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山东省东营市胜利油田一中2015届高三12月月考数学文试题 Word版含答案


东营市胜利油田一中 2015 届高三 12 月月考数学文试题
2014.12 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第 I 卷(选择题
一、 只有一项是符合要求的)

共 60 分)

选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四

个选项中,

1.设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,5},则 A∩(CUB)等于( A.{2} 2. 复数 A. 2 ? i B.{2,3} C.{3} D.{1,3}



5i =( 1 ? 2i

) B. 1 ? 2i ) C. ?2 ? i D. ?1 ? 2i

3. " x ? 1" 是 " | x |? 1" 的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

?0( x ? 0) ? 4. 已知函数 f ( x) ? ?? ( x ? 0) ,则 f ( f ( f (?1))) 的值等于( ?? 2 ? 1( x ? 0) ?
A. ? 2 ? 1 B. ? 2 ? 1 C. ? D.0 ) D. y ? 2



5.下列函数中既是偶函数又在(0,+∞)上是增函数的是( A. y ? x
3

B. y ?| x | ?1
3

C. y ? ? x ? 1
2

?| x|

6. 函数 f ( x) ? x ? 3 x ? 2 的零点为( A.1,2 B. ±1,-2
x

) D.±1, 2

C.1,-2

7. 若点(a,9)在函数 y ? 3 的图象上,则 tan

a? 的值为( 6



A.0

B.

3 3

C.1

D. 3 )

8. 已知向量 a=(2,1) ,b=(-1,k) ,a· (2a-b)=0,则 k=( A. -12 B. -6 C. 6 D. 12

9. 某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级有 40 名。现用分层抽样的方 法在这 70 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了 6 名,则在高二年级的学 生中应抽取的人数为( )

-1-

A. 6

B. 7

C. 8

D.9
3 2

10. 若 a>0,b>0,且函数 f ( x) ? 4 x ? ax ? 2bx ? 2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值() A.2 B.3 C.6 D.9

11. 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ), x ? R, 其中 ? ? 0, ?? ? ? ? ? . 若 f ( x) 的最小正周期为

6? ,且当 x ?

?
2

时, f ( x) 取得最大值,则(

) B. f ( x) 在区间 [?3? , ?? ] 上是增函数 D. f ( x) 在区间 [4? , 6? ] 上是减函数
/

A. f ( x) 在区间 [?2? , 0] 上是增函数 C. f ( x) 在区间 [3? ,5? ] 上是减函数

12. 函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x ? R , f ( x) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为 ( ) B.(-1,+∞) C.(-∞,-l) D.(-∞,+∞)

A.(-1,1)

第Ⅱ卷(非选择题
13.函数 f ( x) ?

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题.每小题 4 分;共 16 分,将答案填在题中横线上.

1 2x ? 1

的定义域是

14. 已知函数 f(x)是一次函数,且满足 f ( x ? 1) =4x-1,则 f(x)=____

___.

-2-

? x ? y ? 10 ? 15. 已 知 x 和 y 是 实 数 , 且 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 2 , 则z ? 2 x ? 3 y 的 最 小 值 ?2 x ? 7 ?
是 .

a 2 ? b2 ? c2 ,则角 C = ____ 4 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 已知 △ ABC 的三边分别是 a 、 b 、 ,且面积 S ? 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin ? x ? 求 f ( x) 的最小正周期和在[0, 值; 18. (本小题满分 12 分) 如图,直线 l :y=x+b 与抛物线 C :x2=4y 相切于点 A。 (1) 求实数 b 的值; (11) 求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程. 19. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,点 E 在线段 AD 上,且 CE∥AB。 (1) 求证:CE⊥平面 PAD; (11)若 PA=AB=1,AD=3,CD= 2 ,∠CDA=45°,求四棱锥 P-ABCD 的体积. 20. (本小题满分 12 分)某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量 Y(单位:万千 瓦时)与该河上游在六月份的降雨量 X(单位:毫米)有关.据统计,当 X=70 时,Y=460;X 每增加 10,Y 增加 5;已知近 20 年 X 的值为:140,110,160,70,200,160,140,160,220, 200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160. (I)完成如下的频率分布表:

? ?

7? 4

3? ? ? ? ? cos ? x ? 4 ? ?

? ?, x ? R ?

?
2

] 上的最小值和最大

近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 频率 70 110 140 160 200 220

1 20

4 20

2 20

(II)假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份的降雨量的分布规律相同,并将频率视为概
-3-

率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概 率. 21. (本小题满分 12 分)在数列 ?an ?中,已知 a1 ? (Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式; (Ⅱ)求证:数列 ?bn ?是等差数列; (Ⅲ)设数列 ?cn ?满足 cn ? an ? bn ,求 ?cn ?的前 n 项和 S n . 22. (本小题满分 14 分)已知函数 (I)求 (II)求

1 an ?1 1 , ? , bn ? 2 ? 3 log 1 an (n ? N * ) . 4 an 4 4

f ? x? ? ? x ? k ? ex



f ? x?

的单调区间; 在区间

f ? x?

?0,1? 上的最小值。

-4-

高三数学(文科)参考答案
1-5 DCACB 6-10 CDDCD 11-12 AB 一、13、 (

1 ,??) 2

14、 y ? 4 x ? 5

15、

23 2

16、 45 ?

三、17、解: f ( x) ? sin x ?

2 2 2 2 ……..3 分 ? cos x ? (? ) ? cos x ? (? ) ? sin x ? 2 2 2 2

= 2 (sin x ? cos x) ? 2 sin( x ?

?
4

) ………………………………………………….7 分

? f ( x) 的最小正周期为 2? ,………………………………….…………………..8 分

? x ? [0, ] ? x ? ? [? , ] ,函数取得最小值 ? 2 ,最大值为 2 …………...12 分 2 4 4 4
18【解析】 (I)由 ?

?

?

? ?

?y ? x ?b ?x ? 4 y
2

得 x 2 ? 4 x ? 4b ? 0
2

(? )

因为直线与抛物线 C 相切,所以 ? ? (?4) ? 4 ? (?4b) ? 0 ,解得 b ? ?1 …………5 分 (II)由(I)可知 b ? ?1 ,故方程( ? )即为 x 2 ? 4 x ? 4 ? 0 ,解得 x ? 2 ,将其代入 x ? 4 y ,得 y=1,
2

故点 A(2,1).因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切,所以圆心 A 到抛物线 C 的准线 y=-1 的距离等于圆 A 的半径 r,即 r=|1-(-1)|=2,所以圆 A 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 4 …….12 分
2 2

19、 【解析】(1)证明:因为 PA⊥平面 ABCD,CE ? 平面 ABCD,所以 PA⊥CE, 因为 AB⊥AD,CE∥AB,所以 CE⊥AD,又 PA ? AD=A,所以 CE⊥平面 PAD…………5 分 (2)解:由(1)可知 CE⊥AD,在直角三角形 ECD 中,DE=CD ? cos 45 ? 1 ,CE=CD ? sin 45 ? 1 . 又因为 AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形 ABCE 为矩形,所以

-5-

1 1 5 S ABCD ? S ABCE ? S ?BCD = AB ? AE ? CE ? DE = 1? 2 ? ?1?1 ? ,又 PA⊥平面 ABCD,PA=1,所 2 2 2 1 1 5 5 以四棱锥 P-ABCD 的体积等于 S ABCD ? PA ? ? ? 1 ? ………….12 分 3 3 2 6
20、解: (I)在所给数据中,降雨量为 110 毫米的有 3 个,为 160 毫米的有 7 个,为 200 毫 米的有 3 个,故近 20 年六月份降雨量频率分布表为

降雨量 频率

70

110

140

160

200

220

1 20

3 20

4 20

7 20

3 20

2 20

…………………………………………………………………………………….…..….5 分

P("发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时")
.(II) =P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210)

=

1 3 2 3 ? ? ? 20 20 20 10

故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率 为

3 .…………………………………………………………………………………12 分 10
a n ?1 1 ? an 4

18、21、解: (Ⅰ)∵

∴数列{ an }是首项为
1 4

1 1 ,公比为 的等比数列, 4 4

∴ an ? ( ) n (n ? N * ) .…………………………………………………………………………3 分 (Ⅱ)∵ bn ? 3 log 1 an ? 2 …………………………………………………………………… 4 分
4

1 ∴ bn ? 3 log 1 ( ) n ? 2 ? 3n ? 2 .…………………………………………………………… 5 分 4 2

∴ b1 ? 1 ,公差 d=3 ∴数列 {bn } 是首项 b1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等差数列.…………………………………………7 分 (Ⅲ)由(Ⅰ)知, an ? ( ) n , bn ? 3n ? 2 (n ? N * ) ∴ cn ? (3n ? 2) ? ( ) n , (n ? N * ) .………………………………………………………………8 分 ∴ S n ? 1? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( ) 3 ? ? ? (3n ? 5) ? ( ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 于是 S n ? 1? ( ) 2 ? 4 ? ( ) 3 ? 7 ? ( ) 4 ? ? ? (3n ? 5) ? ( ) n ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1
1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4

① ②

…………………………………………………………………………………………… 9 分

-6-

两式①-②相减得 S n ?
1 2 1 4

3 4

1 1 1 1 1 ? 3[( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 4 4 4 4 4

= ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 .………………………………………………………………………11 分 ∴ Sn ?
2 12n ? 8 1 n ?1 ? ? ( ) (n ? N * ) .………………………………………………………12 分. 3 3 4
/ x

22、解: (I) f ( x) ? ( x ? k ? 1)e ,……………………………………………………..3 分
/ f ? x? 令 f ( x) ? 0 ? x ? k ? 1 ; 所 以 在 (??, k ? 1) 上 递 减 , 在 (k ? 1, ??) 上 递

增;…………………………………………………………………………………………6 分

f ? x? 0,1 f ( x) min ? f (0) ? ?k ; (II)当 k ? 1 ? 0, 即k ? 1 时,函数 在区间 上递增,所以 f ? x? 0, k ? 1 当 0 ? k ? 1 ? 1 即 1 ? k ? 2 时,由(I)知,函数 在区间 上递减, (k ? 1,1] 上递
增,所以

? ?

?

?

f ( x) min ? f (k ? 1) ? ?e k ?1 ;

f ? x? 0,1 f ( x) min ? f (1) ? (1 ? k )e 。 当 k ? 1 ? 1, 即k ? 2 时,函数 在区间 上递减,所以
……………………………………………………………………………………………….14 分

? ?

-7-


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