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2014年五一高中物理竞赛提高班导学4-热学(热力学 物态变化)


QBXT/JY/DX2014/4-4-6

清北学堂集中培训课程导学
(2014 年五一集中培训课程使用)

2014 年五一高中物理竞赛提高班导学
(第四次)

资料说明

本导学用于学员在实际授课之前,了解授课方向及重难点。同时还附上部分知识点的 详细解读。本班型导学共由 4

份书面资料构成。在 2014 年 4 月 10 日,公司还会发布相应 班型的详细授课大纲,敬请关注。

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2014-4-5 发布

清北学堂教学研究部

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2014 年寒假物理竞赛提高班导学
(热学部分) 目录
知识框架........................................................................................................................................... 3 重点难点........................................................................................................................................... 4 知识梳理........................................................................................................................................... 5 一、 热力学....................................................................................................................... 5 1. 热力学系统............................................................................................................... 5 2. 理想气体................................................................................................................... 5 3. 热力学第一定律....................................................................................................... 9 4. 理想气体的过程..................................................................................................... 11 5. 热力学第二定律..................................................................................................... 13 二、 传热学..................................................................................................................... 14 1. 热传导..................................................................................................................... 14 2. 热对流..................................................................................................................... 14 3. 热辐射..................................................................................................................... 14 三、 物态变化................................................................................................................. 14 1. 液体和固体............................................................................................................. 14 2. 相变......................................................................................................................... 16 3. 饱和汽..................................................................................................................... 16 例题选讲......................................................................................................................................... 18 巩固习题......................................................................................................................................... 33 参考答案......................................................................................................................................... 36

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知识框架
热力学系统 理想气体 热力学 热力学第一定律 理想气体的过程 热力学第二定律 热传导 传热学 热对流 热辐射 液体和固体 物态变化 相变 饱和汽

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重点难点
热学从大的方面可分为热力学、传热学和传质学。在竞赛中热力学是热学的重点,热力 学第一定律作为能量守恒的直接体现在题目中经常用到,而理想气体的等值过程和循环过 程配合理想气体的状态方程也成为一类典型题目。传热学中主要涉及黑体辐射问题,需要 掌握斯忒藩-玻尔兹曼定律并能使用传热过程中的能量守恒。物态变化中主要涉及液体的表 面现象以及物态变化中的能量变化,如汽化热、熔化热等。

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知识梳理
一、 热力学

1. 热力学系统 (1) 系统、状态和过程 热学研究的对象都是由大量分子组成的宏观物体,称为热力学系统,简称系统。与系统 相互作用着的其他物体,称为外界。 在不受外界影响的条件下, 不论初态如何复杂, 系统终将达到宏观性质不再随时间变化 的状态, 称为平衡态。 类似牛顿第一定律, 平衡态的改变依赖于外界的影响 (做功、 传热) 。 处于平衡态的物体,所有宏观量都有确定的值,可选其中几个量描述和确定平衡态,这 几个量称为状态参量。压强 P,体积 V 和温度 T 就是气体的状态参量。在 P-V 图上一个平 衡态用一个点表示。 过程是系统状态随时间的变化,它由一系列中间态组成。通常考虑的是准静态过程,这 种过程进行的足够缓慢,经历的每个中间态都可视为平衡态。准静态过程在 P-V 图上用一 条曲线表示。 实际过程中中间态为非平衡态, 这种过程称为非静态过程。 非平衡态和非静态过程不能 再 P-V 图上用点和曲线表示。 (2) 温度和温标 温度是表示物体冷热程度的物理量, 是热学所特有的物理量。 温度的数值表示方法称为 温标。 1) 摄氏温标 水银温度计就是将内径均匀的细玻璃管和充满水银的玻璃泡相连, 利用泡内水银热胀冷 缩,管内水银柱的高度变化来标志温度高低。1954 年前,规定在 1atm(1 标准大气压)下 冰点为 0℃,沸点为 100℃,期间等分 100 份刻度,从而构成摄氏温标。现行的摄氏温标由 热力学温标导出,见下文。 2) 理想气体温标 定容气体温度计是利用定容测温泡内气体压强的大小来标志温度。 规定采用线性关系为 T(P)=?P, ?为比例系数。 1954 年国际上选用水的三相点为固定点, 规定它的温度为 273.16K。 若 P3 是 测 温 泡 中 气 体 在 273.16K 时 的 压 强 , 则 有 273.16K=?P3 , 由 此 可 得 T(P)=273.16K(P/P3)。 实际测量表明, 测量泡内所装气体的种类不同, 用以去测量同一物体温度, 除固定点外, 其值并不相等。但当测温泡中所充气体逐渐稀薄后,无论充入什么气体,其测温结果的差异 逐渐减小,最后趋于一个共同的极限值,这个值就是理想气体温标的值,即

T ? lim T ( P)
P ?0

3)

热力学温标 开尔文 1848 年从理论上建立了一种不依赖于任何测温物质即测温属性的温标,称为热 力学温标(绝对温标) 。1960 年国际上规定摄氏温标由热力学温标导出,关系为

t ? T ? 273.15
绝对零度不可达到,这一结论称为热力学第三定律,这一规律是在低温现象研究中总 结出来的。 2. 理想气体
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理想气体的实验定律与状态方程只适用于温度不太低, 压强不太高时, 此时的气体称为 理想气体。 (1) 气体的实验定律 1) 玻意尔-马略特定律 在保持温度不变的情况下,一定质量的气体和压强跟它的体积的乘积不变,即 P1V1=P2V2 在 P-V 图上,气体的等温线为双曲线。 2) 查理定律 在保持体积不变的情况下,一定质量的气体的压强跟它的热力学温度成正比,即

P2 P ? 1 T2 T1
3) 盖·吕萨克定律 在保持压强不变的情况下,一定质量的气体的体积跟它的热力学温度成正比,即

V2 V1 ? T2 T1
4) 克拉珀龙方程 一定质量的理想气体,不论 P、V、T 怎样变化,任一平衡态 PV/T 是个不变量,且有

PV ? ? RT ?

m

?

RT ? N kT

此即克拉珀龙方程, 也是理想气体的状态方程。 式中?为气体物质的量, m 为气体质量, -2 ?为气体的摩尔质量,R 为普适气体常数,其值为 R=8.31J/(mol?K)=8.2× 10 atm?L/(mol?K), -23 N 为气体的分子数,k 为玻尔兹曼常数,其值为 k=R/NA=1.38× 10 J/K。 (2) 气体的分合关系 不论是同种还是异种理想气体, 在无化学反应和物态变化时, 将气体分成若干部分或将 若干部分气体合在一起,气体质量恒定,即

m ? ? mi
i

因此,理想气体方程的分合关系为

PV PV ?? i i T Ti i
(3) 等温气压公式 在重力场中, 热运动将使气体分子均匀分布于所能达到的空间, 重力则会使气体分子聚 集到地面上,这两种作用力达到平衡后,气体分子在空间上作上疏下密的非均匀分布。在气 体温度一定时,重力场中气体压强随高度增大而减小,其规律为

P ? P0 e?mgh kT ? P0 e?? gh RT ? P0 e?( ?

P ) gh

式中 m、?是气体的质量和摩尔质量,P0 是 h=0 处的气体压强。 (4) 混合理想气体 混合气体的压强遵循道尔顿分压定律:混合气体的压强等于各组分压强之和,某组分 的分压指该组分单独存在、 与混合气体的温度和体积相同时的压强。 道尔顿分压定律也只适
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用于理想气体。 混合气体每一组分的状态方程为

PV ?( i

mi

?i

) RT

各组分求和可得混合理想气体状态方程为

? PV ? ? ( ? )RT ? PV ? ? RT
i i i i

mi

m

式中?为混合气体平均摩尔质量,其定义为

??

??
i

m

?
i

m ? (mi ?i )
i

分压强 Pi 与混合气体压强 P 的关系为

Pi ?

?i ? mi P? P ?? i ?i m
i

(5) 理想气体的压强和温度 1) 速率分布函数 定义这样一个函数 f(vx),它表示分子速率为 vx 的概率,则速率为 vx 的分子数表示为

n(vx ) ? f (vx )dv
2) 气体分子的特征速率 在平衡态的气体中,分子运动具有三个特征速率,分别为平均速率、方均根速率和最可 几速率。由平衡态气体的麦克斯韦速率分布函数可得到三个特征速率分别为 平均速率: v ? vf (v)dv ?

?

8kT ?m 3kT m

方均根速率: v ?
2

?v
2kT m

2

f (v)dv ?

最可几速率: v p ? 3)

理想气体的压强 气体施给容器壁的压强是大量气体分子不断碰撞器壁的宏观效果。 在数值上气体的压强 等于单位时间内大量气体分子施给单位面积容器壁的平均冲量。 由于气体分子做无规则运动,气体分子沿各个方向运动的机会是均等的。为简化起见, 可认为沿上下、左右、前后六个方向运动的分子数各占总数的 1/6。 设气体分子数密度为 n,速率为 vx 的气体分子,dt 时间内碰撞 dA 面积容器壁的气体分 子应处在以该面积为底面、 vxdt 为高的柱体内, 分子碰壁数 Z 应为柱体内速率为 vx 的分子数 的 1/6,即

Z?
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1 f (vx )dv ? nvx dAdt 6
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气体分子每碰撞容器壁一次,施给器壁的冲量为

?I ? 2mvx
速率为 vx 的分子产生的压强应为

P (v x ) ?
故而所有速率的分子产生的压强为

1 2 f (vx )dv ? nmvx 3

1 1 2 2 P ? nm? vx f (vx )dv ? nmv 2 ? n? k 3 3 3
式中 ? k ? 4)

1 2 mv 为分子的平均平动动能。 2

理想气体的温度 将 P=nkT 带入理想气体压强公式得

? k ? kT
可见气体的温度是气体分子热运动平均平动动能的标志。进一步说,无论在固体、液体 和气体,温度都是其分子热运动平均动能的标志,是物体分子热运动激烈程度的宏观表现。 由此可见,宏观量(如 P、T)是由微观量的统计平均值(如 ? k )所决定,表明温度和 压强具有统计意义,是大量分子热运动平均效果的反映。对单个或少量分子而言,谈它的 温度和压强是没有意义的。 (6) 理想气体的内能 1) 内能 物体中所有分子热运动的动能和分子势能的总和称为物体内能。内能是温度和体积的 函数,因为分子热运动的平均动能与温度有关,分子势能与体积有关。 理想气体分子间无作用力,分子势能为零,因此理想气体内能只与温度有关,是所有 分子热运动动能之和。 2) 理想气体内能 根据理想气体的能均分定理,理想气体分子在每个运动自由度上具有相同的能量,考 查单原子分子的理想气体,其分子运动具有 3 个平动自由度(X、Y、Z) ,而分子平均平动 动能为 ? k ?

3 2

3 kT ,因而每个自由度上的能量为 2

? ? kT
对一般分子,可认为是刚性的,其分子运动自由度不考虑振动自由度。 对单原子分子气体,分子只有平动,其内能为分子数与分子平均平动动能的乘积,即

1 2

3 3 E1 ? N kT ? N kT 2 2
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对双原子分子气体,分子除平动外还可以转动,双原子分子有 2 个转动自由度(垂直于 两原子连线并互相垂直的两轴) ,其内能为

5 5 E2 ? N kT ? N kT 2 2
对多原子分子气体,分子有 3 个平动自由度和 3 个转动自由度(X、Y、Z) ,其内能为

6 E3 ? N kT ? 3N kT 2
综上,理想气体的内能公式可写作

E?

i i m i N kT ? PV ? ( R)T 2 2 ? 2

i 为分子自由度,对单原子分子 i=3,双原子分子 i=5,多原子分子 i=6。 不论过程如何,一定质量理想气体的内能是否变化只取决于温度是否变化。 (1) 范德瓦尔斯方程 实际气体的状态方程需要考虑分子体积和分子引力的影响, 理论上对克拉珀龙方程进行 修正得到更接近实际气体的状态方程,称为范德瓦尔斯方程,其形式为

(P ?

m2 a m m )(V ? b) ? RT 2 2 ? ? ?V

式中参数 a、b 对于确定气体来说是定值,由实验测得。 3. 热力学第一定律 (1) 改变系统内能的方式 1) 作功和传热 外界对系统作功 W,作功前后系统内能为 E1、E2,则有

E2 ? E1 ? W
外界不作功而是基于温度差是系统内能改变的物理过程称为热传递,简称传热。在热传 递过程中被转移的内能数量成为热量,用 Q 表示,则

E2 ? E1 ? Q
作功和传热都可改变系统的内能。 2) 气体的机械功(体积功) 假设气缸内盛有一定量的气体,活塞可以无摩擦的移动。气体压强为 P,作用在活塞上 的力为 PS,令其准静态地作功,活塞移动 dx,则气体对外界(活塞)所作的微功为

dW ? ? PSdx ? PdV
外界对气体所作的微功为

dW ? ?dW ? ? ?PdV
这里需要注意,功是标量,有正负之分。气体膨胀 dV>0,气体对外作功 dW<0;压缩 气体 dV<0,外界对气体作功 dW>0。 等压过程用微功可直接计算外界所作的全功为

W ? ? P(V2 ? V1 )

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注意一种特殊情形,若系统外界压强一定,系统进行非静态过程,每个非平衡态中各处 压强不等,但只要初末态是平衡态,外界对系统所作的全功仍为

W ? ? P(V2 ? V1 )
P-V 图是示功图,外界对系统的功:W=± |P-V 图中过程曲线下面积| 压缩气体,外界对气体作功,取“+”号;气体膨胀,气体对外界作功,取“-”号。 (2) 热容、比热(容)和摩尔热容 在一定过程中,物体温度升高 1K 所需热量称为热容 C′(J/K) ,单位质量物质的热容称 为比热(容)c(J/(kg?K)) ,1mol 物质的热容称为摩尔热容 C(J/(mol?K)) 。三者的关系为

C ? ? mc ? ? C
气体的热容不仅与它的种类、质量有关,还与过程有明显关系,因此,1mol 的某种气 体可以有多种摩尔热容或比热容值,常用的两个为定容摩尔热容 Cv 和定压摩尔热容 Cp。 1mol 气体体积一定时, 温度升高 1K 吸收的热量称为定容摩尔热容, 在定容过程中, νmol 气体温度变化(T2?T1)所需热量为

Q ? ? Cv (T2 ? T1 ) ? mcv (T2 ? T1 )
1mol 气体压强一定时, 温度升高 1K 吸收的热量称为定压摩尔热容, 在等压过程中, νmol 气体温度变化(T2?T1)所需热量为

Q ? ? C p (T2 ? T1 ) ? mc p (T2 ? T1 )
液体和固体的比热容在不同过程中差别很小, 因此不加区别地统称为比热容。 液体和固 体温度变化(t2?t1)所需热量为

Q ? mc(t2 ? t1 ) ? C ?(t2 ? t1 )
(3) 热力学第一定律 1) 热力学第一定律 如果系统跟外界同时存在着作功和热传递的过程,那么系统内能的增量?E,等于外界 对系统所作的功 W 和系统从外界吸收的热量 Q 之和,即

?E ? Q ? W
热力学第一定律是能量守恒定律在涉及热现象中的具体形式,它适用于由气体、液体、 固体或其他物体组成的系统,适用于自然界一切热力学过程,对非静态过程,只要系统的初 末态是平衡态也适用。 式中个物理量是标量,应注意符号规则:系统吸热 Q>0,放热 Q<0;外界对系统作功 W>0,系统对外界作功 W<0;内能增加?E>0,内能减少?E<0。 热力学第一定律可推广为宏观过程中能量守恒定律的普遍表达式。 如果研究的系统除气 体外还有其他物体,则?E 是系统内如内能、机械能等各种能量的改变量,W 是外界对系统 内物体所作的各种形式的功的代数和,Q 是系统各物体吸收的热量。 不断对外作功而不消耗任何燃料和动力的永动机称为第一类永动机, 因违反热力学第一 定律而不可能制成。热力学第一定律的另一表述形式是“第一类永动机不可能制成” 。 2) 气体自由膨胀 气体向真空的膨胀过程称为气体自由膨胀, 是非静态过程。 膨胀时, 由于没有外界阻力, 外界对气体不作功,气体同样不对外作功,W=W′=0。又由于膨胀过程非常快,气体来不及 与外界交换热量,所以 Q=0。因此由热力学第一定律可知,气体(不论理想与否)绝热自由
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膨胀后其内能不变,即 E2=E1。若气体是理想气体,气体膨胀前后温度也不变,即 T2=T1。 4. 理想气体的过程 (1) 理想气体的等值过程 理想气体的定容、等温、等压和绝热几个准静态过程称为理想气体的等值过程。在以上 过程中,系统与外界准静态的作功和传热,因而在同一过程中,膨胀和压缩、升温和降温具 有可逆性质。 1) 定容过程 定容变化时,P2/T2=P1/T1。 气体对外体积功为零, 外界对气体压缩功也为零, 即 W=0。 根据热力学第一定律有 Q=?E, 因此在定容过程中气体吸收的热量全部用来增加内能;反之,气体放出的热量来自于减少 的内能,即

Q ? ? Cv (T2 ? T1 ) ?

Cv V ( P2 ? P 1) R

i ?E ? Q ? ? Cv (T2 ? T1 ) ? ? ( R)(T2 ? T1 ) 2
因此定容摩尔热容 Cv 为

?3 ? 2 R ? 12.5J (mol ? K) 单原子分子 ? i ?5 Cv ? R ? ? R ? 20.8J (mol ? K) 双原子分子 2 ?2 ? ?3R ? 24.9 J (mol ? K) 多原子分子 ?
上述计算内能变化的公式对初末态是平衡态的任意过程都成立,不限于定容过程。 2) 等温过程 气体在恒温装置内或与大热源(如大气、海水)相接触时所发生的状态变化,称为等温 过程。有 P2V2=P1V1。 等温过程中理想气体内能不变,因而 Q=W′,即气体等温膨胀,吸收的热量全部用来对 外作功;气体等温压缩,外界的功全部以热量对外放出。 等温过程外界对气体的功为(P?V 图中等温线下面积)

W ? ?? RT ln
3)

V2 P2 ? PV i i ln V1 P 1

等压过程 气体等压变化,有 V2/T2=V1/T1。 气体等压膨胀,吸收的热量一部分用来增加内能,另一部分用来对外作功。气体等压 压缩,外界的功和减少的内能全部以热量形式向外放出。 ,即

W ? ? P(V2 ? V1 ) ? ?? R(T2 ? T1 )
Q ? ? C p (T2 ? T1 )

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?E ? ? Cv (T2 ? T1 ) ?
因此可得

Cv P(V2 ? V1 ) R

C p ? Cv ? R
4) 绝热过程 气体始终不与外界交换热量的过程, 如用隔热材料制成容器, 或者过程进行很快来不及 和外界交换热量,都可视为绝热过程。 绝热过程气体 P、V、T 均变化,但仍满足状态方程,且满足绝热方程,即

PV ? ? C TV ? ?1 ? C T ? P1?? ? C
式中?=Cp/Cv 为比热容比。根据定压摩尔热容和定容摩尔热容的关系可得

?5 3 R ? ? ? 1? ? ?7 5 Cv ? ?4 3
在 P?V 图上,过同一点的绝热线比等温线陡。 绝热过程中 Q=0,因而?E=W。 绝热过程的功为

单原子分子 双原子分子 多原子分子

W ? ?E ? ?

m

?

Cv (T2 ? T1 ) ?

Cv ( P2V2 ? PV 1 1) R

1 ?R ( P2V2 ? PV (T ? T ) 1 1) ? ? ?1 ? ?1 2 1
? ?1 ?

PV P ? 1 1 [( 2 ) ? ?1 P 1

? 1] ?

PV V 1 1 [( 1 )? ?1 ? 1] ? ? 1 V2

(2) 理想气体的循环过程 1) 循环过程 系统经过一系列变化又回到原来平衡态的过程称为循环过程, 简称循环。 在 P?V 图上, 准静态循环用一条闭合曲线表示, 按顺时针方向进行的循环为正循环, 逆时针的为逆循环。 系统正循环对外作功 W′=|P-V 图中循环包围的面积|。 正循环反映了热机工作过程,工质从高温热源吸热 Q1,一部分用来对外作功 W′,另一 部分不可避免地向低温热源放热 Q2 后回到原态,?E=0,即

Q1 ? Q2 ? W ?
引入热机效率表示外界吸收的热量能用来作功的比例:

??

Q W? ? 1? 2 Q1 Q1

逆循环反映了冷机工作过程,外界作功 W,工质从低温热源吸热 Q2,向高温热源放热
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Q1 后回到原态,?E=0,即

W ? Q1 ? Q2
引入制冷系数表示从低温热源吸收的热量与消耗的机械功 W 的比值:

??
2)

Q2 W

卡诺循环 理想气体准静态的卡诺循环, 由两个等温过程 (左图中 I、 III 过程) 和两个绝热过程 (左 图中 II、IV 过程)组成。右图中是工质与热源交换能量的示意图,其效率定义为

V3 Q V4 T ? ? 1? 2 ? 1? ? 1? 2 V Q1 T1 ? RT1 ln 2 V1

? RT2 ln

式中 T2 为低温热源温度,T1 为高温热源温度。 由上式可知卡诺循环的效率只由高低温热源温度决定, 两者温差越大循环效率越高。 但 由于 T2≠0K 且 T1≠∞,因而效率?<1。任何循环至少需要两个温度不同的热源,当 T1=T2 时, ?=0,表明热机循环中不可能从单一温度热源吸热并全部用来作功。 5. 热力学第二定律 凡是涉及热现象的实际过程都具有方向性, 人们从此中总结出了热力学第二定律。 热力 学第二定律有两种表述: i. 开尔文表述: 不可能从单一热源吸热, 使它完全转变为有用的功而不产生其他影响。 ii. 克劳修斯表述:不可能将热量从低温物体传向高温物体而不产生其他影响。 两个表述都强调只有在“产生其他影响”的条件下,从单一热源吸热全部转变为功,或 者将热量从低温物体传送到高温物体,才是可以实现的。所谓“其他影响”指除了从单一热 源吸热完全转变为功,或者热量从低温物体传向高温物体以外,系统和外界的任何变化。例 如理想气体等温膨胀,能从单一热源吸热全部转变为功,但它的体积膨胀了,这就是产生的 “其他影响” 。 从单一热源(如大气、海洋等)吸热使之完全变为有用的功而不产生其他影响的一类永 动机称为第二类永动机。它并不违反热力学第一定律,但违反开尔文表述,因此热力学第二 定律的开尔文表述又可称为“第二类永动机是不可能制成的” 。

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二、

传热学

热量总是有高温物体自发地向低温物体传递。 它是通过分子碰撞、 交换或者辐射来传递 能量的过程。温差消失,传热终止。温度相等是物体间处于热平衡的标志。传热有三种基本 形式。 1. 热传导 热传导是指不同温度的物质直接接触而出现的传热现象。设温度沿 x 轴方向逐渐升高, 则 dt 时间内沿 x 轴通过横截面积 S 所传递的热量为

dQ ? ?k

dT Sdt dx

其中,dQ/dt 是单位时间通过横截面积 S 的热量,称为热流;dT/dx 是温度沿 x 轴方向 的变化率,称为温度梯度。式中负号表示热流是沿温度降低方向进行。k 称为热导率,表征 物质的导热能力。木材、石棉、玻璃、陶瓷等热导率很小,近似为绝热体。一般金属是热的 良导体(k 值大) 。 2. 热对流 固、液、气体都能导热,但在气体和液体中,还存在因温度不同的各部分气体相对宏观 运动引起的传热现象,称为热对流。例如在重力场中,下层较热的空气因密度小而上浮,上 层较冷的空气因密度大而下沉,形成大气对流现象。 在固体与气体、固体与液体接触的表面,传热的主要形式也是对流。类似热传导现象, 在固体与气体、固体与液体接触的表面由热对流所传递的热量为

dQ ? h(Tf ? Tw )Sdt
其中,Tf 为气体或液体的温度,Tw 为固体的温度。h 称为对流换热系数,表征气体或液 体与固体表面热对流的能力。 3. 热辐射 在任何温度下,物体都以发射电磁波的形式向外传递能量,这种传热形式称为热辐射。 温度不同的物体以热辐射交换能量,不需要直接接触也不需要媒介,即使在真空中也可以 进行。注意辐射是发射而不是反射。 能在任何温度下吸收外来所有电磁辐射的物体称为黑体。 黑体不反射但能辐射, 所以黑 体并不总是黑的,其颜色要由辐射温度来决定。物体温度较低时,主要辐射不可见的红外 线,在 500° C 以上主要辐射较强的可见光以致紫外线。 黑体单位表面积的辐射功率为

J ? ?T 4
上式称为黑体辐射定律,其中?=5.67× 10-8W/(m2?K4)为斯忒藩-玻尔兹曼常数。 太阳、 地球常作黑体处理。 太阳表面温度约 6000° C, 太阳每秒辐射能量约为 3.8× 1026J。 在单位时间里, 地球在与太阳光垂直的单位面积上所接收的能量为 1.36× 103J/(m2?s),称为地 球的太阳常数。

三、

物态变化

1. 液体和固体 (1) 液体的表面现象 液体总是在与气体、固体或其他液体相互接触而存在,因而会出现相应的液体表面,它
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与液体内部的性质和表现不完全相同,称为液体的表面现象。 1) 表面张力 水滴、露珠、水银珠都呈球状,表明它们的自由表面已收缩到最小状态。液体与气体相 接触的液体薄层称为表面层 (自由液面) 。 以上事实表明, 液体表面层如同张紧了的橡皮膜, 具有收缩的趋势,这种存在于液体表面层使液面相互收缩的拉力称为表面张力。 在液面上作长 L 的线段,作用在 L 上的表面张力,其方向与线段垂直、与液面相切。 其大小为

f ??L
其中,?称为表面张力系数,单位 N/m。 由于表面张力的存在,扩大液面需要作功,所作的功用于增加表面能。 液滴、水中气泡、肥皂泡等,由于表面张力使得弯曲液面内和液面外有一压强差,称为 附加压强。其大小为

?2? R Pin ? Pout ? ? ?4? R

一液面 二液面

其中,R 为液滴半径。一液面情形如水滴,只有外表面与空气的液面;二液面情形如肥 皂泡,外表面和内表面均与空气形成液面。 2) 浸润现象 液体与固体接触的液体薄层称为附着层(厚度 10-9m) ,附着层内液体分子与固体分子 之间的相互引力称为附着力, 附着层内液体分子间的相互引力称为内聚力。 若附着力大于内 聚力, 液体分子将尽量挤入附着层, 附着层伸展, 这就导致浸润现象。 若内聚力大于附着力, 附着层液体分子尽量挤入液体内,附着层会收缩,这就是不浸润现象。 在固、液、气接触处,液体表面层的切线与附着层的切线之间夹液体的角,称为接触 角。浸润固体的液体,接触角是锐角;不浸润固体的液体,接触角为钝角。因此,浸润现象 使得管内的液体出现凹液面(如水) ,不浸润现象使得管内的液面出现凸液面(如水银) 。 3) 毛细现象 浸润管壁的液体在细管里升高, 不浸润管壁的液体在细管里下降, 这种现象称为毛细现 象。能发生毛细现象的细管叫毛细管。 毛细管内液面上升高度(下降高度)为

h?

2? cos ? ? gr

其中,?为接触角,?为液体密度,r 为毛细管半径。 (2) 固体 1) 热膨胀 大多数物体是热胀冷缩的。设 0° C 时杆长 l0,加热到 t° C,杆长为 l,有

l ? l0 (1 ? ? t )
?称为固体的线膨胀率,其数量级 10-6~10-5 /K。
由于固体的线膨胀率很小,因此如果已知 t1 时杆长 l1=l0(1+?t1),t2 时杆长 l2=l0(1+?t2), 则可得线膨胀的近似计算公式

l2 ?
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l1 (1 ? ? t2 ) ? l1 [1 ? ? (t2 ? t1 )] (1 ? ? t1 )
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类似的可定义液体和固体的体膨胀率

V ? V0 (1 ? ? t )
体膨胀的近似计算公式

V2 ? V1[1 ? ? (t2 ? t1 )]
若固体各向线膨胀率相同,则应有
3 V ? l0 (1 ? ? t )3 ? V0 (1 ? 3? t )

即对各向同性固体,?=3?。 固体 固体可分为晶体和非晶体两大类,晶体和非晶体的根本区别是:是否具有固定的熔点。 晶体又分为单晶体和多晶体, 单晶体 (如石英、 云母、 明矾、 冰等) 还具有规则的几何形状、 物理性质上表现为各向异性; 多晶体 (如岩石、 金属等) 则和非晶体一样, 无规则几何形状、 各向同性。 组成晶体的微观粒子所形成的规则排列,构成所谓空间点阵。 晶体之所以具有固定的熔点, 是因为发生物态变化时, 吸收的热量全部用来破坏空间点 阵结构,分子间距的改变导致分子势能增大,而分子的平均动能则不变。 2. 相变 自然界中许多物质都以固、液、气三种聚集态存在着,在一定的压强和温度下,一种物 质的不同聚集态可以共存,也可以转化,各态相对数量不在随时间改变,即达到平衡,物质 固、液、气三态之间的转化有两个特征,即体积变化,伴随着吸放热现象。 (1) 相变中的体积变化 例如在 1atm、 100° C 时, 水沸腾而变成饱和水汽后体积要增大 103 倍; 在 1atm、 0° C 时, 水凝固成冰后体积要增大约 0.1 倍。 (2) 相变中的吸放热现象(相变潜热) 汽化时吸收的热量称为汽化热, 熔化时吸收的热量称为熔化热, 由热力学第一定律可知, 单位质量物质由 1 态变为 2 态时吸收潜热 L 应为 2)

L ? ( E2 ? E1 ) ? P(V2 ? V1 )
3. 饱和汽 (1) 饱和蒸汽压 在贮有液体的密闭容器内,随着蒸发的进行,如果在单位时间内,在同一液面上返回液 体的蒸汽分子数等于溢出的液体分子数,这是液体不再减少,蒸汽密度达到最大,气液处于 平衡共存状态, 这种在一定温度下能与液体处于动态平衡的蒸汽称为饱和汽, 没有达到饱和 状态的蒸汽称为未饱和汽。饱和汽具有的压强称为气体的饱和蒸汽压。 i. 在相同温度下, 不同液体的饱和蒸汽压一般不同。 挥发性大的液体饱和蒸汽压大。 ii. 饱和蒸汽压与汽的体积无关, 只与温度有关。 气体的压强一般有温度和它的密度决 定,一定温度下饱和汽密度恒定,因而饱和蒸汽压恒定。温度升高,饱和蒸汽压增 大。 液体的饱和蒸汽压随温度变化的关系可近似表示为

Ps ? P0 e? L RT
iii. 饱和汽是一种实际气体,它不服从理想气体的状态方程。如果汽的温度远低于临
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界温度、气体压强较低,此时可将它视为理想气体处理。 (2) 空气的湿度 空气中总含有水蒸气。空气的干湿程度常用下列物理量表示: i. 绝对湿度:通常是用空气中实际含有的水蒸气的分压强来表示绝对湿度。 ii. 相对湿度:某温度下空气中水蒸气的分压强与该温度下水的饱和蒸汽压的百分比。 相对湿度比绝对湿度更有实际意义。 因为许多与湿度有关的现象, 并不只与绝对湿度有 关,而是要看大气中水蒸气离该温度下饱和状态的远近程度。离饱和状态远的,人们感到干 燥;离饱和状态近的,人们感到潮湿。相对湿度用 B 表示,即

B?

p ? 100% Ps

空气里的水蒸气通常处于未饱和状态, 当温度降低使空气里的水蒸气刚好达到饱和时的温度 称为露点。露点只与绝对湿度有关,与温度无关。

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例题选讲
例 1. 证明热力学第二定律的两种表述形式是等效的。
证明: 假设开尔文表述不成立,即可以从单一热源吸热并完全转化为功,且不引起其他变化。 考虑工作在高温热源 T1 与低温热源 T2 间的热机,热机从高温热源吸热 Q1,将其完全转化为 功 W 且没有引起其他变化,即可将这部分功完全用于工作在这两个热源间的冷机。冷机从 低温热源吸热 Q2′,获得功 W 后向高温热源放热 Q1′,应有 Q1′=Q2′+W=Q2′+Q1。该过程的整 体效果是 Q2′的热量从低温热源流向了高温热源, 且没有其他变化, 这违反了克劳修斯表述。 假设克劳修斯表述不成立, 即可以将热量从低温热源传向高温热源, 且不引起其他变化。 由于克劳修斯表述不成立,便会有 Q2′热量从低温热源流向高温热源。仍考虑工作在在高温 热源 T1 与低温热源 T2 间的热机,热机从高温热源吸热 Q1,使向低温热源放热恰好为 Q2′, 则热机对外输出的功为 W=Q1?Q2′。而整体来,看由于有热量自发地从低温热源流向高温热 源,从高温热源吸收的净热量为 Q=Q1?Q2′,Q=W,即从高温热源吸收的热量全部转化为功 且没引起其他变化,这违反了开尔文表述。 综上, 热力学第二定律任意一种表述不成立都可推得另一种表述不成立, 因而两种表述 是等效的。

例 2. 如图所示, U 型管竖直固定在静止的平板车上, U 形管竖直部分和水平部分的长
度均为 l,管内充满水银,两管内的水银面距离管口均为 l/2,若将 U 形管管口密封,并让 U 行管与平板车一起匀加速运动,运动过程中 U 形管内水银面的高度差为 l/6,求 (1) 小车的加速度 (2) U 形管底部中央位置的压强, (设水银质量密度为 ? ,而大气压强恰好为 p0 ,空气 温度不变) 解: (1) 对左边右边封闭气体,由

p0 (l / 2) ? p左 (l / 2 ? l /12) 得 p左 ? 6p0 / 5 (l / 2 ? l /12) 由 p0 (l / 2) ? p右

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得 p右 ? 6p0 / 7

对管内水银 ( ? gl / 6 ? 6 p0 / 5 ? 6 p0 / 7) S ? ? lSa

得 a ? 107g / 210

(2) 对水平管内右边部分水银而言有

pS ? [6 p0 / 7 ? ? g (5l / 12)]S ? ? (l / 2) Sa
得 p ? 107 ? gl / 70

例 3. 在光滑的两端封闭且具有两种截面积的竖直管子中用无伸缩细绳将两不漏气、
无摩擦活塞相连,活塞间装有 1 摩尔理想气体。上活塞截面积比下活塞截面积大 ,两 活塞总质量为 M,外部大气压强为 P0,如图所示。试问要使它们移动距离 L,应使活塞间 的气体温度改变多少? 解: 设上下活塞质量分别为 m 及 M-m,横截面积分别为 S+ 、 S,绳子张力为 T,封闭理想气体的压强为 P。由上、下活塞平衡 条件可得: P (S+ )= P0 (S+ ) + mg + T (1) (2)

P0S +T = PS + ( M — m)g (1) 、 (2)两式相加,得 P=P0+

(3)

由(3)式可知封闭理想气体的压强在整个过程中都不变,即封闭理想气体在作等压变 化。设封闭理想气体温度为 T 时的体积为 V,T+ 温度时的体积为 V+ ,则由盖— 吕萨克定律得

(4)

由 1 摩尔理想气体的状态方程得

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(5) 由题意可知理想气体体积变化量为 =(S+ 由(3) (4) (5) (6)式可得 = + )L—SL = L (6)

简析:这是一道热力学综合题,关键是通过分析上下活塞的受力情况,得出内外压强的 联系,然后分析管子内封闭理想气体的变化过程。通过理想气体的状态方程,把体积和温度 联系起来,即可求解。

例 4. 绝热容器 A 经一阀门与另一容积比 A 的容积大得很多的绝热容器 B 相连。开始 时阀门关闭, 两容器中盛有同种理想气体, 温度均为 30? C, B 中气体的压强为 A 中的两倍。 现将阀门缓慢打开,直至压强相等时关闭。问此时容器 A 中气体的温度为多少?假设在打 开到关闭阀门的过程中处在 A 中的气体与处在 B 中的气体之间无热交换.已知每摩尔该气
体的内能为 u ? 解: 设气体的摩尔质量为 ? ,容器 A 的体积为 V ,阀门打开前,其中气体的质量为 M 。压 强为 p ,温度为 T 。由 pV ?

5 RT ,式中 R 为普适气体恒量,T 是绝对温度. 2

M

?

RT 得

M?

? pV
RT

(1)

因为容器 B 很大,所以在题中所述的过程中,容器 B 中气体的压强和温度皆可视为不 变。 根据题意, 打开阀门又关闭后,A 中气体的压强变为 2 p , 若其温度为 T ? , 质量为 M ? , 则有

M? ?
进入容器 A 中的气体的质量为

2? pV RT ?

(2)

?M ? M ? ? M ?

? pV ? 2

1? ? ?? ? R ?T T ?

(3)

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设这些气体处在容器 B 中时所占的体积为 ?V ,则

?V ?

?M RT 2? p

(4)

因为 B 中气体的压强和温度皆可视为不变,为把这些气体压入容器 A ,容器 B 中其他 气体对这些气体做的功为

W ? 2 p?V
由(3)、(4)、(5)式得

(5)

? 2T ? W ? pV ? ? 1? ? T? ?
容器 A 中气体内能的变化为

(6)

?U ?

M?

?

? 2.5R(T ? ? T )

(7)

因为与外界没有热交换,根据热力学第一定律有

W ? ?U
由(2)、(6)、(7)和(8)式得

(8)

T? ? 2T ? ? ? ? ? 1? ? 2 ? 2.5 ?1 ? ? ? ?T ? ? T ?

(9)

结果为 T ? ? 353.5 K

简析:因为 B 容器的容积远大于 A 的容积,所以在题述的过程中,B 中气体的压强和 温度均视为不变。B 容器内部分气体进入 A 容器,根据题设,A 容器内气体是个绝热过程。 外界(B 容器的剩余气体)对 A 气体做功等于其内能的增量,从而求出 A 气体的最终温度。

例 5. 火箭通过高速喷射燃气产生推力。设温度 T1、压强 p1 的炽热高压气体在燃烧室
内源源不断生成,并通过管道由狭窄的喷气口排入气压 p2 的环境。假设燃气可视为理想气 体,其摩尔质量为 μ,每摩尔燃气的内能为 u=cVT(cV 是常量,T 为燃气的绝对温度) 。在 快速流动过程中, 对管道内任意处的两个非常靠近的横截面间的气体, 可以认为它与周围没 有热交换,但其内部则达到平衡状态,且有均匀的压强 p、温度 T 和密度 ρ,它们的数值随

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Cv ? R CV

着流动而不断变化,并满足绝热方程 pV

,式中 R 为普适气体常量,求喷 ? C (恒量)

气口处气体的温度与相对火箭的喷射速率。 解: 在火箭燃烧室出口处与喷气口各取截面 A1 与 A2 ,它们的面积分别为 S1 和 S 2 ,由题意, S1 ?? S2 ,以其间管道内的气体为研究对象,如图所示.设经过很短时间 ?t ,这部分气体流 至截面 B1 与 B2 之间,A1B1 间、A2 B2 间的微小体积分别为 ?V1, ?V2 、 , 两处气体密度为 ?1, ? 2 , 流速为 v1, v2 .气流达到稳恒时,内部一切物理量分布只依赖于位置,与时间无关.由此可 知,尽管 B1 A2 间气体更换,但总的质量与能量不变。

先按绝热近似求喷气口的气体温度 T2 。质量守恒给出 , (1)

即 A2 B2 气体可视为由 A1 B1 气体绝热移动所得.事实上,因气流稳恒, A1 B1 气体流出 喷口时将再现 A2 B2 气体状态.对质量 方程 的气体,利用理想气体的状态

(2)

绝热过程方程 (3)



可得



(4)

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再通过能量守恒求气体的喷射速率 v2 .由(1)式及

,可得

(5) 再利用(1)、(3)式,知





,故

(6) 整个体系经 ?t 时间的总能量(包括宏观流动机械能与微观热运动内能)增量 ?E 为 由于重力势能变化可忽略, 在理想气体近似下并考虑到(6) A2 B2 部分与 A1 B1 部分的能量差. 式,有



(7)

体系移动过程中,外界做的总功为



(8)

根据能量守恒定律,绝热过程满足 , 得 (9)



(10)

其中利用了(2)、(4)两式。

例 6 有四个物体,其中三个的物理性质完全相同,以 A 表示,另一个以 B 表示.若把
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一个 A 和 B 放在一起时,经过充分的热量交换, A 和 B 组成的系统的温度比 B 的温度高 了 50 C ,再把一个 A 和 A+B 系统放在一起时,经过充分的热量交换,A+A+B 系统的温度 比 A+B 的温度高了 30 C .若把第三个 A 和 A+A+A+B 系统放在一起时, 经过充分的热量交换, 0 系统的温度比 A+A+B 高_______ C (不考虑系统与外界的热量交换). 解: 设 A 的比热容、质量、初温为 C A 、 m A 、 TA 、B 类同,则

cAmA (TA ? TB ) ? cB mB ? 5 cAmA (TA ? TB ? 5 ? 3) ? cB mB ? 3 ? cAmA ? 3 cAmA (TA ? TB ? 8 ? ?t ) ? cB mB ?t ? 2cAmA?t
由(1) (2)式消去 TA ? TB 后,得

(1) (2) (3)

3cAmA ? cB mB
再代入(1)得 TA ? TB ? 20 最后得 ?t ? 2 0C

例 7. 如图所示,一根长为 L(以厘米为单位)的粗细均匀的、可弯曲 的细管,一端封闭,一端开口,处在大气中,大气的压强与 H 厘米高的 水银柱产生的压强相等,已知管长 L>H.现把细管弯成 L 形,如图所示. 假定细管被弯曲时,管长和管的内径都不发生变化.可以把水银从管口徐徐注入细管而不让 细管中的气体泄出.当细管弯成 L 形时, 以 l 表示其竖直段的长度, 问 l 取值满足什么条件时, 注入细管的水银量为最大值?给出你的论证并求出水银量的最大值(用水银柱的长度表示)。 解:
导体细杆运动时,切割磁感应线,在回路中产生感应电动势与感应电流,细杆将受到安 培力的作用,安培力的方向与细杆的运动方向相反,使细杆减速,随着速度的减小,感应电 流和安培力也减小,最后杆将停止运动,感应电流消失.在运动过程中,电阻丝上产生的焦 耳热,全部被容器中的气体吸收。 根据能量守恒定律可知,杆从 v0 减速至停止运动的过程中,电阻丝上的焦耳热 Q 应等 于杆的初动能,即 (1) 容器中的气体吸收此热量后,设其温度升高 ?T ,则内能的增加量为 (2) 在温度升高 ?T 的同时,气体体积膨胀,推动液柱克服大气压力做功.设液柱的位移为

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,则气体对外做功

(3)

就是气体体积的膨胀量 (4) 由理想气体状态方程

注意到气体的压强始终等于大气压

,故有

(5)

由热力学第一定律 (6) 由以上各式可解得

(7)

例 8. 有一个用伸缩性极小且不漏气的布料制作的气球(布的质量可忽略不计) ,直径 为 d=2.0m。球内充有压强 p0=1.005× 105Pa 的气体,该布料所能承受的最大不被撕破力 fm=8.5× 103N/m, (即对于一块展平的一米宽的布料,沿布面而垂直于布料宽度方向所施加的 力超过 8.5× 103N 时,布料将被撕破) 。开始时,气球被置于地面上,该处的大气压强为 pa0=1.000× 105Pa,温度 T0=293K。假设空气的压强和温度均随高度而线性地变化,压强的变 化为 ap=-9.0Pa/m,温度的变化为 aT=-3.0× 10-3K/m,问该气球上升到多少高度时将破裂?
假设气体上升很缓慢, 可认为球内温度随时与周围空气的温度保持一致, 在考虑气球破 裂时,可忽略气球周围各处和底部之间空气压强的差别。 解: 当气球充满气体而球内压强大于球外时,布料即被绷紧,布料各部分之间产生张力,正 是这种张力可能使布料被撕裂,设想把气球分成上下两个半球,它们的交线是一个直径为 d 的圆周,周长为 ?d ,所以要从这条交线处撕裂气球,至少需要的张力为 f m ? ?d 。另一方 面,考虑上半球(包括半球内的气体)受力的情况,它受到三个力的作用:
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(1)下半球的球面布料所施加的张力 F; (2)上半球外空气对它的压力的合力,其大小为 Pa ? 气压强; (3)下半球内气体对它的压力为 P ? 忽略浮力时,上述三力相互平衡,即

?d 2
4

, p a 是气球所在高度处的大

?d 2
4

,式中 p 为气球内气体的压强。

P?

?d 2
4

? pa ?

?d 2
4

?F

而当 F ? f m ? ?d 时,布料即被撕裂,所以,气球破裂的条件是

( p ? pa ) ?

?d 2
4

? f m ? ?d

(1)

设气球破裂发生在高度 h 处,则

pa ? pa 0 ? a p h
而该处温度

(2)

T ? T0 ? aT h

(3)

这个温度也就是破裂时气球内气体的温度。 又因为气球在上升过程中球内气体是等容变 化,所以有

T p p0 ? 即 p ? p0 ? T0 T T0
将(2) 、 (4)和(3)式代入(1)式,得

(4)

h?

(4 f m / d ) ? ( p0 ? p a 0 ) ? 2.1 ? 10 3 m ( p0 / T0 )aT ? a p

(5)

即气球上升到 2.1 ? 10 3 m 高度以上就将被裂。

例 9. 如图所示, 若在湖水里固定一细长圆管, 管内有一活塞,
它的下端位于水面上,活塞的底面积 S=1cm2,质量不计,水面的大 气压强 P0=1.0× 105Pa。现把活塞缓慢地提高 H=5m,则拉力对活塞做 的功为 J。

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解: 把活塞缓慢提高的过程可分两个阶段。当水柱升高到 H 0 ? 10 m 后,活塞再提高时, 水柱不再上升,与管外大气压强相平衡,此时活塞只克服活塞上方的大气压作功,活塞与水 柱之间是真空,在上升到 H 0 的过程中,活塞受到拉力 F,活塞外大气压力为 P0 S 以及水柱 对活塞向上的压力 F 作用,水柱对活塞的压力随着活塞上升而减小,所以应求平均力

1 1 F ? ( P0 S ? 0) ? P0 S 2 2
如图所示,当水柱上升到 H 0 及水柱做功

? 10 m 处时,拉力做功 W1 ,大气压力做功 P0 SH 0 ,以

F H 0 ,根据动能定理有
1 W1 ? P0 SH 0 ? P0 SH 0 ? 0 2

1 1 1 W1 ? P0 SH 0 ? P0 SH 0 ? P0 SH 0 ? ?10 5 ?10 ?4 ?10 ? 50( J ) 2 2 2
活塞上升 H 0

? 10 m 后,管内形成真空,活塞只受拉力与大气压力继续上升,做功 W2 ? P0 S ( H ? H 0 ) ? 0

W2 ? P0 S ( H ? H 0 ) ? 10 5 ?10 ?4 ? 5 ? 50( J )
所以拉力对活塞所做总功

W ? W1 ? W2 ? 100 ( J )
例 10. 有一气缸,除底部外都是绝热的,上面是一个不计重
力的活塞,中间是一块固定的导热隔板,把气缸分隔成相等的两部 分 A 和 B,上、下各有 1mol 氮气(如图所示) ,现由底部慢慢地将 350J 热量传送给缸内气体,求 (1)A、B 内气体的温度各改变了多少? (2)它们各吸收了多少热量。 若是将中间的导热隔板变成一个绝热活塞,其他条件不变,则 A、B 的温度又是各改变多少(不计一切摩擦)? 解: A、B 中间的隔板导热,因而 A、B 两部分气体温度始终相同,B 中温度升高后将等压 膨胀。

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设末态时 A、B 温度为 T ? ,对 B 部分气体有

V? V ? T? T
B 部分气体对外做功为

W ? P(V ? ? V ) ?
A、B 两部分气体的内能增量为

PV ?T ? R?T T

5 ?E ? 2 ? R?T ? 5R?T 2
根据热力学第一定律得

?E ? Q ? W
即 ?T ?

Q ? 7.02 K 6R

对 A 部分气体有

QA ?
以 B 部分气体有

5 R?T ? 145.8 J 2

QB ? Q ? QA ? 204.2 J
例 11. 摩尔理想气体缓慢地经历了一个循环过程,
在 P—V 图中这过程是一个椭圆,如图所示,已知此气体 若 处 在 与 椭 圆 中 心 O‘ 点 对 应 的 状 态 时 , 其 温 度 为 T0=300K,求在整个循环过程中气体的最高温度 T1 和最 低温度 T2 各是多少? 解: 在 P—V 图中画上许多等温线, 总有两条等温线与椭 圆相切,这两个切点就是循环过程中的最高温度点和最 低温度点,这两条等温线的温度就是循环过程中的最高 和最低温度,利用理想气体循环的椭圆方程和等温线方程确定它们的相切点即可求解。 在 P—V 图中,描写此气体循环过程的椭圆方程为

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(V ? V0 ) 2 ( P ? P0 ) 2 ? ?1 1 1 2 2 ( V0 ) ( P0 ) 2 2
温度为 T 的 1 摩尔理想气体的等温线方程为 PV=RT (1) 、 (2)式可改写为

(1)

(2 )

(

V P 1 ? 1) 2 ? ( ? 1) 2 ? V0 P0 4

(3)

PV RT T ? ? P0V0 RT0 T0
式中 T0=

(4)

P 0V0 即为 O‘点上的温度。 R
V =x, V0 P =y P0



则(3) 、 (4)式可改写为 (x —1)2+(y —1)2= xy=C 式中 C=

1 4

(5) (6)

T (5)式可改写为 T0
1 4
(7)

(x +y-1)2 —2xy +1=

(6) 、 (7)两式消去 y,得二曲线交点的 x 值应满足的方程式

x+

C 3 -1= ? 2C ? x 4

(8)

由于此循环过程中 x= 可改写为

V 1 P 1 ? ,y ? ? ,故 x +y —1 > 0,上式右边应取“+”号, (8)式 V0 2 P0 2

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x2 —(1+ 2C ?

3 ) x+C=0 4

(9)

这是 x 的二次方程,它的两个根值就是等温线与椭圆的两个交点。所求最高、最低温度相当 于使曲线相切时的 C 值,这时(9)式有等根,即 (1+ 2C ?

3 2 ) —4C=0 4

(10)

由(10)式得 4C2 —9C+

49 =0 16

(11)

由(11)式解得二曲线相切时的两个 C 值 C1=

9 ? 32 =1.83 8 9 ? 32 =0.418 8

C2=

最后由 C=

T 得 T0
T1=C1T0=549K T2=C2T0=125K

最高温度 最低温度

例 12. 图示为圆柱形气缸,气缸壁绝热,气缸
的右端有一小孔和大气相通,大气的压强为 P0.用一 热容量可忽略的导热隔板 N 和一绝热活塞 M 将气缸 分为 A、B、C 三室,隔板与气缸固连,活塞相对气 缸可以无摩擦地移动但不漏气。气缸的左端 A 室中 有一电加热器 ? 。已知在 A、B 室中均盛有 1 摩尔同种理想气体,电加热器加热前,系统 处于平衡状态,A、B 两室中气体的温度均为 T0,A、B、C 三室的体积均为 V0。现通过电 加热器对 A 室中气体缓慢加热,若提供的总热量为 Q0,试求 B 室中气体末态体积和 A 室中 气体的末态温度。设 A、B 两室中 1 摩尔的内能为 U ? 为绝对温度。 解: 在电加热器对 A 室中气体加热的过程中,由于隔板 N 是导热的,B 室中气体的温度要 升高,活塞 M 将向右移动.当加热停止时,活塞 M 有可能刚移到气缸最右端,亦可能尚未移
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5 RT ,式中 R 为普适气体常量,T 2

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到气缸最右端. 当然亦可能活塞已移到气缸最右端但加热过程尚未停止. 1. 设加热恰好能使活塞 M 移到气缸的最右端,则 B 室气体末态的体积 VB ? 2V0 (1) 根据题意,活塞 M 向右移动过程中,B 中气体压强不变,用 TB 表示 B 室中气体末态的 温度,有

V0 VB ? T0 TB

(2)

由(1)、(2)式得 TB ? 2T0

(3) (4)

由于隔板 N 是导热的,故 A 室中气体末态的温度 TA ? 2T0 下面计算此过程中的热量 Qm .

在加热过程中,A 室中气体经历的是等容过程,根据热力学第一定律,气体吸收的热量 等于其内能的增加量,即 QA ?

5 R(TA ? T0 ) 2
(6)

(5)

由(4)、(5)两式得 QA ?

5 RT0 2

B 室中气体经历的是等压过程, 在过程中 B 室气体对外做功为 WB ? p0 (VB ? V0 ) 由(1)、(7)式及理想气体状态方程得 WB ? RT0 内能改变为 ?U B ? (8)

(7)

5 R(TB ? T0 ) 2 5 RT0 2

(9)

由(4)、(9)两式得 ?U B ?

(10)

根据热力学第一定律和(8)、(10)两式, B 室气体吸收的热量为

QB ? ?U B ? WB ?

7 RT0 2

(11)

由(6)、(11) 两式可知电加热器提供的热量为 Qm ? QA ? QB ? 6RT0

(12)

若 Q0 ? Qm , B 室中气体末态体积为 2V0 , A 室中气体的末态温度 2T0 . 2.若 Q0 ? Qm ,则当加热器供应的热量达到 Qm 时,活塞刚好到达气缸最右端,但这
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时加热尚未停止,只是在以后的加热过程中气体的体积保持不变,故热量 Q0 ? Qm 是 A 、 B 中气体在等容升温过程中吸收的热量.由于等容过程中气体不做功,根据热力学第一定律,

? ,有 Q0 ? Qm ? 若 A 室中气体末态的温度为 TA
?? 由(12)、(13)两式可求得 TA Q0 4 ? T0 5R 5

5 5 ? ? 2T0 ) ? R(TA ? ? 2T0 ) R(TA 2 2

(13)

(14)

? = 2V0 B 中气体的末态的体积 VB

(15)

?? 3. 若 Q0 ? Qm ,则隔板尚未移到气缸最右端,加热停止,故 B 室中气体末态的体积 VB ?? ? 2V0 .设 A、B 两室中气体末态的温度为 TA ?? ,根据热力学第一定律,注意 小于 2V0 ,即 VB
到 A 室中气体经历的是等容过程,其吸收的热量 QA ?

5 ?? ? T0 ) R(TA 2

(16)

B 室中气体经历的是等压过程,吸收热量 QB ?

5 ?? ? T0 ) ? p0 (VB ?? ? V0 ) R(TA 2
(18)

(17)

利用理想气体状态方程,上式变为 QB ?

7 ?? ? T0 ? R ?TA 2
(19)

?? ? T0 ) 由上可知 Q0 ? QA ? QB ? 6R(TA
?? ? TA Q0 ? T0 6R

所以 A 室中气体的末态温度

(20)

?? ? B 室中气体的末态体积 VB

V0 Q ?? ? ( 0 ? 1)V0 TA T0 6 RT0

(21)

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巩固习题
1.(08 东南大学)如图所示,用细绳将气缸悬挂在天花板上,在活塞下悬挂一沙桶,活塞和 气缸都导热,活塞与气缸见无摩擦.在沙桶缓缓漏沙,环境温度不变的情况下,下列有关密 闭气柱的说法正确的是 ( ) A. 体积增大,放热 B. 体积增大,吸热 C. 体积减小,放热 D. 体积减小,吸热 2.(第 26 届预赛)一根内径均匀、两端开口的细长玻璃管,竖直插在水中,管的一部分在 水面上.现用手指封住管的上端,把一定量的空气密封在玻璃管中,以 V0 表示其体积;然 后把玻璃管沿竖直方向提出水面,设此时封在玻璃管中的气体体积为 V1;最后把玻璃管在 竖直平面内转过 900,使玻璃管处于水平位置,设此时封在玻璃管中的气体体积为 V2.则有 ( ) B.V1>V0>V2 D.V1>V0,V2>V0
ht

A.V1>V0=V2 C.V1=V2>V0

3.(第 27 届预赛)烧杯内盛有 0℃的水,一块 0℃的冰浮在水面上,水面正好在杯口处,最 后冰全部溶解成 0℃的水,在这过程中( A. 无水溢出杯口,但最后水面下降了 B. 有水溢出杯口,但最后水面仍在杯口处 C. 无水溢出杯口,水面始终在杯口处 D. 有水溢出杯口,但最后水面低于杯口 4.(07 东大)如图 6-11,绝热隔板把绝热气缸分隔成体积相等 的两部分,隔板与汽缸壁光滑接触但不漏气,两部分中分别盛 有等质量、同温度的同种气体,气体分子势能可忽略不计,现 通过电热丝对气体加热一段时间后,各自达到新的平衡状态 (气缸的形变不计) ,则 ( ) A. 气体 b 的温度变高 B. 气体 a 的压强变小 C. 气体 a 和气体 b 增加的内能相等 D. 气体 a 增加的内能大于气体 b 增加的内能 5.(第 28 届预赛)下面列出的一些说法中正确的是( ) )

A. 在温度为 20℃和压强为 1 个大气压时,一定量的水蒸发为同温度的水蒸气,在此过程 中,它吸收的热量等于其内能的增量。 B. 有人用水银和酒精制成两种温度计,他都把水的冰点定为 0 度,水的沸点定为 100 度, 并都把 0 刻度与 100 刻度之间均匀等分成同数量的刻度,若用这两种温度计去测量同一 环境的温度(大于 0 度小于 100 度)时,两者测得的温度数值必定相同。

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C. 一定量的理想气体分别经过不同的过程后,压强都减少了,体积都增大了,则从每个过 程中气体与外界交换的总热量看,在有的过程中气体可能是吸收了热量,在有的过程中 气体可能是放出了热量,在有的过程中气体与外界交换的热量为 0.。 D. 地球表面一平方米所受的大气的压力, 其大小等于这一平方米表面单位时间内受上方作 热运动的空气分子对它碰撞的冲量,加上这一平方米以上的大气的重量。 6.(第 28 届预赛)在大气中,将一容积为 0.50m3 的一端封闭一端开口的圆筒筒底朝上筒口 朝下竖直插入水池中, 然后放手, 平衡时, 筒内空气的体积为 0.40 m3。 设大气的压强与 10.0m 高的水柱产生的压强相同,则筒内外水面的高度差为________________。 7. 0.020kg 的氦气温度由 17℃升高到 27℃。若在升温过程中,①体积保持不变,②压 强保持不变;③不与外界交换热量。试分别求出气体内能的增量,吸收的热量,外界对气体 做的功。

8.一卡诺机在温度为 27? C 和 127? C 两个热源之间运转, (1)若在正循环中,该机从高温热 源吸热 1.2× 103cal,则将向低温热源放热多少?对外作功多少?(2)若使该机反向运转(致 冷机) ,当从低温热源吸热 1.2× 103cal 热量,则将向高温热源放热多少?外界作功多少? 9. 毛细管由两根内径分别为 d1 和 d2 的薄玻璃管构成, 其中 d1?d2, 如图所示,管内注入质量为 M 的一大滴水。当毛细管水平放置 时,整个水滴“爬进”细管内,而当毛细管竖直放置时,所有水从 中流出来。 试问当毛细管的轴与竖直方向之间成多大角时, 水滴 一部分在粗管内而另一部分在细管内?水的表面张力系数是 σ, 水的密度为 ρ。对玻璃来说,水是浸润液体。 10. 将 1000 J 的热量传给标准状态下 4 摩尔的氢气。 (1)若氢气体积不变,氢气的温度和压强各变为多少?氢气的内能改变了多少? (2)若氢气压强不变,氢气的温度和体积各变为多少?氢气的内能改变了多少? 11.(09 交大外地)一根粗细均匀的玻璃管,形状如图所示,管两端都是 开口的,右边的 U 形管盛有水银,两边水银是平齐的.把左边开口向下的 玻璃管竖直插入水银槽中,使管口 A 在水银面下 8cm,这时进入左管中 的水银柱高为 4cm, 如果在左管未插入水银槽之前, 先把右边开口封闭, 再把左管插入水银槽中,使左管管口 A 在水银面下 7cm 处,这时进入管 中的水银柱高为 3cm,那么在左管插入水银槽之前右管中的空气柱长度 为多少?(设大气压为 p0 ? 76cmHg )

12.(第 19 届复赛)U 形管的两支管 A、B 和水平管 C 都是由内径均匀的细玻璃管做成的, 它们的内径与管长相比都可忽略不计.己知三部分的截面积分别为 SA ? 1.0 ?10?2 cm2 ,

SB ? 3.0 ?10?2 cm2, SC ? 2.0 ?10?2 cm2,在 C 管中有
一段空气柱, 两侧被水银封闭. 当温度为 t1 ? 27 ℃时,
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空气柱长为 l =30 cm (如图所示) , C 中气柱两侧的水银柱长分别为 a =2.0cm, b =3.0cm, A、 B 两支管都很长, 其中的水银柱高均为 h =12 cm. 大气压强保持为 p0 =76 cmHg 不变. 不 考虑温度变化时管和水银的热膨胀.试求气柱中空气温度缓慢升高到 t =97℃时空气的体 积. 13.在一个足够长,两端开口,半径为 r = 1mm 的长毛细管里,装有密度 ?

=1.0× 103kg/m3 的水。 然后把它竖直地放在空中, 水和玻璃管的接触角 ? =00, 表面张力系数为 ? ? 7.5 ? 10-2N/m,请计算留在毛细管中的水柱有多长?

14.如图所示,一端封闭、内径均匀的玻璃管长 L = 100cm ,其中有一 段长 L′= 15cm 的水银柱把一部分空气封闭在管中。当管水平放置时, 封闭气柱 A 长 LA = 40cm。现把管缓慢旋转至竖直后,在把开口端向 下插入水银槽中,直至 A 端气柱长 L A
?

= 37.5cm 为止,这时系统处于

静止平衡。已知大气压强 P0 = 75cmHg,过程温度不变,试求槽内水银 进入管内的水银柱的长度 h 。

15. 0.1mol 的单原子分子理想气体,经历如图所示的 A→B→C→A 循环,已知的状态途中已 经标示。试问: (1)此循环过程中,气体所能达到的最高温度状态在何处,最高温度是多少? (2)C→A 过程中,气体的内能增量、做功情况、吸放热情况怎样?

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参考答案
1.C 2.A 3.C 4.AD 5.C 6. 2.5m 7. 解析:气体的内能是个状态量,且仅是温度的函数。在上述三个过程中气体内能的 增量是相同的且均为:

?E ? nCv ?T ? 5 ? 1.5 ? 8.31? 10 ? 623J W ? 0 , Q ? ?E ? 623J ① 等容过程中
② 在等压过程中

Q ? nC P ?T ? n(CV ? R)?T

? 5 ? 2.5 ? 8.31? 10 ? 1.039 ?103 J W ? ?E ? Q ? ?416 J Q ? 0 , W ? ?E ? 623J ③ 在绝热过程中
1mol 温度为 27℃的氦气,以 100m ? s 器四周绝热。求平衡后的气体压强。
?1

的定向速度注入体积为 15L 的真空容器中,容

平衡后的气体压强包括两部分:其一是温度 27℃,体积 15L 的 2mol 氦气的压强 其二是定向运动转向为热运动使气体温度升高△ T 所导致的附加压强△ p。即有

p0



p ? p0 ? ?p ? n ?

R R?T T0 ? n ? V V

氦气定向运动的动能完全转化为气体内能的增量:

1 2 3 mv ? n ? R?T 2 2 RT v2 p ? n? 0 ? M 5 3 5 V 3V ? (3.3 ? 10 ? 1.7 ? 10 ) Pa ? 3.3 ? 10 Pa ∴

Q2 ? Q1[1 ?
8. 解析: (1)

T1 ? T2 400 ? 300 ] ? 1.2 ? 10 3 ? [1 ? ] ? 900cal T1 400

W?

T1 ? T2 Q1 ? 1.254 ?10 3 J T1 。

(2)对卡诺制冷机

??

Q2 T2 ? Q1 ? Q2 T1 ? T2 , T ?T Q1 ? Q2 [1 ? 1 2 ] ? 1.6 ?10 3 cal T1 , T1 ? T2 Q2 ? 1.672 ?10 3 J T1

W?

9. 解析:由于对玻璃来说,水是浸润液体,故玻璃管中的水面成图所示的凹弯月面, 且可认为接触角为 0° ,当管水平放置时,因水想尽量和玻璃多接触,故都“爬进”了细管内。 而当细管竖直放置时,由于水柱本身的重力作用使得水又“爬进”了粗管。毛细管轴线与竖直
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线之间夹角为最大时,这符合于整个水滴实际上在毛细管细管部分的情况,这时水柱长:

Lmax ?

M 1 ?? d 22 4

于是根据平衡条件得:

p0 ?
式中

4? 4? ? p0 ? ? ?gLmax cos ? max d1 d2

p0

为大气压强。由此得到

? min ? arccos

?? d 2 ?

d2 ? ? ? 1 ? ? Mg ? d ? 1 ?

同理,毛细管的轴与竖直线之间的夹角为最小值,这将是整个水滴位于粗管内的情况, 同理可得

? max ? arccos

?? d1 ? d1

? ? ? 1? ? ? Mg ? d 2 ?

10 解析: (1)氢气的体积不变,即氢气在做等容变化,但题目要求同时求出温度和压强的 变化,所以不能直接用查理定律来求解。可用氢气的定容摩尔热容量 度的变化,有

CV ?

5 R 2 ,先求出温

QV ? nCV (T2 ? T1 )
把(1)式改写为

(1)

T2 ?

QV ? T1 nC V
1000 5 4 ? ? 8.31 2 +273=285 K

(2)

将相关的数据代入(2)式得

T2 ?

(3) 然后再利用查理定律来求出压强的变化

(4) 将标准状态下氢气的压强和温度 P1=760mmHg、T1=273K 和(3)式代入(4)式得 P2=793.4mmHg 因为氢气在作等容变化,所以外界对氢气做功 W=0,由热力学第一定律得 (2)氢气的压强不变,即氢气做等压吸热过程,与(1)问解相同,不能直接用盖 ? 吕 萨克定律,可通过氢气的定压摩尔热容量

P2 P1 ? T2 T1

?E1 ? QV ? 1000 J

C P ? CV ? R ?
(5)

7 R 2 ,先求出温度的变化,则有

QP ? nC P (T2 ? T1 )
将(5)式改写为

T2 ?

Qp nC p

? T1
(6)

将相关的数据代入(6)式得
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T2 ?

(8) 将标准状态下 4 摩尔氢气的体积和温度 V1=4× 22.4L=89.6L、T1=273K 和(7)式代入(8) 式得 V2=92.4L 外界对氢气做功为 W=P(V1—V2)= —2.83× 105 J 所以,由热力学第一定律得,氢气内能的改变量为

1000 7 4 ? ? 8.31 2 +273=281.6K 然后由盖 ? 吕萨克定律得 V2 V1 ? T2 T1

(7)

?E ? Q ? W = 1000—2.83×10 5= —2.82×10 5 J (负号表示内能减小)
11 解析: 设 AB 部分气柱长为 L1 ,由 p0 L1 ? p1L2 ,得

76 ? L1 ? (76 ? 4)( L1 ? 4 ? 2)

即 L1 ? 40cm 右侧管先封闭后,对左管封闭气体由 pV ? C 得

76 ? 40 ? (76 ? 4) L1'

L'1 ? 38cm

设 B 处水银下降 x,则 38=40+x-3,即 x=1cm,
' ' ( LC ? x) ,而 80 ? pc ? 2 x ,解得 对右侧空气有 76 ? LC ? pc

Lc ? 39cm
12. 解析: 在温度为 T1 ? (27 ? 273)K=300K 时,气柱中的空气的压强和体积分别为

p1 ? p0 ? h

( 1) , V1 ? lSC

(2)

当气柱中空气的温度升高时,气柱两侧的水银将被缓慢压入 A 管和 B 管。设温度升高 到 T2 时,气柱右侧水银刚好全部压到 B 管中,使管中水银高度增大 ?h ? 由此造成气柱中空气体积的增大量为 ?V ? ? bSC (4)

bSC SB

(3)

与此同时,气柱左侧的水银也有一部分进入 A 管,进入 A 管的水银使 A 管中的水银高 度也应增大 ?h , 使两支管的压强平衡, 由此造成气柱空气体积增大量为 ?V ?? ? ?hSA 所以,当温度为 T2 时空气的体积和压强分别为 (5)

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V2 ? V1 ? ?V ? ? ?V ??
由状态方程知

(6) ,

p2 ? p1 ? ?h
(8)

(7)

p1V1 p2V2 ? T1 T2

由以上各式,代入数据可得 T2 ? 347.7 K

(9)

此值小于题给的最终温度 T ? 273 ? t ? 370 K,所以温度将继续升高。从这时起,气柱 中的空气作等压变化。当温度到达 T 时,气柱体积为 V ?

T V2 T2

(10)

代入数据可得 V ? 0.72 cm3

(11)

13 解析:由于表面张力的原因,毛细管上下各有一个弯曲液面;在水的重力作用下,这两 个液面的凹面向上凸面向下(如图所示) ,毛细管竖直地放置在空中时,两液面产生的竖直 向上的表面张力和水柱的重力平衡。 上下两个弯曲液面的分界面的总长度为 l=2× 2 ?r =4 ?r 产生的总表面张力为

f ? ? l = 4??r

水柱产生的重力为 所以有

G= ? g h S= ? g h ?r

2

4??r ? ? g h ?r 2
h? 4? 4 ? 7.5 ? 10 ?2 ?gr = 1.0 ? 10 3 ? 9.8 ? 1 ? 10 ?3 m
h =0.0306m

毛细管中的水柱的高度为

14.解析:在全过程中,只有 A 部分的气体质量是不变的,B 部分气体则只在管子竖直后质 量才不变。所以有必要分过程解本题。 过程一:玻管旋转至竖直
PA 75 ? P 75 ? 15 × A A 部分气体,LA′= LA = 40 = 50cm

此时 B 端气柱长 LB′= L ? LA′? L′= 100 ? 50 ? 15 = 35cm 过程二:玻管出入水银槽
? LA 50 ? P? PA L 37 .5 A A A 部分气体 (可针对全程, 也可针对过程二) , = =

?

× 60 = 80cmHg
? PB ? ? ? B 部分气体, L B = PB L B =
P0 ? ? PA ? PL? L B

75 = 80 ? 15 ×35 ≈ 27.6cm

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? ? 最后,h = L - L A ? L′? L B

15.解析: (1) 介绍玻马定律的 P-V 图象, 定性预计 Tmax 的大概位置 (直线 BC 上的某一点) 。 定量计算 PV 的极大值步骤如下: BC 的直线方程为 P = - y = PV = -

1 V+2 2

1 V2 + 2V 2

显然,当 V = 2 时,y 极大,此时,P = 1 代入克拉珀龙方程:1× 105× 2× 10-3 = 0.1× 8.31Tmax ,解得 Tmax = 240.7K (2)由克拉珀龙方程可以求得 TC = 180.5K = TB ,TA = 60.2K
i 3 ? 2 ΔE = RΔT = 0.1× 2 × 8.31× (60.2-180.5) = -150.0J

根据“面积”定式,W = 0.5× 105× 2× 10-3 = 100J 计算 Q 有两种选择:a、Q = ? CPΔT = 0.1× 2 × 8.31× (60.2-180.5) = -250.0J b、Q = ΔE - W = -250.0J
5

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