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第一章 集合与常用逻辑用语 试题1


1.(2011· 高考陕西卷)设 a,b 是向量,命题“若 a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是( ) A.若 a≠-b,则|a|≠|b| B.若 a=-b,则|a|≠|b| C.若|a|≠|b|,则 a≠-b D.若|a|=|b|,则 a=-b 解析:选 D.利用逆命题的定义解答. 3 2.(2012· 秦皇岛质检)已知 A 是△ABC 的内角,则“sinA= ”是“tanA= 3”的( ) 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3 解析:选 B.由 sinA= 可得 A=60° 120° 或 ,不一定得出 tanA= 3;当 tanA= 3时,可得 A=60° ,这时 2 3 一定有 sinA= .故选 B. 2 3.与命题“若 a∈M,则 b?M”等价的命题是________. 解析:因为原命题与逆否命题是等价命题,所以只需写出原命题的逆否命题即可. 答案:若 b∈M,则 a?M 1 4.已知 p:x≤1,条件 q: <1,则 p 是﹁q 成立的________条件. x 解析:﹁q:0≤x≤1. 答案:必要不充分 一、选择题 1.(2011· 高考湖南卷)“x>1”是“|x|>1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:选 A.|x|>1?x>1 或 x<-1,故 x>1?|x|>1,但|x|>1 x>1,∴x>1 是|x|>1 的充分不必要条件. 2.命题“若 a>b,则 a-1>b-2”的逆否命题是( ) A.若 a-1≤b-2,则 a≤b B.若 a<b,则 a-1<b-2 C.若 a-1>b-2,则 a>b D.若 a≤b,则 a-1≤b-2 解析:选 A.原命题的条件 a>b 的否定:a≤b 作为结论,原命题的结论 a-1>b-2 的否定:a-1≤b-2 作为条件,故 A 正确. 3.下列命题中为真命题的是( ) A.命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题 B.命题“若 x>1,则 x2>1”的否命题 C.命题“若 x=1,则 x2+x-2=0”的否命题 D.命题“若 x2>0,则 x>1”的逆否命题 解析:选 A.命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题是“若 x>|y|,则 x>y”,无论 y 是正数、负数、0 都成立, 所以选 A. 4.已知 a,b 为实数,则“2a>2b”是“log2a>log2b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 B.p:2a>2b?a>b;q:log2a>log2b?a>b>0. 由 p q,q?p,∴p 是 q 的必要不充分条件. 5.若集合 A={x|2<x<3},B={x|(x+2)(x-a)<0},则“a=1”是“A∩B=?”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A.当 a=1 时,B={x|-2<x<1},满足 A∩B=?;反之,若 A∩B=?,只需 a≤2 即可,故“a =1”是“A∩B=?”的充分不必要条件. 二、填空题 6. “若 a≤b, ac2≤bc2”, 则 则命题的原命题、 逆命题、 否命题和逆否命题中正确命题的个数是________.

解析:其中原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为假命题. 答案:2 7.(2012· 兰州质检)“x= 2”是“向量 a=(x+2,1)与向量 b=(2,2-x)共线”的________条件. 解析:若 a=(x+2,1)与 b=(2,2-x)共线,则有(x+2)(2-x)=2,解得 x=± 2,所以“x= 2”是“向量 a =(x+2,1)与向量 b=(2,2-x)共线”的充分不必要条件. 答案:充分不必要 8.若命题“ax2-2ax-3>0 不成立”是真命题,则实数 a 的取值范围是________. ?a<0 ? 解析:ax2-2ax-3≤0 恒成立,当 a=0 时,-3≤0 成立;当 a≠0 时,得? ,解得-3≤a 2 ?Δ=4a +12a≤0 ? <0,故-3≤a≤0. 答案:[-3,0] 三、解答题 9.(2012· 开封调研)已知命题 P:“若 ac≥0,则一元二次方程 ax2+bx+c=0 没有实根”. (1)写出命题 P 的否命题; (2)判断命题 P 的否命题的真假,并证明你的结论. 解:(1)命题 P 的否命题为:“若 ac<0,则一元二次方程 ax2+bx+c=0 有实根”. (2)命题 P 的否命题是真命题.证明如下: ∵ac<0, ∴-ac>0?Δ=b2-4ac>0?一元二次方程 ax2+bx+c=0 有实根. ∴该命题是真命题. 10.指出下列各组命题中,p 是 q 的什么条件? (1)p:a+b=2,q:直线 x+y=0 与圆(x-a)2+(y-b)2=2 相切; (2)p:|x|=x,q:x2+x≥0; (3)设 l,m 均为直线,α 为平面,其中 l?α,m?α,p:l∥α,q:l∥m. |a+b| 解:(1)若 a+b=2,则圆心(a,b)到直线 x+y=0 的距离 d= = 2=r,所以直线与圆相切, 2 反之,若直线与圆相切,则|a+b|=2, ∴a+b=± 2, 故 p 是 q 的充分不必要条件. (2)若|x|=x,则 x2+x=x2+|x|≥0 成立. 反之,若 x2+x≥0, 即 x(x+1)≥0,则 x≥0 或 x≤-1. 当 x≤-1 时,|x|=-x≠x, 因此,p 是 q 的充分不必要条件. (3)∵l∥α l∥m,但 l∥m?l∥α, ∴p 是 q 的必要不充分条件. 3 ? ? 3 11.已知集合 A=?y|y=x2-2x+1,x∈?4,2??,B={x|x+m2≥1}.命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,并且命 ? ?? ? 题 p 是命题 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围. 解:化简集合 A, 3 由 y=x2- x+1, 2 3 7 配方,得 y=?x-4?2+ . ? ? 16 3 ∵x∈?4,2?, ? ? 7 ∴ymin= ,ymax=2. 16 7 ∴y∈?16,2?. ? ? ? 7 ? ∴A=?y|16≤y≤2?. ? ? 化简集合 B,由 x+m2≥1,

得 x≥1-m2,B={x|x≥1-m2}. ∵命题 p 是命题 q 的充分条件, ∴A?B. 7 3 3 ∴1-m2≤ ,解得 m≥ ,或 m≤- . 16 4 4 3? ?3 ∴实数 m 的取值范围是?-∞,-4?∪?4,+∞?. ? ?


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