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北京市西城区2013-2014学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案


北京市西城区 2013-2014 学年下学期高二年级期末考试 数学试卷(理科)
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的。 1. 复数

i3 等于( 1? i
B. )



A.



1 1 ? i 2 2

1 1 ? i 2 2

C. ?

1 1 ? i 2 2

D. ?

1 1 ? i 2 2

3 2 2. A4 =( ? C4

A. 6 3. 计算定积分 A. 2

B. 12

C. 18 ) C. 4

D. 20

?

2

0

xdx =(
B. 1

D. -2

4. 已知从 A 口袋中摸出一个球是红球的概率为 为

1 ,从 B 口袋中摸出一个球是红球的概率 3


2 。现从两个口袋中各摸出一个球,那么这两个球中没有红球的概率是( 5
A.

2 15

B.

2 5

C.

7 15

D.

3 5


5. 从 0,1,2,3 中选取三个不同的数字组成一个三位数,则不同的三位数有( A. 24 个 B. 20 个 C. 18 个 D. 15 个 )

6. 如果用反证法证明“数列 {an } 的各项均小于 2” ,那么应假设( A. 数列 {an } 的各项均大于 2 B. 数列 {an } 的各项均大于或等于 2 C. 数列 {an } 中存在一项 ak , ak ? 2 D. 数列 {an } 中存在一项 ak , ak ? 2

7. 已知 100 件产品中有 97 件正品和 3 件次品,现从中任意抽出 3 件产品进行检查,则恰 好抽出 2 件次品的抽法种数是( A. C3 C98 8. 由直线 x ?
2 1

) C. C3 C97
2 1

B. A3 A98

2

1

D. A3 A97 )

2

1

?
3

,x ?

2? , y ? 0 与曲线 y ? sin x 所围成的封闭图形的面积为( 3

A. 1

B.

1 2

C.

3 2

D.

3


9. 若 5 个人站成一排,且要求甲必须站在乙、丙两人之间,则不同的排法有( A. 80 种 B. 40 种 C. 36 种 D. 20 种

10. 函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 的图象如图所示,且 f ( x ) 在 x ? x0 与 x ? 1 处取得极值, 给出下列判断:

①c ? 0; ② f (1) ? f (?1) ? 0 ; ③函数 y ? f ?( x) 在区间 (0, ??) 上是增函数。 其中正确的判断是( A. ①③ B. ② ) C. ②③ D. ①②

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在题中横线上。 11. 已知函数 f ( x) ? sin x ,则 f ?( ) =____________。

?

2

12. 已知某一随机变量 X 的分布列如下: X P 3 0.2 b 0.5 8 a

且 E ( X ) ? 6 ,则 a=__________;b=__________。 13. 曲线 y ?

2 在点(1,2)处切线的斜率为__________。 x

14. 二项式 (3 x ? ) 的展开式中,常数项等于__________;二项式系数和为__________。
6

1 x

15. 抛掷一个骰子,若掷出 5 点或 6 点就说试验成功,则在 3 次试验中恰有 2 次成功的概 率为__________。
2 16. 已知函数 f ( x) ? x ln x ? x ,且 x0 是函数 f ( x ) 的极值点。

给出以下几个问题:

① 0 ? x0 ?

1 1 ;② x0 ? ;③ f ( x0 ) ? x0 ? 0 ;④ f ( x0 ) ? x0 ? 0 e e

其中正确的命题是__________。 (填出所有正确命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 4n ? 7 ,其中 n ? 1, 2,3, (Ⅰ)计算 a2 , a3 , a4 的值; (Ⅱ)根据计算结果猜想 {an } 的通项公式,并用数学归纳法加以证明。 18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 4 ,其中 a ? 0 。 (Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值点和极值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [0, ??) 上的最小值。 19. (本小题满分 13 分) 某企业主要生产甲、 乙两种品牌的空调, 由于受到空调在保修期内维修费等因素的影响, 企业生产每台空调的利润与该空调首次出现故障的时间有关, 甲、 乙两种品牌空调的保修期 均为 3 年,现从该厂已售出的两种品牌空调中各随机抽取 50 台,统计数据如下: 品牌 首次出现 故障时间 x年 空调数量 1 (台) 每台利润 1 (千元) 将频率视为概率,解答下列问题: (Ⅰ) 从该厂生产的甲品牌空调中随机抽取一台, 求首次出现故障发生在保修期内的概 率; (Ⅱ)若该厂生产的空调均能售出,记生产一台甲品牌空调的利润为 X1,生产一台乙 品牌空调的利润为 X2,分别求 X1,X2 的分布列; 2 2.5 2.7 1.5 2.6 2.8 2 4 43 2 3 45 甲 乙 。

0 ? x ?1

1? x ? 2

2? x?3

x?3

0? x?2

2? x?3

x?3

(Ⅲ)该厂预计今后这两种品牌空调销量相当,但由于资金限制,只能生产其中一种品 牌空调,若从经济效益的角度考虑,你认为应该生产哪种品牌的空调?说明理由。 20.(本小题满分 13 分) 已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球, 乙盒内有大小相同的 3 个红球和 3 个黑 球,现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球。 (Ⅰ)求取出的 4 个球中没有红球的概率; (Ⅱ)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; (Ⅲ)设 ? 为取出的 4 个球中红球的个数,求 ? 的分布列和数学期望。 21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

x ? m, m ? R 。 ex

(Ⅰ)当 m ? 0 时,求 f ( x ) 的单调区间、最大值; (Ⅱ)设函数 g ( x) ?| ln x | ? f ( x) ,若存在实数 x0 使得 g ( x0 ) ? 0 ,求 m 的取值范围。 22. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? ax ? b ln x ? 1 ,设曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线为 y ? 0 。 (Ⅰ)求实数 a , b 的值; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? mf ( x) ? 求证:当 x ? [1, e] 时, ?

x2 ? mx ,其中 1 ? m ? 3 。 2

3 e2 (1 ? ln 3) ? g ( x) ? ? 2 。 2 2

【试题答案】
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。 1. B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. D 7. C 8. A 9. B 10. C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 11. 0 15. 12. 0.3,6 13. -2 14. -540,64

2 9

16. ①③

注:一题两空的试题,第一空 3 分,第二空 2 分; 16 题,仅选出①或③得 3 分;错选得 0 分。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。 17. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)根据已知, a2 ? 2a1 ? 4 ?1 ? 7 ? 2 ?1 ? 4 ? 7 ? 5 ;

a3 ? 2a2 ? 4 ? 2 ? 7 ? 2 ? 5 ? 8 ? 7 ? 9 ; a4 ? 2a3 ? 4 ? 3 ? 7 ? 2 ? 9 ?12 ? 7 ? 13 。
(Ⅱ)猜想 an ? 4n ? 3 。 3分 5分 7

证明:①当 n ? 1 时,由已知,等式左边=1,右边= 4 ? 1 ? 3 ? 1,猜想成立。 分 ②假设当 n ? k (k ? N * ) 时猜想成立,即 ak ? 4k ? 3 , 8 分 则 n ? k ? 1 时,

ak ?1 ? 2ak ? 4k ? 7 ? 2(4k ? 3) ? 4k ? 7 ? 4k ? 1 ? 4(k ? 1) ? 3 ,
所以,当 n ? k ? 1 时,猜想也成立。
*

12 分 13 分

综合①和②,可知 an ? 4n ? 3 对于任何 n ? N 都成立。 18. (本小题满分 14 分)

3 2 2 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 3x ? 4, f ?( x) ? 3x ? 6x 。 2 分

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 2 。 所以, 在区间 ( ??, 0) 上, f ?( x) ? 0 , 函数 f ( x ) 是增函数; 在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 , 函数 f ( x ) 是减函数;在区间 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 是增函数。 4 分 所以,函数 f ( x ) 的极小值点为 x ? 2 ,极小值为 f (2) ? 0 ;极大值点为 x ? 0 ,极大 值为 f (0) ? 4 。 8分

3 (Ⅱ)当 a ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 是 R 上的增函数,

在区间 [0, ??) 上的最小值为 f (0) ? 4 。 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 3x( x ? 2a) 。

10 分

在区间 (0, 2a) 上 f ?( x) ? 0, f ( x) 是减函数,在区间 (2a, ??) 上 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 是增 函数。 12 分 13 分

所以,在区间 [0, ??) 上 f ( x ) 的最小值为 f (2a) ,

f (2a) ? 8a3 ?12a3 ? 4 ? 4 ? 4a3 。

14 分
3

综上,函数 f ( x ) 在区间 [0, ??) 上的最小值为 4 ? 4a 。 19. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设“甲品牌空调首次出现故障发生在保修期内”为事件 A, 则 P ( A) ?

1? 2 ? 4 7 ? 。 50 50

4分

(Ⅱ)依题意 X 1 的分布列如下:

X1
P

1

2

2.5

2.7

1 50

1 25

2 25

43 50
7分

X 2 的分布列如下: X2
P 1.5 2.6 2.8

1 25

3 50

9 10
9分

(Ⅲ)由(Ⅱ)得

E ( X 1 ) ? 1?

1 1 2 43 ? 2 ? ? 2.5 ? ? 2.7 ? ? 2.622 (千元) ; 50 25 25 50 1 3 9 ? 2.6 ? ? 2.8 ? ? 2.736 (千元) 。 25 50 10

11 分 12 分

E ( X 2 ) ? 1.5 ?

所以 E( X1 ) ? E( X 2 ) , 故应生产乙品牌空调。 20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设“取出的 4 个球中没有红球”为事件 A。 13 分

C32C32 1 则 P( A) ? 2 2 ? , C4 C6 10

所以取出的 4 个球中没有红球的概率为

1 。 10

4分

(Ⅱ)解:设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球;从乙盒内取出的 2 个球中,1 个是红 球,1 个是黑球”为事件 B, “从甲盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是黑球;从乙盒 内取出的 2 个球均为黑球”为事件 C。由于事件 B,C 互斥,
1 1 C32 C3 ? C3 1 3 3 且 P( B) ? 2 ? ? ? ? , 2 C4 C6 2 5 10

6分

P(C ) ?

1 C3 C32 1 1 1 ? ? ? ? 。 2 2 C4 C6 2 5 10

8分

所以,取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为

P( B C ) ? P ( B ) ? P (C ) ?

3 1 2 ? ? 。 10 10 5

9分 10 分

(Ⅲ)解: ? 可能的取值为 0,1,2,3。 由(Ⅰ) (Ⅱ)知 P(? ? 0) ?

1 2 , P(? ? 1) ? 。 10 5

1 1 1 C3 C3 C3 C32 C32 3 ? 3 ? 3 3 ? 3 2 P(? ? 2) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 。 C4 C6 C4 C6 6 ?15 6 ?15 5

P(? ? 3) ?

1 C3 C32 1 1 1 ? ? ? ? , 2 2 C4 C6 2 5 10

所以, ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

1 10

2 5

2 5

1 10
12 分

所以 ? 的数字期望 E? ? 0 ? 21. (本小题满分 13 分)

1 2 2 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 。 10 5 5 10 2
?x ?x

13 分

解: (Ⅰ)当 m ? 0 时, f ?( x) ? ( xe )? ? e

? xe? x ? (1 ? x)e? x 。

4分 5分 6分

当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在区间 (??,1) 上是增函数; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在区间 (1, ??) 上是减函数; 所以 f ( x ) 的最大值为 f (1) ?

1 。 e

7分

故函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (??,1) ,单调递减区间为 (1, ??) ,最大值为

1 。 e

(Ⅱ)由已知 x ? 0 。 当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? ? ln x ? f ( x) ,

1 g ?( x) ? ? ? ( x ? 1)e ? x ? 0 ,函数 g ( x) 在区间 (0,1) 上是减函数; x
当 x ? 1 时, g ( x) ? ln x ? f ( x) ,

9分

g ?( x) ?

1 ? ( x ? 1)e ? x ? 0 ,函数 g ( x) 在区间 (1, ??) 上是增函数; x 1 ?m。 e 1 e
12 分

11 分

所以 g ( x) 的最小值为 g (1) ? ?

若存在实数 x0 ,使得 g ( x0 ? 0) ,则 ? ? m ? 0 ,解得 m ? ? 所以 m 的取值范围为 (? , ??) 。 22. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f ?( x ) ? a ?

1 。 e

1 e

13 分

b , x

2分 3分

依题意 f (1) ? 0 ,且 f ?(1) ? 0 。 所以 a ? 1 ? 0, a ? b ? 0 。 解得 a ? 1, b ? ?1 。 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? x ? ln x ? 1, x ? 0 。 所以 g ( x) ?

4分

x2 ? m ln x ? m, x ? 0 。 2 m x2 ? m ? 。 x x
6分

g ?( x) ? x ?

当 m ? 0 时,由 g ?( x) ? 0 得 x ? m ,由 g ?( x) ? 0 得 0 ? x ? m 。 所以 g ( x) 在区间 (0, m ) 上是减函数, 在区间 ( m, ??) 上是增函数,x ? m 是 g ( x) 的极小值点。 当 1 ? m ? 3 , x ? [1, e] 时, m ?[1, e] , 所以 g ( x) 的最小值为 g ( m ) ,最大值为 max( g (1), g (e)) 。 设 h( m) ? g ( m ) ? ? 9分 8分

m m 1 ? ln m ,则 h?(m) ? ?1 ? ln m , 2 2 2

因为 1 ? m ? 3 ,所以 ln m ? 0, h?(m) ? 0 。 所以 h( m) 在 1 ? m ? 3 上单调递减,

所以, h(m) ? h(3) ? ?

3 3 3 ? ln 3 ? ? (1 ? ln 3) 。 2 2 2 3 (1 ? ln 3) 。 2

11 分

所以,当 1 ? m ? 3 , x ? [1, e] 时, g ( x) ? ?

e2 e2 ? 2m ? ? 2 , 又因为 1 ? m ? 3 , g (e) ? 2 2 1 e2 g (1) ? ? m ? 0 ? ? 2 。 2 2 e2 ?2。 所以当 1 ? m ? 3, x ? [1, e] 时, g ( x) ? 2
综上,当 1 ? m ? 3 , x ? [1, e] 时, ?

12 分

13 分

14 分

3 e2 (1 ? ln 3) ? g ( x) ? ? 2 。 2 2


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