2 2,∴e= = = ,故选 D. a 4 2

【答案】 D

2.(2011· 课标全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 2 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 .过 F1 的 2 直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的 方程为________.

x2 【解析】 根据椭圆焦点在 x 轴上, 可设椭圆方程为 2+ a y2 2 c 2 =1(a>b>0),∵e= ,∴ = ,根据△ABF2 的周长为 b2 2 a 2 x 2 y2 16,得 4a=16,∴a=4,b=2 2,∴椭圆方程为 + =1. 16 8
x2 y2 【答案】 + =1 16 8

考查角度[椭圆的几何性质] x2 y2 3. (2012· 课标全国卷)设 F1, F2 是椭圆 E:2+ 2=1(a>b>0) a b 3a 的左、 右焦点, P 为直线 x= 上一点, △F2PF1 是底角为 30° 2 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 1 A. 2 2 B. 3 ) 3 C. 4 4 D. 5

【解析】 由题意,知∠F2F1P=∠F2PF1=30° , ∴∠PF2x=60° .
?3 ? ? ∴|PF2|=2×?2a-c? ?=3a-2c. ? ?

∵|F1F2|=2c,|F1F2|=|PF2|,∴3a-2c=2c, c 3 ∴e= = . a 4

【答案】 C

x2 y2 4.(2014· 课标全国卷Ⅱ)设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2 a b =1(a>b>0)的左、 右焦点, M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直, 直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b.

b2 2? ? a 3 b ? ? 2 2 【解】 (1)根据 c= a -b 及题设知 M?c, a ?, = , ? ? 2c 4 2b2=3ac. 将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac, c 1 c 解得 = , =-2(舍去). a 2 a 1 故 C 的离心率为 . 2

(2)由题意,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴, 所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点, b2 故 =4,即 b2=4a.① a 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.

设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则
? ?2?-c-x1?=c, ? ? ?-2y1=2,

3 ? ?x1=- c, 2 即? ? ?y1=-1.

9c2 1 代入 C 的方程,得 2+ 2=1.② 4a b
2 9 ? a -4 a ? 1 2 2 将①及 c= a -b 代入②得 + =1. 4a2 4a

解得 a=7,b2=4a=28,故 a=7,b=2 7.

[命题规律预测] 1.从近几年的高考试题可以看出, 椭圆的定义、 命题 规律 椭圆的几何意义以及椭圆的离心率、椭圆方程 的求解是高考考查的热点. 2.题型既有选择题、填空题,也有解答题,难 度中等偏上 考向 预测 预测 2016 年高考将以椭圆为背景考查直线与 椭圆的位置关系的探索性问题或定点、定值问 题,同时考查数形结合思想和函数与方程思想.

考向一 椭圆的定义及标准方程 [典例剖析] x2 y2 【例 1】 (1)(2014· 三明模拟)设 F1,F2 是椭圆 + =1 49 24 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=4∶3,则△ PF1F2 的面积为( A.30 ) B.25 C.24 D.40

x2 y2 (2)(2014· 大纲全国卷 )已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的 a b 3 左、右焦点为 F1、F2,离心率为 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 A、 3 B 两点.若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为( x2 y2 A. + =1 3 2 x2 y2 C. + =1 12 8 x2 2 B. +y =1 3 x2 y2 D. + =1 12 4 )

【思路点拨】

(1)由椭圆的定义分别求得 |PF1|、|PF2|的

值,在△PF1F2 中求解其面积. (2)由△AF1B 的周长求 a 的值,由离心率求 c,进而求出 b2,得出 C 的方程.

【解析】 (1)∵|PF1|+|PF2|=14, 又|PF1|∶|PF2|=4∶3, ∴|PF1|=8,|PF2|=6. ∵|F1F2|=10,∴PF1⊥PF2. 1 1 ∴S△PF1F2= |PF1|· |PF2|= ×8×6=24. 2 2

3 c 3 (2)由 e= 得 = ①. 3 a 3 又△AF1B 的周长为 4 3,由椭圆定义,得 4a=4 3,得
2 x a= 3,代入①得 c=1,∴b2=a2-c2=2,故 C 的方程为 + 3

y2 =1. 2

【答案】 (1)C (2)A

1.焦点三角形的应用 椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为 “焦点三角形”,利用定义可求其周长;利用定义和余弦定 理可求|PF1||PF2|;通过整体代入可求其面积等.

2.待定系数法求椭圆方程的解题步骤如下:

[对点练习] x2 y2 1.已知 F1,F2 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦 a b →1⊥PF →2.若△PF1F2 的面积为 点,P 为椭圆 C 上的一点,且PF 9,则 b=________.

→1⊥PF →2, 【解析】 由题意知|PF1|+|PF2|=2a,PF ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2, ∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2, ∴2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2. ∴|PF1||PF2|=2b2, 1 1 ∴S△PF1F2= |PF1||PF2|= ×2b2=9, 2 2 因此 b=3.

【答案】 3

x2 y2 2.已知 F1,F2 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点, a b A,B 分别是此椭圆的右顶点和上顶点,P 是椭圆上一点,OP ∥AB,PF1⊥x 轴,|F1A|= 10+ 5,求椭圆的方程.

【解】 由题意,A(a,0),B(0,b),F1(-c,0),O(0,0). ∵OP∥AB, b ∴kOP=kAB=- , a b 因此直线 OP 的方程为 y=- x, a x2 y2 2 代入椭圆 2+ 2=1,得 x=± a, a b 2 2 由 PF1⊥x 轴,知 x=- a, 2

2 从而- a=-c,即 a= 2c,① 2 又|F1A|=a+c= 10+ 5,② 联立①②,得 a= 10,c= 5, ∴b2=a2-c2=5, x2 y2 所以该椭圆方程为 + =1. 10 5

考向二 椭圆的几何性质 [典例剖析] x2 y 2 【例 2】 (1)(2014· 江西高考)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b a b >0)的左右焦点为 F1, F2, 过 F2 作 x 轴的垂线与 C 相交于 A, B 两点,F1B 与 y 轴相交于点 D,若 AD⊥F1B,则椭圆 C 的 离心率等于________.

x2 y2 (2)(2014· 洛阳模拟)已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的右 a b 焦点为 F,上顶点为 A,P 为 C1 上任一点,MN 是圆 C2:x2 +(y-3)2=1 的一条直径,若与 AF 平行且在 y 轴上的截距为 3- 2的直线 l 恰好与圆 C2 相切. ①求椭圆 C1 的离心率; →· → 的最大值为 49,求椭圆 C1 的方程. ②若PM PN

【思路点拨】 (1)利用直线与直线、直线与椭圆的位置 关系求交点坐标,再利用两直线垂直时斜率的关系列式以确 定离心率. (2)设出 l 的方程,由 l 与圆相切求离心率;设出点 P 的 →· → |max=49,求 C1 的 坐标(x,y),结合二次函数的性质及|PM PN 方程.

x2 y2 b2 【解析】 (1)直线 AB:x=c,代入 2+ 2=1,得 y=± . a b a
2? 2? ? ? b b ? ? ? c , c ,- ∴A? , B ? ? ? ?. a a ? ? ? ?

b2 b2 - -0 - a a b2 ∴kBF1= = =- . 2ac c-?-c? 2c b2 ∴直线 BF1:y-0=- (x+c). 2ac b2 令 x=0,则 y=- , 2a
【答案】 3 3

b2 b2 + 2? 2 ? a 2 a b 3 b ? 0 ,- ∴D? = . ? ?,∴kAD= 2 a c 2ac ? ? b2 3b2 由于 AD⊥BF1,∴- · =-1, 2ac 2ac ∴3b4=4a2c2,∴ 3b2=2ac, 即 3(a2-c2)=2ac, ∴ 3e2+2e- 3=0, -2± 4-4× 3×?- 3? -2± 4 ∴e= = . 2 3 2 3 -2+4 2 3 ∵e>0,∴e= = = . 2 3 2 3 3

(2)①由题意可知直线l的方程为bx+cy-(3- 2)c=0, 因为直线l与圆C2:x2+(y-3)2=1相切,所以d= |3c-3c+ 2c| 2 2 2 =1,即a =2c ,从而e= . 2 2 2 b +c

②设 P(x,y),圆 C2 的圆心记为 C2.由(1)知椭圆 C1 的方 x2 y2 →· → =(PC →2+C → →2+C → 程为 2+ 2=1(c>0),又PM PN (PC 2M)· 2N)= 2c c
2 2 2 2 2 →2 2 - C → PC N = x + ( y - 3) - 1 = - ( y + 3) + 2 c + 17( - 2

c≤y≤c).

→· → )max=17+2c2=49,解得 c=4, (ⅰ)当 c≥3 时,(PM PN x2 y2 此时椭圆方程为 + =1; 32 16 →· → )max=-(-c+3)2+17+2c2 (ⅱ)当 0<c<3 时,(PM PN =49,解得 c=± 5 2-3,但 c=-5 2-3<0,且 c=5 2-3 >3,故舍去. x2 y 2 综上所述,椭圆 C1 的方程为 + =1. 32 16

1.利用椭圆几何性质的注意点及技巧 (1)注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些量的范围,或者最大值、最小值 时,经常用到椭圆标准方程中 x,y 的范围,离心率的范围等 不等关系.

(2)利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分 析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要 理清它们之间的内在联系. 2.求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时,一般是依据题设得出一个 关于 a,b,c 的等式或不等式,利用 a2=b2+c2 消去 b,即可 求得离心率或离心率的范围.

[对点练习] x2 y 2 1. 若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点, 4 3 →· → 的最大值为( 点 P 为椭圆上的任意一点,则OP FP A.2 C.6 B.3 D.8 )

【解析】 由椭圆的方程得 F(-1,0),O(0,0), 设 P(x,y)(-2≤x≤2)为椭圆上任意一点,则
2? ? x 1 → → ? ? 1 2 2 2 2 OP· FP=x +x+y =x +x+3?1- 4 ?= x +x+3= (x+ 4 ? ? 4

2)2+2. →· → 取得最大值 6,选 C. 当且仅当 x=2 时,OP FP

【答案】 C

x 2 y2 2.如图 851 所示,F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a a b >b>0)的左,右焦点,A 是椭圆 C 的顶点,B 是直线 AF2 与 椭圆 C 的另一个交点,∠F1AF2=60° .

图 851

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)已知△AF1B 的面积为 40 3,求 a,b 的值.

【解】 (1)由题意可知,△AF1F2 为等边三角形,a=2c, 1 所以 e= . 2 (2)法一:a2=4c2,b2=3c2,直线 AB 的方程为 y=- 3(x -c), 将其代入椭圆方程 3x +4y =12c ,得 所以|AB|=
?8 ? 16 ? ? c - 0 1+3· ?5 ?= 5 c. ? ?
2 2 2

?8 3 3 ? ? ? B? c,- c?, 5 ? ?5

1 1 16 3 2 3 2 由 S△AF1B= |AF1|· |AB|· sin ∠F1AB= a· c· = a 2 2 5 2 5 =40 3,解得 a=10,b=5 3.

法二:设|AB|=t.因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a. 由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a 可知,|BF1|=3a-t, 8 再由余弦定理(3a-t) =a +t -2atcos 60° 可得,t= a. 5
2 2 2

1 8 3 2 3 2 由 S△AF1B= a·a· = a =40 3知, 2 5 2 5 a=10,b=5 3.

考向三

直线与椭圆的位置关系 [典例剖析]

【例 3】 (2014· 课标全国卷Ⅰ)已知点 A(0,-2),椭圆 x2 y2 3 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,F 是椭圆 E 的右焦点, a b 2 2 3 直线 AF 的斜率为 ,O 为坐标原点. 3 (1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点, 当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

【思路点拨】 (1)用待定系数法求出 a、b,进而求出椭 圆的方程.(2)设出直线方程,代入椭圆方程,设而不求,利 用根与系数的关系转化,从而建立面积的目标函数.

【解】

2 2 3 (1)设 F(c,0),由条件知, = ,得 c= 3. c 3

c 3 又 = ,所以 a=2,b2=a2-c2=1. a 2 x2 2 故 E 的方程为 +y =1. 4

(2)当 l⊥x 轴时不合题意, 故设 l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2), x2 2 将 y=kx-2 代入 +y =1 得 4 (1+4k2)x2-16kx+12=0. 当 Δ=16(4k2-3)>0,
2 8 k ± 2 4 k -3 3 2 即 k > 时,x1,2= . 2 4 4k +1

2 2 4 k + 1· 4 k -3 2 从而|PQ|= k +1|x1-x2|= . 2 4k +1

2 又点 O 到直线 PQ 的距离 d= 2 , k +1 4 4k2-3 1 所以△OPQ 的面积 S△OPQ= d|PQ|= . 2 4k2+1

4t 4 设 4k -3=t,则 t>0,S△OPQ= 2 = . 4 t +4 t+ t
2

4 7 因为 t+ ≥4,当且仅当 t=2,即 k=± 时等号成立, t 2 且满足 Δ>0, 7 所以,当△OPQ 的面积最大时 l 的方程为 y= x-2 或 2 7 y=- x-2. 2

直线与椭圆位置关系的求解思路: (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路 是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根 与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题 常常用“点差法”解决,往往会更简单. (2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] =
? 1? ? ? 2 1 + [ ? y + y ? -4y1y2](k 2 1 2 ? ? k ? ?

为直线斜率).

提醒:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有 解的情况下进行的,不要忽略判别式.

[对点练习] x2 y2 (2013· 天津高考)设椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的左焦点为 a b 3 F,离心率为 3 ,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线 4 3 段长为 . 3 (1)求椭圆的方程; (2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k → → → → 的直线与椭圆交于C,D两点.若AC· DB+AD· CB=8,求k的 值.

c 3 【解】 (1)设 F(-c,0),由 = ,知 a= 3c.过点 F 且 a 3 与 x 轴垂直的直线的方程为 x=-c, ?-c?2 y2 代入椭圆方程有 2 + 2=1, a b 6b 2 6b 4 3 解得 y=± ,于是 = , 3 3 3 解得 b= 2, 又 a2-c2=b2,从而 a= 3,c=1, x2 y2 所以椭圆的方程为 + =1. 3 2

(2)设点 C(x1,y1),D(x2,y2),由 F(-1,0)得直线 CD 的 ? k?x+1?, ?y= 方程为 y=k(x+1),由方程组?x2 y2 消去 y,整理得 + =1 ? ?3 2 (2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0. 3k2-6 6k2 由根与系数的关系可得 x1+x2=- ,x x = . 2+3k2 1 2 2+3k2

因为 A(- 3,0),B( 3,0), →· → +AD →· → =(x + 3,y )· 所以AC DB CB 1 1 ( 3 - x2,- y2)+ (x2 + 3,y2)· ( 3-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2 =6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1) =6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2 2k2+12 =6+ 2. 2+3k 2k2+12 由已知得 6+ 2 =8,解得 k=± 2. 2+3k

满分指导 13 与椭圆有关的综合问题 [典例剖析] x2 y2 【典例】 (13 分)(2014· 四川高考)已知椭圆 C: 2+ 2= a b 6 1(a>b>0)的左焦点为 F(-2,0),离心率为 . 3

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 O 为坐标原点,T 为直线 x=-3 上一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆于 P,Q.当四边形 OPTQ 是平行四边形时, 求四边形 OPTQ 的面积.

【审题指导】 信息提取 破题技巧

c 6 左焦点 F(-2,0), 由 c=2, = ,求得 a,由 b2=a2 a 3 (1) 6 离心率为 -c2,求 b. 3

设出 T 点坐标, 写出直线 PQ 的方程, PQ⊥TF, 四边形 (2) OPTQ 是平行四 边形 联立直线 PQ 的方程与椭圆方程, 得 到 P,Q 的坐标间的关系,再根据四 边形 OPTQ 是平行四边形求出所设 参数, 最后利用根与系数的关系求四 边形 OPTQ 的面积.

【规范解答】 = 6.

c 6 (1)由已知可得, = ,c=2,所以 a a 3

又由 a2=b2+c2,解得 b= 2, x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程是 + =1. 6 2 3分

(2)设 T 点的坐标为(-3,m),则直线 TF 的斜率 kTF= m-0 =-m. -3-?-2? 4分

1 当 m≠0 时, 直线 PQ 的斜率 kPQ= , 直线 PQ 的方程是 m x=my-2. 5分

当 m=0 时,直线 PQ 的方程是 x=-2,也符合 x=my -2 的形式. 6分

设 P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的 ? my-2, ?x= 方程联立,得?x2 y2 + =1, ? 6 2 ? 消去 x,得(m2+3)y2-4my-2=0, 其判别式 Δ=16m2+8(m2+3)>0. 7分 8分 9分

-2 4m y1+y2= 2 ,y1y2= 2 , m +3 m +3 -12 所以 x1+x2=m(y1+y2)-4= 2 . m +3 → =QT →, 因为四边形 OPTQ 是平行四边形,所以OP 即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2). ? ?x +x = -12 =-3, ? 1 2 m2+3 所以? 4m ? y1+y2= 2 =m, ? m +3 ? 解得 m=± 1. 11 分 10 分

此时,四边形 OPTQ 的面积 S 2
四 边 形

OPTQ

= 2S



OPQ

1 = 2× · |OF|· |y1 - y2| = 2 13 分

? 4m ? -2 ? ?2 =2 2 ?m2+3? -4· m + 3 ? ?

3.

【名师寄语】

(1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两

个曲线的方程联立,消去 x(或 y)建立一元二次方程,然后借 助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量 关系. (2)涉及直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直 线斜率为 0 或不存在等特殊情形.

[对点练习] (2014· 河南省三市调研)已知圆 G: x2+y2-2x- 2y=0 x2 y2 经过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点 F 及上顶点 B.过椭圆外 a b 5 一点 M(m,0)(m>a)作倾斜角为 π 的直线 l 交椭圆于 C,D 两 6 点. (1)求椭圆的方程; (2)若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的内部,求 m 的取值范围.

【解】 (1)∵圆 G:x2+y2-2x- 2y=0 经过点 F,B, ∴F(2,0),B(0, 2),∴c=2,b= 2,
2 2 x y ∴a2=b2+c2=6,椭圆的方程为 + =1. 6 2

3 (2)由题意知直线 l 的方程为 y=- (x-m),m> 6, 3
2 2 ?x y ? 6 + 2 =1, 由? ?y=- 3?x-m? 3 ?

消去 y,得 2x2-2mx+m2-6=0.

由 Δ=4m2-8(m2-6)>0, 解得-2 3<m<2 3.∵m> 6,∴ 6<m<2 3.

m2-6 设 C(x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2=m,x1x2= , 2
? ∴ y1y2 = ? ?- ? ? ? ? 1 m 3 3 ? ? ? ?x -m?? · ?- 3 ?x2-m?? = 3 x1x2 - 3 (x1 + x2 ) 3 1 ? ? ?

m2 + . 3 → =(x -2,y ),FD → =(x -2,y ), ∵FC 1 1 2 2 m+6 4 → → ∴FC· FD=(x1- 2)(x2-2)+y1y2= x1x2- (x1+x2)+ 3 3 2m?m-3? m2 +4= . 3 3 →· → <0, ∵点 F 在圆 E 内部.∴FC FD

2m?m-3? 即 <0,解得 0<m<3. 3 又 6<m<2 3,∴ 6<m<3.故 m 的取值范围是( 6, 3).

课堂达标训练 1. 椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上, 长轴长是短轴长的 两倍,则 m 的值为( 1 A. 4 C.2 ) 1 B. 2 D.4

2 y 【解析】 将原方程变形为 x2+ =1, 1 m

1 由题意知 a = ,b2=1, m
2

∴a= ∴

1 ,b=1. m

1 1 =2,∴m= . m 4

【答案】 A

x2 y2 2.已知 M 为椭圆 + =1 上一点,F1 为椭圆的一个焦 25 9 点,且|MF1|=2,N 为 MF1 的中点,O 为坐标原点,则 ON 的 长为( A.2 C.8 ) B.4 1 D. 2

【解析】 设椭圆的另一个焦点为 F2,由椭圆的定义可 知|MF1|+|MF2|=10. 又|MF1|=2,∴|MF2|=8. 1 ∴|ON|= |MF2|=4. 2

【答案】 B

x2 y2 3.(2013· 辽宁高考)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左 a b 焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A,B 两点,连接 AF, 4 BF.若|AB|=10, |BF|=8, cos∠ABF= , 则 C 的离心率为( 5 3 A. 5 4 C. 5 5 B. 7 6 D. 7 )

【解析】

在 △ ABF 中 , |AF|2 = |AB|2 + |BF|2 -
2 2

4 2|AB|· |BF|· cos∠ABF=10 +8 -2×10×8× =36, 则|AF|=6. 5 由|AB|2=|AF|2+|BF|2 可知, △ABF 是直角三角形, OF 为斜边 |AB| AB 的中线,c=|OF|= =5.设椭圆的另一焦点为 F1,因为 2 点 O 平分 AB, 且平分 FF1, 所以四边形 AFBF1 为平行四边形, 所以|BF|=|AF1|=8.由椭圆的性质可知 |AF|+|AF1|= 14=2a? c 5 a=7,则 e= = . a 7

【答案】 B

2 y 4.(2014· 安徽高考)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+ 2= b

1(0<b<1)的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A,B 两 点. 若|AF1|=3|F1B|, AF2⊥x 轴, 则椭圆 E 的方程为________.

2 y 【解析】 设点 B 的坐标为(x0,y0).∵x2+ 2=1, b

∴F1(- 1-b2,0),F2( 1-b2,0). ∴AF2⊥x 轴,∴A( 1-b2,b2). → =3F → ∵|AF1|=3|F1B|,∴AF 1 1B, ∴(-2 1-b2,-b2)=3(x0+
2 5 b ∴x0=- 1-b2,y0=- . 3 3

1-b2,y0).

∴点 B

? 5 的坐标为? ?-3 ?

2? b 1-b2,- ? . 3? ?



? 5 B? ?-3 ?

2? 2 b y 2 2 ? 2 2 1-b ,- ?代入 x + 2=1,得 b = . 3? b 3 2

3 2 ∴椭圆 E 的方程为 x + y =1. 2
3 2 【答案】 x + y =1 2
2


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