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淄博市2014届高三1月份期末考各科(数学文)


高三教学质量抽测试题 文 科 数 学
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 5 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。答题前,考生 务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在试卷和答题卡规 定的位置。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第 I 卷(共 60 分)
注意事项: 1.第 I

卷共 12 小题。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号。不涂在答题卡上,只答在试卷上不得分。 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.每小题只有一项是符合题目要求的) 1.设集合 A ? x x ? 1 ,集合B ? x y ? 3 ? x , 则A ? B ? A. ?0, ??? B. ? ??,1? C. ?1, ?? ? D. ?1,3?

?

?

?

?

2.复数 z 满足 ?1 ? 2i ? z ? 7 ? i, 则复数z ? A. 1 ? 3i B. 1 ? 3i C. 3 ? i D. 3 ? i 3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A. y ? x ? x3 B. y ? 3x C. y ? log 2 x D. y ? ?

1 x

4.执行如图所示的程序框图,若输出结果为 3,则可输入的实数 x 的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4
2 2 5.已知实数 a、b,则“ a ? b ”是“ a ? b ”的

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 6. 已 知 , 等 比 数 列

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?an ?

的 公 比 为 正 数 , 且

a3a9 ? 2a52 , a2 ? 2, 则a1 ?
A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D.2

7.如图所示的三棱柱,其正视图是一个边长为 2 的正方形,其俯 视图是一个正三角形, 该三棱柱侧视图的面积 为 A. 2 3 C. 2 2 B. D.4

3

8.已知函数① y ? sin x ? cos x, ② y ? 2 2 sin x cos x ,则下列结论正确的是

A.两个函数的图象均关于点 ? ?

? ? ? , 0 ? 成中心对称 ? 4 ?

B.两个函数的图象均关于直线 x ? ? C.两个函数在区间 ? ?

?
4

对称

? ? ?? , ? 上都是单调递增函数 ? 4 4?

D.可以将函数②的图像向左平移 9.函数 y ? ln

? 个单位得到函数①的图像 4

1 的图象大致为 1? x

10.若 O 为△ABC 所在平面内任一点,且满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ? 0, 则? ABC 的形 状为 A.正三角形

?

??? ? ????

??

??? ? ????

??? ?

?

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等腰直角三角形
2

a 2 b2 ? a ? b ? 11.已知 a、b 是正常数, a ? b, x、y ? ? 0, ??? ,不等式 (*式)恒成立(等 ? ? x y x? y
号成立的条件是 ay ? bx ) ,利用(*式)的结果求函数 f ? x ? ? 值 A.121 B.169 C.25 D.11+6 2

2 9 ? ? 1 ?? ? x ? ? 0, ? ? 的最小 ? x 1 ? 2x ? ? 2 ??

x2 y 2 12.已知 A、B、P 是双曲线 2 ? 2 ? 1 上的不同三点,且 A、B 关于坐标原点对称,若直线 PA、 a b
PB 的斜率乘积 k PA ? k PB ?

2 ,则该双曲线的离心率等于 3
C. 2 D.

A.

5 2

B.

6 2

15 3

第 II 卷(共 90 分)
注意事项: 1.第 II 卷共 10 道题。 2.第 II 卷所有题目的答案,考生须用 0.5 毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内,在试卷 上答题不得分。

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在答题卷相应位置上.) 13. tan120? ? eln
3

? log3 3 3 ? 3lg 10 ? ____________

14.已知函数 f ? x ? ? x ? ln ? x ? 1? ?1,函数零点的个数是____________

?x ? 2 y ? 0 ? 15.设 z ? x ? y , 其中x, y满足 ? x ? y ? 0, 若 z 的最大值为 2014,则 k 的值为______. ?0 ? y ? k ?
16.给出下列命题: ①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度; ②某只股票经历了 10 个跌停(下跌 10%)后需再经过 10 个涨停(上涨 10%)就可以回到 原来的净值; ③在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越差. ④某中学采用系统抽样方法,从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检 查,现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号.已知从 497~513 这 16 个数中取得的学生编号是 503, 则初在第 1 小组 1~16 中随机抽到的学生编号是 7. 上述四个命题中,你认为正确的命题是__________________. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 74 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 a ? b ? c ? bc .
2 2 2

(I)求 A 的大小; (II)若 sin B ? sin C ? 1 ,试求内角 B、C 的大小. 18.(本小题满分 12 分) 如图所示, 已知三棱锥 A-BPC 中,AP ? PC, AC ? BC, M 为 AB 的中点,D 为 PB 的中点,且△PMB 为正三角形. (I)求证:DM//平面 APC; (II)求证:平面 ABC⊥平面 APC. 19.(本小题满分 12 分) 编号分别为 A1 , A2 , ???, A16 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:

(I)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:

(II)从得分在区间 ?20,30? 内的运动员中随机抽取 2 人;

①用运动员编号列出所有可能的抽取结果; ②求这 2 人得分之和大于 50 的概率. 20.(本小题满分 12 分) 等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和 Sn ,等比数列 ?bn ? 中各项均为正数, b1 ? 1 ,且

b2 ? S2 ? 12 ,数列 ?bn ? 的公比 q ?

S2 . b2

(I)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (II)证明:

1 1 1 1 2 ? ? ? ??? ? ? . 3 S1 S2 Sn 3

21.(本小题满分 13 分)
2 已知动圆 C 与圆 C1 : ? x ? 1? ? y ? 1 相外切,与圆 C2: ? x ? 1? ? y 2 ? 9 相内切,设动圆圆心 C 2 2

的轨迹为 T,且轨迹 T 与 x 轴右半轴的交点为 A. (I)求轨迹 T 的方程; (II)已知直线 l : y ? kx ? m 与轨迹为 T 相交于 M、N 两点(M、N 不在 x 轴上).若以 MN 为直 径的圆过点 A,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 22.(本小题满分 12 分)
2 x 已知函数 f ? x ? ? x ln x , g ? x ? ? ? x ? ax ? 3 e (a 为实数).

?

?

(I)当 a=5 时,求函数 y ? g ? x ? 在x ? 1 处的切线方程; (II)求函数 f ? x ? 在区间 ?t, t ? 2? ?t ? 0? 上的最小值; (III)若存在两不等实根 .......x1 , x2 ? ? , e ? , 使方程g ? x ? ? 2e f ? x ? 成立,求实数 a 的取值范围. e
x

?1 ? ? ?

淄博市 2014 届高三上学期期末考试数学试题 答案
一、选择题 1.D 2.B 3.A 4.C 5.D 6.C 7.A 8.C 9.D 10.C B 11. (文理) C 12. D 二、填空题: 13. (理) 2 3 , (文)0;14. 2;15. 1007;16. (理)2 . log2 3, (文)①④. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)∵a2 . b2 . c2 . bc,由余弦定理得:a2 . b2 . c2 . 2bc cos A, 故. . , . 2 cos A 1 A 2 3 π ??????6 分 (Ⅱ)∵sin B . sinC . 1,∴ ) 1 3 sin B . sin( . B . . , ∴ sin 1 3 cos cos 3 sin B . sin B . B . . . , 1 sin 3 cos 1 22 B . B . ,??????8 分 方法一:∴ sin 1 3 cos cos 3 sin B . B . . . ,∴ ) 1 3 sin( . . .B , 又∵ ??????10 分 B 为三角形内角,

2 333 π .B. π . π , 故 32 B . π . π ,从而 6 B . C . π . ??????12 分 方法 2: 2 2 sin 3 cos 2 sin cos 1 BB BB .... . .. . . ,解得 cos 3 2 B . ??????10 分 又∵ B 为三角形内角,故 6 π . . ?????12 分 B . C (注:处理角 C 同等对待! ) 18. ( 分 12 分) (理) 本小题满 1 解析: (Ⅰ)如图,连接 AC 交 BD 于 F,再连接 EF; ????????1 分 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 F 为 AC 中点; ????????3 分 又因为 E 为 PC 中点,所以 EF//PA; ????????5 分 因为 EF 平面 BDE,PA 平面 BDE,且 EF//PA, 所以 PA //平面 BDE; ????????6 分 (Ⅱ) 方法一:如图所示,以为坐标原点,分别以、 、所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立 空间直角坐标系. .. D DA DC DP 设 PD=DC=2,则 A(2,0,0) ,P(0,0,2) ,E(0,1,1) ,B(2,2,0) . . (只建系无坐标不得分) ??????7 分 设是平面 BDE 的一个法向量,

则由,得 0 ,即 PA . (2,0,.2),DE . (0,1,1),DB . (2,2,0) .... .... .... n . (x, y,1) . 0 0 n DE n DB ... . .. . . .... .. . .... .. 10 22 y xy ... . ... n . (1,.1,1) . ??????9 分 又的一个法向量. ????10 设二面角 B―DE―C 的平面角为 2 n . DA . (2,0,0)是平面 分 . .... DEC … . , 12 12 12|n|.|n|3.23 ∴ .. cos. cos n , n n n 2 3 . . . .. . . .. .. . 角 B―DE 面角的余弦 3 3

故二面―C 平值为. ?????12 分 方法二:因为 BC . CD,BC . PD,所以 BC .平面 CDP,DE . BC ; 又因为△CDP 为等腰直角三角形,E 为 CP 的中点,所以 DE . PC ; 因为 DE . PC ,DE . BC ,所以 DE .平面 BCP,DE . BE ; 由于 DE . BE ,DE . PC ,故二面角 B―DE―C 的平面角为.BEC;??????8 分 在△BCE 中,.BCE . 90o, 1 2 22 CE . CP . BC, 2 2 2 2 ( 2 )2 6 22 BE . BC .CE . BC . BC . BC , 所以 tan 3 3 BEC CE BE . . . , ?????10 分 故二面角 B―DE―C 平面角的余弦值为 3 3 . ?????12 分 (文) 证明:(Ⅰ)由已知,M 为 AB 的中点,D 为 PB 的中点, 所以是△ABP 的中位线,所 3 分 又 MD 平面 APC,AP 平面 MD 以 MD∥AP. ????????? . . APC,故 MD∥平面 APC. ?????????6 分 (Ⅱ)因为△PMB 为正三角形,D 为 PB 的中点,所以 MD⊥PB. 又因 分 又 AP⊥PC,AP⊥PB,PB∩PC=P,所以 AP⊥平面 PBC. ?????????8 分 因为 BC 平面 PBC,所以 AP⊥BC. ?????????9 分 APC. ?????????11 分 为 MD∥AP,所以 AP⊥PB. ?????????7 又 BC⊥AC,且 BC⊥AP,AC∩AP=A,所以 BC⊥平面 因为 BC 平面 ABC,所以平面 ABC⊥平面 APC. ??????????12 分 19. (本小题满分 12 分) (理) 解析:设包装盒的高为 h(cm) ,底面边长为 a(cm) , 由已知得: 2(30 ),0 30. 2 , 60 2 . . . . . a . x h . x x x ????2 分 2 (Ⅰ)S . 4ah . 8x(30 . x) . .8(x .15)2 .1800, ????4 分 所以当 x . 15 时,S 取得最大值. ????6 分 (Ⅱ)V . a2h . .2 2x3 . 60 2 x 2 . ????8 分

由,V . . 6 2x(20 . x).由 V. . 0 得:x . 0(舍)或 x=20. 当时, ; 时, ; x=20 时,V 取得极大值,也是最小值. x.(0,20) V. . 0 当 x.(20,3 ? 0) V. . 0 所以当 ???10 分 此时 1 2 h a . ,装盒的高与底面边长的比值为 1. 2 ????12 分 (文) 解析 Ⅰ)4,6, ????4 分 [20,30) 的运动员编号为 A3,A4,A5,A10,A ,A . 从中随机抽取 2 人,所有可能的抽取结果有:{ {A3,A10},{A3,A11}, {A3 ,{A4 {A4,A13},{A5,A10 {A5,A13}, {A10,A11},{A10,A13},{A11,A13},共 15 种 ?8 分 [20,30)内的运动员中随机抽取 2 人,这 2 50” (记为事件 B) 的所有可能结果有:{A A10},{A10,A11},共 5 种. : ( 6; (Ⅱ)①得分在区间内 11 13 A3,A4},{A3,A5}, ,A13} ,A5},{A4,A10},{A4,A11}, },{A5,A11}, . ??? ②“从得分在区间人得分之和大于 4,A5},{A4,A10},{A4,A11},{A5, 3 所以 P(B)= 5 15= 1 3. 12 20. (本小题满分 12 分) ???? 分 解析: (Ⅰ)由于 S2 .12 . b2 .12 . q ,可得 q 12 q

q . . ,? ?????????4 分 n ?????2 分 解得:q . 3 或 q . .4(舍去) , ?????????3 分 2 S . 9, 1 2 1 . 2 . . S . 2a . 3, d a a 3 ( 1)3 3 n.a . . n . . ?????????5 分 ?????????6 分 (Ⅱ)证明:由 3n 1 nb.. 3 na . n,得 (3 3 ) n2 Snn . . . ?????????7 分 1 2 2 (1 . 1 ) (3 3 ) 3 1 n S n n n n ... .. 12 1 1 1 2 (1 1 1 1 1 1 1 1 ) 2 (1 1 ) 322334131nSSSnnn ............... .. ? … ????9 分 1 0 1 1 1 2 (1 1 ) 123313 n nn ........ .. . 2 ????11 分 故 12 11112 33nSSS . . .…. . ????12 分 . (本小题满分 12 分)

解析: (Ⅰ) 21 1 1 CC . r . , CC . 3 . r 2 ,∴ 1 CC + CC2 = 4 ???2 分 ∴点 C 的轨迹是以、为焦点(c=1) ,长轴长 2a= 4 的椭???4 分] 迹 T 的方程是 1 C 2 C 圆 ??? 1 43 22 x.y. ∴点 C 的轨 ??????????????6 分 (Ⅱ)设 1 1 M(x , y ), 2 2 N(x , y ), 将 y . kx . m 代入椭圆方程得:(4k2 . 3)x2 . 8kmx . 4m2 .12 . 0. 2 122122 8,4 4343 x x km x x m kk . .12 . . . . .. . (*式) ???????????8 分 . MN 为直径的圆过点 A , A 点的坐标为(2,0) , 4 .AM . AN . 0 ..... .... ,即 1 2 1 2 0. ???????????10 分 (x . 2)(x . 2) . y y . . 1 1 y . kx . m , 2 2 y . kx . m , 2 2 1 2 1 2 1 2 y y . k x x . (km. 2)(x . x ) . m ,代入(*式)得: 7m2 .16km. 4k 2 . 0, 2 7 m k ... 或m2 k . . 都满足, ????????12 分 于直线: 与 x 轴的交点为( ..0 由 l y . kx .m ,0 m k . ) , 当2m k . . 时,直线 l 恒过定点(2,0),不合题意舍去, 2

7 m k . . . ,直线 l : y k(x 2) 7 . . 恒过定点 (2 ,0) 7 .?????????13 分 22. (本小题满分 13 分) 解析:(Ⅰ) 由点处的切线方程与直线 (理) (e, f (e)) 2x . y . 0 平行,得该切线斜率为 2,即 f '(e) . 2. . f .(x) . k(ln x .1),且 f .(e) . k(ln e .1) . 2.k .1,所以 f (x) . x ln x,????1 分 f .(x) . ln x .1, ?????????2 分 ① (0, 1) e 1 e x (1 , ) e .. f .(x) . 0 . f (x) 单调递减 极小值(最小值) 单调递增 0t1t2 e . . . . ,即 0 t 1 e . . 时, min f (x) f (1) 1 ee . . . ;?????????3 分 ② 1tt2 e . . . ,即 t 1 e . 时, f (x)在[t,t . 2]上单调递增, min f (x) . f (t) . t ln t;?????4 分 (Ⅱ) 2x ln x . .x2 . ax . 3 恒成立等价于 3 2ln a x x x . . . 恒成立; ?????????5 分 设 h(x) 2ln x x 3 (x 0) x

. . . . ,则 2 h'(x) (x 3)(x 1) x .. . ; 单调递减; 增 所以????????6 分 因为对一切 当 x.(0,1) , h'(x) . 0 , h(x) 当 x.(1,..) , h'(x) . 0 , h(x)单调递; min h(x) . h(1) . 4 . … x.(0,..) , 2 f (x) . g(x)恒成立,需要 min a . h(x) . 4 .?????????8 分 5 (Ⅲ) ln 1 2 x x e ex . . 恒成立等价于 ln 2 ( (0,..))恒成立; x xxxx ee ... Ⅰ)可知 1 e 由( f (x) . x ln x(x.(0,..))的最小值是. (当且仅当 x 1 e . 取等号) ?10 分 设 m(x) 2 ( (0, )) ,则 x xx ee . . . .. '( ) 1 x mxx e . . ; 易得 max m(x) m(1) 1 e . . . (当且仅当 x .1 取等号). ?????12 分 由于 11 e . ,从而对一切 x.(0,..) ,都有 ln 1 2 x x e ex . . 成立. ?????13 分 解析:(Ⅰ)当时 (文)

a . 5 g( x) . (. x2 . 5x . 3) . e x , g(1) . e . ???1 分 g.( x) . (. x2 . 3x . 2) . e x ,故切线的斜率为 g.(1) . 4e . ???2 分 所以切线方程为: y . e . 4e( x . 1) ,即 y . 4ex .3e . ???4 分 (Ⅱ) ①当 f .( x) . ln x . 1 , ???6 分 e t . 1 时,在区间(t, t . 2)上 f ( x)为增函数, 所以 min f ( x) . f (t ) . t ln t ???7 分 ②当 0t1 e . . 时,在区间 (t, 1) e 上 f ( x)为减函数,在区间 (1 , e) e 上 f ( x)为增函数, 所以 min f ( x) f (1) 1 ee . .. ???8 分 (Ⅲ) 由 g( x) . 2e x f ( x),可得:2x ln x . .x2 . ax . 3, ???9 分 a x 2 ln x 3 x ..., x11 e (0, ) 1 e (,) e .. f .(x) . 0 . f (x) 单调递减 极小值(最小值) 单调递增 6 7 令 h(x) x 2 ln x 3 x ...,22 ( ) 1 2 3 ( 3)( 1) x xx

xx hx . ..... .. (1 ,1) e x 1 (1,e) h.(x) . 0 . h(x) 单调递减 极小值(最小值) 单调递增 ???11 分 h(1) 1 3e 2 ee . . . , h(1) . 4 , h(e) 3 e 2 e .... h(e) h(1) 4 2e 2 0 ee . . . . . . ???12 分 .实数 a 的取值范围为 4ae23 e

13 分


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