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保险精算习题及答案


第一章: 第一章:利息的基本概念
练 习 题 1.已知 a ( t ) = at + b ,如果在 0 时投资 100 元,能在时刻 5 积累到 180 元,试确定在时刻 5 投资 300 元,
2

在时刻 8 的积累值。 2.(1)假设 A(t)=100+10t, 试确定 i1 , i3 , i5 。 (2)假设 A ( n ) = 100 × (1.1) ,试确定 i1 , i3 , i5 。
n

3.已知投资 500 元,3 年后得到 120 元的利息,试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资 800 元在 5 年后的积累值。 4.已知某笔投资在 3 年后的积累值为 1000 元,第 1 年的利率为 i1 = 10% ,第 2 年的利率为 i2 = 8% , 第 3 年的利率为 i3 = 6% ,求该笔投资的原始金额。 5.确定 10000 元在第 3 年年末的积累值: (1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率 6%。 (2)名义贴现率为每 4 年计息一次的年名义贴现率 6%。 6.设 m>1,按从大到小的次序排列 v 2 b 2 qx + e 2 px 与δ。 7.如果 δ t = 0.01t ,求 10 000 元在第 12 年年末的积累值。 8.已知第 1 年的实际利率为 10%,第 2 年的实际贴现率为 8%,第 3 年的每季度计息的年名义利率为 6%, 第 4 年的每半年计息的年名义贴现率为 5%,求一常数实际利率,使它等价于这 4 年的投资利率。 9.基金 A 以每月计息一次的年名义利率 12%积累,基金 B 以利息强度 δ t = 基金存入的款项相同,试确定两基金金额相等的下一时刻。 现分别 10. 基金 X 中的投资以利息强度 δ t = 0.01t + 0.1 (0≤t≤20), 基金 Y 中的投资以年实际利率 i 积累; 投资 1 元,则基金 X 和基金 Y 在第 20 年年末的积累值相等,求第 3 年年末基金 Y 的积累值。 11. 某人 1999 年初借款 3 万元,按每年计息 3 次的年名义利率 6%投资,到 2004 年末的积累值为( ) 万元。 A. 7.19 B. 4.04 C. 3.31 D. 5.21 12.甲向银行借款 1 万元,每年计息两次的名义利率为 6%,甲第 2 年末还款 4000 元,则此次还款后所余 本金部分为( )元。 A.7 225 B.7 213 C.7 136 D.6 987

(

)

t 积累,在时刻 t (t=0),两笔 6

第二章: 第二章:年金
练习题
n m 1.证明 v ? v = i am ? an 。

(

)

1

2.某人购买一处住宅,价值 16 万元,首期付款额为 A,余下的部分自下月起每月月初付 1000 元,共付 10 年。年计息 12 次的年名义利率为 8.7% 。计算购房首期付款额 A。 3. 已知 a7 = 5.153 , a11 = 7.036 , a18 = 9.180 , 计算 i 。 4.某人从 50 岁时起,每年年初在银行存入 5000 元,共存 10 年,自 60 岁起,每年年初从银行提出一笔 款作为生活费用,拟提取 10 年。年利率为 10%,计算其每年生活费用。 5.年金 A 的给付情况是:1~10 年,每年年末给付 1000 元;11~20 年,每年年末给付 2000 元;21~30 年,每年年末给付 1000 元。年金 B 在 1~10 年,每年给付额为 K 元;11~20 年给付额为 0;21~30 年,每年 年末给付 K 元,若 A 与 B 的现值相等,已知 v 6. 化简 a10 1 + v10 + v 20
10

=

1 ,计算 K。 2

(

)

,并解释该式意义。

7. 某人计划在第 5 年年末从银行取出 17 000 元,这 5 年中他每半年末在银行存入一笔款项,前 5 次存 款每次为 1000 元,后 5 次存款每次为 2000 元,计算每年计息 2 次的年名义利率。 8. 某期初付年金每次付款额为 1 元,共付 20 次,第 k 年的实际利率为

1 ,计算 V(2)。 8+ k

9. 某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女, 给付形式为永续年金, 前两个孩子第 1 到 n 年每年末平分 所领取的年金,n 年后所有的年金只支付给第三个孩子,若三个孩子所领取的年金现值相等,那么 v=( )

? 1 ?n A. ? ? ? 3?

1

B. 3

1 n

?1? C. ? ? ? 3?

n

D. 3

n

11. 延期 5 年连续变化的年金共付款 6 年,在时刻 t 时的年付款率为 ( t + 1) ,t 时刻的利息强度为 1/(1+t),
2

该年金的现值为( ) A.52 B.54

C.56

D.58

第三章: 第三章:生命表基础
练习题 1.给出生存函数 s ( x ) = e
?
x2 2500

,求:

(1)人在 50 岁~60 岁之间死亡的概率。 (2)50 岁的人在 60 岁以前死亡的概率。 (3)人能活到 70 岁的概率。 (4)50 岁的人能活到 70 岁的概率。 2. 已知 Pr[5<T(60)≤6]=0.1895,Pr[T(60)>5]=0.92094,求 q60 。 3. 已知 q80 = 0.07 , d80 = 3129 ,求 l81 。 4. 设某群体的初始人数为 3 000 人, 年内的预期死亡人数为 240 人, 21 年和第 22 年的死亡人数分 20 第 别为 15 人和 18 人。求生存函数 s(x)在 20 岁、21 岁和 22 岁的值。 5. 如果 ? x = ( ) 。 A.2073.92

2 2 + ,0≤x≤100, 求 l0 =10 000 时,在该生命表中 1 岁到 4 岁之间的死亡人数为 x + 1 100 ? x
B.2081.61
2

C.2356.74

D.2107.56

6. 已知 20 岁的生存人数为 1 000 人,21 岁的生存人数为 998 人,22 岁的生存人数为 992 人,则 1 | q20 为 ( ) 。 A. 0.008 C. 0.006

B. 0.007 D. 0.005

第四章: 第四章:人寿保险的精算现值
练 习 题 1. 设生存函数为 s ( x ) = 1 ? (1)趸缴纯保费 ? 30:10 的值。 (2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量 Z 的方差 Var(Z)。 2. 设年龄为 35 岁的人,购买一张保险金额为 1 000 元的 5 年定期寿险保单,保险金于被保险人死亡的 保单年度末给付,年利率 i=0.06,试计算: (1)该保单的趸缴纯保费。 (2)该保单自 35 岁~39 岁各年龄的自然保费之总额。 (3)(1)与(2)的结果为何不同?为什么? 3. 设 A x = 0.25 , A x+ 20 = 0.40 , A x:20 = 0.55 , 试计算: (1) A x:20 。 (2) A x:10 。 4. 试证在 UDD 假设条件下: (1) A x:n =
1
1 1

x (0≤x≤100),年利率 i =0.10,计算(保险金额为 1 元): 100

1

i

δ

A1 :n x
1



(2) ? x:n = A x:n +

i

δ

A1 :n x



5. (x)购买了一份 2 年定期寿险保险单,据保单规定,若(x)在保险期限内发生保险责任范围内的死亡, 则在死亡年末可得保险金 1 元, qx = 0.5, i = 0, Var ( z ) = 0.1771 ,试求 qx +1 。 6.?已知, A 76 = 0.8, D76 = 400, D77 = 360, i = 0.03, 求A 77 。 7. 现年 30 岁的人,付趸缴纯保费 5 000 元,购买一张 20 年定期寿险保单,保险金于被保险人死亡时 所处保单年度末支付,试求该保单的保险金额。 8. 考虑在被保险人死亡时的那个 整年数,j 是死亡那年存活的完整

1 年时段末给付 1 个单位的终身寿险,设 k 是自保单生效起存活的完 m

1 年的时段数。 m
(m)

(1) 求该保险的趸缴纯保费 A x 。 (2) 设每一年龄内的死亡服从均匀分布,证明 A x
(m)

=

i i
(m)

Ax 。
3

9. 现年 35 岁的人购买了一份终身寿险保单,保单规定:被保险人在 10 年内死亡,给付金额为 15 000 元;10 年后死亡,给付金额为 20 000 元。试求趸缴纯保费。 10.年龄为 40 岁的人,以现金 10 000 元购买一份寿险保单。保单规定:被保险人在 5 年内死亡,则在其 死亡的年末给付金额 30 00 元;如在 5 年后死亡,则在其死亡的年末给付数额 R 元。试求 R 值。 11. 设年龄为 50 岁的人购买一份寿险保单,保单规定:被保险人在 70 岁以前死亡,给付数额为 3 000 元;如至 70 岁时仍生存,给付金额为 1 500 元。试求该寿险保单的趸缴纯保费。 12. 设某 30 岁的人购买一份寿险保单,该保单规定:若(30)在第一个保单年计划内死亡,则在其死亡的 保单年度末给付 5000 元,此后保额每年增加 1000 元。求此递增终身寿险的趸缴纯保费。 13. 某一年龄支付下列保费将获得一个 n 年期储蓄寿险保单: (1)1 000 元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费,这个保险的趸缴纯保费为 750 元。 (2)1 000 元储蓄寿险,被保险人生存 n 年时给付保险金额的 2 倍,死亡时返还趸缴纯保费,这个保险的趸 缴纯保费为 800 元。 若现有 1 700 元储蓄寿险,无保费返还且死亡时无双倍保障,死亡给付均发生在死亡年末,求这个保险的 趸缴纯保费。 14. 设年龄为 30 岁者购买一死亡年末给付的终身寿险保单,依保单规定:被保险人在第一个保单年度 内死亡, 则给付 10 000 元; 在第二个保单年度内死亡, 则给付 9700 元; 在第三个保单年度内死亡, 则给付 9400 元;每年递减 300 元,直至减到 4000 元为止,以后即维持此定额。试求其趸缴纯保费。 15. 某人在 40 岁投保的终身死亡险, 在死亡后立即给付 1 元保险金。 其中, 给定 lx = 110 ? x ,0≤x≤110。 利息力δ=0.05。Z 表示保险人给付额的现值,则密度 f x ( 0.8 ) 等于( ) A. 0.24 B. 0.27 C. 0.33 D. 0.36

16. 已知在每一年龄年 UDD 假设成立,表示式

( I A) ? ( I A )
x

x

A
2

=( )

A.

i ?δ

δ2
1 1 ? d δ

B.

(1 + i )
δ

C.

D.

i?i ? ? ? 1? δ ?δ ?

17. 在 x 岁投保的一年期两全保险,在个体(x)死亡的保单年度末给付 b 元,生存保险金为 e 元。保险 人给付额现值记为 Z, 则 Var(Z)=( ) A. C.

px qx v 2 ( b + e )

2

B. D.

px qx v 2 ( b ? e )

2

px qx v 2 ( b 2 ? e 2 )

v 2 ( b 2 qx + e2 px )

第五章: 第五章:年金的精算现值
练 习 题 1. 设随机变量 T=T(x)的概率密度函数为 f (t ) = 0.015 ? e ?0.015t 精算现值 a x 。
4

(t≥0),利息强度为δ=0.05 。试计算

2.设 a x = 10 ,

2

a x = 7.375 , Var aT = 50 。试求: (1) δ ; (2) ? x 。

( )

3. 某人现年 50 岁,以 10000 元购买于 51 岁开始给付的终身生存年金,试求其每年所得年金额。 4. 某人现年 23 岁,约定于 36 年内每年年初缴付 2 000 元给某人寿保险公司,如中途死亡,即行停止, 所缴付款额也不退还。而当此人活到 60 岁时,人寿保险公司便开始给付第一次年金,直至死亡为止。试求此 人每次所获得的年金额。 5. 某人现年 55 岁,在人寿保险公司购有终身生存年金,每月末给付年金额 250 元,试在 UDD 假设和 利率 6%下,计算其精算现值。 6. 在 UDD 假设下,试证: (1)
n|

?? ?? ax ( m ) = α ( m) n | ax ? β ( m ) n E x 。

?? ?? (2) ax:n = α ( m) ax:n ? β ( m ) (1 ? n Ex ) 。
(m)

?? (3) ax:n = ax:n ?
(m) (m)

1 (1 ? n Ex ) 。 m

7. 试求现年 30 岁每年领取年金额 1200 元的期末付终身生存年金的精算现值,且给付方法为:(1)按年; (2)按半年;(3)按季;(4)按月。 8. 试证:

?? (1)? ax

(m)

=

δ
i(m)

ax a x:n


?? (2)? ax:n =
(m)

δ

i(m)

(3) (4)

m →∞

??( lim axm ) = a x 。 1 2


?? a x ≈ ax ?

9. 很多年龄为 23 岁的人共同筹集基金,并约定在每年的年初生存者缴纳 R 元于此项基金,缴付到 64 岁为止。 到 65 岁时,生存者将基金均分,使所得金额可购买期初付终身生存年金,每年领取的金额为 3 600 元。试求数额 R。

?? 10. Y 是 x 岁签单的每期期末支付 1 的生存年金的给付现值随机变量,已知 ax = 10 ,
2

?? ax = 6 , i =

1 ,求 Y 的方差。 24

11. 某人将期末延期终身生存年金 1 万元遗留给其子,约定延期 10 年,其子现年 30 岁,求此年金的精 算现值。 12. 某人现年 35 岁,购买一份即付定期年金,连续给付的年金分别为 10 元、8 元、6 元、4 元、2 元、 4 元、6 元、8 元、10 元,试求其精算现值。

?? ?? 13. 给定? a∞ = 17.287 , Ax = 0.1025 。已知在每一年龄年 UDD 假设成立, 则 ax 是( )
(4) (4)

A.

15.48

B. 15.51

C. 15.75

D. 15.82

14. 给定 Var ( aT ) =

100 及? ( x + t ) = k , t > 0 , 利息强度 δ = 4k ,则 k =( ) 9

A. 0.005 B. 0.010 C. 0.015 D. 0.020 15. 对 于 个 体 ( x ) 的 延 期 5 年 的 期 初 生 存 年 金 , 年 金 每 年 给 付 一 次 , 每 次 1 元 , 给 定 :

?? ? ( x + t ) = 0.01, i = 0.04, ax =5 = 4.524 , 年金给付总额为 S 元(不计利息) ,则
5

P( S >

51

?? ax )值为( )
0.82 B. 0.81 C. 0.80 D. 0.83

A.

第六章: 第六章:期缴纯保费与营业保费
练 习 题 1. 设 ? x +t = ? ( t > 0 ) ,利息强度为常数δ,求 P Ax 与 Var(L)。 2. 有两份寿险保单,一份为(40)购买的保额 2 000 元、趸缴保费的终身寿险保单,并且其死亡保险金于 死亡年末给付;另一份为(40)购买的保额 1 500 元、年缴保费 P 的完全离散型终身寿险保单。已知第一份保单 的给付现值随机变量的方差与第二份保单在保单签发时的保险人亏损的方差相等,且利率为 6%,求 P 的值。

( )

?? 3. 已知 P40:20 = 0.029, P40:20 = 0.005, P60 = 0.034, i = 6%, 求a40 。
1

4. 已知 P62 = 0.0374, q62 = 0.0164, i = 6%, 求P63 。 5. 已知 L 为(x)购买的保额为 1 元、年保费为 Px:n 的完全离散型两全保险,在保单签发时的保险人亏损 随机变量, Ax:n = 0.1774,
2

Px:n d

= 0.5850 ,计算 Var(L)。
105 ? x (0≤x≤105),年利率为 6%。对(50)购买的保额 105

6. 已知 x 岁的人服从如下生存分布: s ( x ) =

1 000 元的完全离散型终身寿险,设 L 为此保单签发时的保险人亏损随机变量,且 P(L≥0)=0.4 。求此保单的 年缴均衡纯保费的取值范围。 7. 已知 AX = 0.19, AX = 0.064, d = 0.057, π x = 0.019, ,其中 π x 为保险人对 1 单位终身寿险按年收
2

取的营业保费。求保险人至少应发行多少份这种保单才能使这些保单的总亏损为正的概率小于等于 0.05。[这 里假设各保单相互独立,且总亏损近似服从正态分布,Pr(Z≤1.645)=0.95,Z 为标准正态随机变量。] 8.

?? ?? 1000 P20:40 = 7.00, ax = 16.72, a20:40 = 15.72, 计算1000 P20 。

9. ? P

(

10|

?? a20 ) = 1.5, 10 P20 = 0.04, 计算P20 。 = 1.03, Px:20 = 0.04, 计算Px(12) 。 :20

10.?已知 11 .

Px1:20 (12) P
1 x:20

已 知 x 岁 的 人 购 买 保 额 1000 元 的 完 全 离 散 型 终 身 寿 险 的 年 保 费 为 50 元 ,

d = 0.06, Ax = 0.4, 2 Ax = 0.2 ,L 是在保单签发时保险人的亏损随机变量。
(1)计算 E[L] 。 (2)计算 Var(L)。 (3)现考察有 100 份同类保单的业务,其面额情况如下: 面额(元) 保单数(份) 1 80 4 20
6

假设各保单的亏损独立,用正态近似计算这个业务的盈利现值超过 18 000 元的概率。 12. (x)购买的 n 年限期缴费完全离散型终身寿险保单,其各种费用分别为:销售佣金为营业保费的 6%; 税金为营业保费的 4%;每份保单的第 1 年费用为 30 元,第 2 年至第 n 年的费用各为 5 元;理赔费用为 15 元。 且 Ax = 0.3, Ax:n = 0.1, Ax + n = 0.4, i = 0.6 ,保额 b 以万元为单位,求保险费率函数 R(b)。
1

13. 设 P A50 = 0.014, A50 = 0.17, 则利息强度δ =() 。 A. 0.070 B. 0.071 C. 0.073 D. 0.076

( )

14. 已知 i = 0.05, px +1 = 0.022, px = 0.99, 则px = 。 () A. 0.0189 B. 0.0203 C. 0.0211
1

D.

0.0245

15. 设 15 P45 = 0.038,P45:15 = 0.056, A60 = 0.625, 则P45: =( ) 15 A. 0.005 B. 0.006 C. 0.007 D. 0.008

第七章: 第七章:准备金
练 习 题 1. 对于(x)购买的趸缴保费、每年给付 1 元的连续定期年金,t 时保险人的未来亏损随机变量为:

? a U ,0 ≤ U ≤ n ? t L = ? a ,U ≥ n ? t t ? n?t
计算 E ( t L) 和 Var ( t L) 。 2. 当 k <

n 1 ?? ?? ?? 时, kVx:n = , ax:n + ax + 2 k :n ? 2 k = 2ax + k :n ? k , 计算 kVx + k :n ? k 。 2 6 P ( Ax )

3. 已知

δ

= 0.474, tV ( Ax ) = 0.510, tVx = 0.500, 计算 tV(A x ) 。

4. 假设在每一年龄内的死亡服从均匀分布,判断下面等式哪些正确: (1) 1000qx kV Ax:n = (2) kV Ax =

(

)

i

δ

k x:n

V

( )

i

δ

k x

V

(3) kV Ax:n =
1

(

)

i

δ

1 k x:n

V

5.







































?? ??( 4) β ( 4 ) = 0.40, P35:20 = 0.039, a35:20 = 12.00, 10V35:20 = 0.30, 10V35:1 = 0.20, a35:20 = 11.70 ,求 20
( 4) 10 35:20

V

? 10V35:20 。
1

6. 已知 (1) Px = 0.01212, ( 2 ) 20 Px = 0.01508, ( 3) Px:10 = 0.06942 ( 4 ) 10Vx = 0.11430 计算 10Vx 。
7
20

7. 一种完全离散型 2 年期两全保险保单的生存给付为 1000 元,每年的死亡给付为 1000 元加上该年年 末的纯保费责任准备金,且利率 i=6%, qx + k = 0.1× 1.1 (k=0,1) 。计算年缴均衡纯保费 P。
k

8. 已知 P45:20 = 0.03, A45:15 = 0.06, d = 0.054, 15 k45 = 0.15 ,求 15V45:20 。
1

9. 25 岁投保的完全连续终身寿险,L 为该保单签发时的保险人亏损随机变量,已知

Var ( L ) = 0.20, A45 = 0.70, 2 A25 = 0.30, 计算 20V ( A25 ) 。
10. 已知 t k x = 0.30, t E x = 0.45, Ax +t = 0.52 , 计算 tV Ax 11. 已知 Ax:n = 0.20, d = 0.08, 计算 n ?1Vx:n 。

( )



?? 12. 已知 ax +t = 10.0, tVx = 0.100, t +1Vx = 0.127, Px +t +1 = 0.043 ,求 d 的值。
13. 对 30 岁投保、保额 1 元的完全连续终身寿险,L 为保单签发时的保险人亏损随机变量,且

A50 = 0.7, 2 A30 = 0.3,Var ( L ) = 0.2 ,计算 20V ( A30 ) 。
14.一 种完全连续型 20 年期的 1 单位生存年金, 已知死亡服从分布:x = 75 ? x (0≤x≤75), l 利率 i = 0 , 且保费连续支付 20 年。设投保年龄为 35 岁,计算此年金在第 10 年年末的纯保费准备金。

?? 15. 已知 q31 = 0.002, a32:13 = 9, i = 5% ,求 2V30:15 。
FPT

16. 对于完全离散型保额,1 单位的 2 年期定期寿险应用某种修正准备金方法,已知 α = v ? px ? qx +1 ,
2

求β 。 17. 个体 (x) 的缴费期为 10 年的完全离散终身寿险保单, 保额为 1 000 元, 已知 i = 0.06, qx + 9 = 0.01262 , 年均衡净保费为 32.88 元,第 9 年底的净准备金为 322.87 元,则 1000 Px +10 =( ) A. 18. 31.52 B. 31.92 C. 33.12 D. 34.32

已知 1000 tV Ax = 100,1000 P ( Ax ) = 10.50, δ = 0.03 ,则 ax +t = ( ) B. 22 C. 23 D. 24

( )

A. 21

第八章: 第八章:保单现金价值与红利
练 习 题 1. 证明式(8.1.7)和式(8.1.8) 。 2. 证明表 8.1.3 和表 8.1.4 中的调整保费表达式。 3. 根据表 8.1.3 和表 8.1.4 中的各种情况,计算第 1 年的费用补贴 E1 。 4. 设 (x)的单位保额完全连续终身寿险在 k 年末转为不丧失现金价值。
k

CV = kV ( Ax ) ,分别按缴清保险与展期保险给出刚改变后的保险的未来损失方差与原保险在时间 k
8

的未来损失方差之比。

?? ?? 5. 已知 Ax = 0.3208, ax = 12, Ax:n = 0.5472, ax:n = 8, 用 1941 年规则计算 Px:n 。
a

6. 向(30)发行的 1 单位完全连续 20 年期两全保险,在第 10 年年末中止,并且那时还有一笔以 10 CV 为 抵押的贷款额 L 尚未清偿,用趸缴纯保费表达: (1)在保额为 1-L 的展期保险可展延到原期满时的情况下,期满时的生存给付金额 E。 (2)转为第(1)小题中展期保险与生存保险后 5 年时的责任准备金。 7. 考虑(x)投保的缴费期为 n 的 n 年期两全保险,保险金为 1 单位,支付基础为完全离散的。在拖欠保 费的情况下,被保险人可选择: (1)减额缴清终身寿险。 (2)期限不超过原两全保险的展期定期保险以及 x+n 岁时支付的减额生存保险。 在时间 t 的解约金为 tVx:n , 它可用来购买金额为 b 的缴清终身寿险,或用于购买金额为 1 的展期保险以及 x+n 岁时的生存支付 f 。设

Ax +t:n ?t = 2 Ax +t ,用 b , A1+t:n ?t 及 n ?t Ex +t 表示 f 。 x
8. 设 k +t CV =
k +t

V ( Ax ) 。

证明:决定自动垫缴保费贷款期长短的方程可写成 H(t)=0,其中

H ( t ) = ax GS1 i + ax + k +1 ? ax 。
9. 在人寿保险的早期,一家保险公司的解约金定为
k

?? CV = h ( Gx + h ? Gx ) a ( k ) , k = 1, 2,?
2 。 3

式中, 为相应年龄的毛保费; a ( k ) 为始于 x+k 岁并到缴费期结束为止的期初生存年金值, 在实际中取 G ? ?? h

如果终身寿险保单的毛保费按 1980 年规则取为调整保费,并且 Px 与 Px +t 都小于 0.04,h=0.9,验证以上给出的 解约金为
k

CV = ( 0.909 + 1.125Px ) kVx + 1.125)( Px + k ? Px )
生存年金递推关系为

10.

?? ?? ( ax + h )(1 + i ) = px+ h ax + h+1

, h = 0,1, 2,?

(1) 如果实际的经验利率是 h+1,经验生存概率是 x+h,则年金的递推关系为

?? ? ?? ( ax + h ? 1) (1 + i?h +1 ) = px+ h (ax + h +1 + ? h +1 )
式中, ? h+1 为生存者份额的变化。证明并解释

? h +1 =

? ?? ? ?? (ih +1 ) ( ax + h ? 1) + ( px + h ? px + h )ax + h +1 ? px + h

(2)如果年末的年金收入调整为年初的 rh +1 倍,其中

?? ? ?? ( ax+ h ? 1) (1 + i?h +1 ) = px+ h ? rh +1 ? ax + h+1
9

? ? 用 i, i , px + h 及 px + h 表示 rh +1 。
11. 12. A. 13. 证明式(8.4.12)、式(8.4.13)和式(8.4.14)。 在 1941 年法则中,若 Px > 0.04, P > 0.04 ,则 E1 =( )
2 2

0.036

B.

0.046

C.

0.051

D. 0.053
2

(30)投保 20 年期生死两全保险, P30:20 = 0.08, d = 0.01 ,利用 1941 年法则求得 P30 = 0.01 时的调 若

整保费为( ) A. 0.0620

B. 0.0626

C. 0.0638

D. 0.0715

第九章: 第九章:现代寿险的负债评估
练 习 题 1.?在例 9.2.1 中将第 1 年到第 5 年的保证利率改为 9%,求 0 到第 10 年的现金价值及第 4 年的准备金。 2. 在例 9.2.3 中将保证利率改为: 3 年为 8% , 年以后为 4% , 前 3 重新计算表 9.2.8、 9.2.9 和表 9.2.10。 表 3.?在例 9.2.5 中,若保证利率:第 1 年到第 5 年为 9.5%,以后为 4%,求 0 到第 5 保单年度的准备金。 4. 考虑固定保费变额寿险,其设计是公平设计且具有下列性质: 男性:35 岁;AIR=4%;最大允许评估利率:6%;面值(即保额):10 000 元;在第 5 保单年度的实际现 金价值为 6 238 元;在第 5 保单年度的表格现金价值为 5 316 元。且已知 1000q39 = 2.79 ,相关资料如下表。 单位:元

I (%)
4 4 4 6 6 6

x ( 岁)
35 36 40 35 36 40

1000 Ax
246.82 255.13 290.81 139.51 146.08 175.31

?? ax
19.582 6 19.366 7 18.438 9 15.202 1 15.086 0 14.569 5

1000qx
2.11 2.24 3.02 2.11 2.24 3.02

求:(1)第 5 保单年度的基础准备金;(2)用一年定期准备金和到达年龄准备金求第 5 保单年度的 GMDB 准备金。 5. 已知某年金的年保费为 1 000 元;预先附加费用为 3%;保证利率为第 1 年到第 3 年 8%,以后 4%; 退保费为 5/4/3/2/1/0%;评估利率为 7%。假设为年缴保费年金,第 1 年末的准备金为( ) A. 1005 B. 1015 C. 1025 D. 1035 6. 在上题中, 如果本金为可变动保费年金, 保单签发时缴费 1 000 元, 2 年保费于第 1 年末尚未支付, 第 则第 1 年年末的准备金为( ) A. 1005 B. 1015 C. 1025 D. 1035

第十章:风险投资和风险理论 十章:
练习题 1. 现有一种 2 年期面值为 1 000 的债券,每年计息两次的名义息票率为 8%,每年计息两次的名义收益率 为 6%,则其市场价格为( )元。
10

A.1037.171 B. 1028.765 C. 1043.817 D. 1021.452 2. 假设 X 是扔五次硬币后“国徽”面朝上的次数,然后再同时扔 X 个骰子,设 Y 是显示数目的总合,则 Y 的均值为( ) A.

1096 48

B.

1085 48

C.

1096 36

D.

1085 36

3. 现有一种六年期面值为 500 的政府债券,其息票率为 6%,每年支付,如果现行收益率为 5%,那么次 债券的市场价值为多少?如果两年后的市场利率上升为 8%,那么该债券的市场价值又是多少? 4. 考虑第 3 题中的政府债券,在其他条件不变的情况下,如果六年中的市场利率预测如下:

r1 :5%

r2 :6%

r3 :8%

r4 :7%

r5 :6%

r6 :10%

那么该债券的市场价值是多少? 5. 计算下述两种债券的久期: (1)五年期面值为 2 000 元的公司债券,息票率为 6%,年收益率为 10%; (2)三年期面值为 1 000 元的政府债券,息票率为 5%,年收益率为 6%。 6. 某保险公司有如下的现金流支付模型,试计算包含报酬率。

年份 现金流

0 -481.67

1 20

2 520

7. 某保险人一般在收到保费八个月后支付索赔, 其系统风险是 30%, 无风险利率为 7.5%, 费用率为 35%, 市场组合的期望回报是 20%,那么该保险人的期望利润率是多少? 8. 某保险人的息税前收入是 6.2 亿元,净利息费用为 300 万元,公司的权益值为 50 亿元,税率为 30%, 试求股本收益率。 9. 某建筑物价值为 a,在一定时期内发生火灾的概率为 0.02。如果发生火灾,建筑物发生的损失额服从 0 到 a 的均匀分布。计算在该时期内损失发生的均值和方差。 10. 如果短期局和风险模型中的理赔次数 N 服从二项分布 B(n , p),而 P 服从 0 到 1 的均匀分布,利用全 概率公式计算: (1)N 的均值, (2)N 的方差。 11. 如果 S 服从参数 λ = 0.60 ,个别赔款额 1,2,3 概率分别为 0.20,0.30,0.50 的复合泊松分布,计算 S 不小于 3 的概率。 12. 若破产概率为

ψ ( ? ) = 0.3e?2u + 0.2e ?4u + 0.1e?7u , u ≥ 0 ,试确定 θ 和 R。

个别理赔额 C 服从参数为 β = 1 13. 设盈余过程中的理赔过程 S (t) 为复合泊松分布, 其中泊松参数为 λ , 的指数分布,C = 4 ,又设 L 为最大聚合损失, ? 为初始资金并且满足 P { L > ?} = 0.05,试确定 ? 。

11

第一章
386.4 元 (1)0.1 0.083 3 0.071 4 (2)0.1 0.1 0.1 3. 1 097.35 元 1 144.97 元 4. 794.1 元 5. (1)11 956 (2)12 285 1. 2. 6.

d < d (m) < δ < i(m) < i

7. 20 544.332 元 8. 0.074 6 9. 0.358 2 10. 1.822 11. B 12. A

第二章
1. 略 3.0.082 99 5. 1 800 元 7. 6.71% 9. A 2. 80 037.04 元 4. 12 968.71 元 6. 略 8.



11 i =9 i

28

10. B

第三章
1. 2. 3. 4. 5. 6. (1) 0.130 95 (2) 0.355 96 (3) 0.140 86 0.020 58 41 571 (1) 0.92 (2) 0.915 (3) 0.909 B C (4) 0.382 89

第四章
1. (1) 0.092 (2) 0.055 2. (1) 5.2546 元 (2)5.9572 元 3. (1) 0.05 (2) 0.5 5. 0.54 7. 283 285.07 元 9. 2 174.29 元 11. 690.97 元 (3)略 4. 略 6. 0.81 8. 略 10. 71 959.02 元 12. 3 406.34 元
12

13. 749.96 元 15. D 17. B

14. 397.02 元 16. C

第五章
15.38 793 元 36 227.89 元 (1) 18 163.47 元 (3)18 607.5 元 8. 略 10. 106 13. A 1. 3. 5. 7. 2. (1) 0.035 (2) 0.65 4. 25 692.23 元 6. 略 (2) 18 458.69 元 (4) 18 707.28 元 9. 167.71 元 11. 83 629.47 元 14. D

12. 46.43 元 15. B

第六章
1.

P ? x = ? , Var ( L ) =

( )

2

(δ ā x )

? x - ?2 x
2

2. 28.30 元 4. 0.039 7 6. 20.07<P≤21.74 8. 3.20 10. 0.041 3 11. (1) -100 (2) 134 444.44 12. 13. B

3. 5. 7. 9.

14.78 0.103 21 份 0.016

(3) 0.272 7

R ( b ) = 471.7 +

10.194 b
15. D

14. C

第七章
1.

E ( t L ) = ax + t:n ?t , Var ( t L ) =
1 5

2

? x +t:n ?t ? ? 2 x +t:n ?t

δ2

2.

3. 0.515 5. 0.001 6 7. 556.88 元 9. 0.40 11. 0.90 13. 0.40 15. 0.058

4. (2) (3) 6. 0.156 94 8. 0.60 10. 0.239 12. 0.06 14. 3.889 元 16.

qx px
13

17. C

18. B

第八章
1. 略 2. 略 3. 根据表 8.1.3 中的各种情况算出的 E1 分别为: (1) ?

? 0.65 px + 0.02 ? ??x ? ? x ? 0.65 ?

(2)0.046

(3) ?

? 0.65 p + 0.02 ? ?? ? ? x ? 0.65 ?
α

? 0.4 p + 0.25 pα + 0.02 ? x (4) ? ?? ? ? 0.4 ? ?
(6) ?

(5) 0.25 px + 0.36

? 0.65 p + 0.02 ? ?? ? x ? 0.65 ? ?

(7)0.046

根据表 8.1.4 中的各种情况算出 E1 分别为: (1) 1.25P+0.01 4.(1) ? k W ? x ? 1 ? ? x (2) 0.06
2

?

( )? (

)

2

2 ?2 1 ? ? x + k :s ? ?1x + k :s ? 1 ? ? x ? ? ? (2) 2 2 ? x+k ? ? x+k

(

)

(

( )

)

2

5. 6.

0.073 8 (1)

? 10 CV ? L ? (1 ? L ) ?1 ? 40:10 ? ?
1

10

E40

(2) (1 ? L) ? 45:5 + E5 E45

7.

b ? b ? ? x + t:n ?t + ? ? 1? 2 ? 2 ? n ?t Ex +t
9. 略 (2) ?

1

8. 略 10. (1)略 12. B

? ? 1 + ih +1 ? ? Px + h ? ??? ? ? 1 + i ? ? Px + h ? ?
13. B.

11. 略

第九章
1. 第 0 年到第十年的现金价值分别为:9300 元 10 137 元 11 168 元 722 元 16 475 元 17 307 元 18 000 元 18 720 元 第四年的准备金为 13 819 元 12 303 元 13 551 元 14 925 元 14

14

2.

重新计算表 9.2.8 后的值。 单位:元 保单年度 0 1 2 3 4 基金 10 000 110 800 11 664 12 597 13 101 现金价值 9 500 10 260 11 197 12 219 12 839 现值 9 500 9 679 9 965 10 259 10 170

重新计算表 9.2.9 后的值。 单位:元 保单年度 0 1 2 3 4 重新计算表 9.2.10 的值。 单位:元 保单年度 0 1 2 3 4 基金 10 000 10 800 11 664 12 597 13 101 现值 10 000 10 189 10 381 10 577 10 377 现金价值 9 500 10 260 11 197 12 219 12 839 现金价值忽略退保因素 9 500 10 260 11 197 12 219 13 101 现值 9 500 9 679 9 965 10 259 10 377

3. 第 0 到第 5 保单年度的准备金分别为:962 元 1 964 元 3 142 元 4 423 元 5 816 元 4. (1) 5 712.12 元 (2) 11.34 元 60.86 元 5. A 6. D

第十章
1. A 2. B 3. 525.38 元 4. 479.22 元 5. (1) 4.413 6. 4.70% 7. 0.005 8. 8.64% 9.

466.88 元 (2) 2.857

E (x) = E [( x | y )] = 0.010

d < d ( m ) < δ < i ( m ) < i 1515151515
15


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